第22章二次函数第11课时用待定系数法求二次函数的解析式(2)——顶点式与交点式 - 2025-2026学年人教版 九年级上册数学暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第11课时用待定系数法求二次函数的解析式(2)—顶点式与交点式 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1. 顶点式： 已知抛物线的顶点坐标(h，k)及抛物线上的一个点的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k., 1. 已知抛物线的顶点坐标为(2，－1)，则可设抛物线的解析式为y＝　 　，如果此抛物线经过点(0，0)，那么此抛物线的解析式为　　 　　　. 二. 交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2). 2. 已知抛物线与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则可设这条抛物线的解析式为y＝ 　　，如果此抛物线经过点(0，3)，那么此抛物线的解析式为　 　　. 知识点1：已知顶点和另外一点 【例1】 已知抛物线的顶点坐标为(3，3)，且点(2，－2)在抛物线上，求该抛物线的解析式. 知识点2：已知一点和可以转化为顶点的条件 【例2】已知二次函数的图象经过点(0，1)，对称轴为直线x＝3，函数的最小值为－2，求此函数的解析式. 知识点3：已知与x轴的交点和另外一点 【例3】 已知抛物线经过点A(－4，0)，B(－2，6)，C(1，0)，求这个抛物线的解析式. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过点，则二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 2.抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 3.顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为    ． A. B. C. D. 4.已知二次函数的图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和，则函数解析式为． A. B. C. D. 5.已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 二、填空题： 6.已知一个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和，与轴的交点坐标为，则该二次函数的解析式为________． 7.已知二次函数的图象经过，对称轴为直线，抛物线与轴两交点的距离为，则这个二次函数的解析式为          ． 8.抛物线的顶点坐标为，与轴交点为，则抛物线的解析式为_______________． 9.若抛物线与轴的两交点的横坐标分别是和，与轴交点的纵坐标是则抛物线的解析式为________． 10.一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为          ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 12.已知抛物线的顶点坐标是，并且经过点，求它的解析式． 13.已知抛物线经过点，，且函数有最小值． 写出抛物线的顶点坐标；求抛物线的解析式． 14.已知函数，它的顶点坐标为，与交于点，求、的函数解析式． 15.已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． 求该二次函数的解析式； 若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 16.二次函数图象与轴的交点坐标为，，与轴交点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式． 17.已知二次函数的图象与轴有两个交点，其中一个交点坐标是，对称轴是直线，且函数的最值是．求另一个交点的坐标．求出该二次函数的关系式． 18.已知，抛物线．    抛物线的开口向   ，顶点坐标为   ，对称轴是直线   ；    求抛物线与轴的交点坐标；    若，根据图像直接写出的取值范围：   ． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第11课时用待定系数法求二次函数的解析式(2)—顶点式与交点式 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 1. 顶点式： 已知抛物线的顶点坐标(h，k)及抛物线上的一个点的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a(x－h)2＋k., 1. 已知抛物线的顶点坐标为(2，－1)，则可设抛物线的解析式为y＝　a(x－2)2－1　，如果此抛物线经过点(0，0)，那么此抛物线的解析式为　　y＝(x－2)2－1　　. 二. 交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为y＝a(x－x1)(x－x2). 2. 已知抛物线与x轴的交点为(1，0)和(3，0)，则可设这条抛物线的解析式为y＝　a(x－1)(x－3)　，如果此抛物线经过点(0，3)，那么此抛物线的解析式为　y＝x2－4x＋3　. 知识点1：已知顶点和另外一点 【例1】 已知抛物线的顶点坐标为(3，3)，且点(2，－2)在抛物线上，求该抛物线的解析式. 解：设该抛物线的解析式为y＝a(x－3)2＋3. 将点(2，－2)代入上式，得－2＝a·(2－3)2＋3. 解得a＝－5. ∴该抛物线的解析式为y＝－5(x－3)2＋3. 　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点2：已知一点和可以转化为顶点的条件 【例2】已知二次函数的图象经过点(0，1)，对称轴为直线x＝3，函数的最小值为－2，求此函数的解析式. 解：根据题意，得此函数图象的顶点坐标为(3，－2). 设此函数的解析式为y＝a(x－3)2－2. 将(0，1)代入上式，得1＝a·(0－3)2－2.解得a＝. ∴此函数的解析式为y＝(x－3)2－2.,　 知识点3：已知与x轴的交点和另外一点 【例3】 已知抛物线经过点A(－4，0)，B(－2，6)，C(1，0)，求这个抛物线的解析式. 解：设这个抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1). 将B(－2，6)代入上式，得a·(－2＋4)·(－2－1)＝6. 解得a＝－1. ∴这个抛物线的解析式为y＝－(x＋4)(x－1)＝－x2－3x＋4. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数的图象的顶点坐标为，且抛物线过点，则二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：设这个二次函数的解析式为 二次函数的图象的顶点坐标为， 二次函数的解析式为， 把代入得， 该二次函数的解析式为． 故选C． 本题主要考查待定系数法求二次函数的解析式． 根据二次函数的顶点式求解即可． 2.抛物线的顶点坐标为，且经过点，则抛物线的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  3.顶点坐标为，开口方向和大小与抛物线相同的解析式为    ． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 此题考查了待定系数法求二次函数解析式，及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键根据抛物线与已知抛物线形状开口相同，确定出，再由顶点坐标，写出顶点形式即可． 【解答】 解：设抛物线解析式为 抛物线与抛物线的开口方向和大小相同， 所以， 由题意可知：， 抛物线的解析式为 故选C． 4.已知二次函数的图象与轴交点坐标为，与轴交点坐标为和，则函数解析式为． A. B. C. D. 【答案】B  【解析】【分析】 本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在已知抛物线与轴的交点情况下，通常用交点式设二次函数的解析式． 根据抛物线与轴的交点坐标设出，抛物线的解析式为：再把代入，求出的值，即可得出二次函数的解析式． 【解答】 解：设抛物线的解析式为：， 把代入解析式得， 解得， 则抛物线的解析式为： ． 故选B． 5.已知抛物线与轴交点的横坐标为和，且过点，它对应的函数解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：抛物线与轴交点的横坐标为和， 抛物线的解析式可设为， 把代入得， 解得， 抛物线的解析式可设为， 即． 故选：． 设交点式，然后把代入求出，从而得到抛物线解析式． 本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了待定系数法求二次函数的解析式． 二、填空题： 6.已知一个二次函数的图象与轴的两个交点的坐标分别为和，与轴的交点坐标为，则该二次函数的解析式为________． 【答案】  【解析】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得． 所以抛物线解析式为，即． 故答案为． 由于已知抛物线与轴的交点坐标，则可设交点式，然后把代入求出即可． 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 7.已知二次函数的图象经过，对称轴为直线，抛物线与轴两交点的距离为，则这个二次函数的解析式为          ． 【答案】  【解析】略 8.抛物线的顶点坐标为，与轴交点为，则抛物线的解析式为_______________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，设出抛物线的顶点式，利用待定系数法求出值是解题的关键． 由抛物线的顶点坐标，可设抛物线的解析式为，代入后可求出的值，进而可得出抛物线的解析式． 【解答】 解：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为． 故答案为：． 9.若抛物线与轴的两交点的横坐标分别是和，与轴交点的纵坐标是则抛物线的解析式为________． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，同时还考查了方程的解法等知识，难度不大．设解析式为，把的值代入解析式求出即可． 【解答】 解：抛物线与轴的两交点的横坐标分别是和，  与轴交点的纵坐标是 ， 解得， ． 故答案为． 10.一个二次函数的图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为          ． 【答案】或  【解析】略 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 11.已知某抛物线的顶点坐标为，且经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】解：设该抛物线的解析式为，将点代入，得  ，解得，该抛物线的解析式为．  12.已知抛物线的顶点坐标是，并且经过点，求它的解析式． 【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式为， 抛物线经过点， ， 解得， ， 抛物线的解析式为．  【解析】根据已知设出抛物线的解析式，把点代入即可求得的值，即可求得抛物线的解析式． 本题考查待定系数法求二次函数解析式． 13.已知抛物线经过点，，且函数有最小值． 写出抛物线的顶点坐标； 求抛物线的解析式． 【答案】(1)解：顶点坐标为；  (2)设解析式为. 在抛物线上，，解得， 抛物线的解析式为.   14.已知函数，它的顶点坐标为，与交于点，求、的函数解析式． 【答案】解：根据题意，设抛物线的解析式， 抛物线经过点， ，解得， 抛物线的解析式为． 把代入得，解得， 的函数解析式为．  【解析】根据已知设出抛物线的解析式，把代入即可求得的值，即可求得的函数解析式；把代入即可求得的值，即可求得的函数解析式． 本题考查了待定系数法求抛物线的解析式和直线的解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 15.已知二次函数图象的顶点坐标是，且过点． 求该二次函数的解析式； 若函数值随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)由题意，得解得∴该二次函数的解析式为  (2)当x＜－4时，函数值y随x的增大而增大  16.二次函数图象与轴的交点坐标为，，与轴交点的纵坐标为，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设二次函数解析式为由题意，得抛物线与轴的交点坐标为，把代入解析式，得，解得，二次函数的解析式为．  17.已知二次函数的图象与轴有两个交点，其中一个交点坐标是，对称轴是直线，且函数的最值是． 求另一个交点的坐标． 求出该二次函数的关系式． 【答案】解：二次函数的图象与轴有两个交点，其中一个交点坐标是，对称轴是直线， 另一个交点的坐标为：； 设抛物线解析式为：， 故， 解得：， ．  【解析】根据抛物线对称性得出抛物线与坐标轴另一个交点的坐标即可； 利用交点式以及利用函数的最值得出抛物线解析式． 此题主要考查了抛物线解析式求法以及二次函数的对称性，利用二次函数对称性得出另一交点坐标是解题关键． 18.已知，抛物线．    抛物线的开口向   ，顶点坐标为   ，对称轴是直线   ；    求抛物线与轴的交点坐标；    若，根据图像直接写出的取值范围：   ． 【答案】解：上；；； 根据题意可得， 解得或， 交点坐标是，； ．  【解析】【分析】 本题主要考查了二次函数，关键是熟练掌握二次函数的性质． 根据确定开口方向，根据顶点式形式确定顶点坐标和对称轴即可； 根据抛物线与轴相交可得，解方程即可； 根据抛物线的交点可得取值范围． 【解答】 解：， 抛物线的开口方向向上，顶点坐标是，对称轴是直线． 故答案为上；；； 见答案； 根据图像可得时有． 故答案为． 19.本小题分 如图，抛物线经过点，，且对称轴是直线． 求该抛物线的解析式； 求该抛物线的顶点坐标及与轴另一交点坐标； 怎样平移该抛物线，可以使平移后的抛物线经过原点． 【答案】解：设该抛物线解析式为，由， 得                 ，      解得       该抛物线的解析式为， 该抛物线的顶点坐标为，   令即， 解得   ，   抛物线与轴另一交点坐标是， 将该抛物线沿着轴向下平移个单位长度得到的抛物线经过原点．  【解析】本题考查了二次函数的性质以及待定系数法求二次函数的解析式以及抛物线的平移，掌握二次函数的性质是解决问题的关键． 根据顶点式求出二次函数的解析式即可． 根据二次函数和一元二次方程的关系即可求解； 根据抛物线的平移规律即可解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$