2-1函数及其表示考点突破讲义-2026届高三数学一轮复习

学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 1 页 共 22 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点突破》2-1 函数及其表示 目录 三年高考命题解读 ............................................................................ 2 核心知识 考点梳理 ........................................................................... 2 一、函数的有关概念 ...................................................................... 2 二、函数的定义域 ........................................................................ 3 三、函数的解析式 ........................................................................ 3 四、函数值域 ............................................................................ 4 真题感悟 明察考情 ........................................................................... 4 考点题型 疑难解惑 ........................................................................... 5 考点 1 函数关系的判断 ....................................................................... 5 题型精讲 方法探究 ....................................................................... 5 命题点 1 判断是否是函数 ............................................................. 5 命题点 2 判断两个函数是否是相同函数 ................................................. 6 方法提炼 思维升华 ....................................................................... 7 举一反三 熟能生巧 ....................................................................... 7 考点 2 函数定义域 ........................................................................... 9 题型精讲 方法探究 ....................................................................... 9 命题点 1 求具体函数的定义域 ......................................................... 9 命题点 2 求抽象函数的定义域 ......................................................... 9 命题点 3 已知定义域求参数范围 ...................................................... 10 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 11 考点 3 求函数解析式 ........................................................................ 14 题型精讲 方法探究 ...................................................................... 14 命题点 1 待定系数法(函数类型确定) .................................................. 14 命题点 2 换元法或配凑法(适用于 f g(x) 型，注意定义域) ................................ 14 命题点 3 构造方程组法 .............................................................. 15 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 15 考点 4 函数值与函数值域 .................................................................... 16 题型精讲 方法探究 ...................................................................... 16 命题点 1 求函数值 ................................................................. 16 命题点 2 二次函数值域 ............................................................. 17 命题点 3 分式型函数值域 ........................................................... 17 命题点 4 根式型函数值域 ........................................................... 18 命题点 5 根据值域求参数或参数范围 ................................................. 18 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 18 考点 5 分段函数 ............................................................................ 19 方法提炼 思维升华 ...................................................................... 19 题型精讲 方法探究 ...................................................................... 20 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 21 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 2 页 共 22 页 三年高考命题解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 定义域 2022 北京卷 求具体函数的定义域。 函数值 2024上海卷、2023北京卷、 求函数值；已知函数值求字母。 值域 2025 北京卷、2023 上海卷 函数定义域、值域与充要条件； 核心知识 考点梳理 一、函数的有关概念 1.函数定义：一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意 一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数， 记作 y＝f(x)，x∈A． 注意：判断一个对应关系是否为函数的方法 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数 ( ),y f x x A  中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做函数的定义域； (2)与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然， �(�) � ∈ � ⊆ B． (3)函数的对应关系(解析式)： ( ),y f x x A  . 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 两个函数相等，也就是说这两个函数是相同的。 4.函数的表示法：解析法、列表法、图象法. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 3 页 共 22 页 解析法(最常用) 图象法(解题助手) 列表法 用一个代数式 y = f(x)表示变量 x，y 之 间的关系，通过关系式可以由 x 的值求 出 y的值. 把 x，y之间的关系绘制成图象，图象上 每个点的坐标就是相应的变量 x，y的值. 就是将变量 x，y的取值列成表格，由表 格直接反映出两者的关系. 一般情况下，须注明定义域 选取的自变量值要有代表性，应能反映 定义域的特征 注意定义域对图象的影响；须清楚函数 图象是“点”还是“线” 二、函数的定义域 1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见初等函数定义域的要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于 1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切 tany x 的定义域是 ,x x R 且x ≠ kπ + π2 , k ∈ Z ； (6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.区间： 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋ 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3.复合函数的定义域 (1)若已知 f(x )的定义域为[a，b]，则 f g(x) 的定义域为不等式 a≤g(x)≤b的解集； (2)已知 f g(x) 的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为函数 y＝g(x)(x∈ �, � )的值域. 三、函数的解析式 1.求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为 f g(x) 时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含 x的式子配成 g(x)，用配凑法。若易换元后求出 x，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现同时含有 ( )f x 与 f( 1 x )的等式或同时含有 ( )f x ， ( )f x 的等式时，则常用解方程组法构造另 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 4 页 共 22 页 一个方程，消元的方法求出 f(x)。 2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 四、函数值域 求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如 y = cx+d �x+b ( 0a  )的函数分离常数，变形过程为：cx+d �x+b = c �(��+�)+d− bc � ��+� = c � + d−bc� ��+� ， 再结合 x的取值范围确定d− bc � ��+� 的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法： 如：f(x) = �� + � + �� + �(�� ≠ 0)，可以令 t = cx + d(t ≥ 0)，得到 x = t 2−d c ， 从而函数可以化为 f(x) = g(t) = �(� 2−�) c + t + b(t ≥ 0)，即关于 t的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意 t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)反解法 (5)数形结合法 (6)单调性法 (7)求导法 【常用结论】 1.直线 x＝a与函数 y＝f(x)的图象至多有 1个交点． 2.在函数的定义中，非空实数集 A，B，其中 A即为函数的定义域，值域为 B的子集． 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 4.y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于 f与 x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． 真题感悟 明察考情 1.(2025 北京卷 T7)已知函数 ( )f x 的定义域为 D，则“函数 ( )f x 的值域为R ”是“对任意 RM  ，存在 0x D ， 使得  0f x M ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由函数值域的概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解】若函数 ( )f x 的值域为R ，则对任意 RM  ，一定存在 1x D ，使得  1 1f x M  ， 取 0 1x x ，则  0 1f x M M   ，充分性成立； 取 ( ) 2xf x  ， RD  ，则对任意 RM  ，一定存在 1x D ，使得  1 1f x M  ， 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 5 页 共 22 页 取 0 1x x ，则  0 1f x M M   ，但此时函数 ( )f x 的值域为  0,  ，必要性不成立； 所以是充分不必要条件.故选：A. 2．(2024 上海卷 T2)已知   , 0 , 1, 0 x xf x x     则  3f  ． 【答案】 3【分析】利用分段函数的形式可求  3f . 【解】因为   , 0, 1, 0 x xf x x     故  3 3f  ，故答案为： 3 . 3.(2023 北京卷 T11)已知函数 2( ) 4 log xf x x  ，则 f( 1 2 ) = ． 【答案】1【分析】根据给定条件，把 12x  代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解】函数 2( ) 4 log xf x x  ，所以 1 2 2 1 1( ) 4 log 2 1 1 2 2 f      ；故答案为：1 4.(2023上海卷)已知函数 ( ) 2 1xf x   ，且 g(x) = log2(x + 1), x ≥ 0, f( − x), x < 0,则方程 ( ) 2g x  的解为 ． 【解】当 x ≥ 0时， 2( ) 2 log ( 1) 2g x x    ，解得 3x  ； 当 0x  时， ( ) ( ) 2 1 2xg x f x     ，解得 0x  (舍 )；所以 ( ) 2g x  的解为： 3x  ．故答案为： 3x  ． 5.(2022北京卷 T11)函数 1( ) 1f x x x    的定义域是_________． 【答案】( − ∞,0) ∪ (0, 1 【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【解】因为   1 1f x x x    ，所以 1 0 0 x x     ，解得 1x  且 0x  ， 故函数的定义域为( − ∞,0) ∪ (0, 1 ；故答案为：( − ∞,0) ∪ (0, 1 考点题型 疑难解惑 题型精讲 方法探究 命题点 1 判断是否是函数 【例 1-1】(多选)集合    0 4 , 0 4P x x Q y y     ∣ ∣ ，下列图象能表示集合 P到集合Q的函数关系的有( ) A． B． C． D． 【答案】BD【解】对于 A选项，其定义域是 0,2 ，不是 P，故 A错误； 对于 B选项，其定义域是  0, 4 P ，值域 0, 2 Q ，故 B正确； 对于 C选项，其与函数定义相矛盾，故 C错误； 对于 D选项，其定义域是  0, 4 P ，显然值域包含于集合Q，故 D正确；故选：BD. 【例 1-2】(多选)对于集合  | 0 2A x x   ，  | 0 3B y y   ，由下列图形给出的对应中，不能构成从A到 B的函数有( )个 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 6 页 共 22 页 A． B． C． D． 【答案】ABC【解】对于 A，集合 A中有一部分 x值没有与之对应的 y值，A不能构成函数； 对于 BC，存在垂直于 x的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于 D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数.故选：ABC 【例 1-3】(2024广东佛山二模)如图，△ ���是边长为 2的正三角形，记△ ���位于直线� = �(0 ≤ � ≤ 2)左 侧的图形的面积为� � ．则函数� = � � 的大致图象是( ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】结合图形，分类讨论 0 < � ≤ 1与 1 < � ≤ 2，求得�(�)的解析式，从而得解. 【解】依题意，当 0 < � ≤ 1时，可得直角三角形的两条直角边分别为�, 3�， 从而可以求得�(�) = 1 2 � ⋅ 3� = 3� 2 2 ， 当 1 < � ≤ 2时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得�(�) = 3 − 3(2−�) 2 2 =− 3 2 �2 + 2 3� − 3， 所以�(�) = 3�2 2 (0 < � ≤ 1) − 3 2 �2 + 2 3� − 3(1 < � ≤ 2) ，从而可知选项 A的图象满足题意.故选：A. 命题点 2 判断两个函数是否是相同函数 【例 1-4】(2024江西九江模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．�(�) = �(� 2+1) �2+1 ，�(�) = � B．�(�) = �，�(�) = �2 C．�(�) = 1，�(�) = �∘ D．