1.3几何证明举例第一课时平行线的性质定理和判定定理 同步练习 2025—2026学年青岛版数学八年级上册

1.3 几何证明举例 第1课时 平行线的性质定理和判定定理 知识点1 平行线的性质定理和判定定理 1．如图，与相交于点，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了平行线．熟练掌握平行线的判定和性质，是解决问题的关键． 内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等解答． 【详解】∵，∴，∴． 故选：D． 2．如图，已知，增加以下的一个条件后能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”可判定，不能判定，不符合题意； B、，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定，不能判定，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，符合题意； D、，不能判定，不符合题意， 故选：C． （1题） （2题） （3题） 3．将一块等腰直角三角板按如图所示的方式放置在一块矩形硬纸板上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解问题的关键，正确地作出辅助线是解决问题的难点． 过点作，先证，进而根据平行线的性质得，进而得，，由此可得的度数． 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ， ， ， 故选：B． 4．下列命题是假命题的是（   ） A．同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及平行线的判定与性质． 根据各选项所述内容，结合平行线的相关定理逐一分析即可． 【详解】解：在两直线平行时，同位角才相等，同位角不一定相等，故A是假命题； 同旁内角互补，两直线平行，这是平行线判定定理，故B是真命题； 两条直线都与第三条直线平行，则它们互相平行，这是平行公理的推论，故C是真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，符合平行公理，故D是真命题， 故选：A． 5．将一副三角板按如图放置，其中，，，有下列结论：①；②若，则；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中角度的计算、平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：①∵， ∴， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴， ∴，故②正确，符合题意； ③∵，， ∴，故③正确，符合题意； 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：D． 6．如图，已知，点在，之间，的角平分线与的角平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，解题关键是作辅助线构造内错角，依据平行线的性质进行推导计算． （1）根据角平分新的定义得到，，然后过点F作， 即可得到，根据内错角相等得到，，然后根据角的和差解答即可； （2）过点E作，由（1）即可得到，根据角平分线得到，，然后过点F作，得到，然后解答即可． 【详解】（1）解：∵的角平分线与的角平分线交于点，，， ∴，， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：，理由为： 过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵的角平分线与的角平分线交于点， ∴，， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 知识点2 互逆命题与逆定理 7．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理、命题的真假判断、逆命题的概念，解题的关键是掌握：两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题；定理是通过逻辑推理证明为真的命题或公式．据此判断即可． 【详解】解：A．命题一定有逆命题，故此选项符合题意； B．真命题不一定是定理，故此选项不符合题意； C．真命题的逆命题不一定是真命题，故此选项不符合题意； D．假命题的逆命题不一定是假命题，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查命题真假的判断，涉及平行线的判定与性质． 根据各选项所述内容，结合平行线的相关定理逐一分析即可． 【详解】解：在两直线平行时，同位角才相等，同位角不一定相等，故A是假命题； 同旁内角互补，两直线平行，这是平行线判定定理，故B是真命题； 两条直线都与第三条直线平行，则它们互相平行，这是平行公理的推论，故C是真命题； 过直线外一点有且只有一条直线与该直线平行，符合平行公理，故D是真命题， 故选：A． 9．已知命题：“同位角相等”它的逆命题是 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同位角 【分析】本题考查了逆命题的问题，交换原命题的题设与结论得到它的逆命题，掌握逆命题的定义是解题的关键． 【详解】解：“同位角相等”的逆命题为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同位角． 10．推理填空，并把证明过程补充完整： 如图，点D，E，H分别在三角形的边上，连接，过点C作交的延长线于点F且满足．若，，求证：． 证明：∵（已知） ∴________（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（________________） ∴（________________） ∴________（________________） ∵（已知） ∴（________________） 【答案】；等量代换；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；同角的补角相等 【分析】本题考查平行线的判定与性质，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质的依据．根据平行线的判定与性质填空证明过程即可， 【详解】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） ∵（已知） ∴（同角的补角相等） 跟踪练习 1．有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题的概念及判断命题的真假，直角三角形的判定与性质，熟练掌握逆命题的概念及判断命题的真假是解题的关键．逐一分析各命题的逆命题是否成立即可． 【详解】解：①原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，不符合题意； ②原命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合题意； ③原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，则两直线平行”，是真命题，符合题意； ④原命题“相等的两个数的平方相等”的逆命题为“平方相等的两个数相等”，是假命题，不符合题意． 综上，逆命题成立的为②和③，共2个． 故选：C． 2．如图，将木条a，b和c钉在一起，，要使木条a和b平行，木条a需要顺时针旋转的最小度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等两直线平行求出旋转后的同位角的度数是解题的关键． 根据同位角相等两直线平行，求出旋转后的同位角的度数，然后用减去即可得到木条旋转的度数． 【详解】解：如图，   时，， 要使木条与平行，木条旋转的度数至少是． 故选：C． 3．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟知两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等是解题的关键． 作，根据平行线的性质可得，，然后由整理后可得答案． 【详解】解：如图，作，    ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即． 故选：C． 4．如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，平行公理的应用，根据平行线的判定与性质逐一分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴不一定正确，故①不符合题意； 如图，延长与的延长线交于点， ∵， ∴∠2=∠AQC ∵， ∴∠1=∠AQC ∴，故②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴不能得到，不能得到，故③不符合题意； ∵， ∴∠2=∠AQC， ∵， ∴∠1=∠AQC， ∴，不能得到，故④不符合题意； 故选：A． 5． 如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为 ． 【答案】/136度 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解决问题的关键是作平行线构造内错角，利用两直线平行内错角相等得出结论． 过点作，过点作，根据平行线的性质得到，结合角平分线的定义得到，同理可得． 【详解】解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 平分平分， ， 同理可得，， 故答案为：． （4题） （5题） 6．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 【答案】/80度 【分析】本题考查的是平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定并灵活运用． 过点作，得出，即可得，结合，得出，然后根据得出，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整． 理由：，（已知） ．（ ） ，，（已知） ．（等量代换） ，．（ ） ． ．（ ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，根据题干信息的提示逐步完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：，（已知） ，（两直线平行，内错角相等） ，，（已知） ．（等量代换） ，．（平角定义） ． ，（内错角相等，两直线平行）． 8．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3) 【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)图①中，即；图②中，；证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，熟记平行线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）如图①，过作直线，可得，再利用平行线的性质可得结论；如图②，过作直线，可得，再利用平行线的性质即可得到结论； （2）如图③，延长，交于点，过作，证明，再利用平行线的性质可得答案； （3）由（1）的结论可得：，，证明，，结合可得结论． 【详解】（1）解：如图①，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； 如图②，过作直线， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：如图③，延长，交于点，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④， 由（1）的结论可得：，， ∵和分别平分和， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 几何证明举例 第1课时 平行线的性质定理和判定定理 知识点1 平行线的性质定理和判定定理 1．如图，与相交于点，连接、，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知，增加以下的一个条件后能得到的是（     ） A． B． C． D． （1题） （2题） （3题） 3．将一块等腰直角三角板按如图所示的方式放置在一块矩形硬纸板上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．下列命题是假命题的是（   ） A．同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 D．过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 5．将一副三角板按如图放置，其中，，，有下列结论：①；②若，则；③．其中正确的结论有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6．如图，已知，点在，之间，的角平分线与的角平分线交于点． (1)若，，求的度数； (2)探究与的数量关系，并说明理由． 知识点2 互逆命题与逆定理 7．下列说法正确的是（　　） A．命题一定有逆命题 B．真命题一定是定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．假命题的逆命题一定是假命题 8．下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．全等三角形的对应边相等 D．两直线平行，同位角相等 9．已知命题：“同位角相等”它的逆命题是 10．推理填空，并把证明过程补充完整： 如图，点D，E，H分别在三角形的边上，连接，过点C作交的延长线于点F且满足．若，，求证：． 证明：∵（已知） ∴________（两直线平行，同位角相等） ∵（已知） ∴（________________） ∴（________________） ∴________（________________） ∵（已知） ∴（________________） 跟踪练习 1．有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．如图，将木条a，b和c钉在一起，，要使木条a和b平行，木条a需要顺时针旋转的最小度数是（    ） A． B． C． D． 3．已知，如图，，则，，之间的关系为（    ） A． B． C． D． 4．如图，下列结论：①若，则；②若，且，则；③若，且，则；④若，且，则．正确的有（   ）个． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，直线，点E，点P在两条平行线之间，和的角平分线交于点H，，则的度数为 ． （4题） （5题） 6．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，则的度数是 ． 7．如图是潜望镜工作原理示意图，阴影部分是平行放置在潜望镜里的两面镜子．已知光线经过镜子反射时，有，，请解释进入潜望镜的光线为什么和离开潜望镜的光线是平行的？请把下列解题过程补充完整． 理由：，（已知） ．（ ） ，，（已知） ．（等量代换） ，．（ ） ． ．（ ） 8．【阅读理解】“两条平行线被第三条直线所截”是平行线中的一个重要的“基本图形”，与平行线有关的角都存在着这个“基本图形”，当发现题目的图形“不完整”时要添加适当的辅助线将其补充完整．将“非基本图形”转化为“基本图形”这体现了转化思想． (1)【建立模型】如图①②已知，点E在直线、之间，请分别写出与、之间的关系，并对图②中的结论进行证明． (2)【解决问题】如图是一盏可调节台灯，如图③为示意图．固定支撑杆底座于点与是分别可绕点A和B旋转的调节杆，台灯灯罩可绕点C旋转调节光线角度，在调节过程中，最外侧光线、组成的始终保持不变．现调节台灯，使外侧光线，求的度数． (3)【拓展应用】如图④，已知和分别平分和，若，请直接写出的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$