第22章二次函数第14课时　实际问题与二次函数(3)——实物抛物线涵洞等问题 暑假预习课-2025-2026学年人教版数学九年级上册

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第14课时　实际问题与二次函数(3)——实物抛物线涵洞等问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：运动路径问题 【例1】 一男生掷铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，铅球运行路线如图. (1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球的行进高度能否达到4 m. 解：(1)令y＝0，得－x2＋x＋＝0. 解得x1＝－2(不合题意，舍去)，x2＝10. 答：铅球推出的水平距离是10 m. (2)∵y＝－x2＋x＋＝－(x－4)2＋3， ∴y的最大值为3. ∵3<4，∴铅球的行进高度不能达到4 m. 知识点2：拱桥问题 【例2】 (人教九上P51探究3改编)如图1－22－26－3，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)如果水面下降1 m，那么水面的宽度是多少米？ 解：(1)由图可知抛物线的顶点坐标为(2，2)， ∴设这条抛物线的解析式为y＝a(x－2)2＋2. ∵抛物线经过点(4，0)，∴a·(4－2)2＋2＝0.解得a＝－. ∴抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋2. (2)令y＝－1，得－(x－2)2＋2＝－1. 解得x1＝2＋，x2＝2－.则＝2. 答：水面的宽度为2 m. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我校附近一涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离是． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题考查了二次函数的实际应用，正确的理解题意是解决问题的关键．把或直接代入解析式即可解答． 【解答】 解：依题意，设点坐标为， 代入抛物线方程得：， 即水面到桥拱顶点的距离为． 故选C． 2.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示现测得，当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为，这时离开水面处，涵洞宽是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：建立直角坐标系，如图： 设抛物线解析式为， 水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ，， 把代入得：， ， 离开水面， 到的距离为， 在中，令得： ， 解得，， ， 故选：． 建立直角坐标系，设抛物线解析式为，用待定系数法可得，令得，，即可得到答案． 本题考查二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出二次函数解析式． 3.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是，跨度是，则在线段上离中心点处的地方，桥的高度是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解： 如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的方程为 已知抛物线经过，，， 故可得， 可得，，， 故解析式为， 当时，． 故选B． 根据题意假设解析式为，用待定系数法求出解析式．然后把自变量的值代入求解对应函数值即可． 本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 4.一位篮球运动员在距离篮筐中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内．已知篮筐中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(    ) A. 此抛物线的解析式是 B. 篮筐中心的坐标是 C. 此抛物线的顶点坐标是 D. 篮球出手时离地面的高度是 【答案】A  5.如图，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时图中点离球网的水平距离为米，排球与地面的垂直距离为米，排球在球网上端米处图中点越过球网女子排球赛中球网上端距地面的高度为米，落地时图中点距球网的水平距离为米，则排球运动路线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查待定系数法求二次函数的关系式，根据题意得出图象所过点的坐标是正确解答的关键． 方法一：根据题意结合函数的图象，得出图中、、的坐标，再利用待定系数法求出函数关系式即可； 方法二：根据四个选项中关系式系数的特点，结合抛物线位置，确定、的符号和的值，就可以直接得出答案． 【解答】 解：方法一：米 根据题意和所建立的坐标系可知，，，， 设排球运动路线的函数关系式为，将、、的坐标代入得： ， 解得，，，， 排球运动路线的函数关系式为， 故选：． 方法二：排球运动路线的函数关系式为， 由图象可知，，、同号，即，， 故选：． 二、填空题： 6.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，则铅球推出的距离           【答案】  【解析】令，则，解得或不合题意，舍去， ，故答案为：． 7.有一座拱形桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　 　. 【答案】y＝－(x－20)2＋16 8.如图，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度即的长为___          ___． 【答案】米  【解析】【分析】 本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合建立平面直角坐标系、熟练掌握待定系数法是解题的关键． 以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得内侧抛物线的解析式，再把代入函数解析式则可知点、的横坐标，从而可得的长． 【解答】 解：以底部所在的直线为轴，以线段的垂直平分线所在的直线为轴建立平面直角坐标系，如图： ，，， 设内侧抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 内侧抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ，， ， 故答案为：米． 