�(�) = �，�(�) = � 2 � 【答案】A【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【解】对于 A中，函数�(�) = �(� 2+1) �2+1 = �的定义域为 R，函数�(�) = �的定义域为 R， 定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于 B中，函数�(�) = �和�(�) = �2 = |�| = { �, � ≥ 0−�, � < 0的定义域都是 R， 但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于 C中，函数�(�) = 1 的定义域为 R，函数�(�) = �∘的定义域为( − ∞,0) ∪ (0, + ∞)， 定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于 D中，函数�(�) = �的定义域为 R，�(�) = � 2 � 的定义域为( − ∞,0) ∪ (0, + ∞)， 定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：A． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 7 页 共 22 页 【例 1-5】(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是( ) A．  f x x ，    2g x x B．  f t t ，   2g x x C．   32f x x  ，   2g x x  D．   2 9 3 xf x x    ，   3g x x  【答案】ACD【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【解】对于 A，函数  f x 的定义域为 R，函数  g x 的定义域为 0, ，所以这两个函数不是同一个函数； 对于 B，因为   2g x x x  ，且 ( )f t ，  g x 的定义域均为 R，所以这两个函数是同一个函数； 对于 C，   32 2f x x x x     ，  f x 和  g x 的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于 D，函数  f x 定义域为{ x xR，且 3x  }，  g x 定义域为 R，所以不是同一个函数．故选：ACD． 【例 1-6】下列各函数中，与函数 2( )g x x 表示同一函数的是( ) A． ( ) | |f x x B． ( ) | |f x x  C． 2 ( ) | | xf x x  D． 0( ) | |f x x x  【答案】A【解】 2( )g x x x  ，故  g x 的定义域为R , 对于 A，  f x 的定义域为R，且解析式与  g x 相同，故为同一个函数， 对于 B,    f x g x ，故不是同一个函数， 对于 C,  f x 的定义域为 0x x  ，而  g x 对定义域为R，定义域不同，不是同一个函数， 对于 D,  f x 的定义域为 0x x  ，而  g x 对定义域为R，定义域不同，不是同一个函数，故选:A 方法提炼 思维升华 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 任取一条垂直于 x轴的直线 l；在定义域内平行移动直线 l； (1)若 l与图形有且只有一个交点，则是函数； (2)若在定义域内无交点或有两个或两个以上交点，则不是函数． 2.判断两个函数是同一个函数的方法： 两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 1.已知 }0 2 ,{ | 1,2} {A x x B    ，下列图形能表示以 A为定义域，B为值域的函数的是( ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论. 【解】对于 A，函数的值域为 [0,2]，不符合题意； 对于 B，函数的值域为[1,2]，不符合题意； 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 8 页 共 22 页 对于 C，函数的定义域为{ | 0 2}x x  ，值域为{1,2}，符合题意； 对于 D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．故选：C． 2.已知集合 { | 0 4}, { | 0 2}M x x N x x      ，下列对应关系能够构成从M 到 N 的函数的是( ) A． :f x x B． 2:f x x C． :f x x D． : 1f x x  【答案】A【解】对于 :f x x ，当0 4x  时，0 2x  ， 对于任意  | 0 4x M x x    ，在  0 2N x x   中都存在唯一确定的元素与之对应，A正确； 对于 2:f x x ，当0 4x  时， 20 16x  ， 当 2 4x  时，在  0 2N x x   中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误； 对于 :f x x ，当0 4x  时，0 4x  ， 当 2 4x  时，在  0 2N x x   中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误； 对于 : 1f x x  ，当0 4x  时， 1 1 3x    ， 当0 1x  或3 4x  时，在  0 2N x x   中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．故选：A． 2.函数 y=f(x)的图象与直线 1x  的交点个数( ) A．至少 1个 B．至多 1个 C．仅有 1个 D．有 0个、1个或多个 【答案】B【解】若 1不在函数 f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 1x  没有交点， 若 1在函数 f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线 1x  有 1个交点，故选：B. 3.下面各组函数中为相同函数的是( ) A．    21f x x  与   1g x x  B．   2 1f x x  与   1 1g x x x    C．   lnexf x  与   lne xg x  D．   0f x x 与   0 1g x x  【答案】D【解】选项 A，   1f x x  与  g x 对应关系不同，故排除选项 A； 选项 B、C 中两函数的定义域不同，排除选项 B、C．故选 D． 4.(多选)设集合    0 4 , 0 4P x x Q y y      ，则下列图象能表示集合 P到集合 Q的函数关系的有( ) A． B． C． D． 【答案】BD【解】对于 A：由图象可知定义域不是 P，不满足； 对于 B：定义域为 P，值域为Q的子集，故符合函数的定义，满足； 对于 C：集合 P中有的元素在集合Q中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于 D： 由函数定义可知 D满足．故选：BD． 5.(多选)下列各组函数不是同一个函数的是( ) A．   2 1 1 xf x x    与   1g x x  B．   32f x x  与   2g x x x   学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 9 页 共 22 页 C．   2f x x  与   3 3 2g t t  D．   2 4f x x  与   2 2g x x x    【答案】ABD【解】对于 A，  f x 定义域    ,1 1,  ，  g x 定义域 R，定义域不同，不是同一函数，A错； 对于 B，   2f x x x    与  g x 的对应关系不同，故不是同一函数，B错； 对于 C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对； 对于 D，  f x 定义域    , 2 2,  U ，  g x 定义域 2, ，定义域不同，D错；故选：ABD 题型精讲 方法探究 命题点 1 求具体函数的定义域 【例 2-1】(2023·烟台调考)函数� = 4−� 2 ln (�+1) 的定义域为( ) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 【答案】C【解】由已知可得 4 − �2⩾0 � + 1 > 0 ln (� + 1) ≠ 0 ，即 − 2⩽�⩽2 � >− 1, � ≠ 0, ， 因此，函数� = 4−� 2 ln (�+1) 的定义域为(－1，0)∪(0，2].故选 C. 【例 2-2】(2025 届甘肃省武威市凉州区高三一模 T2)函数  3log 1 4 x y x    的定义域为( ) A.    , 4 4,1    B.    , 1 1,4   C.  ,1 D.  1, 【答案】A【分析】根据函数的定义域即可求解.【解】∵ 1 0 1 4 0 4 x x x x           ， ∴函数  3log 1 4 x y x    的定义域为    , 4 4,1    ，故选：A. 【例 2-3】函数 ( ) ln(1 )f x x  的定义域为( ) A． ( ,0] B． ( ,1) C．[0,1) D．[0, ) 【答案】A【分析】使函数有意义，即得关于 x的不等式组，解之即得函数定义域. 【解】函数 ( ) ln(1 )f x x  有意义，等价于 1 0 ln(1 ) 0 x x      ， 解得， 0x  ，故函数的定义域为 ( ,0] .故选：A. 命题点 2 求抽象函数的定义域 【例 2-4】已知函数 ( )f x 的定义域是[ 1,3] ，则函数 (2 1)( ) f xg x x   的定义域是( ) A． 3,5 B．   3,0 0,5  C．  0,2 D．  0,2 【答案】C【分析】整体代入法求  2 1y f x  的定义域，再由 (2 1)( ) f xg x x   有意义的条件，求  g x 定义域. 【解】由 1 2 1 3x    ，解得0 2x  ，所以函数  2 1y f x  的定义域为 0,2 . 要使     2 1f x g x x   有意义，则 0 2 0 x x     ，解得0 2x  ，所以     2 1f x g x x   的定义域是  0,2 .故选：C . 【例 2-5】已知函数  y f x 的定义域为 0,4 ，则函数 0( 1) ( 2) 1 f xy x x      的定义域是( ) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 10 页 共 22 页 A．  1,5 B．    1,2 2,5 C．    1, 2 2,3 D．  1,3 【答案】C【解】因为函数  y f x 的定义域为 0,4 ，又函数 0( 1) ( 2)1 f xy x x      有意义， 则有 0 1 4 1 0 2 0 x x x          ，解得1 2x  或 2 3x  ，所以函数 0 ( 1) ( 2) 1 f xy x x      的定义域是    1, 2 2,3 .故选：C 【例 2-6】已知  2 1f x  的定义域为 3, 3  ，则  f x 的定义域为( ) A．  2 2 , B． 0,2 C． 1,2 D． 3, 3   【答案】C【解】利用抽象函数定义域的解法即可得解. 【分析】因为 2( 1)f x  的定义域为[ 3, 3] ，即 3 3x   ，则 20 3x  ， 所以 21 1 2x    ，所以 ( )f x 的定义域为[ 1,2] .故选：C. 【例 2-7】已知函数  1f x  的定义域为  1,3 ，则  2f x 的定义域为( ) A． 2,2 B． 0,4 C． 1,9 D．  0,8 【答案】A【分析】通过中间函数 ( )f x 过渡，即求出 ( )f x 的定义域后可求． 【解】在  1y f x  中， [ 1,3]x  ，∴ 1 [0, 4]x   ，∴ ( )f x 的定义域是[0,4]， 故在  2f x 中 20 4x  ，解得 2 2x   ，∴  2f x 的定义域是 2,2 .故选：A. 命题点 3 已知定义域求参数范围 【例 2-8】函数�(�) = log2 (��2 − �� + 1)的定义域是�，则�的取值范图是( ) �．( −∞,0) ∪ (4, + ∞) �．(0,4) �．[0,4) �．( −∞,0] ∪ (4, + ∞) 【答案】C【解】∵ �(�) = log2 (��2 − �� + 1)的定义域是�， ∴ ��2 − �� + 1 > 0 对任意� ∈ �恒成立， 若� = 0，符合题意； 若� ≠ 0，则 � > 0△= �2 − 4� < 0，解得 0 < � < 4．综上，�的取值范图是[0,4)．故选：�． 【例 2-9】已知函数 1y ax  的定义域为A，且 3 A  ，则 a的取值范围是_______． 【答案】 1, 3     【解】由 3 A  ，可知 3 1 0a   ，解得 1 3 a  ，故答案为： 1, 3     . 【例 2-10】已知函数 2 6 8y mx mx m    的定义域为R ,求实数m的取值范围( ) A．0 1m  B．0 1m  C．0 1m  D．0 1m  【答案】D【解】由题意函数 2 6 8y mx mx m    的定义域为R， 则当 0m  时，函数 2 2y  ，其定义域为R； 当 0m  时， 2 6 8 0mx mx m    对一切实数 x都成立，即    2 0 Δ 6 4 8 0 m m m m        ， 0 1m   ， 综上可知：0 1m  ；故选：D. 【例 2-11】若函数 2( ) 1f x ax bx   的定义域为 1{ | 1 } 3 x x   ，则 ab的值为 ． 【答案】 6【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 11 页 共 22 页 【解】由题意 2 1 0ax bx   的解是 11 3 x   ，所以 −1+ 3 =− � � , −1 × 3 = 1 � , 解得 3a   ， =-2b ，所以 =6ab ． 【例 2-12】已知函数   2 2f x ax x c   的定义域为R，则 2 24a c 的最小值为( ) A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C【分析】根据函数定义域求出 1ac ，利用基本不等式可求答案. 【解】由题可知 0a  ，且4 4 0ac  ，即 1ac ，所以 2 24 4 4a c ac   ， 当且仅当 2a  ， 2 2 c  时，等号成立，所以 2 24a c 的最小值为 4.故选：C. 易错点：忽略二次型式子中最高项的系数为 0 避错策略：应密切注意�2项的系数是否为 0，若不能确定，应分类讨论. 1.下列函数中，定义域为R的是( ) A． y x B． 2logy x C． 2xy  D． 1y x  【答案】C【解】选项 A： y x 的定义域为 0,  ，故不正确； 选项 B： 2logy x 的定义域为  0,  ，故不正确； 选项 C： 2xy  的定义域为R，故正确； 选项 D： 1y x  的定义域为    ,0 0, U ，故不正确；故选：C. 2.函数 1( ) 3 2 2 f x x x     的定义域为( ) A．{ 2| 3 x x  且 2x  } B．{ 2| 3 x x  且 2x  } C． 2| 2 3 x x      D．{ 2| 3 x x  且 2x  } 【答案】D【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【解】由题意得 3 2 0 2 0 x x      ，解得 2 3 x  且 2x  ，即定义域为 2 2 3 x x x      ∣ 且 .故选：D. 3.已知函数  y f x 的定义域是 8,1 ，则函数    2 1 2 f x g x x    的定义域是( ) A．    , 2 2,3   B．   8, 2 2,1  U C．  9 , 2 2,0 2      U D． 9 , 2 2      【答案】C【分析】解不等式 8 2 1 1x    和 2 0x   可得． 【解】由题意得： 8 2 1 1x    ，解得： 9 0 2 x   ，由 2 0x   ，解得： 2x   ， 故函数的定义域是  9 , 2 2,02      U ，故选：C. 4.若幂函数 ( )f x 的图象过点 (4, 2)，则 (2 | |) ( ) f xy f x   的定义域是( ) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 12 页 共 22 页 A． ( 2,0) B． (0, 2] C．[0,2] D． ( 2,2) 【答案】B【分析】设  f x x ，根据幂函数 ( )f x 的图象过点 (4, 2)求出 的值，即可求出  f x 的定义域， 再根据抽象函数的定义域计算规则得到 2 0 0 x x      ，解得即可. 【解】设  f x x ，依题意可得 4 2  ，解得 1 2   ，所以   1 2f x x ， 所以  f x 的定义域为 0,  ，值域为 0,  ，且  0 0f  ， 对于函数 (2 | |) ( ) f xy f x   ，则 2 0 0 x x      ，解得0 2x  ， 即函数 (2 | |) ( ) f xy f x   的定义域是  0,2 .故选：B 5.已知函数  2 2y f x  的定义域为 1,3 ，则函数      1 ln 2 f x g x x    的定义域为( ) A．    2,3 3,5 B．  2,5 C．   2,3 3,5 D．  3,5 【答案】A【分析】根据条件先求解出  f x 的定义域，然后结合分式分母不 0、对数的真数大于 0列出关于 x 的不等式组，由此求解出  g x 的定义域. 【解】依题意，函数  2 2y f x  的定义域为 1,3 ， 所以    2 2 0,4x   ，即函数  f x 的定义域为 0,4 ， 所以在函数  g x 中有   0 1 4 2 0 ln 2 0 x x x           ，解得 1 5 2 3 x x x       ，所以  g x 的定义域为    2,3 3,5 ，故选：A. 6.(2024 福建龙岩高一校联考期末)若幂函数 ( )f x 的图象过点 (4, 2)，则 y = f(2− x )f(x) 的定义域是( ) A． ( 2,0) B． (0, 2] C． [0,2] D． ( 2,2) 【答案】B【分析】设  f x x ，根据幂函数 ( )f x 的图象过点 (4, 2)求出 的值，即可求出  f x 的定义域， 再根据抽象函数的定义域计算规则得到 2 0 0 x x      ，解得即可. 【解】设  f x x ，依题意可得 4 2  ，解得 1 2   ，所以   1 2f x x ， 所以  f x 的定义域为 0,  ，值域为 0,  ，且  0 0f  ， 对于函数 y = f(2− x )f(x) ，则 2 0 0 x x      ，解得0 2x  ，即函数 y = f(2− x )f(x) 的定义域是  0,2 ；故选：B 7.(2024·吉林通化·高三校考)已知函数 2 1( ) 2 1 f x mx mx    的定义域是 R，则m的取值范围是( ) A．