第22章二次函数第12课时实际问题与二次函数(1)——图形面积2025-2026学年人教版 九年级上册数学暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第12课时实际问题与二次函数(1)——图形面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：矩形面积问题 【例1】 (人教九上P49探究1改编)用一根长为20 m的绳子，围成一个矩形，矩形的一边长为x m，面积为S m2. (1)S与x之间的函数关系式为　 　； (2)自变量x的取值范围是　 ； (3)求围成的矩形的最大面积. 解： 　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：动点面积问题 【例2】 如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，∠B＝90°.点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动的时间为x s，△PBQ的面积为y cm2. (1)求y与x之间的函数关系，直接写出自变量x的取值范围； (2)经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？ 解： 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一个直角三角形的两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为(    ) A. B. C. D. 2.设等边三角形的边长为，面积为，则与的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 3.在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么与之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 4.一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是(    ) A. B. C. D. 5.如图，在中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.用一根长为的木条做一个矩形窗框，如果长为，那么该窗框的面积与长之间的函数解析式为          化为一般形式． 7.已知一个菱形两条对角线的长的和为，设其中一条对角线的长为，菱形的面积为，则与之间的函数关系式为          ，自变量的取值范围是          ．   8.如图所示，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙墙足够长，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当           时，养鸡场的面积最大． 9.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动不与点重合，动点从点开始沿边向以的速度移动不与点重合如果、分别从、同时出发，那么经过____________秒，四边形的面积最小． 10.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园． 设矩形的长，则矩形的宽          ，故矩形的面积与之间的函数关系式为          ； 将中得到的关系式化为的形式为          ； 当          时，取最大值          ，故矩形花园的最大面积为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知直角三角形两条直角边的和等于，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 12.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为，菱形的面积单位：随其中一条对角线的长单位：的变化而变化． 请直接写出与之间的函数解析式当取何值时，菱形风筝的面积最大最大面积是多少 13.如图，利用一面墙墙的长度为，另三边用长的篱笆围成一个矩形场地，当的长是多少米时，场地的面积最大？ 14.如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 15.如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． 写出与的函数关系式上述函数是什么函数自变量的取值范围是什么 16.如图，某农户计划用长的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为． 若生物园的面积为，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？ 若要使生物园的面积最大，该怎样围？ 17.把一根长为的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为单位：，写出它的面积单位：与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 18.一幅长、宽的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为：设竖彩条的宽度为，图案中三条彩条所占面积为． 求与之间的函数关系式； 若图中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第12课时实际问题与二次函数(1)——图形面积 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 知识点1：矩形面积问题 【例1】 (人教九上P49探究1改编)用一根长为20 m的绳子，围成一个矩形，矩形的一边长为x m，面积为S m2. (1)S与x之间的函数关系式为　S＝－x2＋10x　； (2)自变量x的取值范围是　0＜x＜10　； (3)求围成的矩形的最大面积. 解：(3)S＝－x2＋10x＝－(x－5)2＋25. ∵－1<0，0<x<10， ∴当x＝5时，S有最大值，最大值为25. 答：围成的矩形的最大面积为25 m2. 　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：动点面积问题 【例2】 如图1－22－24－2，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，∠B＝90°.点P从点A开始沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动(不与点B重合)，点Q从点B开始沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动(不与点C重合).如果点P，Q分别从点A，B同时出发，设运动的时间为x s，△PBQ的面积为y cm2. (1)求y与x之间的函数关系，直接写出自变量x的取值范围； (2)经过几秒时，△PBQ的面积最大？最大值是多少？ 图1－22－24－2 解：(1)y＝S△PBQ＝(6－x)·2x＝－x2＋6x(0＜x＜6). (2)y＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9. ∵－1<0，0<x<6， ∴经过3 s时，△PBQ的面积最大，最大值是9 cm2. 一、选择题。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知一个直角三角形的两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  2.设等边三角形的边长为，面积为，则与的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：作出边上的高． 是等边三角形，边长为， ， 高为， ． 故选：． 作出三角形的高，利用直角三角形的性质及勾股定理可得高，利用三角形的面积底高，把相关数值代入即可求解． 此题主要考查了三角形的面积的求法，找到等边三角形一边上的高是难点，求出三角形的高是解决问题的关键． 3.