9.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间           【答案】  10.如图所示的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点为坐标原点时的抛物线解析式是          ． 【答案】  【解析】略 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为求校门的高精确到，水泥建筑物厚度忽略不计 【答案】解：由题意可知抛物线过，，三点． 抛物线关于轴对称，可设解析式为，则 解得 解析式为， 顶点坐标为， 则校门的高为．  12.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高，水柱落地处离池中心米． 请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式 水柱的最大高度是多少 【答案】解：如图，以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系． 由题意可设抛物线的函数解析式为． 因为抛物线过点和， 所以解得 所以水柱抛物线的函数解析式为． 由可得抛物线的函数解析式为， 所以当时，取得最大值． 所以水柱的最大高度为米   【解析】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，利用顶点式求出解析式是解题关键． 以水管与地面交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为轴，水管所在直线为轴，建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为，代入和得出方程组，解方程组即可， 求出当时，即可． 13.某篮球队员投篮一次命中篮筐，篮球从出手到命中篮筐行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度单位：与行进的水平距离单位：之间的关系图象如图所示已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大，为． 图中点表示篮筐，其坐标为          ，篮球行进过程中的最高点的坐标为           求篮球出手时距地面的高度． 【答案】(1)(4.5,3.05) ;(3,3.3)  (2)2.3m  14.如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示已知抛物线上，两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为， 求最左边的抛物线的函数解析式，并求图案最高点到地面的距离 若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案 【答案】解：将，分别代入， 得解得 最左边的抛物线的函数解析式为， 即， 抛物线的顶点坐标为， 图案最高点到地面的距离为． 当，即时，，． ，如图所示． 墙长，， 最多可以连续绘制个这样的抛物线形图案．   【解析】本题考查了二次函数的应用在解决与函数图象有关的实际问题时，实现点的坐标和线段的长度或两点之间的距离的转化是解题的关键． 先运用待定系数法可以求出抛物线的解析式，再求出它的顶点坐标即可求解； 在的解析式中令，求出抛物线与轴两交点间的距离，然后用除以这个距离即可求解． 15.现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以点所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． 求满足设计要求的抛物线的函数解析式； 现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯已知点，到的距离均为，求点，的坐标． 【答案】(1)解：依题意，顶点，设抛物线的函数解析式为，将代入，得，解得， 抛物线的函数解析式为；   (2)令，得，解得，. ，.   16.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式已知点与球网的水平距离为，球网的高度为． 当时，求值，并通过计算判断此球能否过网； 若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值． 【答案】解：当时，， 点在抛物线上，且在轴上， 将点代入，得：， 解得：； 点与球网的水平距离为，即， 把代入，得：， ， 此球能过网； 把、代入，得： ， 解得：， ．  【解析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． 将点代入即可求得，求出时，的值，与比较即可得出判断； 将、代入代入即可求得、． 17.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶． 求绳子所对应的抛物线的解析式不要求写自变量的取值范围 身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶 身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出的取值范围． 【答案】解：设抛物线的解析式为：， 抛物线经过点，，， ，解得， 绳子对应的抛物线的解析式为：； 不能， 理由：， ， 有最大值， ， 身高的小兵，站在绳子的正下方，绳子不能通过他的头顶； 当时，， 解得，， ． 故的取值范围为．  【解析】因为抛物线过原点，可设抛物线的解析式为：，把，，代入，得到三元一次方程组，解方程组即可； 由自变量的值求出函数值，再比较便可； 由时求出其自变量的值，便可确定的取值范围． 本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标，和应用二次函数解析式解决实际问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第14课时　实际问题与二次函数(3)——实物抛物线涵洞等问题 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：运动路径问题 【例1】 一男生掷铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是y＝－x2＋x＋，铅球运行路线如图. (1)求铅球推出的水平距离；(2)通过计算说明铅球的行进高度能否达到4 m. 知识点2：拱桥问题 【例2】 (人教九上P51探究3改编)如图1－22－26－3，是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m. (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)如果水面下降1 m，那么水面的宽度是多少米？ 