第22章二次函数第15课时二次函数章节复习讲义 -2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第15课时二次函数章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：二次函数的图象和性质 1. 抛物线y＝－(x－3)2＋2开口向　 　；顶点坐标为　　 　；对称轴是　　 　；当x　　 　时，y随x的增大而增大，当x　　 　时，y有最　　 　值为　　 　. 2. 下列关于抛物线y＝－x2＋2的说法正确的是( ) A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为(－1，2) C. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D. 抛物线与x轴有两个交点 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：二次函数的平移 3. 将抛物线y＝－x2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则平移后的抛物线解析式为( ) A. y＝－(x＋3)2－5　 B. y＝－(x＋3)2＋5 C. y＝－(x－3)2＋5　 D. y＝－(x－3)2－5, 4. 把抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得的新抛物线的解析式为　　 　　. 知识点3：二次函数与方程、不等式 5. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图，则其对称轴是　　 　，当函数值y＜0时，对应x的取值范围是　　 　. 6.如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交于点A(－1，p)，B(2，q)，则关于x的不等式mx＋n＜ax2＋bx＋c的解集是　　 　. 知识点4：待定系数法求二次函数解析式 7.填空： (1) 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点(2，8)，则该抛物线的表达式为　　 　； (2)若二次函数的顶点坐标为(2，3)，且经过点(1，5)，则二次函数的解析式为　　 　. 8. 已知抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(－5，2)，B(3，2).求抛物线的表达式. 解： 知识点5：二次函数的应用 9.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2.当水面离桥拱顶的高度OD是4 m时，水面的宽度AB为 　 m. 10. 如图1－22－27－4，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏.该农场计划用木材围成总长24 m的栅栏，设羊圈的面积为S(m2)，垂直于墙的一边长为x(m).则S关于x的函数关系式为　　 　 　 　(并写出自变量的取值范围). 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 2.若抛物线的对称轴是轴，则的值是(    ) A. B. C. D. 3.把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 4.二次函数图象的顶点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 6.抛物线与轴的交点个数是(    ) A. B. C. D. 无法判断 7.如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 或 8.二次函数的图象与轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 9.用米长的围栏围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是(    ) A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案 11.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 12.若抛物线的开口向下，则的取值范围是          ． 13.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为___________________． 14.二次函数化，成的形式是           ． 15.抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 16.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是          ． 17.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为          ． 18.如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为           19.图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽为，拱桥最高点离水面的距离也为，则当水位上升后，水面的宽度为           20.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，则铅球推出的距离           三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点． 求这个抛物线的函数表达式． 说出这个抛物线的开口方向和所在位置． 22.已知抛物线，经过点和点 求抛物线的解析式； 求抛物线的顶点坐标． 23.已知某个二次函数的最大值为，图象顶点在直线上，并且图象经过点． 求这个函数的表达式． 写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 24.如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． 