在一个边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，如果设剩余部分的面积为，那么与之间的函数关系式是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 此题考查了根据实际问题列二次函数关系式，掌握根据实际问题列二次函数关系式的一般步骤是关键审清题意：找出实际问题中的已知量、未知量，将文字语言、图形语言转化为数学符号语言找出等量关系：找到已知量和变量间的关系，并用等式表示列函数关系式：设出表示变量的字母，把等量关系用含字母的代数式替换，并将关系式写成用自变量表示因变量的形式． 【解答】根据剩余部分的面积大正方形的面积挖去的小正方形的面积，得故选B． 4.一个直角三角形的两条直角边长的和为，其中一直角边长为，面积为，则与的函数解析式是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，得出两条直角边的长是解题关键．根据已知表示出两条直角边的长，再利用直角三角形的面积公式求出即可． 【解答】 解：根据一直角边长为，则另一条直角边为， 根据题意得：． 故选C． 5.如图，在中，，且，设直线截此三角形所得阴影部分的面积为，则与之间的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  二、填空题： 6.用一根长为的木条做一个矩形窗框，如果长为，那么该窗框的面积与长之间的函数解析式为          化为一般形式． 【答案】  【解析】略 7.已知一个菱形两条对角线的长的和为，设其中一条对角线的长为，菱形的面积为，则与之间的函数关系式为          ，自变量的取值范围是          ． 【答案】     8.如图所示，要建一个矩形的养鸡场，养鸡场的一边靠墙墙足够长，如果用长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，设养鸡场平行于墙的一边长为，当           时，养鸡场的面积最大． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查根据实际问题列二次函数关系式及二次函数的应用． 由条件可用含的式子表示出鸡场的宽，进而得到面积与的函数关系式，再利用二次函数的性质可求得答案． 【解答】 解：设养鸡场平行于墙的一边长为，，则宽为，设养鸡场的面积为， 根据题意可得， ， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 即当时，养鸡场的面积最大， 故答案为：． 9.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动不与点重合，动点从点开始沿边向以的速度移动不与点重合如果、分别从、同时出发，那么经过____________秒，四边形的面积最小． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法．根据等量关系“四边形的面积三角形的面积三角形的面积”列出函数关系求最小值． 【解答】 解：设、同时出发后经过的时间为，四边形的面积为， 则有： ． 当时，取得最小值． 故答案为：． 10.在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角两边足够长，用长的篱笆围成一个矩形花园． 设矩形的长，则矩形的宽          ，故矩形的面积与之间的函数关系式为          ； 将中得到的关系式化为的形式为          ； 当          时，取最大值          ，故矩形花园的最大面积为          ． 【答案】(1)（12-x） ;y＝x（12-x）  (2)y＝-（x-6）2＋36  (3)6;36;36  三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知直角三角形两条直角边的和等于，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大？最大值是多少？ 【答案】解：设一条直角边长是，则另一条直角边长是  设直角三角形的面积为，  则，即， 其图象对称轴为直线  当时，， 当两条直角边长都为时，这个直角三角形的面积最大，最大值是．  12.手工课上，小明准备做一个形状是菱形的风筝，这个菱形的两条对角线长度之和恰好为，菱形的面积单位：随其中一条对角线的长单位：的变化而变化． 请直接写出与之间的函数解析式 当取何值时，菱形风筝的面积最大最大面积是多少 【答案】(1)S=-+30x(0< x<60)  (2)当x取30时,菱形风筝的面积S最大,最大面积是.  13.如图，利用一面墙墙的长度为，另三边用长的篱笆围成一个矩形场地，当的长是多少米时，场地的面积最大？ 【答案】  14.如图，用一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】解：设这个矩形与墙平行的一边长为米，那么与墙垂直的边长为米，面积为平方米， 由题意得：， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时，米， 答：这个矩形的长为米，宽为米时，菜园的面积最大，最大面积为平方米．  【解析】设这个矩形与墙平行的一边长为米，那么与墙垂直的边长为米，由矩形的面积公式写出函数解析式，并根据函数的性质求出函数的最值以及矩形的长和宽． 本题考查二次函数的应用以及矩形的面积公式，关键是求出函数的解析式． 15.如图，矩形的长是，宽是，如果将其长与宽各增加，那么面积增加． 写出与的函数关系式 上述函数是什么函数 自变量的取值范围是什么 【答案】解： 二次函数   16.如图，某农户计划用长的篱笆围成一个“日”字形的生物园饲养两种不同的家禽，生物园的一面靠墙，且墙的可利用长度最长为． 若生物园的面积为，则这个生物园垂直于墙的一边长为多少？ 若要使生物园的面积最大，该怎样围？ 【答案】解：设这个生物园垂直于墙的一边长为， 由题意，得， 解得，不符合题意，舍去，， 答：这个生物园垂直于墙的一边长为； 设围成生物园的面积为． 由题意，得， 当时，，， 答：生物园垂直于墙的一边长为平行于墙的一边长为时，围成生物园的面积最大，且为．  【解析】设这个生物园垂直于墙的一边长为，表示出另外的边长，利用矩形的面积公式列出方程求解即可； 设围成生物园的面积为，表示出有关的二次函数即可求得最值． 本题主要考查二次函数及一元二次方程的实际应用能力，根据题意列出解析式是基础，配方是关键． 17.把一根长为的铁丝弯成一个矩形，设这个矩形的一边长为单位：，写出它的面积单位：与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围． 【答案】解：矩形的一边长为，周长是， 矩形的另一边长为， 矩形的面积． 矩形的两边长均大于， ，， ， 的取值范围是．  【解析】已知矩形的一边长为、周长是，因此可以用含的式子表示出另一边的长；已知矩形的长与宽，利用矩形的面积公式可列出函数关系式；根据线段的实际意义，线段的长应大于，由此可确定的取值范围． 此题考查的是根据实际问题列二次函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 18.一幅长、宽的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为：设竖彩条的宽度为，图案中三条彩条所占面积为． 求与之间的函数关系式； 若图中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度． 【答案】解：横、竖彩条的宽度比为：，竖彩条的宽度为， 横彩条的宽度为， 图案中三条彩条所占面积， 即． 依题意得：， 整理得：， 解得：，， 当时，； 当时，，不符合题意，舍去． 答：横彩条的宽度为，竖彩条的宽度为．  【解析】根据横、竖彩条的宽度之间的关系，可得出横彩条的宽度为，利用长方形的面积计算公式，即可找出与之间的函数关系式； 根据图中三条彩条所占面积是图案面积的，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，将其代入中取其符合题意的值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数的应用，解题的关键是：根据各数量之间的关系，找出与之间的函数关系式；找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$