精品解析：湖南省湘潭市湘钢一中教育集团十二中校区2023-2024学年七年级上学期期中考试数学试卷

2023年下学期湘钢一中教育集团十二中校区期中调研 七年级年级数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是二元一次方程是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 5. 我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题：“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个”，大意为：100匹马拉100片瓦，已知1个大马拖3片瓦，3匹小马拖一片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设有m匹大马，n匹小马，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 分解因式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 7. 若是完全平方式，则m的值是（　　） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 4或 8. 对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算： 当时，的值（ ） A 1 B. C. 2 D. 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解： ________． 10. 计算：______． 11 计算：__________． 12. 已知__________． 13. 如果3x3m﹣2﹣2y2+n+10=0是二元一次方程，那么mn=　 __________ 14. 若，则__________． 15. 已知，，，请将，，按照从小到大的顺序排列______． 16. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是64，则阴影部分的面积是________． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程组： （1）． （2）． 18. 计算： （1）． （2）． 19. 使用简便计算： （1）． （2）． 20. 因式分解： （1）． （2）． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 在解方程组时，哥哥正确地解得弟弟因把c写错而解得，求的值． 23. （1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 24. 阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 25. 目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 26. 方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： （1）对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； （2）对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； （3）对于多项式，用“试根法”分解因式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023年下学期湘钢一中教育集团十二中校区期中调研 七年级年级数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、选择题（本大题8个小题，每小题只有一个选项符合题意，每小题3分，共24分） 1. 下列方程中，是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二元一次方程的定义，判定解答即可． 本题考查二元一次方程的定义，需满足两个未知数、次数均为1且为整式方程． 【详解】解：A. 是二元二次方程，不符合题意； B. 是二元一次方程，符合题意； C. 不是二元一次方程，不符合题意； D. 不二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，同底数幂的除法运算，合并同类项，幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】A：，故本选项符合题意； B：，故本选项不符合题意； C：，故本选项不符合题意； D：，故本选项不符合题意； 故选：A． 3. 下面式子从左边到右边的变形中是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，熟知其定义是解题的关键． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式即可． 【详解】解：A：选项左边是二项式的平方，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B：选项右边为，仍为多项式与常数的差，未形成积的形式，不是因式分解，故该选项不符合题意； C：选项左边为，右边分解为，验证乘积展开后等于左边，符合因式分解的定义，故该选项符合题意； D：选项左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 下列能用平方差公式计算的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断所给式子能否写成两数之和乘以相同两数之差的形式即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、，不能用平方差公式计算，故本选项不合题意； C、，不能用平方差公式计算，故本选项不合题意； D、，能用平方差公式计算，故本选项符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查平方差公式，能熟记平方差公式是解题的关键． 5. 我国古代数学名著《孙子算经》记载一道题：“一百马，一百瓦，大马一个拖三个，小马三个拖一个”，大意为：100匹马拉100片瓦，已知1个大马拖3片瓦，3匹小马拖一片瓦，问有多少匹大马，多少匹小马？若设有m匹大马，n匹小马，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了古籍中的方程组，熟练掌握方程组的布列是解题的关键．设有m匹大马，n匹小马，根据题意，联立方程组即可． 【详解】解：设有m匹大马，n匹小马， 根据题意，得． 故选：D． 6. 分解因式的正确结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】提取公因式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式是解题的关键． 【详解】解： ． 故选：B． 7. 若是完全平方式，则m的值是（　　） A. 2 B. 4 C. 2或 D. 4或 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴，解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用． 8. 对于任何实数，我们规定符号的意义是：．按照这个规定请你计算： 当时，的值（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据行列式的定义展开并化简表达式，再利用已知方程进行整体代入求值． 本题考查了新定义计算，求代数式的值，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： ， 由得， 故， 故选：A ． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 9. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 分析】本题考查了因式分解-提公因式法， 原式提取公因式即可得到结果． 【详解】解∶原式， 故答案为∶ ． 10. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方运算法则即可求解，掌握积的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键； 根据单项式的乘法法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 12. 已知__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，熟练掌握平方差公式的形式及用法是解题的关键．本题可根据平方差公式对进行变形，再将已知条件代入变形后的式子进行计算． 【详解】解：根据平方差公式， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如果3x3m﹣2﹣2y2+n+10=0是二元一次方程，那么mn=　 __________ 【答案】-1 【解析】 【详解】分析: 二元一次方程满足的条件：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程. 