第05讲有理数的乘法与除法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年七年级上册数学（苏科版2024）

第05讲有理数的乘法与除法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法的实际应用 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数的乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识点1：有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 【答案】D 【分析】本题考查的是因数与积之间的关系，根据一个因数缩小10倍，则另一个因数就扩大相同的倍数即可得到答案． 【详解】解：由分析可知，李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该乘10 故选：D 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则即可求解，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵是个不同的整数， 设， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 知识点二：倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即时训练】 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数， 根据定义解答，即两个数乘积为1，则称这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，根据倒数的定义（两个数乘积为1，则这两个数互为倒数）解答即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴， 故答案为：． 知识点三：有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算．根据有理数乘法法则进行作答即可． 【详解】解：计算最简便的方法是， 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如下，①到②的运算依据是 ． 计算： ① ② 【答案】乘法结合律 【分析】本题考查有理数的乘法运算律，根据①到②利用了乘法结合律进行作答即可． 【详解】解：①到②的运算依据是乘法结合律； 故答案为：乘法结合律． 知识点四：有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2）有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即时训练】 1．（2025·江苏扬州·二模）若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，用2除以进行计算即可，熟练掌握有理数的乘除运算法则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，“”内应填的实数是； 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）计算等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 知识点五：有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先根据有理数乘除法判定符号，根据有理数的乘除法运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先计算除法运算，再计算乘法运算即可，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 【详解】解： ； 故答案为： 知识点六：有理数四则混合运算 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 运算技巧： 转化法：将除法转化为乘法. 凑整法：在加减混合运算中，把和为零的两个数、分母相同的两个数、和为整数的两个数或乘积为整数的两个数分别结合为一组求解。 分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算。 巧用运算律：巧妙运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，使计算更简便。 【即时训练】 1．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义运算法则、有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 根据新定义列算式计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 【答案】D 【分析】本题考查的是因数与积之间的关系，根据一个因数缩小10倍，则另一个因数就扩大相同的倍数即可得到答案． 【详解】解：由分析可知，李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该乘10 故选：D 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 【答案】50 【分析】此题考查了有理数的加减乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式用加法结合律计算即可求出值． 【详解】解： ． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）水结成冰体积增大，现有体积为a的水结成冰后体积为（　　） A．a B．a C．a D．a 【答案】B 【分析】本题是基础题型，弄清冰的体积=（1+增长率）×水的体积是解题的关键．体积为a的水结成冰后体积，冰的体积为． 【详解】解：依题意有水结成冰后体积为． 故选：B． 2．（2024·江苏南通·一模）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的乘法．根据“两数相乘，同号得正”即可求出结论． 【详解】解：． 故选：A． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，数轴上点A，B，C表示的数为a，b，c，则的值最接近的整数是 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了数轴上表示有理数，有理数乘法运算等知识点，正确预估数轴上的数并代入代数式是解题的关键． 先根据数轴预估点A、B、C所示的数，然后代入即可解答． 