微专题 求数列通项公式的方法 课件-2025届高三数学二轮复习

微专题 求数列通项公式的方法 知识点总结 求数列通项公式的常见类型(通项公式an中默认n∈N*) 1.根据数列的前n项,归纳猜想数列的一个通项公式，并证明. 2.公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式 3.利用数列的前n项和Sn和an的关系. ①知Sn求an(两段式)； ②由Sn的递推式求Sn，再求an ③条件迭代相减得an的递推式，再求an 知识点总结 求数列通项公式的常见类型(通项公式an中默认n∈N*) 4.已知数列的首项(若干项)和递推公式，求数列的通项公式. 常用累加法、累乘法、构造特殊数列法(取倒数法、待定系数法) 累加法（）、累乘法（） 构造特殊数列法：取倒数法 4.已知数列的首项(若干项)和递推公式，求数列的通项公式. 常用累加法、累乘法、构造特殊数列法(取倒数法、待定系数法) 构造特殊数列法：待定系数法 存在t∈R, 使an+1+t =c(an+t)→整理求t→得数列{an+t}是等比数列 →求an+t→求an (2)形如an+1=pan+sn+t(p≠1,pk≠0)： 存在k,b∈R, 使an+1+k(n+1)+b =p(an+kn+b)→整理求k,b →得{an+kn+b}是等比数列→求an+kn+b→求an (1)形如an+1=pan+q(p≠1,0)：可构造并证明为等比数列，其中 求数列通项公式的常见类型(通项公式an中默认n∈N*) 1、通过归纳猜测通项公式 典例：（1）9,99,999,9999,...... （2）1,11,111,1111,...... （3）5,55,555,5555,...... （4）2,0,2,0,2,0,...... （5）1,0,1,0,1,0,...... （6）1,,,...... 各项正负相间常用或表示 通过观察各项的变化，猜测其变化规律，并用式子将其表示出来 ① （） ② ①②得：（） 当时，， 2、由求 典例:1、已知数列的前n项和为Sn,且满足,求 2、由求 解：当时，, 当时， =2n 检验时，，符合上式. =2n 若符合，通项公式则合并写。 变式：已知数列的前n项和为Sn,且满足求 2、由求 解：当时，, 当时， =2n+1 检验时，，不符合上式. = 若符合，通项公式则分段写。 2.已知数列{an}的前n项和为Sn , 满足a1 =1, an =﹣SnSn－1(n≥2),求an 2、由求 解：当时，同除以， 得到，则是以为首项，1为公差的等差数列. ,. ，检验=1时，,不符合上式. 若遇到乘积形式,通常同除它 变式：已知数列{an}中{an}的前n项和为,求an 2、由求 解： ,同除以 得 是以为首项，-1为公差的等差数列.则 当= 检验时，，符合上式. 若遇到乘积形式,通常同除它 步骤总结： 第一步：当时，，求出 第二步：当时，，求出表达式 第三步：检验当时，是否满足表达式，若满足，则合并写，若不满足，则分段写 2、由求 步骤：在数列中 , 由累加可得：当时 , )+()+()+......+ , ()+()=++...+ . . . . . . , 检验时，是否符合上式 , 3、形如用累加法 典例:1.在数列中,=+3n-1,求 3、形如用累加法 解：由题意得，， 则 , ...... , , 由累加可得， 步骤：在数列中由知， = = = ,......，= = 由累乘得：当时 ...... = 检验时，是否符合上式 3、形如用累乘法 典例：2.在数列中,=,求 3、形如用累乘法） 解：由题意得，， 则，，. . . . . .， ， 由累乘可得，. 检验时，，符合上式. 典例：在数列中,,求 4、形如用倒数法 解：两边取倒数得： 是以为首项，为公差的等差数列， 则 思考：把条件换成,求？ 典例：1.在数列中,1,,证是等比数列,并求 5、形如an+1=pan+q用待定系数法 解：设，则，则， 是以4为首项，2为公比的等比数列， 则 ()， 检验当时,符合上式. ，则 存在t∈R, 使an+1+t =c(an+t)→整理求t→得数列{an+t}是等比数列 →求an+t→求an 典例:2.在数列中n-1,求 5、形如an+1=pan+sn+t用待定系数法 解：设， 则，则， 则 是以为首项，3为公比的等比数列， 则 ， 存在k,b∈R, 使an+1+k(n+1)+b =p(an+kn+b)→整理求k,b →得{an+kn+b}是等比数列→求an+kn+b→求an 拓展：形如an+1=pan+qn(p,q≠1, pq≠0)： 注：p=q时只能用法2；p≠q时可用法1或法2 法1：设是等比求 法2：同除以得是等比求 典例：在数列中,求 解：同除以得： ()， 设，则，则， 是以为首项，为公比的等比数列， 则 ，检验，符合上式. 思考：试用拓展中法1求？ 方法总结 1、归纳猜想并证明 2、公式法 3、利用数列的前n项和Sn和an的关系 4、形如用累加法 形如用累乘法 5、形如用倒数法 6、待定系数法构造特殊数列 $$