精品解析：贵州省贵阳市清镇市博雅实验学校2024-2025学年高二下学期期末考试数学试题

清镇市博雅实验学校2024-2025学年度第二学期期末考试题 高二数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 3. 已知，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 4. 4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 360 5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，发现该“方斗”可盛米的总质量为98kg，则当米的高度是“方斗”高度的一半时，该“方斗”盛米的质量为（ ） A. 36kg B. 37kg C. 48kg D. 49kg 6. 已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ） A. B. C. D. 7. 在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数的零点分别是，则（ ） A B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法正确的是（ ） A. 极差为6 B. 平均数为5 C. 没有众数 D. 中位数为5 10. 数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ） A. B. C D. 当或时，最大 11. 设正实数m、n满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知角，满足，，则__________. 13. 小珠上午去游泳的概率为，下午去游泳的概率为.记小珠在上午不去游泳的条件下，下午去游泳的概率为；小珠在上午去游泳的条件下，下午去游泳的概率为，若，则__________. 14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为________． 四、解答题：本大题共5小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的前n项和． 16. 某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况 第t天 1 2 3 4 5 6 7 预约量y（万张） 9.03 9 8.58 87 8.76 8.74 8.79 经计算得：，，． （1）由于前两天预约游览免费，所以剔除第1、2两天数据，求y关于t的线性回归方程及第5天的残差： （2）为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上2×2列联表： ②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，， 17. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． （1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 18 已知函数，，． （1）若函数存在2个零点，求的取值范围； （2）记， ①当时，求的最小值； ②若的最小值为2，求的取值范围． 19. 已知数列满足，其中． （1）设，求证：数列是等差数列； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和； （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 清镇市博雅实验学校2024-2025学年度第二学期期末考试题 高二数学 考试用时：120分钟 卷面总分：150分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的并集、补集的运算即可求解. 【详解】由，则， 集合， 故 故选：D. 2. 的虚部为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数代数形式的运算法则以及虚部的定义即可求出. 【详解】因为，所以其虚部为1， 故选：C. 3. 已知，，则可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合对数运算性质即可得解． 【详解】由对数运算性质可得， 故选：D． 4. 4月15日，人工智能模型OpenAI推出参数规模达10万亿级的GPT-5，支持20万字长文本理解，推理速度较GPT-4提升3倍．小明等5位同学组成人工智能调研小组，准备对OpenAl、DeepSeek、百度文心一言和腾讯元宝等4种人工智能模型展开学习研究，每位同学只调研一种模型，每个模型至少由一位同学调研，则不同的总方案数为（ ） A. 180 B. 240 C. 288 D. 360 【答案】B 【解析】 【分析】5位同学，分为2,1,1,1，根据组合和排列相关公式求解. 【详解】由题意得，5位同学对4种人工智能模型展开学习研究，分为2,1,1,1， 故不同的总方案数为. 故选：B 5. “方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台，现有“方斗”容器如图所示，已知，现往容器里加米，发现该“方斗”可盛米的总质量为98kg，则当米的高度是“方斗”高度的一半时，该“方斗”盛米的质量为（ ） A. 36kg B. 37kg C. 48kg D. 49kg 【答案】B 【解析】 【分析】设线段、、、的中点分别为、、、，利用台体的体积公式计算出棱台与棱台的体积之比，即可得出结果. 