【详解】解：通过数轴可预估点A、B、C所示的数分别为：， 则． 故答案为1． 4．（2023七年级·江苏·专题练习）计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) 【答案】(1)-54 (2)-54 (3)54 【详解】（1）解：9×(－6)=-54 （2）解：(－9)×6=-54 （3）解：(－9)×(－6)=54 【点睛】本题主要考查了有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解题的关键． 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多个有理数相乘的积的符号，根据“几个非0数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当有奇数个负因数时，积为负数；当有偶数个负因数时，积为正数”，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 积为负，不符合题意； B. 积为负，不符合题意； C. 积为正，符合题意； D. 积为0，不符合题意； 故选：C． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)24； (2)； (3)； (4)； (5)0． 【分析】（1）先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可； （2）先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可； （3）先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可； （4）先确定结果的符号，然后再将它们的绝对值相乘即可； （5）根据几个数相乘，有一个因数为0，积就为0，即可计算． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） （5） 【点睛】此题考查了多个因数的乘法，①几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．熟练掌握运算法则是解题的关键． 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，数轴上有①②③④四个部分，已知，，则原点所在的部分是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查数轴的特征，由，得到，结合原点左右的数符号相反即可得到答案，记住数轴的特征是解决问题的关键． 【详解】解：，， ， 根据数轴特征，原点所在的部分是②， 故选：B． 2．（22-23七年级上·河南漯河·阶段练习）有5个有理数相乘，积为负，则其中正因数的个数为（     ） A．0 B．2或4 C．1或3或5 D．0或2或4 【答案】D 【分析】根据有理数乘法法则解答． 【详解】解：5个有理数相乘，积为负， 则负因数肯定为奇数1，3，5个； 那么正因数为0或2或4个． 故选：D． 【点睛】有理数的乘法法则：几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正． 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则即可求解，掌握有理数的混合运算是解题的关键． 【详解】解：∵是个不同的整数， 设， ∴，， ∴的最大值为， 故答案为：． 4．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算 【答案】 【分析】有理数乘法运算，先确定符号，再将带分数化成假分数，然后进行约分等运算． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法的运算方法，解题的关键是要熟练掌握运算顺序． 【典型例题三 有理数乘法的实际应用】 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）某音乐会预留了长米、宽米的长方形场地作为观众席．观众席场地上站满了观众．下面最有可能是观众席的人数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数学常识，解答本题关键是估算出每平方米可以站的人数，然后再计算出总人数． 先计算出长方形场地的面积，再估算出每平方米可以站的人数是4人，用每平方米可以站的人数乘面积就是总人数． 【详解】解：（平方米） 根据每平方米可以站的人数约为人，可得（人） ∴最有可能是参加演唱会的观众总人数的是人． 故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）南京某景点每天游客人数以1万人为标准，超过的人数记作正数，不足的人数记作负数，国庆期间（10月1日—10月7日）接待游客人数的变化情况如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） ＋0.5 ＋0.7 ＋0.8 －0.4 －0.6 ＋0.9 ＋0.2 （1）请判断这7天中，游客人数最多的一天比人数最少的一天多 万人． （2）若平均每人门票100元，该景点在这7天期间门票总收入是多少万元？ 【答案】（1）1.5；（2）该景点在这7天期间门票总收入是910万元． 【分析】（1）根据正负数的意义求得1日、2日、3日、4日、5日、6日、7日的人数，即可作答； （2）求出总人数，再乘以100即可． 【详解】解：（1）10月1日至7日每天游客人数为： 1日：1+0.5=1.5（万人） 2日：1+0.7=1.7（万人） 3日：1+0.8=1.8（万人） 4日：1-0.4=0.6（万人） 5日：1-0.6=0.4（万人） 6日：1+0.9＝1.9（万人） 7日：1+0.2＝1.2（万人） 所以游客人数最多的为6日，最少的为5日，这两天的游客人数相差1.9﹣0.4＝1.5（万人）； 故答案为：1.5； （2）1×7＋(0.5＋0.7＋0.8－0.4－0.6＋0.9＋0.2)＝9.1（万人）， 9.1×100＝910（万元） 答：该景点在这7天期间门票总收入是910万元． 【点睛】本题考查了正负数的意义和有理数的运算，解题关键是明确正负数的意义，求出每天的人数和总人数． 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，则促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．12元 D．40元 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数乘法的实际应用，用原价乘以折扣即可得到答案． 【详解】解：元， ∴促销价为4元， 故选B． 