求该抛物线所对应的函数解析式； 设四边形的面积为，求的最大值． 25.如图，已知抛物线与轴相交于，两点，并与直线交于，两点，其中点是直线与轴的交点． 求点，点的坐标．求抛物线的函数表达式． 26.如图所示，桥拱是抛物线形，其函数表达式为，设正常水位时，水面宽为，桥下水深为． 正常水位时，求水面离桥拱顶部的距离． 为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度应不小于问：水深超过多少米时会影响过往船只顺利航行？   27.一块三角形材料如图所示，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在，，上．要使剪出的矩形的面积最大，点应选在何处？ 28.某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． 求与之间的函数关系式； 设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 29.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． 求，两点的坐标． 求该二次函数的解析式． 若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 30.如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． 求该抛物线的解析式和顶点的坐标； 设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； 如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学 第22章二次函数第15课时二次函数章节复习 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点1：二次函数的图象和性质 1. 抛物线y＝－(x－3)2＋2开口向　下　；顶点坐标为　(3，2)　；对称轴是　直线x＝3　；当x　＜3　时，y随x的增大而增大，当x　＝3　时，y有最　大　值为　2　. 2. 下列关于抛物线y＝－x2＋2的说法正确的是( D ) A. 抛物线开口向上 B. 顶点坐标为(－1，2) C. 在对称轴的右侧，y随x的增大而增大 D. 抛物线与x轴有两个交点 　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：二次函数的平移 3. 将抛物线y＝－x2向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度，则平移后的抛物线解析式为( D ) A. y＝－(x＋3)2－5　 B. y＝－(x＋3)2＋5 C. y＝－(x－3)2＋5　 D. y＝－(x－3)2－5, 4. 把抛物线y＝2x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得的新抛物线的解析式为　　y＝2(x＋3)2－2　　. 知识点3：二次函数与方程、不等式 5. 二次函数y＝x2＋bx＋c的图象如图，则其对称轴是　直线x＝－1　，当函数值y＜0时，对应x的取值范围是　－3＜x＜1　. 6.如图，在平面直角坐标系中，若直线y＝mx＋n与抛物线y＝ax2＋bx＋c分别交于点A(－1，p)，B(2，q)，则关于x的不等式mx＋n＜ax2＋bx＋c的解集是　－1＜x＜2　. 知识点4：待定系数法求二次函数解析式 7.填空： (1) 抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为y轴，且经过点(2，8)，则该抛物线的表达式为　y＝2x2　； (2)若二次函数的顶点坐标为(2，3)，且经过点(1，5)，则二次函数的解析式为　y＝2(x－2)2＋3　. 8. 已知抛物线y＝x2＋mx＋n经过点A(－5，2)，B(3，2).求抛物线的表达式. 解：把A(－5，2)，B(3，2)分别代入y＝x2＋mx＋n，得 解得 ∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－13. 知识点5：二次函数的应用 9.一座石拱桥的桥拱是近似的抛物线形.建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝－x2.当水面离桥拱顶的高度OD是4 m时，水面的宽度AB为 20 m. 10. 如图1－22－27－4，某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用旧墙，其余各面用木材围成栅栏.该农场计划用木材围成总长24 m的栅栏，设羊圈的面积为S(m2)，垂直于墙的一边长为x(m).则S关于x的函数关系式为　S＝－4x2＋24x(0＜x＜6)　(并写出自变量的取值范围). 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列函数是二次函数的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  2.若抛物线的对称轴是轴，则的值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  3.把抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位，得到的抛物线是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：将抛物线向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数解析式是：． 故选：． 按照“左加右减，上加下减”的规律进行解题． 此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减． 4.二次函数图象的顶点所在的象限是(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B  5.抛物线的顶点坐标是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：， 该函数的顶点坐标是， 故选： 根据函数的解析式可以直接写出函数的顶点坐标，本题得以解决． 