详解: 依题意得：3m-2=1，2+n=1， 解得m=1，n=-1， 所以mn=-1． 故答案是：-1． 点睛: 主要考查二元一次方程的概念，要求熟悉二元一次方程的形式及其特点：含有2个未知数，未知数的项的次数是1的整式方程. 14. 若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式的展开与比较，以及对应项系数的比较，熟练掌握代数式的展开和对应项系数的比较方法是解题的关键．这道题是一个代数式等式问题，需要找到的值，使得等于，可以通过展开，比较两边的对应项来找到的值． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴ ， 比较的系数，得到 ， 故答案为：． 15. 已知，，，请将，，按照从小到大的顺序排列______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用，由，，，然后根据即可求解，掌握幂的乘方运算法则是解题的关键． 【详解】解：由，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，大正方形与小正方形面积之差是64，则阴影部分的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 故阴影部分的面积是： ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查平方差公式与几何图形和三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键． 三、解答题（共72分） 17. 解下列方程组： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法，包括代入法和消元法，熟练掌握这两种方法是解题的关键． （1）通过代入法求解，即把方程中的一个变量用另一个变量表示，然后代入另一个方程求解． （2）通过消元法或者代入法来求解，这里选择消元法，即通过两个方程组合消去一个变量，从而求得另一个变量的值． 【小问1详解】 解： ∵将方程代入方程， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将 代入方程， ∴， ∴， ∴原方程组的解为 【小问2详解】 解： ∵将方程乘以3，方程乘以1后相加， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵将 代入方程， ∴， ∴， 原方程组的解为 18. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了同底数的乘法，幂的乘方，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算同底数的乘法，幂的乘方，然后合并即可； （2）首先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，然后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 19. 使用简便计算： （1）． （2）． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的形式及适用条件是解题的关键． （1）可将和转化为与有关的形式，再利用平方差公式计算； （2）将转化为的形式，再利用完全平方公式计算． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： 20. 因式分解： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． （1）先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可； （2）首先利用平方差公式分解，然后提公因式2即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】首先，需要展开和化简给定的代数式．然后，利用给定的条件将化简后的代数式进一步简化，并求出最终的值．本题主要考查了代数式的化简与求值，以及完全平方公式及整式的混合运算，熟练掌握代数式的展开与合并同类项，以及利用给定条件进行代数式的简化是解题的关键． 【详解】解： ∵ ， ∴ ， 代入 可得： 22. 在解方程组时，哥哥正确地解得弟弟因把c写错而解得，求的值． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键．把两个解代入方程组得出三个方程，组成方程组，求出方程组的解，代入即可求出答案． 【详解】解：∵哥哥正确地解得，弟弟因把写错而解得， ∴代入得：， 即， 解方程②得：， 得：， 把代入①得：， 解得：， ∴． 23. （1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方和积的乘方运算法则，以及代数式的化简和求值，熟练掌握幂的乘方和积的乘方运算法则是解题的关键． (1) 对于第一个问题，需要将表示为的幂次形式，然后利用已知条件，求出的值． (2) 对于第二个问题，需要利用幂的乘方和积的乘方运算法则，将化简为与有关的表达式，然后利用已知条件求出最终结果． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， (2)∵，， ∴， 又∵， ∴原式． 24. 阅读下列材料并解答后面的问题： 完全平方公式，通过配方可对进行适当的变形，如或，从而使某些问题得到解决． 例：已知，求的值． 解：． 通过对例题的理解解决下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）10 （2）34 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方的变形求值，正确理解题意熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据进行求解即可； （2）根据进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ． 25. 目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为和的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元，购买瓶甲和瓶乙免洗手消毒液需要元． （1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价． （2）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为和的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量． 【答案】（1）甲：元瓶，乙元瓶；（2）的瓶，的瓶使损耗最小． 【解析】 【分析】（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元，根据“购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶，根据需将9.6L的免洗手消毒液进行分装且分装时平均每瓶需损耗20ml，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数即可得出各分装方案，选择（m+n）最小的方案即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲种免洗手消毒液单价为x元，乙种免洗手消毒液的单价为y元， 依题意，得： 解得， 答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元． （2）设分装300ml的免洗手消毒液m瓶，500ml的免洗手消毒液n瓶， 依题意，得：300m+500n+20（m+n）=9600， ， ∵m，n均为正整数， ∴和， ∵要使分装时总损耗20（m+n）最小， ∴． 即分装时需300ml的空瓶4瓶，500ml的空瓶16瓶，才能使总损耗最小． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 26. 方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： （1）对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； （2）对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； （3）对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】（1）±2 （2）a=0，b=-3； （3） 【解析】 【分析】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【小问1详解】 解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； 【小问2详解】 解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； 【小问3详解】 解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【点睛】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$