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负，若水位每天下降，今天的水位记为，那么3天前的水位用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可以用相应的正负数表示题目中所求的问题，本题得以解决． 【详解】解：解：由题意可得，3天前的水位用算式表示是， 故选：D． 【点睛】本题考查有理数的乘法，解答本题的关键是明确题意，用相应的正负数表示出来． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）宿羊山华联超市改造升级后于2024年元旦开业，所有商品均打折出售，某种方便面5袋装原价是26元/袋，现在打8折销售，现在的售价是 元/袋． 【答案】 【分析】本题考查了有理数乘法的实际应用，根据题意，由原价折扣，即可得到现在的售价． 【详解】解：由题意得：（元）， 故答案为：． 4．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如图，回答下列问题： (1)求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？ (2)若这种橙子每千克售价12元，则出售这8箱“果冻橙”可卖多少元？ 【答案】(1)千克 (2)元 【分析】(1)总质量为千克． (2)总收入=单价×数量计算即可． 【详解】（1）解：总质量为千克．． （2）解：出售这8箱“果冻橙”可卖元． 【点睛】本题考查了有理数加减法和乘法运算的实际应用，收入=单价×数量，熟练掌握有理数加减的运算是解题的关键． 【典型例题四 倒数】 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了倒数， 根据定义解答，即两个数乘积为1，则称这两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是． 故选：C． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知四个有理数a、b、c、d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D，a，b互为倒数，c，d互为相反数． (1)根据已知条件回答：若，则 ；若，则 ； (2)把下列各数在数轴上表示：，2，，0，． (3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) 【分析】此题主要考查了有理数大小比较，相反数，绝对值，倒数以及数轴． （1）分别根据倒数和相反数的定义解答即可； （2）根据在数轴上表示数的方法，在数轴上表示出所给的各数； （3）根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把这些数由小到大用“”号连接起来即可． 【详解】（1）解：a，b互为倒数，若，则， c，d互为相反数，若，则， 故答案为：，； （2）解：，， 如图所示： （3）解：由（2）得，． 1．（2025·江苏镇江·二模）9的倒数是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，可得答案，解题的关键是正确理解乘积为的两个数互为倒数． 【详解】解：的倒数是， 故选：C． 2．（2025·江苏扬州·一模）倒数等于的数（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义解答即可，掌握倒数的定义是解题的关键． 【详解】解：、的倒数为，该选项不合题意； 、的倒数为，该选项不合题意； 、的倒数为，该选项不合题意； 、的倒数为，该选项符合题意； 故选：． 3．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 【答案】 【分析】本题主要考查倒数，根据倒数的定义（两个数乘积为1，则这两个数互为倒数）解答即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴， 故答案为：． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查倒数，解题的关键牢记倒数的定义：乘积为的两个数互为倒数． （1）根据倒数的定义求解即可； （2）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解； （3）先将带分数化为假分数，再根据倒数的定义求解； （4）先将小数化为分数，再根据倒数的定义求解． 【详解】（1）解：的倒数为； （2）， 的倒数为； （3）， 的倒数为； （4）， 的倒数为． 【典型例题五 有理数的乘法运算律】 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若2022×21=P，则2022×20的值可表示为（　　） A．P-1 B．P+1 C．P-2022 D．P 【答案】C 【分析】根据乘法分配律将2022×21进行变形，从而分析求解． 【详解】解：2022×21 =2022×20+2022 =P， ∴2022×20=P-2022， 故选：C． 【点睛】本题考查有理数的乘法运算，掌握乘法分配律（a+b）c=ac+bc是解题关键． 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1)12； (2) 【分析】本题考查有理数的四则混合运算，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）利用乘法的分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是乘法的运算律，熟练掌握乘法的运算律是解题的关键． 利用乘法对加法的分配率的逆应用运算即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有理数乘法的运算律，熟练掌握有理数乘法的分配律是解题的关键．根据有理数乘法的分配律进行计算即可求解． 【详解】解： ， 代入，原式． 可以表示为． 故选：B． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试），应用了( )律． 【答案】乘法结合 【分析】根据乘法结合律，作答即可． 【详解】解：由题意知，应用了乘法结合律， 故答案为：乘法结合． 【点睛】本题考查了乘法结合律．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，有理数的乘法的分配律，正确计算是解题的关键： （1）根据有理数的加减混合运算计算即可； （2）根据有理数的乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（2025·江苏扬州·二模）若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查有理数的运算，用2除以进行计算即可，熟练掌握有理数的乘除运算法则，是解题的关键． 