本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出相应的顶点坐标． 6.抛物线与轴的交点个数是(    ) A. B. C. D. 无法判断 【答案】C  7.如图，二次函数的图象与轴相交于和两点，当函数值时，自变量的取值范围是  (    ) A. B. C. D. 或 【答案】D  8.二次函数的图象与轴只有一个公共点，则此公共点的坐标是  (    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D  9.用米长的围栏围成一边靠墙墙足够长的菜园，为了让菜园面积尽可能大，小红提出了围成矩形、等腰三角形底边靠墙、半圆形这三种方案，最佳方案是(    ) A. 方案 B. 方案 C. 方案 D. 方案或方案 【答案】C  【解析】方案：设垂直于墙面的一边长为米，则平行于墙面的边长为米，  则菜园面积，当时，有最大值，最大值为； 方案：如图，设等腰三角形底边长为米，高为米，为等腰三角形，，，，即，整理得，  令，则，当时，有最大值，最大值为，当时，有最大值，最大值为． 方案：设半圆半径为米，半圆的弧长为米，，解得，，最佳方案是方案． 10.某产品进货单价为元，按元一件售出时，能售件，如果这种产品每涨价元，其销售量就减少件，设每件产品涨元，所获利润为元，可得函数关系式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  11.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；其中正确结论的有(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键． 由抛物线对称轴的位置判断，的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【解答】 解：由抛物线开口向下可知， 抛物线与轴交点在轴上方可知：， 对称轴在轴的右侧， 即，， ， 故不正确； 当时，， ， 故正确； 由对称知，当时，函数值大于， 即， 故正确； ， ， ， ， ， 故不正确； 当时，的值最大，此时，， 而当时，， 所以， 故，即， 故正确． 故正确． 故选：． 二、填空题： 12.若抛物线的开口向下，则的取值范围是          ． 【答案】  13.将抛物线向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，则所得抛物线的解析式为___________________． 【答案】  【解析】解：抛物线的顶点坐标为，点向左平移个单位，再向下平移个单位所得对应点的坐标为，所以所得抛物线的解析式为． 故答案为． 先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 14.二次函数化，成的形式是          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查二次函数的三种形式，掌握配方法是解答本题的关键． 直接利用配方法将原式变形进而得出答案． 【解答】 解：． 故答案为 15.抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是          ． 【答案】且  【解析】本题考查抛物线与轴的交点，该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得，进而可得答案． 【详解】解：抛物线与轴有两个交点， 解得且， 故答案为：且． 16.如图，抛物线与直线交于，两点，则不等式的解集是          ． 【答案】或  【解析】【分析】 本题考查了二次函数与不等式有关知识． 观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论． 【解答】 解：抛物线与直线交于，两点， 观察函数图象可知：当或时，直线在抛物线的下方， 的解集为或． 故答案为或． 17.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的解为          ． 【答案】，  18.如图，若被击打的小球飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有的关系为，则小球从飞出到落地所用的时间为           【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是二次函数的应用有关知识，根据关系式，令即可求得的值为飞行的时间． 【解答】 解：依题意，令得 得 解得舍去或 即小球从飞出到落地所用的时间为 故答案为． 19.图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，此时水面宽为，拱桥最高点离水面的距离也为，则当水位上升后，水面的宽度为           【答案】  20.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，则铅球推出的距离           【答案】  【解析】令，则，解得或不合题意，舍去， ，故答案为：． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 21.已知抛物线的顶点在原点，对称轴是轴，且经过点． 求这个抛物线的函数表达式． 说出这个抛物线的开口方向和所在位置． 【答案】(1)解：设此抛物线的函数表达式是. 把代入中，得，解得，∴这个抛物线的函数表达式是.   (2)∵，∴这个抛物线的开口向上，顶点是图象上的最低点，图象在轴上方（除顶点外）.  22.已知抛物线，经过点和点 求抛物线的解析式； 求抛物线的顶点坐标． 【答案】解：因为抛物线，经过点和点 所以解得， 所以，抛物线的解析式为． ， 顶点坐标为．  【解析】利用待定系数法，把问题转化为方程组即可解决． 利用配方法求顶点坐标即可； 本题考查待定系数法，二次函数的性质，二次函数图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 23.已知某个二次函数的最大值为，图象顶点在直线上，并且图象经过点． 求这个函数的表达式． 写出该二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． 【答案】(1)解：∵该函数的最大值为2，∴将代入得，∴顶点坐标为.设函数表达式为，将代入，得，解得，∴.  (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为.  24.如图，开口向下的抛物线与轴交于点、，与轴交于点，点是第一象限内抛物线上的一点． 求该抛物线所对应的函数解析式； 设四边形的面积为，求的最大值． 【答案】解：，，， 设抛物线表达式为：， 将代入得：， 解得：， 该抛物线的解析式为：； 连接， 设点坐标为，， ，，， 可得：，，， ， 当时，最大，最大值为．  【解析】本题考查了二次函数的最值，待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是能将四边形的面积表示出来． 设二次函数表达式为，再将点代入，求出值即可； 连接，设点坐标为，，利用得出关于的表达式，再求最值即可． 25.如图，已知抛物线与轴相交于，两点，并与直线交于，两点，其中点是直线与轴的交点． 求点，点的坐标． 求抛物线的函数表达式． 【答案】(1)解：∵直线交轴、轴于，两点，∴，.  (2)∵过，两点，将，坐标代入抛物线的函数表达式，可求得，.∴抛物线的函数表达式为.  26.如图所示，桥拱是抛物线形，其函数表达式为，设正常水位时，水面宽为，桥下水深为． 正常水位时，求水面离桥拱顶部的距离． 为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度应不小于问：水深超过多少米时会影响过往船只顺利航行？ 【答案】(1)解：∵  m，∴设点坐标为，代入函数表达式得. ∴水面离桥拱顶部的距离为9 m.   (2)当桥下水面宽度为8 m时， 设此时点坐标为，代入函数表达式，得， ∴水面离桥拱顶部的距离为4 m，而桥拱顶部到水底距离为， ∴，即水深超过7 m时会影响过往船只顺利航行.   27.一块三角形材料如图所示，，，用这块材料剪出一个矩形，其中，点，，分别在，，上．要使剪出的矩形的面积最大，点应选在何处？ 【答案】解：在中，，，，四边形是矩形，，设，则，      当时，矩形最大，  此时，点为的中点．  即点为的中点时，矩形的面积最大．  28.某超市销售一种商品，成本价为元千克，经市场调查，每天销售量千克与销售单价元千克之间的关系如图所示，规定每千克售价不能低于元，且不高于元． 求与之间的函数关系式； 设每天的总利润为元，当销售单价定为多少元时，该超市每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】解：将点、代入一次函数表达式得： ， 解得：， 故函数的表达式为：． 由题意得：， ， 故当时，随的增大而增大，而， 当时，有最大值，此时，， 故销售单价定为元时，该超市每天的利润最大，最大利润为元．  【解析】将点、代入一次函数表达式，即可求解； 由题意得：，根据二次函数的性质即可求解． 本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用．最大销售利润的问题根据二次函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值，也就是说二次函数的最值不一定在时取得． 29.如图，直线与轴交于点，与轴交于点，已知二次函数的图象经过点，和点． 求，两点的坐标． 求该二次函数的解析式． 若抛物线的对称轴与轴的交点为点，则在抛物线的对称轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】解：对直线，当时，，时，， ，． 设二次函数为， 二次函数图象经过，， ， 把点代入得： ， 解得：， ． 二次函数图象经过，， 对称轴为， ， ， ， 如图，当时， ， ，， 如图，当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：存在，，，使是以为腰的等腰三角形．  【解析】令直线的，，求出对应的和的值，得到点、的坐标； 用待定系数法设二次函数解析式，代入点、、的坐标求出解析式； 利用“两圆一中垂”找到对应的等腰三角形，结合勾股定理和等腰三角形的性质求点的坐标． 本题考查了一次函数与坐标轴的交点、二次函数的解析式、等腰三角形的性质、勾股定理，本题求二次函数的解析式可以用一般式或者交点式结合待定系数法求解，求点的坐标的时候要学会用“两圆一中垂”找到点，注意这里只要用“两圆”即可． 30.如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线的图象与轴交于，两点，与轴交于点抛物线的顶点为，若点的坐标是，点是该抛物线在第二象限图象上的一个动点． 求该抛物线的解析式和顶点的坐标； 设点的横坐标是，问当取何值时，四边形的面积最大； 如图，若直线的解析式是，点和点分别在抛物线上和直线上，问：是否存在以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出符合题意的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】解：抛物线的图象经过点， ， 解得， 抛物线的解析式是， 顶点的坐标是； 令， 解得，， ，． 点的横坐标是， ， 连结，如图所示： 四边形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形的面积最大； 平行四边形以为边时， 点的坐标是，如图所示， ， ， 整理得，解得：，， 此时点的坐标是，；  点的坐标是， ，如图所示， ，得：，则， 整理得，，解得：，不合题意，舍去， 此时点的坐标是； 平行四边形以为对角线时，如图所示， 根据平行四边形的对角线相互平分可知， ，中点坐标为， ，中点坐标也为， 点， 点坐标为： 点在图象上， ， ， 解得：， 不合题意，舍去， 此时点的坐标是 综上所述，满足条件的点坐标为：，，和．  【解析】本题考查的是二次函数的图象及性质，待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的性质等有关知识． 利用待定系数法求二次函数解析式即可； 令，然后求出与轴的交点，然后再进行解答即可； 根据题意分为边和为对角线分别画出图形，利用平行四边形的性质列方程求解即可． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$