【详解】设线段、、、的中点分别为、、、，如下图所示： 易知四边形为等腰梯形，因为线段、的中点分别为、， 则， 设棱台的高为，体积为， 则棱台的高为，设其体积为， 当米的高度是“方斗”高度的一半时，设该“方斗”盛米的质量为， 因为体积之比等于质量之比， 所以， 所以，， 所以，当米的高度是“方斗”高度的一半时，该“方斗”盛米的质量为. 故选：B. 6. 已知是两个不共线的平面向量，向量，，若，则有（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先利用平面向量共线定理，由于，所以存在实数使得；然后将与的表达式代入，再根据平面向量基本定理，列出关于的方程组，最后求解方程组得出的关系. 【详解】解析　因为，所以存在实数使因为，， 所以，可得所以. 故选：C. 7. 在的展开式中，第、、项的二项式系数依次成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干条件得出，结合，可求得的值. 【详解】因为展开式中第、、项的二项式系数依次成等差数列，即， 即，整理得，即， 又因为，，故的值为. 故选：D. 8. 已知函数的零点分别是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由得，分别计算，由零点存在性定理得的范围，从而比较的大小关系. 【详解】令得，因为，所以即； ，因为，所以，所以， 又在R上单调递减，由零点存在性定理得； ，因为，所以，所以， 又函数在上单调递减，由零点存在性定理得， 所以， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 对于数据2，6，8，3，3，4，6，8，下列说法正确的是（ ） A. 极差为6 B. 平均数为5 C. 没有众数 D. 中位数为5 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据极差，平均数，众数，中位数定义分别计算判断即可. 【详解】数据从小到大排列为， 则极差为，A选项正确； 平均数为，B选项正确； 众数为，C选项错误； 中位数为，D选项正确； 故选：ABD. 10. 数列为等差数列，为其前项和，已知，则（ ） A B. C. D. 当或时，最大 【答案】AB 【解析】 【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式进行运算，即可得到判断. 【详解】设等差数列的公差为，则，故B正确； 所以，故A正确； ，故C错误； 由，可得， 由于二次函数的对称轴为，开口向上， 所以当或时，最小，故D错误； 故选：AB 11. 设正实数m、n满足，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最小值为2 C. 的最小值为2 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值可判断ABC，利用代换1法求最小值可判断D. 【详解】因为正实数m、n满足，所以由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故A正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故B正确； 又由基本不等式可得，当且仅当时取到等号，故C错误； 由，当且仅当时取到等号，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 12. 已知角，满足，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和差的余弦公式将题目中的两个等式展开，列方程组求解. 【详解】由①， ②， 将①②列成方程组可解得，. 则. 故答案为：. 13. 小珠上午去游泳的概率为，下午去游泳的概率为.记小珠在上午不去游泳的条件下，下午去游泳的概率为；小珠在上午去游泳的条件下，下午去游泳的概率为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用全概率公式即可求得结果. 【详解】设事件A为“小珠上午去游泳”，事件为“小珠下午去游泳”，则，， 所以，解得. 故答案为： 14. 已知空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．用以上知识解决下面问题：已知平面的方程为，直线l是两个平面与的交线，则直线l与平面所成角的余弦值为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得平面、平面及平面的法向量，根据已知可知直线与平面及平面的法向量垂直，可设出直线的方向向量并计算得解，再利用向量的夹角公式计算即可得直线与平面所成角的余弦值. 【详解】由题意可得平面的法向量可为， 平面的法向量可为， 平面法向量可为， 设直线的方向向量为， 则有，取，则有、， 则直线的方向向量可为， 则， 故直线l与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共78分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，且，．数列为等比数列，且，． （1）求数列和的通项公式； （2）求的前n项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用来求解即可； （2）利用分组求和法，然后利用公式法分别求和，再相减． 【小问1详解】 解：由于数列为等差数列 所以，解得， 所以． 由于数列为等比数列 所以，解得， 所以． 【小问2详解】 ． 16. 