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.我校附近一涵洞的截面是抛物线形状，如图所示的平面直角坐标系中，抛物线对应的函数解析式为，当涵洞水面宽为时，涵洞顶点至水面的距离是． A. B. C. D. 2.一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示现测得，当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为，这时离开水面处，涵洞宽是(    ) A. B. C. D. 3.如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是，跨度是，则在线段上离中心点处的地方，桥的高度是(    ) A. B. C. D. 4.一位篮球运动员在距离篮筐中心水平距离处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为时，达到最大高度，然后准确落入篮筐内．已知篮筐中心距离地面高度为，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是(    ) A. 此抛物线的解析式是 B. 篮筐中心的坐标是 C. 此抛物线的顶点坐标是 D. 篮球出手时离地面的高度是 5.如图，是某次比赛中垫球时的动作，若将垫球后排球的运动路线近似的看作抛物线，在如图所示的平面直角坐标系中，已知运动员垫球时图中点离球网的水平距离为米，排球与地面的垂直距离为米，排球在球网上端米处图中点越过球网女子排球赛中球网上端距地面的高度为米，落地时图中点距球网的水平距离为米，则排球运动路线的函数表达式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.如图，一名学生推铅球，铅球行进高度单位：与水平距离单位：之间的关系是，则铅球推出的距离           7.有一座拱形桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　 　. 8.如图，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为米，高度为米．则离地面米处的水平宽度即的长为___          ___． 9.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度单位：与飞行时间单位：之间具有函数关系：则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间           10.如图所示的一座拱桥，当水面宽为时，桥洞顶部离水面，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为轴，建立平面直角坐标系，若选取点为坐标原点时的抛物线解析式是，则选取点为坐标原点时的抛物线解析式是          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.如图，某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为，两侧距地面高处各有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为求校门的高精确到，水泥建筑物厚度忽略不计 12.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽小明家附近广场中央新修了个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为米的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为米处达到最高，水柱落地处离池中心米． 请你建立适当的平面直角坐标系，并求出水柱抛物线的函数解析式 水柱的最大高度是多少 13.某篮球队员投篮一次命中篮筐，篮球从出手到命中篮筐行进的轨迹可以近似看作抛物线的一部分，表示篮球距地面的高度单位：与行进的水平距离单位：之间的关系图象如图所示已知篮球出手位置与篮筐的水平距离为，篮筐距地面的高度为当篮球行进的水平距离为时，篮球距地面的高度达到最大，为． 图中点表示篮筐，其坐标为          ，篮球行进过程中的最高点的坐标为           求篮球出手时距地面的高度． 14.如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线形图案按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用表示已知抛物线上，两点到地面的距离均为，到墙边的距离分别为， 求最左边的抛物线的函数解析式，并求图案最高点到地面的距离 若该墙的长度为，则最多可以连续绘制几个这样的抛物线形图案 15.现要修建一条隧道，其截面为抛物线形，如图所示，线段表示水平的路面，以为坐标原点，以点所在直线为轴，以过点垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系根据设计要求：，该抛物线的顶点到的距离为． 求满足设计要求的抛物线的函数解析式； 现需在这一隧道内壁上安装照明灯，如图所示，即在该抛物线上的点，处分别安装照明灯已知点，到的距离均为，求点，的坐标． 16.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分．如图，甲在点正上方的处发出一球，羽毛球飞行的高度与水平距离之间满足函数解析式已知点与球网的水平距离为，球网的高度为． 当时，求值，并通过计算判断此球能否过网； 若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点的水平距离为，离地面的高度为的处时，乙扣球成功，求的值． 17.跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为一条抛物线如图是小涵与小军将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为，并且相距，现以两人的站立点所在的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，其中小涵拿绳子的手的坐标是身高的小丽站在绳子的正下方，且距小涵拿绳子的手时，绳子刚好经过她的头顶． 求绳子所对应的抛物线的解析式不要求写自变量的取值范围 身高的小兵，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶 身高的小伟，站在绳子的正下方，他距小涵拿绳子的手，为确保绳子通过他的头顶，请直接写出的取值范围． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$