0 1m  B．0 1m  C．0 1m  D．0 1m  【答案】C【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答. 【解】依题意， Rx  ，不等式 2 2 1 0mx mx   恒成立， 当 0m  时， 2 2 1 1 0mx mx    恒成立，则 0m  ， 当 0m  时，有 2 0 Δ 4 4 0 m m m      ，解得0 1m  ，则0 1m  ，因此0 1m  ；所以m的取值范围是 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 13 页 共 22 页 8.(多选)已知函数 ( )f x =   2 lg 3 25 x x   ，下列结论不正确的是( ) A．定义域为  -5,5 B．定义域为 -5,5 C．定义域为  3,5 D．定义域为 3,5 【答案】ABD【解】若函数有意义，需满足 2 3 0 25 0 x x      ，即 3 5 5 x x     ，则3 5x  ， 即 ( )f x 的定义域为  3,5 ；故选：ABD 9.(多选)(2025 届成都蓉城名校联盟高三上开学联考 T9)下列说法正确的是( ) A. 函数  2f x 的定义域为  0,1 ，则函数  1f x 的定义域为  1,1 B. 2y x 与 y x 表示同一个函数 C. 关于 x的不等式    1 0ax a x   的解集为  , 1A B x x ∣ ，若 A B ，则 0a  D. 若 1 3,2 4a b a b       ，则 2 3a b 的取值范围为 9 13,2 2      【答案】ACD【分析】根据复合函数定义域判断 A的真假；根据两个函数额值域判断 B的真假；分情况讨论， 根据集合间的关系求参数的取值范围，判断 C的真假；根据不等式的性质证明不等式，判断 D的真假. 【解】对 A：因为函数  2f x 的定义域为 0,1 ，所以0 2 2x  ，由0 1 2x    1 1x   ，所以函数  1f x 的定义域为 −1,1 ，故 A正确； 对 B： 2y x 的值域为  0,  ，函数 y x 的值域为  ,   ，所以两个函数不是同一个函数，故 B错误； 对 C：当 0a  时，   1 0ax a x      1 1 0a x x    1x   或 1x  ，所以  | 1A x x   或 1x  ； 当 0a  时，    1 0ax a x   无解，所以 A ∅； 当 0a  时   1 0ax a x      1 1 0a x x      1 1 0x x    1 1x   ，所以  | 1 1A x x    . 又 A B ，所以，只有 A ∅ 时满足题意，此时 0a  ，故 C正确； 对 D：因为 1 3,2 4a b a b       ，所以  5 5 15 2 2 2 a b    ，  12 1 2 a b      ， 所以    5 5 1 152 1 2 2 2 2 a b a b        ，即 9 132 3 2 2 a b    ，故 D正确；故选：ACD 10.函数 2 2y ax x   的定义域为  2,1 ，则实数 a的值为 ． 【答案】 1 【分析】函数定义域满足 2 2 0ax x   ，根据解集结合根与系数的关系解得答案. 【解】 2 2y ax x   的定义域满足： 2 2 0ax x   ，解集为  2,1 ， 故 a<0且 1 2 1 2 2 1 a a           ，解得 1a   .故答案为： 1 11.已知函数� = � �2 − 4 的定义域是[ − 1,5]，则函数� = �(2� + 1)的定义域为______. 【解】  2 4y f x  的定义域是 1,5 ，则  2 4 4,21x    ，即函数  f x 的定义域为 4,21 ， 令  2 1 4,21x    ，解得 5 ,102x      .则函数  2 1y f x  的定义域为 5 ,102     .故答案为： 5 ,10 2     . 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 14 页 共 22 页 12.若函数 2 e( ) x f x x ax a    的定义域为R ，则实数 a的取值范围为 . 【答案】 0,4 【分析】根据题意转化为 2 0x ax a   在 x R 恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等 式，即可求解. 【解】由函数 2 e( ) x f x x ax a    的定义域为R ，即 2 0x ax a   在 x R 恒成立， 结合一元二次方程的性质，则满足 2 4 0a a    ，解得 0 4a  ， 所以实数 a的取值范围为  0,4 .故答案为：  0,4 题型精讲 方法探究 命题点 1 待定系数法(函数类型确定) 【例 3-1】(2024 江苏高一练习)已知函数 ( )f x 是一次函数，且 [ ( ) 2 ] 3f f x x  ，则 (5)f  ( ) A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A【分析】设    0f x ax b a   ，根据 [ ( ) 2 ] 3f f x x  恒成立可得 a，b，然后可解. 【解】设    0f x ax b a   ，则    [ ( ) 2 ] 2 2 3f f x x f ax b x a ax b x b         ， 整理得  2 2 3 0a a x ab b     ，所以 2 2 0 3 0 a a ab b        ，解 2 1 a b    ， 所以   2 1f x x  ，所以  5 2 5 1 11f     ；故选：A 【例 3-2】设二次函数  f x 满足  0 1f  ，且    1 4f x f x x  ，求  f x 的解析式. 【答案】   22 2 1f x x x   【分析】根据题意设   2f x ax bx c   ，由  0 1f  求出 c， 由    1 4f x f x x  可求得 ,a b，即可得答案. 【解】设二次函数为   2f x ax bx c   ， 因为  0 1f  ，所以 1c  ，所以   2 1f x ax bx   ， 又因为    1 4f x f x x  ，即    2 21 1 2 4a x b x ax bx ax a b x         ， 所以 2 4 0 a a b     ，解得： 2 2 a b     ，所以函数解析式为   22 2 1f x x x   . 命题点 2 换元法或配凑法(适用于 f g(x) 型，注意定义域) 【例 3-3】(2024·河北·模拟预测)已知  1 lnf x x  ，则  f x  ( ) A．  ln 1x  B．  ln 1x  C． ln 1x  D．  ln 1 x 【答案】B【解】因为  1 lnf x x  ，所以 0x  ，令  1 1t x t   ，则 1x t  ， 所以    ln 1f t t  ，因此，    ln 1f x x  .故选：B. 【例 3-4】已知函数   21 1 1 0xf x x x              ，则  f x 的解析式为( ) A．   2 2f x x x  B．   2f x x x  C．   2f x x x  D．   2 2f x x x  学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 15 页 共 22 页 【答案】D【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果. 【解】因为 2 2 21 1 1 2 1 11 ( 1) 2 ( 1) 2( 1)xf x x x x x x                     ，所以 2( ) 2f x x x  .故选：D. 命题点 3 构造方程组法 【例 3-6】已知函数 ( )f x 的定义域为 R，且 2( ) 2 ( )f x f x x x    ，则 ( )f x  ( ) A． 2 2 3 x x B． 22 3 x x C． 22 2 3 x x D． 2 3 x x 【答案】D【解】令 x为 x ，则 2( ) 2 ( )f x f x x x    ，与 2( ) 2 ( )f x f x x x    联立得， 2 ( ) 3 xf x x  ．故选：D． 【例 3-7】已知  f x 满足    3 12 4xf x f x  ，则  f x 解析式为 ． 【答案】   84 5 f x x  【分析】用1 x 代 x得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式. 【解】由    3 12 4xf x f x  ①；用1 x 代 x可得，      3 1 2 4 1f x f x x    ② 由3① 2②可得：   84 5 f x x  ；故答案为：   84 5 f x x  【例 3-8】已知定义在  0,  上的函数  f x 满足   1 154f x f x x        ，则  2f 的值为( ) A． 15 2 B． 15 4 C． 17 4 D． 17 2 【答案】D【解】因为定义在  0,  上的函数  f x 满足   1 154f x f x x        ， 所以  1 4 15f f x x x         ，所以  1 4 15f f x x x        ， 所以     154 4 ( ) 15f x f x x x     ，解得 1( ) 4f x x x   ， 所以 1 17(2) 8 2 2 f    ，故选：D 1.已知函数  2 1 5 6f x x   ，且   9f t  ，则 t  ( ) A．7 B．5 C．3 D．4 【答案】A【解】    5 172 1 5 6 2 1 2 2 f x x x      ,   5 172 2f x x   .   5 17 9 2 2 f t t    ,解得 7t  ．故选：A. 2.下列函数满足    2 3log 3 log 2f f  的是( ) A． ( ) 1 lnf x x  B．   1f x x x   C．   1f x x x   D．   1f x x  【答案】C【分析】令 2log 3 1t   ，则 3 1 log 2 t  ，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【解】令 2log 3t  ， 1t  ，则 3 1 log 2 (0,1) t   ，由    2 3log 3 log 2f f  可得 1( )f t f t        ， 对于 A， 1 1( ) 1 ln 1 ln ( )f t f t t t       ，故 A 错误； 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 16 页 共 22 页 对于 B， 1 1( ) ( )f t f t t t    ，不满足 1( )f t f t        ，B 错误； 对于 C，  1 1f t f tt t          ，即 1( ) ( )f t f t   ，即 2 3(log 3) (log 2)f f  ，C 正确； 对于 D， 1 1( ) 1 ( )f f t t t     ，即 2 3(log 3) (log 2)f f  不成立，D错误．故选：C． 3.已知函数� 1 − � = 1−� 2 �2 � ≠ 0 ，则� � =( ) A． 1 �−1 2 − 1 � ≠ 0 B． 1 �−1 2 − 1 � ≠ 1 C． 4 �−1 2 − 1 � ≠ 0 D． 4 �−1 2 − 1 � ≠ 1 【答案】B【分析】利用换元法令� = 1 − �，代入运算求解即可. 【解】令� = 1 − �，则� = 1 − �，由于� ≠ 0，则� ≠ 1， 可得� � = 1− 1−� 2 1−� 2 = 1 �−1 2 − 1， � ≠ 1 ， 所以� � = 1 �−1 2 − 1 � ≠ 1 .故选：B. 3.已知 2 2 2 3 5( 1) ( 5)xf x x x x       ，则 ( )f x 的解析式是( ). A． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       B． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       C． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       D． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       【答案】A【解】令 2 1x t  ，则 2 1x t  ，而 5x   ，于是 1 , 24x t t    ， 因此 3( 1) 5 3 2( ) , 24 1 1 1 1 t tf t t t t t t             ， 所以 ( )f x 的解析式是 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       .故选：A 4.已知定义域为 R的函数  f x 满足     32 3f x f x x   ，则  f x ___________. 【答案】 3x 【解】因为     32 3f x f x x   ，所以     32 3f x f x x    ， 同除以 2得     31 3 2 2 f x f x x    ， 两式相加可得   33 3 2 2 f x x ，即   3f x x .故答案为： 3x . 7．已知函数  f x 满足   1 12 2f x f x x        ，则函数  f x 的解析式为______. 【答案】    2 1 2 0 3 3 3 f x x x x     【解】   1 12 2f x f x x        ①中将 x换成 1 x ，得  1 2 2f f x x x         ②， 由①②联立消去 1f x       得    2 1 2 0 3 3 3 f x x x x     ，故答案为：    2 1 2 0 3 3 3 f x x x x     ． 题型精讲 方法探究 命题点 1 求函数值 【例 4-1】(2022·江苏南通·模拟预测)若函数 f(x)满足 f(2x)＝x，则 f(5)＝( ) A．25 B．52 C．log52 D．log25 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 17 页 共 22 页 【解】 2 5x  ．∴ 2log 5x  ，∴   25 log 5f  ，故选：D． 【例 4-2】(2025·四川·一模)函数    2 2 1f x x x   ，若   1f a   ．则  f a  ( ) A． 3 B． 1 C．0 D．3 【答案】D【解】函数    2 2 1f x x x   ，若    2 2 1 1f a a a     ，则  2 2 2a a    ， 则    2 2 1 2 1 3f a a a        .故选：D. 【例 4-3】(多选)已知函数   21 3f x x x   ，且   2f a   ，则 a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】AB【解】令 1t x  ,则 1x t  ,所以      2 21 3 1 5 4f t t t t t       , 所以   2 5 4f x x x   ；所以   2 5 4 2f a a a     ,即 2 5 6 0a a   , 解得� = 2 或 3a  ,故选：AB. 命题点 2 二次函数值域 【例 4-4】函数   22 4 7f x x x   ，  1,8x  的最小值是 . 【答案】5【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【解】因为   22 4 7f x x x   的图象开口向上，对称轴为 1x  ， 又  1,8x  ，所以  f x 的最小值是   2 4 7 51f    ；故答案为：5 . 【例 4-5】下列函数中，值域是 0,  的是( ) A． 2 2 1y x x   B． 2 2 1 2 y x x    C． 2 2y x x    D． 1 2 y x   【答案】AC【解】对于 A， 2 2 1y x x   ，由于 2 22 1 ( 1) 0x x x    ，故 0y  ，A正确； 对于 B, 2 22 2 1 2 2 1 2 2 y x x x x        ,令 2 2 , [2, )x t t     ，则 1 2y t t    ，当 [2, )t  时， 1 2y t t    递增，故 1 2y t t    的最小值为 1 12 2 2 2    ，即 2 2 1 2 y x x    值域为 1[ , ) 2  ，B错误； 对于 C, 需满足 2x  ，即 2 0x   ， 2 0x   ， 故 2 2 0y x x     ，当 2x  时取等号，C正确； 对于 D， 1 0 2 y x    ，即函数值域为 (0, ) ，D错误，故选：AC. 命题点 3 分式型函数值域 【例 4-6】(2024·山西太原·校考)函数 2 1 3 xy x    的值域是( ) A．    ,3 3,  B．    , 2 2,  C．R D．    , 2 3,   【答案】B【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【解】  2 3 72 1 72 3 3 3 xxy x x x          ，而   7 3 f x x   由函数   7g x x  向右平移 3 个单位得到， 所以  f x 和  g x 的值域相同，都为    ,0 0, U ，所以 2 1 3 xy x    得值域为    , 2 2,  ，故选：B 【例 4-7】(2024·上海·校考期末)函数 3 1 3 2 x xy    的值域是 ． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 18 页 共 22 页 【答案】  1, 1,2         【分析】分离常数化简解析式，由指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【解】由题意可知，函数 3 1 3 2 1 11 3 2 3 2 3 2 x x x x xy           ，由3 0x  ，3 2 2x    ， 1 1 3 2 2x    或 1 0 3 2x   ， 则 1 11 3 2 2x    或 11 1 3 2x    ，即函数值域为  1, 1,2         ；故答案为：  1, 1,2         命题点 4 根式型函数值域 【例 4-8】函数 1 1 2y x x    的值域为( ) A． 1, 2     B． 0 +， C． 1 ,2    D． 1 , 2      【答案】C【分析】令 1 2x t  ，  0t  ，可得   21 2 t y   ，利用函数单调性求值域. 【解】令 1 2x t  ，  0t  ，则 21 2 tx  ，所以函数   22 2 11 11 2 22 2 tt ty t t         ， 函数在 0,+ 上单调递增， 0t 时， y有最小值 12 ，所以函数 1 1 2y x x    的值域为 1 , 2     ；故选：C 命题点 5 根据值域求参数或参数范围 【例 4-9】(2024·河南郑州·校考一模)    2ln 2 1f x ax x   ，若  f x 值域为R ，则实数 a取值范围是( ) A． 0,1 B．  0,1 C．  1,  D．  0,  【答案】A【分析】借助  f x 的值域为R 可得 2 2 1u ax x   要取遍所有的正数，对 a进行分类讨论即可得. 【解】若函数  f x 的值域为R ，则 2 2 1u ax x   要取遍所有的正数． 所以 0a  或 0 Δ 4 4 0 a a      ，解得0 1a  ，即实数 a的取值范围是  0,1 ；故选：A． 【例 4-10】已知 2( ) 1f x mx mx   ，若函数 ( )y f x 的值域为[0, ) ，则实数m的取值范围为 . 【答案】[4, ) 【分析】分类讨论，在 0m  时由 0  可得． 【解】 0m  时， ( ) 1f x  不合题意，因此 0m  且 2 4 0m m    ，∴ 4m  ，故答案为：[4, ) ． 1.已知集合   lg 2M x y x   ，  e 1xN y y   ，则M N  ( ) A．  ,  B．  1, C． 1,2 D．  2, 【答案】B【解】集合 (2, )M   ， e 1 1x   ，则 (1, )N   ，所以  1,M N  U .故选：B 2.已知函数    2 2 , ex af x x x g x    ，若   2 3f g  ，则 a ( ) A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A【解】令   3f x  ，则 2 2 3 0x x   ，解得 1x  或 3x   (舍)， 即   22 e 1ag   ，解得 2a  ，故 A正确；故选：A. 3．已知函数 1( ) (1 2),f x x x    则函数 2( ) 2 ( ) ( )g x f x f x  的值域为( ) A．[3, 2 2 2] B． 5[ ,3] 4 C． 9[ ,3] 16 D． 1[ 2,3] 2  学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 19 页 共 22 页 【答案】D【解】 1( ) (1 2)f x x x    ，由 2 1 2 1 2 x x      ，解得1 2x  . 2 2 2 1( ) 2 ( ) ( ) )(1 2g x f f x x xx x      ；令 1 2( 1) 2 t t x    ， 函数 2 22 ( 1) 1y t t t     .当 2 2 t  时， min 1 2 2 y   ；当 1t  时， max 3y  ， 函数 2( ) 2 ( ) ( )g x f x f x  的值域为 1[ 2,3] 2  .故选：D. 4．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数” 为：设 x R ，用  x 表示不超过 x的最大整数，则  y x 称为高斯函数.例如：  2.1 3, 3.1 3      ，若函数   2 5 2 1 x xf x    ，则函数  y f x   的值域为 . 【答案】 1,2,3,4 【解】   2 5 4 11 , 2 0, 1 2 1,0 1 2 1 2 1 2 1 x x x x x xf x               ，则 41 1 5 2 1x     ，即  1 5f x  ， 当  1 2f x  时，   1f x    ；当  2 3f x  时，   2f x    ； 当  3 4f x  时，   3f x    ；当  4 5f x  时，   4f x    ， 综上，函数  y f x   的值域为 1,2,3,4 ；故答案为： 1,2,3,4 . 5.已知函数 2 1 ax by x    的值域为  1,4 ，则常数 a b  ． 【答案】7 或 1 【解】因为 2 1 ax by x    ，所以 2 0x y ax y b    ，  2 4 0a y y b     ，即 2 24 4 0y by a   ， 因为函数 2 1 ax by x    的值域为 1,4 ，所以 1 21, 4y y   是方程 2 24 4 0y by a   的两个根， 所以 1 4 b   ， 2 1 4 4 a     ，解得 4, 3a b  或 4, 3a b   ，所以 a b  7 或 1 ；故答案为：7 或 1 . 8.设 x∈R，则函数 y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 【答案】{y|y≤2}【解】当 x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当 0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当 x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2；故 y＝ −� − 2, � ≥ 1, −5� + 2,0 ≤ � < 1, � + 2, � < 0, 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 方法提炼 思维升华 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 20 页 共 22 页 ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数 解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保 留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (4)对含有绝对值的函数，首先根据绝对值的意义去绝对值符号，转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 题型精讲 方法探究 【例 5-1】已知函数    21 1 log 2 , 1 2 , 1x x x f x x        ，则   2f f   . 【答案】4【解】由    21 1 log 2 , 1 2 , 1x x x f x x        ，所以     2 22 1 log 2 2 1 log 4 3f         ， 所以      3 1 22 3 2 2 4f f f      ；故答案为：4. 【例 5-2】已知函数   8 , 0 3 , 0 2 x x f x f x x          ，则  4f   ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B【解】因为   8 , 0 3 , 0 2 x x f x f x x          ，所以     5 1 14 1 8 4 2 2 2 f f f f                    ；故选：B 【例 5-3】设函数 21 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x       , 2( 2) (log 12)f f   ( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C【解】          2 2log 12 1 log 62 2 22 1 log 2 2 3, log 12 2 2 6, 2 log 12 9f f f f               .故选 C. 【例 5-4】已知函数   1 2 2 1, 0, , 0, x x f x x x       若   3f m  ，则 m的值为( ) A． 3 B．2 C．9 D．2或 9 【答案】C【解】∵函数   1 2 2 1, 0 , 0 x x f x x x       ，   3f m  ，∴ 2 1 3 0 m m      或 1 2 3 0 m m     ，解得 9m  .故选：C. 【例 5-5】已知函数   3 2 , 1, 12, 1, x xf x x x         若    2 0f f a   ，则实数 a ( ) A． 2 B．2 C．4 D．6 【答案】B【解】由题知    2 22 42 2f     ，    2 0f f a   ；所以   4f a   ， 因为 1x   时，   2 2xf x   ，所以， 1a   ，所以   3 12 4f a a    ，解得 2a  .故选：B 【例 5-6】已知函数   2 2 1, 2 , 2 x x f x x ax x         ，若 [ (1)] 6f f   ，则实数 a的值为( ) A． 3 B．3 C． 1 D．1 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 21 页 共 22 页 【答案】D【解】因为 1(1) 2 1 3f    ，所以 2[ (1)] (3) 3 3 9 3 6f f f a a         ，解得 1a  ；故选：D 1.已知函数 f(x)＝ � + 1 �−2 , � > 2, �2 + 2, � ≤ 2, 则 f(f(1))等于( ) A．－1 2 B．2 C．4 D．11 【答案】C【解】由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则 f(f(1))＝f(3)＝3＋ 1 3－2 ＝4. 2..己知函数   3 2 3, 1 log , 1 x f x x x x       ，则 1 3 f f         ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】由题意，得 1 9 3 f       ， 1 (9) 2 3 f f f          ，故选：B． 3.已知函数     1 3 3 1, 1, log 5 2, 1, x x f x x x        且   2f m   ，则  6f m  ( ) A．-16 B．16 C．26 D．27 【答案】C【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【解】当m 1 时，   1 12 3 1 2 3 1m mf m m           ， 当 1m  时，    32 log 5 2 2 4f m m m           ，所以     2 16 2 3 1 26f m f      ，故选：C 4.函数 f(x)＝ �2 + 2, � ≤ 2, 4 5 �, � > 2, 若 f(x0)＝8，则 x0＝________. 【答案】－ 6或 10【解】当 x0≤2时，f(x0)＝x20＋2＝8，即 x20＝6，∴x0＝－ 6或 x0＝ 6(舍去)； 当 x0>2时，f(x0)＝ 4 5 x0＝8，∴x0＝10;综上可知，x0＝－ 6或 x0＝10. 5.已知   3, 0 , 0 x x f x x x     ，若    3 2f a f a   ，则  f a  ( ) A．2 B． 2 C．1 D．0 【答案】B【解】∵   3, 0 , 0 x x f x x x     ，    3 2f a f a   ，∴必有 3 0, 2 0a a    ， ∴ 3 3 2a a    ，解得 2a  或 1a   (舍去)，∴    2 2f a f  .故选：B. 6.设     ,0 1 2 1 , 1 x x f x x x       ，若    1f a f a  ，则 a __________， 1f a       __________. 【答案】 1 4 ；6【解】若 0 1a  ，则1 1 2a   ，由    1f a f a  ，得  2 1 1a a   ，即 24a a ， 解得： 0a  (舍去)或 1 4 a  ； 若 1a  ，由    1f a f a  ，得    2 1 2 1 1a a    ，该方程无解. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 22 页 共 22 页 综上可知， 1 4 a  ，    1 4 2 4 1 6f f a        ；故答案为： 1 4 ； 6 7.(2024·江苏常州·高三统考)函数   2 1 3 3 , 0 log 2, 0 a x x xf x x x          若 1 3 f f a        ，则实数 a的值为 ． 【答案】 2 【分析】利用分段函数求解即可. 【解】 1 1 2 1 3 f          ，  1 1 1 3 3 f f f a a              ， 2a   ．故答案为： 2 8.已知函数   3 2 1, 1, , 1, x x f x x ax x        若   0 2f f   ，则实数 a  ． 【答案】3【解】由     0 2 1 2 1 2 3f f f a a           ，故答案为：3 9.已知函数 2 2 2, 0 3 , 0 x x x y ax a x x          的值域为R ，则实数 a的取值范围为 ． 【答案】   ,0 1,  【分析】先求解出 0x  时  f x 的值域，然后根据 0, 0, 0a a a   分类讨论 0x  时  f x 的值域，由此确定出 a的取值范围. 【解】当 0x  时，    22 2 2 1 1f x x x x      ，此时    1,f x   ， 当 0a  且 0x  时，  f x x ，此时    ,0f x   ，且    ,0 1,   R ，所以不满足； 当 0a  且 0x  时，   3af x x a x    ， 由对勾函数单调性可知  f x 在  , a  上单调递增，在  ,0a 上单调递减， 所以    max 3 2f x f a a a    ，此时    ,3 2f x a a    ， 若要满足  f x 的值域为R ，只需要3 2 1a a  ，解得 1a  ； 当 a<0且 0x  时，因为 , ay x y x   均在  ,0 上单调递增， 所以   3af x x a x    在  ,0 上单调递增，且 0x 时，  f x ， x时，  f x ， 所以此时    ,f x    ，此时显然能满足  f x 的值域为R ； 综上可知， a的取值范围是    ,0 1,   ，故答案为：    ,0 1,   . 《2026届高考一轮复习 数学考点突破》2-1 函数及其表示 目录 三年高考命题解读 2 核心知识 考点梳理 2 一、函数的有关概念 2 二、函数的定义域 3 三、函数的解析式 3 四、函数值域 4 真题感悟 明察考情 4 考点题型 疑难解惑 5 考点1 函数关系的判断 5 题型精讲 方法探究 5 命题点1 判断是否是函数 5 命题点2 判断两个函数是否是相同函数 6 方法提炼 思维升华 7 举一反三 熟能生巧 7 考点2 函数定义域 9 题型精讲 方法探究 9 命题点1 求具体函数的定义域 9 命题点2 求抽象函数的定义域 9 命题点3 已知定义域求参数范围 10 举一反三 熟能生巧 11 考点3 求函数解析式 14 题型精讲 方法探究 14 命题点1 待定系数法(函数类型确定) 14 命题点2 换元法或配凑法(适用于型，注意定义域) 14 命题点3 构造方程组法 15 举一反三 熟能生巧 15 考点4 函数值与函数值域 16 题型精讲 方法探究 16 命题点1 求函数值 16 命题点2 二次函数值域 17 命题点3 分式型函数值域 17 命题点4 根式型函数值域 18 命题点5 根据值域求参数或参数范围 18 举一反三 熟能生巧 18 考点5 分段函数 19 方法提炼 思维升华 19 题型精讲 方法探究 20 举一反三 熟能生巧 21 三年高考命题解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 定义域 2022北京卷 求具体函数的定义域。 函数值 2024上海卷、2023北京卷、 求函数值；已知函数值求字母。 值域 2025北京卷、2023上海卷 函数定义域、值域与充要条件； 核心知识 考点梳理 一、函数的有关概念 1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 注意：判断一个对应关系是否为函数的方法 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； (2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然，． (3)函数的对应关系(解析式)：. 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 两个函数相等，也就是说这两个函数是相同的。 4.函数的表示法：解析法、列表法、图象法. 解析法(最常用) 图象法(解题助手) 列表法 用一个代数式表示变量x，y之间的关系，通过关系式可以由x的值求出y的值. 把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值. 就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 一般情况下，须注明定义域 选取的自变量值要有代表性，应能反映定义域的特征 注意定义域对图象的影响；须清楚函数图象是“点”还是“线” 二、函数的定义域 1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见初等函数定义域的要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.区间： 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3.复合函数的定义域 (1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； (2)已知的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. 三、函数的解析式 1.求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含x的式子配成，用配凑法。若易换元后求出x，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现同时含有与的等式或同时含有，的等式时，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出 2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 四、函数值域 求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为：， 再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法： 如：，可以令，得到， 从而函数可以化为，即关于t的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)反解法 (5)数形结合法 (6)单调性法 (7)求导法 【常用结论】 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，其中A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 4.y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． 