某景区为测试并推广一款预约游览APP，上线的第1、2两天在APP上预约可获得费游览资格，第3天开始恢复为原票价，下表是该景区在该APP上前7天的预约情况 第t天 1 2 3 4 5 6 7 预约量y（万张） 9.03 9 8.58 8.7 8.76 8.74 8.79 经计算得：，，． （1）由于前两天预约游览免费，所以剔除第1、2两天数据，求y关于t的线性回归方程及第5天的残差： （2）为了调查该APP在不同年龄的人群中的推广情况，从第7天成人游客中随机抽取200人进行分析，所得的部分数据见下表： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 其它方式购票人数 80 合计 100 ①完成以上2×2列联表： ②如果有95%的把握认定游客通过APP预约游览与其年龄有关，就要进行针对性宣传，请你判断是否需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传． 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 参考公式：，， 【答案】（1），残差为0.046 （2）①列联表见解析；②需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传，理由见解析 【解析】 【分析】（1）计算出剔除第1、2两天数据后的相关量，代入公式计算出线性回归方程，并计算出第5天的残差； （2）完善列联表，代入公式，计算出卡方，与3.841比较后得到结论. 【小问1详解】 剔除掉第1、2两天数据后，， ，， ， 故， ， 故y关于t的线性回归方程为， 第5天的残差为； 【小问2详解】 ①列联表如下： 50岁以下 50岁（含50）以上 合计 通过APP预约人数 70 50 120 其它方式购票人数 30 50 80 合计 100 100 200 ②需要针对年龄超过50岁（含50）以上人群进行宣传，理由如下： 零假设认定游客通过APP预约游览与其年龄无关， 则， 根据小概率事件原理，可知零假设不成立，故认定游客通过APP预约游览与其年龄有关， 需要针对年龄超过50岁（含50）以上的人群进行宣传. 17. 甲汽车配件厂生产了一种塑胶配件，质检人员在这批配件中随机抽取了100个，将其质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如图所示的频率分布直方图，且当配件的质量指标值不小于80分时，配件为“优秀品”． （1）求这组数据的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表） （2）以频率估计概率，在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取3件产品，随机变量X表示：抽得的产品为“优秀品”的个数，求X的分布列及数学期望； 【答案】（1）76.5 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数的计算公式，利用每组区间的中点值乘以该组的频率再求和来计算平均数，需要先根据频率分布直方图的性质求出的值. （2）先求出甲厂产品为“优秀品”的概率，由于是有放回的抽取，所以随机变量服从二项分布，根据二项分布的概率公式求出分布列，再根据期望公式求出数学期望. 【小问1详解】 由题知，，解得． 设为样本数据的平均数，则， 故这组样本数据的平均数为． 【小问2详解】 设表示在甲配件厂生产的这批产品中随机抽取一件产品，所抽取的产品为优秀品的概率， 由题知， 随机变量，的所有可能取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 0.216 0.432 0.288 0.064 随机变量的数学期望． 18. 已知函数，，． （1）若函数存在2个零点，求的取值范围； （2）记， ①当时，求的最小值； ②若的最小值为2，求的取值范围． 【答案】（1） （2）①最小值2；② 【解析】 【分析】（1）由题知，存在2个零点，即有两个解，设，求导分析单调性，根据单调性取得参数范围即可 （2）①由题得，设，然后求导，根据单调性确定的最值即可得到的最小值； ②利用，即可求得的范围. 【小问1详解】 函数的定义域为，令，则， 设，则，令，得 ，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 因为，，当时，，所以． 【小问2详解】 ①当时，， 设，则， 令，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，当时，取到最小值2． ②， 由①知，，当且仅当取到等号，所以， 所以． 19. 已知数列满足，其中． （1）设，求证：数列是等差数列； （2）在（1）的条件下，求数列的前项和； （3）在（1）的条件下，若，是否存在实数，使得对任意的，都有，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）； （3）存在；． 【解析】 【分析】（1）结合递推关系，证明为常数即可； （2）由错位相减法求和； （3）命题等价成恒成立，转为说明恒成立，对分奇偶讨论，分别求恒成立问题即可. 【小问1详解】 证明： ， 数列是首项为2，公差为2的等差数列， 【小问2详解】 ，， ， ， 得：，其中，是首项， 公比的等比数列的前项和，根据等比数列的前项和公式， 这里的首项，公比，项数为， ， 所以， 【小问3详解】 存在，理由如下： 则， 若对任意的，都有， 则等价于恒成立， 即恒成立，， 当为偶数时，，则， 当为奇数时，时，则 综上，存在，使得对任意的，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $