2.2 基本不等式 同步练习-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 同步练习 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．已知a>0，那么的最小值是（    ） A． B． C． D． 2．已知两个正数满足，则的最小值为（     ） A．3 B．6 C． D． 3．设.下列选项中，的充要条件是（    ） A． B． C． D． 4．某公司要建造一个长方体状的无盖箱子，其容积为48m3，高为3m，如果箱底每1m2的造价为15元，箱壁每1m2造价为12元，则箱子的最低总造价为（　　） A．72元 B．300元 C．512元 D．816元 5．设正实数满足，则（    ） A．有最小值2 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值 6．设，，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 7．已知，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．设，，若，则的最小值为（    ） A．6 B．9 C． D．18 二、多选题 9．（多选题）已知，是正数，且，则下列叙述正确的是（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最小值为9 10．（多选题）若正实数a，b满足则下列说法正确的是（    ） A．ab有最大值 B．有最大值 C．有最小值2 D．有最大值 三、填空题 11．北京2022年冬奥会将于2022年2月4日开幕.某社区为了宣传冬奥会，决定在办公楼外墙建一个面积为8的矩形展示区，并计划在该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏（如图所示）.要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25.设三个宣传栏的面积之和为S（单位：），则S的最大值为 . 12．已知正实数，满足，则的最小值为 ． 13．若，则的最小值为 ． 14．已知a，b均为正数，且，的最小值为 . 15．已知，，且，则的最大值为 . 四、解答题 16．已知. （1） 证明：. （2） 若，求的最小值. 17．设，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 18．已知a>0,b>0. (1)求证:a2+3b2≥2b(a+b); (2)若a+b=2ab,求ab的最小值. 参考答案 1．【答案】D 【详解】因为a>0， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故选D 2．【答案】B 【详解】，当且仅当时取等号，所以的最小值为6，故选 3．【答案】D 【详解】令， 当时，，当且仅当，即时，取等号， 当时，，当且仅当，即时，取等号， 所以或，当且仅当时取等号，故的充要条件是且， 故选D. 4．【答案】D 5．【答案】B 【详解】对于A，， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值为4，A错误； 对于B，，则， 当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，B正确； 对于C，，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最大值，C错误； 对于D，因为， 即，当且仅当时，结合，即时取等号， 即有最小值，D错误， 故选B 6．【答案】D 【详解】解：因为，，且，所以， 所以 当且仅当，即，或时取等号； 故选D 7．【答案】C 【详解】，设，则. 于是， 令，则， 当，即，也即时，取到最小值. 故选C 8．【答案】B 【详解】解：，，且， 且， ， 当且仅当，即且时取等号， 故的最小值为9； 故选B 9．【答案】ABD 【详解】由，可得，当且仅当即时，等号成立，故的最大值为，正确； 由，可得，当且仅当即时，等号成立，故的最小值为，正确； 由，可得，当且仅当即时，等号成立，故的最大值为，错误； 因为，当且仅当即时，等号成立，故的最小值为9，正确. 故选. 10．【答案】AB 【详解】对A,根据基本不等式求的最大值； 对B,对平方再利用基本不等式求最大值； 对C,根据再展开求解最小值； 对D,对平方再根据基本不等式求最值. 【详解】对A,,当且仅当时取等号.故A正确. 对B, ,故,当且仅当时取等号.故B正确. 对C, .当且仅当时取等号.所以有最小值4.故C错误. 对D, ,即,故有最小值.故D错误. 故选AB 11．【答案】 【详解】解：设矩形展示区的长为，则宽为， 因为该展示区内设置三个全等的矩形宣传栏，要求上下各空0.25，左右各空0.25，相邻宣传栏之间也空0.25， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以S的最大值为 12．【答案】10 【详解】∵正实数，满足， ∴（当且仅当，即时取等号） ∴. 13．【答案】 【详解】解：因为，所以，当且仅当，即时取等号. 14．【答案】 【详解】因为， 所以， 当且仅当，即、时取等号. 15．【答案】 【详解】. 因为，，且， 所以 ，当且仅当即时取等. 所以.，即的最大值为. 16．【答案】 （1） 【证明】因为，所以,,， 所以，所以. （2） 【解】因为，所以,，又， 所以， 当且仅当，即,时等号成立， 所以的最小值是. 17．【答案】（1）；（2）. 【详解】（1）当且仅当时等号成立． ∴当时有最大值． （2） （取等号） 18．【答案】见详解 【详解】(1)【证明】∵a2+3b2-2b(a+b)=a2-2ab+b2=(a-b)2≥0,∴a2+3b2≥2b(a+b). (2)【解】∵a>0,b>0,∴2ab=a+b≥2,即2ab≥2,∴≥1,∴ab≥1, 当且仅当a=b=1时取等号,故ab的最小值为1. 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$