真题感悟 明察考情 1.(2025北京卷T7)已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】由函数值域概念结合特例，再根据充分条件、必要条件的概念即可求解. 【解】若函数的值域为，则对任意，一定存在，使得， 取，则，充分性成立； 取，，则对任意，一定存在，使得， 取，则，但此时函数的值域为，必要性不成立； 所以是充分不必要条件.故选：A. 2．(2024上海卷T2)已知则 ． 【答案】【分析】利用分段函数的形式可求. 【解】因为故，故答案为：. 3.(2023北京卷T11)已知函数，则 ． 【答案】1【分析】根据给定条件，把代入，利用指数、对数运算计算作答. 【解】函数，所以；故答案为：1 4.(2023上海卷)已知函数，且则方程的解为 ． 【解】当时，，解得； 当时，，解得(舍；所以的解为：．故答案为：． 5.(2022北京卷T11)函数的定义域是_________． 【答案】【分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可； 【解】因为，所以，解得且， 故函数的定义域为；故答案为： 考点题型 疑难解惑 考点1 函数关系的判断 题型精讲 方法探究 命题点1 判断是否是函数 【例1-1】(多选)集合，下列图象能表示集合到集合的函数关系的有(    ) A． B． C． D． 【答案】BD【解】对于A选项，其定义域是，不是，故A错误； 对于B选项，其定义域是，值域，故B正确； 对于C选项，其与函数定义相矛盾，故C错误； 对于D选项，其定义域是，显然值域包含于集合，故D正确；故选：BD. 【例1-2】(多选)对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有(  )个 A．  B．  C．  D．   【答案】ABC【解】对于A，集合A中有一部分x值没有与之对应的y值，A不能构成函数； 对于BC，存在垂直于的直线与图形有两个交点，BC不能构成函数； 对于D，给定图形符合函数的定义，D能构成函数.故选：ABC 【例1-3】(2024广东佛山二模)如图，是边长为2的正三角形，记位于直线)左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是(    )   A． B．   C． D．     【答案】A【分析】结合图形，分类讨论与，求得的解析式，从而得解. 【解】依题意，当时，可得直角三角形的两条直角边分别为， 从而可以求得， 当时，阴影部分可以看做大三角形减去一个小三角形， 可求得， 所以，从而可知选项A的图象满足题意.故选：A. 命题点2 判断两个函数是否是相同函数 【例1-4】(2024江西九江模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】A【分析】根据同一函数的定义，逐项验证定义域和对应法则是否相同，即得． 【解】对于A中，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数； 对于B中，函数和的定义域都是， 但对应法则不同，所以不是同一个函数； 对于C中，函数的定义域为，函数的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数； 对于D中，函数的定义域为，的定义域为， 定义域不相同，所以不是同一个函数.故选：A． 【例1-5】(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD【分析】根据相同函数的定义进行逐一判断即可. 【解】对于A，函数的定义域为R，函数的定义域为，所以这两个函数不是同一个函数； 对于B，因为，且，的定义域均为R，所以这两个函数是同一个函数； 对于C，，和的对应关系不同，所以这两个函数不是同一个函数； 对于D，函数定义域为{，且}，定义域为R，所以不是同一个函数．故选：ACD． 【例1-6】下列各函数中，与函数表示同一函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【解】，故的定义域为, 对于A，的定义域为，且解析式与相同，故为同一个函数， 对于B,，故不是同一个函数， 对于C,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数， 对于D,的定义域为，而对定义域为，定义域不同，不是同一个函数，故选:A 方法提炼 思维升华 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 任取一条垂直于x轴的直线l；在定义域内平行移动直线l； (1)若l与图形有且只有一个交点，则是函数； (2)若在定义域内无交点或有两个或两个以上交点，则不是函数． 2.判断两个函数是同一个函数的方法： 两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 举一反三 熟能生巧 1.已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(    ) A．  B． C．    D．       【答案】C【分析】根据定义域以及值域概念，由函数概念即可判断结论. 【解】对于A，函数的值域为，不符合题意； 对于B，函数的值域为，不符合题意； 对于C，函数的定义域为，值域为，符合题意； 对于D，一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意．故选：C． 2.已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【解】对于，当时，， 对于任意，在中都存在唯一确定的元素与之对应，A正确； 对于，当时，， 当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，B错误； 对于，当时，， 当时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，C错误； 对于，当时，， 当或时，在中无元素与之对应，不满足函数定义，D错误．故选：A． 2.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数(        ) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 【答案】B【解】若1不在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线没有交点， 若1在函数f(x)的定义域内，y=f(x)的图象与直线有1个交点，故选：B. 3.下面各组函数中为相同函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D【解】选项A，与对应关系不同，故排除选项A； 选项B、C中两函数的定义域不同，排除选项B、C．故选D． 4.(多选)设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有(　　) A．B．  C．  D． 【答案】BD【解】对于A：由图象可知定义域不是，不满足； 对于B：定义域为，值域为的子集，故符合函数的定义，满足； 对于C：集合中有的元素在集合中对应两个值，不符合函数定义，不满足； 对于D： 由函数定义可知D满足．故选：BD． 5.(多选)下列各组函数不是同一个函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】ABD【解】对于A，定义域，定义域R，定义域不同，不是同一函数，A错； 对于B，与的对应关系不同，故不是同一函数，B错； 对于C，经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对； 对于D，定义域，定义域，定义域不同，D错；故选：ABD 考点2 函数定义域 题型精讲 方法探究 命题点1 求具体函数的定义域 【例2-1】(2023·烟台调考)函数的定义域为(　　) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 【答案】C【解】由已知可得，即， 因此，函数的定义域为(－1，0)∪(0，2].故选C. 【例2-2】(2025届甘肃省武威市凉州区高三一模T2)函数的定义域为( ) A. B. C D. 【答案】A【分析】根据函数的定义域即可求解.【解】∵， ∴函数定义域为，故选：A. 【例2-3】函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】使函数有意义，即得关于的不等式组，解之即得函数定义域. 【解】函数有意义，等价于， 解得，，故函数的定义域为.故选：A. 命题点2 求抽象函数的定义域 【例2-4】已知函数的定义域是，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】整体代入法求的定义域，再由有意义的条件，求定义域. 【解】由，解得，所以函数的定义域为. 要使有意义，则，解得，所以的定义域是.故选：. 【例2-5】已知函数的定义域为，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】因为函数的定义域为，又函数有意义， 则有，解得或，所以函数的定义域是.故选：C 【例2-6】已知的定义域为，则的定义域为( ) A． B． C． D． 【答案】C【解】利用抽象函数定义域的解法即可得解. 【分析】因为的定义域为，即，则， 所以，所以的定义域为.故选：C. 【例2-7】已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】通过中间函数过渡，即求出的定义域后可求． 【解】在中，，∴，∴的定义域是， 故在中，解得，∴的定义域是.故选：A. 命题点3 已知定义域求参数范围 【例2-8】函数的定义域是，则的取值范图是(　　) 【答案】C【解】的定义域是， 对任意恒成立， 若，符合题意； 若，则，解得．综上，的取值范图是．故选：． 【例2-9】已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______． 【答案】【解】由，可知，解得，故答案为：. 【例2-10】已知函数的定义域为,求实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】由题意函数的定义域为， 则当时，函数，其定义域为； 当时，对一切实数都成立，即，， 综上可知：；故选：D. 【例2-11】若函数的定义域为，则的值为 ． 【答案】【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值． 【解】由题意的解是，所以解得，，所以． 【例2-12】已知函数的定义域为，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．4 D．5 【答案】C【分析】根据函数定义域求出，利用基本不等式可求答案. 【解】由题可知，且，即，所以， 当且仅当，时，等号成立，所以的最小值为4.故选：C. 易错提醒 易错点：忽略二次型式子中最高项的系数为0 避错策略：应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论. 举一反三 熟能生巧 1.下列函数中，定义域为的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【解】选项A：的定义域为，故不正确； 选项B：的定义域为，故不正确； 选项C：的定义域为，故正确； 选项D：的定义域为，故不正确；故选：C. 2.函数的定义域为(    ) A．{且} B．{且} C． D．{且} 【答案】D【分析】根据函数解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可. 【解】由题意得，解得且，即定义域为.故选：D. 3.已知函数的定义域是，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】解不等式和可得． 【解】由题意得：，解得：，由，解得：， 故函数的定义域是，故选：C. 4.若幂函数的图象过点，则的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得， 即函数的定义域是.故选：B 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】根据条件先求解出的定义域，然后结合分式分母不、对数的真数大于列出关于的不等式组，由此求解出的定义域. 【解】依题意，函数的定义域为， 所以，即函数的定义域为， 所以在函数中有，解得，所以的定义域为，故选：A. 6.(2024福建龙岩高一校联考期末)若幂函数的图象过点，则的定义域是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】设，根据幂函数的图象过点求出的值，即可求出的定义域，再根据抽象函数的定义域计算规则得到，解得即可. 【解】设，依题意可得，解得，所以， 所以的定义域为，值域为，且， 对于函数，则，解得，即函数的定义域是；故选：B 7.(2024·吉林通化·高三校考)已知函数的定义域是R，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】根据给定条件，建立恒成立的不等式，再分类讨论求解作答. 【解】依题意，，不等式恒成立， 当时，恒成立，则， 当时，有，解得，则，因此；所以的取值范围是 8.(多选)已知函数=，下列结论不正确的是( ) A．定义域为 B．定义域为 C．定义域为 D．定义域为 【答案】ABD【解】若函数有意义，需满足，即，则， 即的定义域为；故选：ABD 9.(多选)(2025届成都蓉城名校联盟高三上开学联考T9)下列说法正确的是( ) A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 【答案】ACD【分析】根据复合函数定义域判断A的真假；根据两个函数额值域判断B的真假；分情况讨论，根据集合间的关系求参数的取值范围，判断C的真假；根据不等式的性质证明不等式，判断D的真假. 【解】对A：因为函数的定义域为，所以，由，所以函数的定义域为，故A正确； 对B：的值域为，函数的值域为，所以两个函数不是同一个函数，故B错误； 对C：当时，或，所以或； 当时，无解，所以； 当时，所以. 又，所以，只有∅时满足题意，此时，故C正确； 对D：因为，所以，， 所以，即，故D正确；故选：ACD 10.函数的定义域为，则实数的值为 ． 【答案】【分析】函数定义域满足，根据解集结合根与系数的关系解得答案. 【解】的定义域满足：，解集为， 故且，解得.故答案为： 11.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______. 【解】的定义域是，则，即函数的定义域为， 令，解得.则函数的定义域为.故答案为：. 12.若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 . 【答案】【分析】根据题意转化为在恒成立，结合一元二次方程的性质，列出不等式，即可求解. 【解】由函数的定义域为，即在恒成立， 结合一元二次方程的性质，则满足，解得， 所以实数的取值范围为.故答案为： 考点3 求函数解析式 题型精讲 方法探究 命题点1 待定系数法(函数类型确定) 【例3-1】(2024江苏高一练习)已知函数是一次函数，且，则(    ) A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A【分析】设，根据恒成立可得a，b，然后可解. 【解】设，则， 整理得，所以，解， 所以，所以；故选：A 【例3-2】设二次函数满足，且，求的解析式. 【答案】【分析】根据题意设，由求出c， 由可求得，即可得答案. 【解】设二次函数为， 因为，所以，所以， 又因为，即， 所以，解得：，所以函数解析式为. 命题点2 换元法或配凑法(适用于型，注意定义域) 【例3-3】(2024·河北·模拟预测)已知，则(       ) A． B． C． D． 【答案】B【解】因为，所以，令，则， 所以，因此，.故选：B. 【例3-4】已知函数，则的解析式为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【分析】根据条件，通过配凑即可求出结果. 【解】因为，所以.故选：D. 命题点3 构造方程组法 【例3-6】已知函数的定义域为，且，则(       ) A． B． C． D． 【答案】D【解】令为，则，与联立得，．故选：D． 【例3-7】已知满足，则解析式为 ． 【答案】【分析】用代得出一个式子，利用方程思想求解函数解析式. 【解】由   ①；用代可得，  ② 由①②可得：；故答案为： 【例3-8】已知定义在上的函数满足，则的值为( ) A． B． C． D． 【答案】D【解】因为定义在上的函数满足， 所以，所以， 所以，解得， 所以，故选：D 举一反三 熟能生巧 1.已知函数，且，则(    ) A．7 B．5 C．3 D．4 【答案】A【解】,.,解得．故选：A. 2.下列函数满足的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】令，则，结合各选项代入验证，即可判断答案． 【解】令，，则，由可得， 对于A，，故A错误； 对于B，，不满足，B错误； 对于C，，即，即，C正确； 对于D，，即不成立，D错误．故选：C． 3.已知函数，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】利用换元法令，代入运算求解即可. 【解】令，则，由于，则， 可得， 所以.故选：B. 3.已知，则的解析式是(   ). A． B． C． D． 【答案】A【解】令，则，而，于是， 因此， 所以的解析式是.故选：A 4.已知定义域为R的函数满足，则___________. 【答案】【解】因为，所以， 同除以2得， 两式相加可得，即.故答案为：. 7．已知函数满足，则函数的解析式为______. 【答案】【解】 ①中将换成，得 ②， 由①②联立消去得，故答案为：． 考点4 函数值与函数值域 题型精讲 方法探究 命题点1 求函数值 【例4-1】(2022·江苏南通·模拟预测)若函数f(x)满足f(2x)＝x，则f(5)＝(       ) A．25 B．52 C．log52 D．log25 【解】．∴，∴，故选：D． 【例4-2】(2025·四川·一模)函数，若．则(   ) A． B． C．0 D．3 【答案】D【解】函数，若，则， 则.故选：D. 【例4-3】(多选)已知函数，且，则a的值为(    ) A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】AB【解】令,则,所以, 所以；所以,即, 解得或,故选：AB. 命题点2 二次函数值域 【例4-4】函数，的最小值是 . 【答案】【分析】根据二次函数的单调性进行求解即可. 【解】因为的图象开口向上，对称轴为， 又，所以的最小值是；故答案为：. 【例4-5】下列函数中，值域是的是(    ) A． B． C． D． 【答案】AC【解】对于A，，由于，故，A正确； 对于B, ,令 ，则，当时，递增，故的最小值为，即值域为，B错误； 对于C, 需满足，即，， 故，当时取等号，C正确； 对于D，，即函数值域为，D错误，故选：AC. 命题点3 分式型函数值域 【例4-6】(2024·山西太原·校考)函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【答案】B【分析】先分离常数，再确定分式函数值域，最后确定整个函数的值域. 【解】，而由函数向右平移3个单位得到， 所以和的值域相同，都为，所以得值域为，故选：B 【例4-7】(2024·上海·校考期末)函数的值域是 ． 【答案】【分析】分离常数化简解析式，由指数函数的性质以及不等式性质，可得答案. 【解】由题意可知，函数，由，，或， 则或，即函数值域为；故答案为： 命题点4 根式型函数值域 【例4-8】函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】C【分析】令，，可得，利用函数单调性求值域. 【解】令，，则，所以函数， 函数在上单调递增，时，有最小值，所以函数的值域为；故选：C 命题点5 根据值域求参数或参数范围 【例4-9】(2024·河南郑州·校考一模)，若值域为，则实数取值范围是(    ) A． B． C． D． 【答案】A【分析】借助的值域为可得要取遍所有的正数，对进行分类讨论即可得. 【解】若函数的值域为，则要取遍所有的正数． 所以或，解得，即实数的取值范围是；故选：A． 【例4-10】已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】【分析】分类讨论，在时由可得． 【解】时，不合题意，因此且，∴，故答案为：． 举一反三 熟能生巧 1.已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】B【解】集合，，则，所以.故选：B 2.已知函数，若，则(    ) A．2 B．1 C．0 D．-1 【答案】A【解】令，则，解得或(舍)， 即，解得，故A正确；故选：A. 3．已知函数则函数的值域为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】，由，解得. ；令， 函数.当时，；当时，， 函数的值域为.故选：D. 4．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为 . 【答案】【解】，则，即， 当时，；当时，； 当时，；当时，， 综上，函数的值域为；故答案为：. 5.已知函数的值域为，则常数 ． 【答案】7或【解】因为，所以，，即， 因为函数的值域为，所以是方程的两个根， 所以，，解得或，所以7或；故答案为：7或. 8.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 【答案】{y|y≤2}【解】当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x<1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x<0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2；故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示．由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 考点5 分段函数 方法提炼 思维升华 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (4)对含有绝对值的函数，首先根据绝对值的意义去绝对值符号，转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 题型精讲 方法探究 【例5-1】已知函数，则 . 【答案】4【解】由，所以， 所以；故答案为：4. 【例5-2】已知函数，则(        ) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B【解】因为，所以；故选：B 【例5-3】设函数,(       ) A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C【解】.故选C. 【例5-4】已知函数若，则m的值为(       ) A． B．2 C．9 D．2或9 【答案】C【解】∵函数，，∴或，解得.故选：C. 【例5-5】已知函数若，则实数(    ) A． B．2 C．4 D．6 【答案】B【解】由题知，；所以， 因为时，，所以，，所以，解得.故选：B 【例5-6】已知函数，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D【解】因为，所以，解得；故选：D 举一反三 熟能生巧 1.已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　) A．－ B．2 C．4 D．11 【答案】C【解】由函数的解析式可得，f(1)＝12＋2＝3，则f(f(1))＝f(3)＝3＋＝4. 2..己知函数，则(       ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B【解】由题意，得，，故选：B． 3.已知函数且，则(    ) A．-16 B．16 C．26 D．27 【答案】C【分析】根据函数解析式，结合指数对数运算性质分类讨论进行求解即可. 【解】当时，， 当时，，所以，故选：C 4.函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 【答案】－或10【解】当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)； 当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10;综上可知，x0＝－或x0＝10. 5.已知，若，则(       ) A．2 B． C．1 D．0 【答案】B【解】∵，，∴必有， ∴，解得或(舍去)，∴.故选：B. 6.设，若，则__________，__________. 【答案】；6【解】若，则，由，得，即， 解得：(舍去)或； 若，由，得，该方程无解. 综上可知，，；故答案为：； 6 7.(2024·江苏常州·高三统考)函数若，则实数的值为 ． 【答案】【分析】利用分段函数求解即可. 【解】，，．故答案为： 8.已知函数若，则实数 ． 【答案】3【解】由，故答案为： 9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】【分析】先求解出时的值域，然后根据分类讨论时的值域，由此确定出的取值范围. 【解】当时，，此时， 当且时，，此时，且，所以不满足； 当且时，， 由对勾函数单调性可知在上单调递增，在上单调递减， 所以，此时， 若要满足的值域为，只需要，解得； 当且时，因为均在上单调递增， 所以在上单调递增，且时，，时，， 所以此时，此时显然能满足的值域为； 综上可知，的取值范围是，故答案为：. 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 《2026届高考一轮复习 数学考点突破》2-1 函数及其表示 目录 三年高考命题解读 2 核心知识 考点梳理 2 一、函数的有关概念 2 二、函数的定义域 3 三、函数的解析式 3 四、函数值域 4 真题感悟 明察考情 4 考点题型 疑难解惑 5 考点1 函数关系的判断 5 题型精讲 方法探究 5 命题点1 判断是否是函数 5 命题点2 判断两个函数是否是相同函数 5 方法提炼 思维升华 6 举一反三 熟能生巧 6 考点2 函数定义域 7 题型精讲 方法探究 7 命题点1 求具体函数的定义域 7 命题点2 求抽象函数的定义域 7 命题点3 已知定义域求参数范围 8 举一反三 熟能生巧 8 考点3 求函数解析式 9 题型精讲 方法探究 9 命题点1 待定系数法(函数类型确定) 9 命题点2 换元法或配凑法(适用于型，注意定义域) 10 命题点3 构造方程组法 10 举一反三 熟能生巧 10 考点4 函数值与函数值域 11 题型精讲 方法探究 11 命题点1 求函数值 11 命题点2 二次函数值域 11 命题点3 分式型函数值域 11 命题点4 根式型函数值域 11 命题点5 根据值域求参数或参数范围 11 举一反三 熟能生巧 12 考点5 分段函数 12 方法提炼 思维升华 12 题型精讲 方法探究 12 举一反三 熟能生巧 13 三年高考命题解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 定义域 2022北京卷 求具体函数的定义域。 函数值 2024上海卷、2023北京卷、 求函数值；已知函数值求字母。 值域 2025北京卷、2023上海卷 函数定义域、值域与充要条件； 核心知识 考点梳理 一、函数的有关概念 1.函数定义：一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A． 注意：判断一个对应关系是否为函数的方法 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域； (2)与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然，． (3)函数的对应关系(解析式)：. 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 两个函数相等，也就是说这两个函数是相同的。 4.函数的表示法：解析法、列表法、图象法. 解析法(最常用) 图象法(解题助手) 列表法 用一个代数式表示变量x，y之间的关系，通过关系式可以由x的值求出y的值. 把x，y之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x，y的值. 就是将变量x，y的取值列成表格，由表格直接反映出两者的关系. 一般情况下，须注明定义域 选取的自变量值要有代表性，应能反映定义域的特征 注意定义域对图象的影响；须清楚函数图象是“点”还是“线” 二、函数的定义域 1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见初等函数定义域的要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切的定义域是且； (6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.区间： 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3.复合函数的定义域 (1)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集； (2)已知的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为函数y＝g(x)(x∈)的值域. 三、函数的解析式 1.求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含x的式子配成，用配凑法。若易换元后求出x，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现同时含有与的等式或同时含有，的等式时，则常用解方程组法构造另一个方程，消元的方法求出 2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 四、函数值域 求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如()的函数分离常数，变形过程为：， 再结合的取值范围确定的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法： 如：，可以令，得到， 从而函数可以化为，即关于t的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)反解法 (5)数形结合法 (6)单调性法 (7)求导法 【常用结论】 1.直线x＝a与函数y＝f(x)的图象至多有1个交点． 2.在函数的定义中，非空实数集A，B，其中A即为函数的定义域，值域为B的子集． 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 4.y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于f与x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． 真题感悟 明察考情 1.(2025北京卷T7)已知函数的定义域为D，则“函数的值域为”是“对任意，存在，使得”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．(2024上海卷T2)已知则 ． 3.(2023北京卷T11)已知函数，则 ． 4.(2023上海卷)已知函数，且则方程的解为 ． 5.(2022北京卷T11)函数的定义域是_________． 考点题型 疑难解惑 考点1 函数关系的判断 题型精讲 方法探究 命题点1 判断是否是函数 【例1-1】(多选)集合，下列图象能表示集合到集合的函数关系的有(    ) A． B． C． D． 【例1-2】(多选)对于集合，，由下列图形给出的对应中，不能构成从到的函数有(  )个 A．  B．  C．  D．   【例1-3】(2024广东佛山二模)如图，是边长为2的正三角形，记位于直线)左侧的图形的面积为．则函数的大致图象是(    )   A． B．   C． D．     命题点2 判断两个函数是否是相同函数 【例1-4】(2024江西九江模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【例1-5】(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是(    ) A．， B．， C．， D．， 【例1-6】下列各函数中，与函数表示同一函数的是(    ) A． B． C． D． 方法提炼 思维升华 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 任取一条垂直于x轴的直线l；在定义域内平行移动直线l； (1)若l与图形有且只有一个交点，则是函数； (2)若在定义域内无交点或有两个或两个以上交点，则不是函数． 2.判断两个函数是同一个函数的方法： 两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 举一反三 熟能生巧 1.已知，下列图形能表示以A为定义域，B为值域的函数的是(    ) A．  B． C．    D．       2.已知集合，下列对应关系能够构成从到的函数的是(    ) A． B． C． D． 2.函数y=f(x)的图象与直线的交点个数(        ) A．至少1个 B．至多1个 C．仅有1个 D．有0个、1个或多个 3.下面各组函数中为相同函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 4.(多选)设集合，则下列图象能表示集合到集合Q的函数关系的有(　　) A．B．  C．  D． 5.(多选)下列各组函数不是同一个函数的是(    ) A．与 B．与 C．与 D．与 考点2 函数定义域 题型精讲 方法探究 命题点1 求具体函数的定义域 【例2-1】(2023·烟台调考)函数的定义域为(　　) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 【例2-2】(2025届甘肃省武威市凉州区高三一模T2)函数的定义域为( ) A. B. C D. 【例2-3】函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 命题点2 求抽象函数的定义域 【例2-4】已知函数的定义域是，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【例2-5】已知函数的定义域为，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 【例2-6】已知的定义域为，则的定义域为( ) A． B． C． D． 【例2-7】已知函数的定义域为，则的定义域为(    ) A． B． C． D． 命题点3 已知定义域求参数范围 【例2-8】函数的定义域是，则的取值范图是(　　) 【例2-9】已知函数的定义域为，且，则的取值范围是_______． 【例2-10】已知函数的定义域为,求实数的取值范围(    ) A． B． C． D． 【例2-11】若函数的定义域为，则的值为 ． 【例2-12】已知函数的定义域为，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．4 D．5 易错提醒 易错点：忽略二次型式子中最高项的系数为0 避错策略：应密切注意项的系数是否为0，若不能确定，应分类讨论. 举一反三 熟能生巧 1.下列函数中，定义域为的是(    ) A． B． C． D． 2.函数的定义域为(    ) A．{且} B．{且} C． D．{且} 3.已知函数的定义域是，则函数的定义域是(    ) A． B． C． D． 4.若幂函数的图象过点，则的定义域是(    ) A． B． C． D． 5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为(    ) A． B． C． D． 6.(2024福建龙岩高一校联考期末)若幂函数的图象过点，则的定义域是(    ) A． B． C． D． 7.(2024·吉林通化·高三校考)已知函数的定义域是R，则的取值范围是(    ) A． B． C． D． 8.(多选)已知函数=，下列结论不正确的是( ) A．定义域为 B．定义域为 C．定义域为 D．定义域为 9.(多选)(2025届成都蓉城名校联盟高三上开学联考T9)下列说法正确的是( ) A. 函数的定义域为，则函数的定义域为 B. 与表示同一个函数 C. 关于的不等式的解集为，若，则 D. 若，则的取值范围为 10.函数的定义域为，则实数的值为 ． 11.已知函数的定义域是，则函数的定义域为______. 12.若函数的定义域为，则实数a的取值范围为 . 考点3 求函数解析式 题型精讲 方法探究 命题点1 待定系数法(函数类型确定) 【例3-1】(2024江苏高一练习)已知函数是一次函数，且，则(    ) A．11 B．9 C．7 D．5 【例3-2】设二次函数满足，且，求的解析式. 命题点2 换元法或配凑法(适用于型，注意定义域) 【例3-3】(2024·河北·模拟预测)已知，则(       ) A． B． C． D． 【例3-4】已知函数，则的解析式为(    ) A． B． C． D． 命题点3 构造方程组法 【例3-6】已知函数的定义域为，且，则(       ) A． B． C． D． 【例3-7】已知满足，则解析式为 ． 【例3-8】已知定义在上的函数满足，则的值为( ) A． B． C． D． 举一反三 熟能生巧 1.已知函数，且，则(    ) A．7 B．5 C．3 D．4 2.下列函数满足的是(   ) A． B． C． D． 3.已知函数，则(    ) A． B． C． D． 3.已知，则的解析式是(   ). A． B． C． D． 4.已知定义域为R的函数满足，则___________. 7．已知函数满足，则函数的解析式为______. 考点4 函数值与函数值域 题型精讲 方法探究 命题点1 求函数值 【例4-1】(2022·江苏南通·模拟预测)若函数f(x)满足f(2x)＝x，则f(5)＝(       ) A．25 B．52 C．log52 D．log25 【例4-2】(2025·四川·一模)函数，若．则(   ) A． B． C．0 D．3 【例4-3】(多选)已知函数，且，则a的值为(    ) A．3 B．2 C．1 D．0 命题点2 二次函数值域 【例4-4】函数，的最小值是 . 【例4-5】下列函数中，值域是的是(    ) A． B． C． D． 命题点3 分式型函数值域 【例4-6】(2024·山西太原·校考)函数的值域是(    ) A． B． C． D． 【例4-7】(2024·上海·校考期末)函数的值域是 ． 命题点4 根式型函数值域 【例4-8】函数的值域为(    ) A． B． C． D． 命题点5 根据值域求参数或参数范围 【例4-9】(2024·河南郑州·校考一模)，若值域为，则实数取值范围是(    ) A． B． C． D． 【例4-10】已知，若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 举一反三 熟能生巧 1.已知集合，，则(    ) A． B． C． D． 2.已知函数，若，则(    ) A．2 B．1 C．0 D．-1 3．已知函数则函数的值域为(    ) A． B． C． D． 4．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，若函数，则函数的值域为 . 5.已知函数的值域为，则常数 ． 8.设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 考点5 分段函数 方法提炼 思维升华 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (4)对含有绝对值的函数，首先根据绝对值的意义去绝对值符号，转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 题型精讲 方法探究 【例5-1】已知函数，则 . 【例5-2】已知函数，则(        ) A．2 B．4 C．6 D．8 【例5-3】设函数,(       ) A．3 B．6 C．9 D．12 【例5-4】已知函数若，则m的值为(       ) A． B．2 C．9 D．2或9 【例5-5】已知函数若，则实数(    ) A． B．2 C．4 D．6 【例5-6】已知函数，若，则实数的值为(    ) A． B． C． D． 举一反三 熟能生巧 1.已知函数f(x)＝则f(f(1))等于(　　) A．－ B．2 C．4 D．11 2..己知函数，则(       ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知函数且，则(    ) A．-16 B．16 C．26 D．27 4.函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 5.已知，若，则(       ) A．2 B． C．1 D．0 6.设，若，则__________，__________. 7.(2024·江苏常州·高三统考)函数若，则实数的值为 ． 8.已知函数若，则实数 ． 9.已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 学科网(北京)股份有限公司第 1 页 共 25 页 学科网(北京)股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 1 页 共 14 页 《2026 届高考一轮复习 数学考点突破》2-1 函数及其表示 目录 三年高考命题解读 ............................................................................ 2 核心知识 考点梳理 ........................................................................... 2 一、函数的有关概念 ...................................................................... 2 二、函数的定义域 ........................................................................ 3 三、函数的解析式 ........................................................................ 3 四、函数值域 ............................................................................ 4 真题感悟 明察考情 ........................................................................... 4 考点题型 疑难解惑 ........................................................................... 5 考点 1 函数关系的判断 ....................................................................... 5 题型精讲 方法探究 ....................................................................... 5 命题点 1 判断是否是函数 ............................................................. 5 命题点 2 判断两个函数是否是相同函数 ................................................. 5 方法提炼 思维升华 ....................................................................... 6 举一反三 熟能生巧 ....................................................................... 6 考点 2 函数定义域 ........................................................................... 7 题型精讲 方法探究 ....................................................................... 7 命题点 1 求具体函数的定义域 ......................................................... 7 命题点 2 求抽象函数的定义域 ......................................................... 7 命题点 3 已知定义域求参数范围 ....................................................... 8 举一反三 熟能生巧 ....................................................................... 8 考点 3 求函数解析式 ......................................................................... 9 题型精讲 方法探究 ....................................................................... 9 命题点 1 待定系数法(函数类型确定) ................................................... 9 命题点 2 换元法或配凑法(适用于 f g(x) 型，注意定义域) ................................ 10 命题点 3 构造方程组法 .............................................................. 10 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 10 考点 4 函数值与函数值域 .................................................................... 11 题型精讲 方法探究 ...................................................................... 11 命题点 1 求函数值 ................................................................. 11 命题点 2 二次函数值域 ............................................................. 11 命题点 3 分式型函数值域 ........................................................... 11 命题点 4 根式型函数值域 ........................................................... 11 命题点 5 根据值域求参数或参数范围 ................................................. 11 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 12 考点 5 分段函数 ............................................................................ 12 方法提炼 思维升华 ...................................................................... 12 题型精讲 方法探究 ...................................................................... 12 举一反三 熟能生巧 ...................................................................... 13 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 2 页 共 14 页 三年高考命题解读 考点 新高考Ⅰ卷、新高考Ⅱ卷五年考情(2021-2025) 命题解读 定义域 2022 北京卷 求具体函数的定义域。 函数值 2024上海卷、2023北京卷、 求函数值；已知函数值求字母。 值域 2025 北京卷、2023 上海卷 函数定义域、值域与充要条件； 核心知识 考点梳理 一、函数的有关概念 1.函数定义：一般地，设 A，B是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系 f，使对于集合 A中的任意 一个数 x，在集合 B中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f：A→B为从集合 A到集合 B的一个函数， 记作 y＝f(x)，x∈A． 注意：判断一个对应关系是否为函数的方法 2.函数的三要素：定义域、解析式、值域. (1)在函数 ( ),y f x x A  中， x叫做自变量， x的取值范围 A叫做函数的定义域； (2)与 x的值相对应的 y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域。 显然， �(�) � ∈ � ⊆ B． (3)函数的对应关系(解析式)： ( ),y f x x A  . 3.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等． 两个函数相等，也就是说这两个函数是相同的。 4.函数的表示法：解析法、列表法、图象法. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 3 页 共 14 页 解析法(最常用) 图象法(解题助手) 列表法 用一个代数式 y = f(x)表示变量 x，y 之 间的关系，通过关系式可以由 x 的值求 出 y的值. 把 x，y之间的关系绘制成图象，图象上 每个点的坐标就是相应的变量 x，y的值. 就是将变量 x，y的取值列成表格，由表 格直接反映出两者的关系. 一般情况下，须注明定义域 选取的自变量值要有代表性，应能反映 定义域的特征 注意定义域对图象的影响；须清楚函数 图象是“点”还是“线” 二、函数的定义域 1.函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见初等函数定义域的要求为： (1)分式的分母不为零； (2)偶次方根的被开方数大于或等于零： (3)对数的真数大于零，底数大于零且不等于 1； (4)零次幂或负指数次幂的底数不为零； (5)三角函数中的正切 tany x 的定义域是 ,x x R 且x ≠ kπ + π2 , k ∈ Z ； (6)对于实际问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域． 2.区间： 集合 区间名称 符号表示 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋ 注意：不是任何数集都能用区间表示，如集合{0}就不能用区间表示． 3.复合函数的定义域 (1)若已知 f(x )的定义域为[a，b]，则 f g(x) 的定义域为不等式 a≤g(x)≤b的解集； (2)已知 f g(x) 的定义域为[a，b]，则 f(x)的定义域为函数 y＝g(x)(x∈ �, � )的值域. 三、函数的解析式 1.求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解； (2)当已知表达式为 f g(x) 时，可考虑配凑法或换元法； 若易将含 x的式子配成 g(x)，用配凑法。若易换元后求出 x，用换元法。 (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法； (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求； (5)当出现大基团换元转换繁琐时，可考虑配凑法求解； (6)若已知成对出现同时含有 ( )f x 与 f( 1 x )的等式或同时含有 ( )f x ， ( )f x 的等式时，则常用解方程组法构造另 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 4 页 共 14 页 一个方程，消元的方法求出 f(x)。 2.分段函数：若函数对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． (1)分段函数虽由几个部分构成，但它表示同一个函数． (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交，写分段函数的定义域时，区间端点应不重不漏． 四、函数值域 求函数值域的常用方法： (1)分离常数法： 将形如 y = cx+d �x+b ( 0a  )的函数分离常数，变形过程为：cx+d �x+b = c �(��+�)+d− bc � ��+� = c � + d−bc� ��+� ， 再结合 x的取值范围确定d− bc � ��+� 的取值范围，从而确定函数的值域. (2)换元法： 如：f(x) = �� + � + �� + �(�� ≠ 0)，可以令 t = cx + d(t ≥ 0)，得到 x = t 2−d c ， 从而函数可以化为 f(x) = g(t) = �(� 2−�) c + t + b(t ≥ 0)，即关于 t的二次函数的值域问题， 求解过程中要注意 t的取值范围的限制． (3)基本不等式法和对勾函数 (4)反解法 (5)数形结合法 (6)单调性法 (7)求导法 【常用结论】 1.直线 x＝a与函数 y＝f(x)的图象至多有 1个交点． 2.在函数的定义中，非空实数集 A，B，其中 A即为函数的定义域，值域为 B的子集． 3.分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 4.y＝f(x)仅仅是函数符号，不是表示“y等于 f与 x的乘积”，f(x)也不一定就是解析式． 真题感悟 明察考情 1.(2025 北京卷 T7)已知函数 ( )f x 的定义域为 D，则“函数 ( )f x 的值域为R ”是“对任意 RM  ，存在 0x D ， 使得  0f x M ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2．(2024 上海卷 T2)已知   , 0 , 1, 0 x xf x x     则  3f  ． 3.(2023 北京卷 T11)已知函数 2( ) 4 log xf x x  ，则 f( 1 2 ) = ． 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 5 页 共 14 页 4.(2023上海卷)已知函数 ( ) 2 1xf x   ，且 g(x) = log2(x + 1), x ≥ 0,f( − x), x < 0,则方程 ( ) 2g x  的解为 ． 5.(2022北京卷 T11)函数 1( ) 1f x x x    的定义域是_________． 考点题型 疑难解惑 题型精讲 方法探究 命题点 1 判断是否是函数 【例 1-1】(多选)集合    0 4 , 0 4P x x Q y y     ∣ ∣ ，下列图象能表示集合 P到集合Q的函数关系的有( ) A． B． C． D． 【例 1-2】(多选)对于集合  | 0 2A x x   ，  | 0 3B y y   ，由下列图形给出的对应中，不能构成从A到 B的函数有( )个 A． B． C． D． 【例 1-3】(2024广东佛山二模)如图，△ ���是边长为 2的正三角形，记△ ���位于直线� = �(0 ≤ � ≤ 2)左 侧的图形的面积为� � ．则函数� = � � 的大致图象是( ) A． B． C． D． 命题点 2 判断两个函数是否是相同函数 【例 1-4】(2024江西九江模拟预测)下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A．�(�) = �(� 2+1) �2+1 ，�(�) = � B．�(�) = �，�(�) = �2 C．�(�) = 1，�(�) = �∘ D．�(�) = �，�(�) = � 2 � 【例 1-5】(多选)下列每组中的函数不是同一个函数的是( ) A．  f x x ，    2g x x B．  f t t ，   2g x x 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 6 页 共 14 页 C．   32f x x  ，   2g x x  D．   2 9 3 xf x x    ，   3g x x  【例 1-6】下列各函数中，与函数 2( )g x x 表示同一函数的是( ) A． ( ) | |f x x B． ( ) | |f x x  C． 2 ( ) | | xf x x  D． 0( ) | |f x x x  方法提炼 思维升华 1.根据图形判断对应关系是否为函数的方法 任取一条垂直于 x轴的直线 l；在定义域内平行移动直线 l； (1)若 l与图形有且只有一个交点，则是函数； (2)若在定义域内无交点或有两个或两个以上交点，则不是函数． 2.判断两个函数是同一个函数的方法： 两个函数满足定义域和对应关系相同时，才是同一个函数． 1.已知 }0 2 ,{ | 1,2} {A x x B    ，下列图形能表示以 A为定义域，B为值域的函数的是( ) A． B． C． D． 2.已知集合 { | 0 4}, { | 0 2}M x x N x x      ，下列对应关系能够构成从M 到 N 的函数的是( ) A． :f x x B． 2:f x x C． :f x x D． : 1f x x  2.函数 y=f(x)的图象与直线 1x  的交点个数( ) A．至少 1个 B．至多 1个 C．仅有 1个 D．有 0个、1个或多个 3.下面各组函数中为相同函数的是( ) A．    21f x x  与   1g x x  B．   2 1f x x  与   1 1g x x x    C．   lnexf x  与   lne xg x  D．   0f x x 与   0 1g x x  4.(多选)设集合    0 4 , 0 4P x x Q y y      ，则下列图象能表示集合 P到集合 Q的函数关系的有( ) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 7 页 共 14 页 A． B． C． D． 5.(多选)下列各组函数不是同一个函数的是( ) A．   2 1 1 xf x x    与   1g x x  B．   32f x x  与   2g x x x   C．   2f x x  与   3 3 2g t t  D．   2 4f x x  与   2 2g x x x    题型精讲 方法探究 命题点 1 求具体函数的定义域 【例 2-1】(2023·烟台调考)函数� = 4−� 2 ln (�+1) 的定义域为( ) A.[－2，2] B.(－1，2] C.(－1，0)∪(0，2] D.(－1，1)∪(1，2] 【例 2-2】(2025 届甘肃省武威市凉州区高三一模 T2)函数  3log 1 4 x y x    的定义域为( ) A.    , 4 4,1    B.    , 1 1,4   C.  ,1 D.  1, 【例 2-3】函数 ( ) ln(1 )f x x  的定义域为( ) A． ( ,0] B． ( ,1) C．[0,1) D．[0, ) 命题点 2 求抽象函数的定义域 【例 2-4】已知函数 ( )f x 的定义域是[ 1,3] ，则函数 (2 1)( ) f xg x x   的定义域是( ) A． 3,5 B．   3,0 0,5  C．  0,2 D．  0,2 【例 2-5】已知函数  y f x 的定义域为 0,4 ，则函数 0( 1) ( 2)1 f xy x x      的定义域是( ) A．  1,5 B．    1,2 2,5 C．    1, 2 2,3 D．  1,3 【例 2-6】已知  2 1f x  的定义域为 3, 3  ，则  f x 的定义域为( ) A．  2 2 , B． 0,2 C． 1,2 D． 3, 3   【例 2-7】已知函数  1f x  的定义域为  1,3 ，则  2f x 的定义域为( ) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 8 页 共 14 页 A． 2,2 B． 0,4 C． 1,9 D．  0,8 命题点 3 已知定义域求参数范围 【例 2-8】函数�(�) = log2 (��2 − �� + 1)的定义域是�，则�的取值范图是( ) �．( −∞,0) ∪ (4, + ∞) �．(0,4) �．[0,4) �．( −∞,0] ∪ (4, + ∞) 【例 2-9】已知函数 1y ax  的定义域为A，且 3 A  ，则 a的取值范围是_______． 【例 2-10】已知函数 2 6 8y mx mx m    的定义域为R ,求实数m的取值范围( ) A．0 1m  B．0 1m  C．0 1m  D．0 1m  【例 2-11】若函数 2( ) 1f x ax bx   的定义域为 1{ | 1 } 3 x x   ，则 ab的值为 ． 【例 2-12】已知函数   2 2f x ax x c   的定义域为R，则 2 24a c 的最小值为( ) A．1 B．2 C．4 D．5 易错点：忽略二次型式子中最高项的系数为 0 避错策略：应密切注意�2项的系数是否为 0，若不能确定，应分类讨论. 1.下列函数中，定义域为R的是( ) A． y x B． 2logy x C． 2xy  D． 1y x  2.函数 1( ) 3 2 2 f x x x     的定义域为( ) A．{ 2| 3 x x  且 2x  } B．{ 2| 3 x x  且 2x  } C． 2| 2 3 x x      D．{ 2| 3 x x  且 2x  } 3.已知函数  y f x 的定义域是 8,1 ，则函数    2 1 2 f x g x x    的定义域是( ) A．    , 2 2,3   B．   8, 2 2,1  U C．  9 , 2 2,0 2      U D． 9 , 2 2      4.若幂函数 ( )f x 的图象过点 (4, 2)，则 (2 | |) ( ) f xy f x   的定义域是( ) A． ( 2,0) B． (0, 2] C． [0,2] D． ( 2,2) 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 9 页 共 14 页 5.已知函数  2 2y f x  的定义域为 1,3 ，则函数      1 ln 2 f x g x x    的定义域为( ) A．    2,3 3,5 B．  2,5 C．   2,3 3,5 D．  3,5 6.(2024 福建龙岩高一校联考期末)若幂函数 ( )f x 的图象过点 (4, 2)，则 y = f(2− x )f(x) 的定义域是( ) A． ( 2,0) B． (0, 2] C． [0,2] D． ( 2,2) 7.(2024·吉林通化·高三校考)已知函数 2 1( ) 2 1 f x mx mx    的定义域是 R，则m的取值范围是( ) A．0 1m  B．0 1m  C．0 1m  D．0 1m  8.(多选)已知函数 ( )f x =   2 lg 3 25 x x   ，下列结论不正确的是( ) A．定义域为  -5,5 B．定义域为 -5,5 C．定义域为  3,5 D．定义域为 3,5 9.(多选)(2025 届成都蓉城名校联盟高三上开学联考 T9)下列说法正确的是( ) A. 函数  2f x 的定义域为  0,1 ，则函数  1f x 的定义域为  1,1 B. 2y x 与 y x 表示同一个函数 C. 关于 x的不等式    1 0ax a x   的解集为  , 1A B x x ∣ ，若 A B ，则 0a  D. 若 1 3,2 4a b a b       ，则 2 3a b 的取值范围为 9 13,2 2      10.函数 2 2y ax x   的定义域为  2,1 ，则实数 a的值为 ． 11.已知函数� = � �2 − 4 的定义域是[ − 1,5]，则函数� = �(2� + 1)的定义域为______. 12.若函数 2 e( ) x f x x ax a    的定义域为R ，则实数 a的取值范围为 . 题型精讲 方法探究 命题点 1 待定系数法(函数类型确定) 【例 3-1】(2024 江苏高一练习)已知函数 ( )f x 是一次函数，且 [ ( ) 2 ] 3f f x x  ，则 (5)f  ( ) A．11 B．9 C．7 D．5 【例 3-2】设二次函数  f x 满足  0 1f  ，且    1 4f x f x x  ，求  f x 的解析式. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 10 页 共 14 页 命题点 2 换元法或配凑法(适用于 f g(x) 型，注意定义域) 【例 3-3】(2024·河北·模拟预测)已知  1 lnf x x  ，则  f x  ( ) A．  ln 1x  B．  ln 1x  C． ln 1x  D．  ln 1 x 【例 3-4】已知函数   21 1 1 0xf x x x              ，则  f x 的解析式为( ) A．   2 2f x x x  B．   2f x x x  C．   2f x x x  D．   2 2f x x x  命题点 3 构造方程组法 【例 3-6】已知函数 ( )f x 的定义域为 R，且 2( ) 2 ( )f x f x x x    ，则 ( )f x  ( ) A． 2 2 3 x x B． 22 3 x x C． 22 2 3 x x D． 2 3 x x 【例 3-7】已知  f x 满足    3 12 4xf x f x  ，则  f x 解析式为 ． 【例 3-8】已知定义在  0,  上的函数  f x 满足   1 154f x f x x        ，则  2f 的值为( ) A． 15 2 B． 15 4 C． 17 4 D． 17 2 1.已知函数  2 1 5 6f x x   ，且   9f t  ，则 t  ( ) A．7 B．5 C．3 D．4 2.下列函数满足    2 3log 3 log 2f f  的是( ) A． ( ) 1 lnf x x  B．   1f x x x   C．   1f x x x   D．   1f x x  3.已知函数� 1 − � = 1−� 2 �2 � ≠ 0 ，则� � =( ) A． 1 �−1 2 − 1 � ≠ 0 B． 1 �−1 2 − 1 � ≠ 1 C． 4 �−1 2 − 1 � ≠ 0 D． 4 �−1 2 − 1 � ≠ 1 3.已知 2 2 2 3 5( 1) ( 5)xf x x x x       ，则 ( )f x 的解析式是( ). A． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       B． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       C． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       D． 3 2( ) , (24, ) 1 1 xf x x x x       4.已知定义域为 R的函数  f x 满足     32 3f x f x x   ，则  f x  ___________. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 11 页 共 14 页 7．已知函数  f x 满足   1 12 2f x f x x        ，则函数  f x 的解析式为______. 题型精讲 方法探究 命题点 1 求函数值 【例 4-1】(2022·江苏南通·模拟预测)若函数 f(x)满足 f(2x)＝x，则 f(5)＝( ) A．25 B．52 C．log52 D．log25 【例 4-2】(2025·四川·一模)函数    2 2 1f x x x   ，若   1f a   ．则  f a  ( ) A． 3 B． 1 C．0 D．3 【例 4-3】(多选)已知函数   21 3f x x x   ，且   2f a   ，则 a的值为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 命题点 2 二次函数值域 【例 4-4】函数   22 4 7f x x x   ，  1,8x  的最小值是 . 【例 4-5】下列函数中，值域是 0,  的是( ) A． 2 2 1y x x   B． 2 2 1 2 y x x    C． 2 2y x x    D． 1 2 y x   命题点 3 分式型函数值域 【例 4-6】(2024·山西太原·校考)函数 2 1 3 xy x    的值域是( ) A．    ,3 3,  B．    , 2 2,  C．R D．    , 2 3,   【例 4-7】(2024·上海·校考期末)函数 3 1 3 2 x xy    的值域是 ． 命题点 4 根式型函数值域 【例 4-8】函数 1 1 2y x x    的值域为( ) A． 1, 2     B． 0 +， C． 1 ,2    D． 1 , 2      命题点 5 根据值域求参数或参数范围 【例 4-9】(2024·河南郑州·校考一模)    2ln 2 1f x ax x   ，若  f x 值域为R ，则实数 a取值范围是( ) A． 0,1 B．  0,1 C．  1,  D．  0,  学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 12 页 共 14 页 【例 4-10】已知 2( ) 1f x mx mx   ，若函数 ( )y f x 的值域为[0, ) ，则实数m的取值范围为 . 1.已知集合   lg 2M x y x   ，  e 1xN y y   ，则M N  ( ) A．  ,  B．  1, C． 1,2 D．  2, 2.已知函数    2 2 , ex af x x x g x    ，若   2 3f g  ，则 a ( ) A．2 B．1 C．0 D．-1 3．已知函数 1( ) (1 2),f x x x    则函数 2( ) 2 ( ) ( )g x f x f x  的值域为( ) A．[3, 2 2 2] B． 5[ ,3] 4 C． 9[ ,3] 16 D． 1[ 2,3] 2  4．高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数” 为：设 x R ，用  x 表示不超过 x的最大整数，则  y x 称为高斯函数.例如：  2.1 3, 3.1 3      ，若函数   2 5 2 1 x xf x    ，则函数  y f x   的值域为 . 5.已知函数 2 1 ax by x    的值域为  1,4 ，则常数 a b  ． 8.设 x∈R，则函数 y＝2|x－1|－3|x|的值域为________． 方法提炼 思维升华 (1)分段函数求值的方法 ①先确定要求值的自变量属于哪一段区间． ②然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现 f(f(x0))的形式时，应从内到外依次求值． (2)已知分段函数的函数值求对应的自变量的值，可分段利用函数解析式求得自变量的值，但应注意检验函数 解析式的适用范围，也可先判断每一段上的函数值的范围，确定解析式再求解． (3)分段函数图象的画法 作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保 留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏． (4)对含有绝对值的函数，首先根据绝对值的意义去绝对值符号，转化为分段函数，然后分段作出函数图象． 题型精讲 方法探究 【例 5-1】已知函数    21 1 log 2 , 1 2 , 1x x x f x x        ，则   2f f   . 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 13 页 共 14 页 【例 5-2】已知函数   8 , 0 3 , 0 2 x x f x f x x          ，则  4f   ( ) A．2 B．4 C．6 D．8 【例 5-3】设函数 21 1 log (2 ), 1, ( ) 2 , 1,x x x f x x       , 2( 2) (log 12)f f   ( ) A．3 B．6 C．9 D．12 【例 5-4】已知函数   1 2 2 1, 0, , 0, x x f x x x       若   3f m  ，则 m的值为( ) A． 3 B．2 C．9 D．2或 9 【例 5-5】已知函数   3 2 , 1, 12, 1, x xf x x x         若    2 0f f a   ，则实数 a ( ) A． 2 B．2 C．4 D．6 【例 5-6】已知函数   2 2 1, 2 , 2 x x f x x ax x         ，若 [ (1)] 6f f   ，则实数 a的值为( ) A． 3 B．3 C． 1 D．1 1.已知函数 f(x)＝ � + 1 �−2 , � > 2, �2 + 2, � ≤ 2, 则 f(f(1))等于( ) A．－1 2 B．2 C．4 D．11 2..己知函数   3 2 3, 1 log , 1 x f x x x x       ，则 1 3 f f         ( ) A．1 B．2 C．3 D．4 3.已知函数     1 3 3 1, 1, log 5 2, 1, x x f x x x        且   2f m   ，则  6f m  ( ) A．-16 B．16 C．26 D．27 4.函数 f(x)＝ �2 + 2, � ≤ 2, 4 5 �, � > 2, 若 f(x0)＝8，则 x0＝________. 学科网(北京 )股份有限公司 学科网(北京 )股份有限公司 第 14 页 共 14 页 5.已知   3, 0 , 0 x x f x x x     ，若    3 2f a f a   ，则  f a  ( ) A．2 B． 2 C．1 D．0 6.设     ,0 1 2 1 , 1 x x f x x x       ，若    1f a f a  ，则 a __________， 1f a       __________. 7.(2024·江苏常州·高三统考)函数   2 1 3 3 , 0 log 2, 0 a x x xf x x x          若 1 3 f f a        ，则实数 a的值为 ． 8.已知函数   3 2 1, 1, , 1, x x f x x ax x        若   0 2f f   ，则实数 a  ． 9.已知函数 2 2 2, 0 3 , 0 x x x y ax a x x          的值域为R ，则实数 a的取值范围为 ．