第22章二次函数第10课时用待定系数法求二次函数的解析式(1)——一般式 - 2025-2026学年人教版九年级数学上册暑假预习课

暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第10课时用待定系数法求二次函数的解析式(1)——一般式 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 已知二次函数图象上三点的坐标求二次函数的解析式的方法： (1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)代入三点坐标，列出方程组； (3)求出a，b，c的值，并写出二次函数的解析式. 例题演示：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，－1)，(－1，5)和(0，3)，求抛物线的解析式. 解：将点(1，－1)，(－1，5)和(0，3)代入解析式y＝ax2＋bx＋c，得 解得 ∴抛物线的解析式为　y＝－x2－3x＋3　. 知识点1：已知对称轴是y轴 【例1】已知抛物线y＝ax2. (1)若抛物线经过点(1， 4)，则抛物线的解析式为　　y＝4x2　　； (2)若抛物线经过点(4，－2)，则抛物线的解析式为　　y＝－x2　　. 知识点2：已知a，b，c中任一字母的值 【例2】已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，2)和(1，－1)，求该抛物线的解析式. 解：将(0，2)，(1，－1)代入y＝x2＋bx＋c，得 解得 ∴该抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2. 知识点3：已知抛物线上的三点 【例3】(人教九上P39探究改编)如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y＝ax2＋bx＋c. 根据题意，得解得 ∴这个二次函数的解析式为y＝2x2－3x＋5.,　 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数的图象经过点，和，则该二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查了用待定系数法求二次函数解析式的方法，同时还考查了方程组的解法等知识．已知二次函数图象经过的三点坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【解答】  解：设所求函数的解析式为， 把，，分别代入，得 解得 所以所求函数的解析式为． 故选D． 2.将二次函数化为一般式，下列正确的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：， 故选：． 通过去括号、合并同类项对等式的右边进行变形处理即可． 本题主要考查二次函数的三种形式，解答本题的关键要明确：一般式：、、为常数；顶点式：；交点式与轴： 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 3.已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式． 【答案】解：将点和代入抛物线中， 得解得 抛物线的解析式为．   4.已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 【答案】解：根据题意，得 解得 抛物线的解析式为．   5.若抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 【答案】解：抛物线的解析式为，即．  【解析】见答案 6.若二次函数图象的顶点是，且经过点，求此函数的解析式． 【答案】解：设此函数的解析式为，将代入，得， ， 此函数的解析式为， 即．   7.已知二次函数的图象经过点，，与轴正半轴交于点，且，求二次函数的解析式． 【答案】解：该图象的对称轴为， 又，，， ，，解得 所求解析式为．   8.分别求出符合下列条件的抛物线的解析式： 经过点； 与开口大小相同，方向相反． 【答案】(1)解：∵y＝ax2过点（-3，2），∴2＝a×（-3）2，则．∴抛物线的解析式为．  (2)∵y＝ax2与抛物线开口大小相同，方向相反，∴．∴抛物线的解析式为．  9.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 【答案】解：设二次函数的解析式为函数图象经过，，三点，解得这个二次函数的解析式为．  10.已知二次函数，当时，当时，当时，求这个二次函数的解析式． 【答案】解： 依题意得       解得 二次函数解析式为．   【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式． 将与的三对值代入计算求出，，的值即可． 11.抛物线经过点，顶点在直线上．求抛物线的解析式． 【答案】解：抛物线经过点和， 对称轴为，即顶点的横坐标为，把代入中可得，． 设抛物线解析式为，将代入可得，， 二次函数的解析式为．  12.已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 【答案】解：将点代入抛物线中，得， 解得， 抛物线的解析式为．   13.已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 【答案】解：根据题意，得解得抛物线的解析式为．  14.已知抛物线经过点，，求抛物线的解析式． 【答案】解：把，代入，得解得抛物线的解析式为．  15.已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线对应的函数解析式． 【答案】将，代入，得解得抛物线对应的函数解析式为  16.已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式． 判断点是否在此抛物线上． 求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 【答案】解：抛物线经过点， ， ． 此抛物线的函数解析式为． 把代入得， 所以点不在此抛物线上； 把代入得，解得，， 所以纵坐标为的点的坐标为或．  【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 根据二次函数图象上点的坐标满足其解析式，把点坐标代入解析式得到关于的方程，然后解方程即可． 将代入抛物线的解析式，求出对应的值即可判断； 把代入抛物线的解析式，求出的值，即可得到点的坐标． 17.如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． 求此抛物线的解析式 求点和点的坐标 若点在第一象限内的抛物线上，且，求点的坐标． 【答案】解：由点和点得， ， 解得：， 抛物线的解析式为； 令，则， ， ， ； 设，，，， ， ， ， 解得：不合题意，舍去，， ．  【解析】本题考查了抛物线与轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积，解题的关键是：根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；利用二次函数性质求出顶点的坐标；根据三角形的面积公式结合，求出点的纵坐标． 根据点、的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式； 代入求出值，由此可得出点的坐标，根据抛物线的解析式，利用二次函数的性质即可求出顶点的坐标； 设点的坐标为，根据三角形的面积公式结合，，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再代入值求出值，取其正值即可得出结论． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暑假预习课-人教版2025-2026学年度第一学期九上数学第22章二次函数第10课时用待定系数法求二次函数的解析式(1)——一般式 学校:___________姓名：___________班级：___________用时：___________ 已知二次函数图象上三点的坐标求二次函数的解析式的方法： (1)设函数解析式为y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)； (2)代入三点坐标，列出方程组； (3)求出a，b，c的值，并写出二次函数的解析式. 例题演示：已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(1，－1)，(－1，5)和(0，3)，求抛物线的解析式. 解：将点(1，－1)，(－1，5)和(0，3)代入解析式y＝ax2＋bx＋c，得： ∴抛物线的解析式为　 　. 知识点1：已知对称轴是y轴 【例1】已知抛物线y＝ax2. (1)若抛物线经过点(1， 4)，则抛物线的解析式为　　 　； (2)若抛物线经过点(4，－2)，则抛物线的解析式为　　 　　. 知识点2：已知a，b，c中任一字母的值 【例2】已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点(0，2)和(1，－1)，求该抛物线的解析式. 知识点3：已知抛物线上的三点 【例3】(人教九上P39探究改编)如果一个二次函数的图象经过(－1，10)，(1，4)，(2，7)三点，求这个二次函数的解析式. 一、选择题：在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知二次函数的图象经过点，和，则该二次函数的解析式为(    ) A. B. C. D. 2.将二次函数化为一般式，下列正确的是(    ) A. B. C. D. 3.已知抛物线经过点和，求抛物线的解析式．   4.已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 5.若抛物线经过，两点，求这条抛物线的解析式． 6.若二次函数图象的顶点是，且经过点，求此函数的解析式．   7.已知二次函数的图象经过点，，与轴正半轴交于点，且，求二次函数的解析式． 8.分别求出符合下列条件的抛物线的解析式： 经过点； 与开口大小相同，方向相反． 9.已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式． 10.已知二次函数，当时，当时，当时，求这个二次函数的解析式． 11.抛物线经过点，顶点在直线上．求抛物线的解析式． 12.已知抛物线过点，求抛物线的解析式． 13.已知抛物线过，，三点，求该抛物线的解析式． 14.已知抛物线经过点，，求抛物线的解析式． 15.已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点，求抛物线对应的函数解析式． 16.已知抛物线经过点． 求此抛物线的函数解析式． 判断点是否在此抛物线上． 求出抛物线上纵坐标为的点的坐标． 17.如图，已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接交抛物线的对称轴于点，是抛物线的顶点． 求此抛物线的解析式 求点和点的坐标 若点在第一象限内的抛物线上，且，求点的坐标． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$