第22章二次函数第13课时实际问题与二次函数(2)——商品利润2025-2026学年人教版 九年级上册数学暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第13课时实际问题与二次函数(2)——商品利润 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：利润问题——常规型 【例1】(人教九上P50探究2改编)某商场将进货价为每盏30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600盏.调查表明：售价在每盏40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其平均每月的销售量就将减少10盏，设该商场决定把售价上涨x(0≤x≤20)元. (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　(600－10x)　盏台灯(用含x的代数式表示)； (2)每盏台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 解：(2)设每月的销售利润为w元. 由题意，得w＝(40－30＋x)(600－10x)＝－10(x－25)2＋12 250. ∵－10<0，0≤x≤20， ∴当x＝20时，w有最大值，最大值为－10×(20－25)2＋12 250＝12 000. 此时售价为40＋20＝60(元). 答：每盏台灯售价定为60元时，每月销售利润最大. 知识点2：利润问题——借助图象或表格 【例2】商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)y与x之间的函数关系式为　　y＝－2x＋160　　； (2)当销售单价定为多少时，销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？ 解：(2)由题意，得w＝(x－30)(－2x＋160)＝－2(x－55)2＋1 250. ∵－2＜0， ∴当x＝55时，w有最大值1 250. 答：当销售单价定为55元时，销售该商品每天获得的利润最大，最大利润是1 250元. 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某产品进货单价为元，按元一件出售时，能售出件若每件每涨价元，销售量就减少件，则该产品能获得的最大利润为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C  2.某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：每涨价元，每星期要少卖出件，每件涨价元， 销售每件的利润为元，每星期的销售量为， 每星期售出商品的利润． 故选：． 由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论． 本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式． 3.某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】由每件涨价元，可得出销售每件的利润为元，每星期的销售量为件，再利用每星期售出商品的利润销售每件的利润每星期的销售量，即可得出结论． 【详解】每涨价元，每星期要少卖出件，每件涨价元， 销售每件的利润为元，每星期的销售量为件， 每星期售出商品的利润 故选：． 4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  5.一人一盔安全守规，一人一带平安常在某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可售出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价元，每月可多售出顶．已知头盔的进价为每顶元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C  二、填空题： 6.某件商品原价为元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 【答案】  【解析】解：由题意得：， 故答案为：． 根据现在的价格等于原价乘以涨价的百分率的平方，即可得解． 本题考查了根据实际问题列函数关系式，正确找到等量关系了出函数关系式是解题关键． 7.将进货价为元件的某种商品按零售价元件出售时每天能卖出件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价元件，其日销售量就增加件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是          ． 【答案】  8.某商品原利润为元件，涨价元后利润为          元件，原来每月可卖出件，若每涨价元，每月就少出售件，涨价元后每月出售该商品的总利润元与之间的函数关系式为          ． 【答案】；  【解析】【分析】 本题主要考查的是二次函数的实际问题，属于基础题． 首先表示出涨价后利润，进而表示出销量，进而得出答案． 【解答】 解：商品原利润为元件， 涨价元后利润为：元件， 由题意可得：涨价元后每月出售该商品件， 则 ． 故答案为：；． 9.将进货单价为元的某种商品按零售价元售出时，每天能卖出个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价元，其日销售量就增加个．设单价降低元，则每天的利润与的函数解析式是          ；最大利润为          元． 【答案】   【解析】解：设应降价元，销售量为个， 根据题意得： ， ， 当时，有最大值，最大值为， 故答案为：；． 本题考查二次函数的应用，关键是找出等量关系列出函数解析式． 先根据利润单件利润销量列出函数解析式，再根据函数的性质求最值． 10.商场某种商品进价为元件，售价为元件时，每天可销售件；销售单价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此，若售价单价为          元，商场每天盈利达元；该商场销售这种商品日最高利润为          元． 【答案】或   三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 【答案】每件定价为元才能使利润最大  12.某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，请求出与的函数关系式． 【答案】．  13.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： 商场日销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示； 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大利润是多少元？ 【答案】；； 设商场日盈利为， 则 ， 当时，， 答：每件商品降价元时，商场日盈利最大，最大利润是元．  【解析】根据每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件可得：每件商品降价元，商场日销售量增加件，每件商品盈利元； 设商场日盈利为，根据“总利润每件利润日销售量”列出函数解析式．配方成顶点式即可得函数的最值情况． 本题主要考查二次函数的应用，理解题意找到降价后的日销量和单件利润是根本，依据相等关系列出函数解析式并配方成顶点式得出函数的最值是解题的关键． 14.商场销售一种成本为元千克的水果，按元千克销售，每天可售出千克经过市场调查发现：每千克涨价元，每天的销售量就减少千克设售价为元千克，每天的销售量为千克，每天的销售利润为元 分别求出与，与的函数解析式； 当商场这种水果每天的销售利润为元时，求这种水果的售价； 当这种水果的售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)解：由题意，得， ， 与的函数解析式是，与的函数解析式；   (2)每天销售利润为1500元，， 解得，. 答：这种水果的售价为25元/千克或35元/千克；   (3)， ，当时，取得最大值，此时. 答：当售价定为30元/千克时，每天可获得最大利润，最大利润是2000元.   15.红星公司销售一种成本为元件的产品，若月销售单价不高于元，一个月可售出万件；月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为单位：元，月销售量为单位：万件． 直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当月销售单价是多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少万元？ 为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于元，月销售最大利润是万元，求的值． 【答案】(1)解：当40≤x≤50时，y＝5；当50＜x≤100时，y＝5－（x－50）×0.1＝10－0.1x， ∴y与x之间的函数关系式为   (2)设月销售利润为z，当40≤x≤50时，x＝50时利润最大，此时z＝（50－40）×5＝50（万元）；当50＜x≤100时， z＝（x－40）y＝（x－40）（10－0.1x）＝－0.1x2＋14x－400＝－0.1（x－70）2＋90， ∴当x＝70时，z有最大值为90万元，即当月销售单价是70元时，月销售利润最大，最大利润是90万元；   (3)由题意知，50＜x≤70， ∴利润z＝（x－40－a）（10－0.1x）＝－0.1x2＋（14＋0.1a）x－400－10a， ∵对称轴为， ∴当月销售单价是70元时，月销售利润最大，即（70－40－a）×（10－0.1×70）＝78，解得a＝4．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第13课时实际问题与二次函数(2)——商品利润 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：利润问题——常规型 【例1】(人教九上P50探究2改编)某商场将进货价为每盏30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600盏.调查表明：售价在每盏40元至60元范围内，这种台灯的售价每上涨1元，其平均每月的销售量就将减少10盏，设该商场决定把售价上涨x(0≤x≤20)元. (1)售价上涨x元后，该商场平均每月可售出　　 　盏台灯(用含x的代数式表示)； (2)每盏台灯售价定为多少元时，每月销售利润最大？ 知识点2：利润问题——借助图象或表格 【例2】商店购进一批成本为每件30元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间满足一次函数关系，其图象如图所示. (1)y与x之间的函数关系式为　　 　　； (2)当销售单价定为多少时，销售该商品每天获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？ 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某产品进货单价为元，按元一件出售时，能售出件若每件每涨价元，销售量就减少件，则该产品能获得的最大利润为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2.某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 3.某商品的进价为每件元，现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件．则每星期售出商品的利润单位：元与每件涨价单位：元之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价．若设平均每次降价的百分率是，降价后的价格为元，原价为元，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 5.一人一盔安全守规，一人一带平安常在某商店销售一批头盔，售价为每顶元，每月可售出顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现，每降价元，每月可多售出顶．已知头盔的进价为每顶元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为(    ) A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题： 6.某件商品原价为元，经过两次涨价后的价格为元，如果每次涨价的百分率都是，那么关于的函数关系式为______． 7.将进货价为元件的某种商品按零售价元件出售时每天能卖出件，若这种商品的零售价在一定范围内每降价元件，其日销售量就增加件，为了每天获得最大利润，决定每件降价元，设每天的利润为元，则关于的函数解析式是          ． 8.某商品原利润为元件，涨价元后利润为          元件，原来每月可卖出件，若每涨价元，每月就少出售件，涨价元后每月出售该商品的总利润元与之间的函数关系式为          ． 9.将进货单价为元的某种商品按零售价元售出时，每天能卖出个；若这种商品的零售价在一定范围内每降价元，其日销售量就增加个．设单价降低元，则每天的利润与的函数解析式是          ；最大利润为          元． 10.商场某种商品进价为元件，售价为元件时，每天可销售件；销售单价高于元时，每涨价元，日销售量就减少件，据此，若售价单价为          元，商场每天盈利达元；该商场销售这种商品日最高利润为          元． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.某商品现在的售价为每件元，每星期可卖出件．市场调查反映：如调整价格，每涨价元，每星期要少卖出件；每降价元，每星期可多卖出件．已知商品的进价为每件元，如何定价才能使利润最大？ 12.某商品的进价为每件元．当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理且经市场调查：每降价元，每星期可多卖出件．在确保盈利的前提下，若设每件降价元，每星期售出商品的利润为元，请求出与的函数关系式． 13.商场某种商品平均每天可销售件，每件盈利元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价元，商场平均每天可多售出件．设每件商品降价元．据此规律，请回答： 商场日销售量增加______ 件，每件商品盈利______ 元用含的代数式表示； 在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最大，最大利润是多少元？ 14.商场销售一种成本为元千克的水果，按元千克销售，每天可售出千克经过市场调查发现：每千克涨价元，每天的销售量就减少千克设售价为元千克，每天的销售量为千克，每天的销售利润为元 分别求出与，与的函数解析式； 当商场这种水果每天的销售利润为元时，求这种水果的售价； 当这种水果的售价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 15.红星公司销售一种成本为元件的产品，若月销售单价不高于元，一个月可售出万件；月销售单价每涨价元，月销售量就减少万件．其中月销售单价不低于成本．设月销售单价为单位：元，月销售量为单位：万件． 直接写出与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围； 当月销售单价是多少元时，月销售利润最大？最大利润是多少万元？ 为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款元．已知该公司捐款当月的月销售单价不高于元，月销售最大利润是万元，求的值．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$