【详解】解：由题意，“”内应填的实数是； 故选A． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 【答案】不正确，144 【分析】此题考查了有理数的除法，用到的知识点是有理数的除法、通分、有理数的加法，关键是掌握运算顺序和结果的符号．根据有理数的混合运算顺序，先算括号里面的，再根据除法法则进行计算即可． 【详解】解：方方的计算过程不正确， 正确的计算过程是： 原式 ． 1．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法，掌握运算法则是解题的关键． 运用有理数除法的规则计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）用四舍五入法把精确到千分位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字，解题的关键是掌握四舍五入法来求近似数． 找到小数的万分位，再根据四舍五入法精确到千分位即可． 【详解】解：精确到千分位得到的近似数是：， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）计算等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的除法运算，解题的关键是掌握有理数的除法运算法则．根据有理数的除法运算法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（23-24七年级上·江苏·周测）化简下列各数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据相反数的定义化简即可． （2）根据有理数的除法法则化简． 【详解】（1）解：； （2）． 【点睛】本题考查了相反数，有理数的除法，是基础题，熟记概念和法则是解题的关键． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（2025·上海·二模）下列分数中，能化为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的除法，分数和小数的互化，解题的关键是利用有理数的除法法则计算即可作出判断． 【详解】解：A．，化成的小数是无限循环小数，故此选项不符合题意； B．，化成的小数是无限循环小数，故此选项不符合题意； C．，化成的小数是有限小数，故此选项符合题意； D．，化成的小数是无限循环小数，故此选项符合题意． 故选：C． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 【答案】万平方米 【分析】用北园面积除以对应的百分比即可得到公园总占地面积． 【详解】解：由题意可得，， 答：公园总占地面积是万平方米． 【点睛】此题考查了有理数除法的应用，准确计算是解题的关键． 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的减法、除法应用，根据题意列出算式即可，掌握有理数减法、除法的应用是解题的关键． 【详解】解： 实际多招了， 故选：． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）下面各年份中，不是闰年的是（    ） A．1942 B．2000 C．2004 D．2020 【答案】A 【分析】题目主要考查闰年的判断，普通年能被4整除且不能被100整除的为闰年，否则为平年，世纪年能被400整除的是闰年，否则为平年，熟练掌握闰年的判断方法是解题的关键． 【详解】解：A、1942不是4的倍数，1942年不是闰年，故符合题意； B、2000是400的倍数，2000年是闰年，故不符合题意； C、2012是4的倍数，2012年是闰年，故不符合题意； D、2020是4的倍数，2020年是闰年，故不符合题意． 故选：A． 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不另外付钱，则最多可以换矿泉水 瓶． 【答案】3 【分析】根据题意，列式求解即可得到答案． 【详解】解：4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶， 由于题中未要求换取的矿泉水用空， ，即12个矿泉水空瓶若不另外付钱，则最多可以换矿泉水3瓶， 故答案为：3． 【点睛】本题考查用数学解决实际生活中的问题，读懂题意是解决问题的关键． 4．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 【答案】小时 【分析】平均速度总路程总时间，据此即可求解． 【详解】解：∵ 平均速度总路程总时间 ∴往返的总时间为：（小时） ∴返回时花费时间为：（小时） 答：返回时用了小时． 【点睛】本题考查了有理数除法的实际应用．抓住平均速度总路程总时间是解题关键． 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是掌握运算法则和运算顺序．先根据有理数乘除法判定符号，根据有理数的乘除法运算法则即可求解． 【详解】解： ． 故选：． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是加减混合运算，乘除混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键； （1）先化为省略加号的和的形式，再计算即可； （2）先把除法化为乘法，再计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 1．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）计算：的结果为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的除法和乘法计算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】此题考查有理数的乘除运算，关键是根据有理数的除法和乘法法则计算． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的乘除混合运算．根据有理数的乘除混合运算法则可以解答本题． 【详解】解： ， 故选：D． 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 【答案】 【分析】本题考查的是有理数的乘除混合运算，先计算除法运算，再计算乘法运算即可，熟记运算法则与运算顺序是解本题的关键． 【详解】解： ； 故答案为： 4．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)16 (2)﹣5 【分析】（1）先把除法转化为乘法，然后根据有理数的乘法法则计算即可； （2）根据乘法分配律计算即可． 【详解】（1）解： ＝ ＝16； （2） ＝ ＝﹣6+4﹣3 ＝﹣5． 【点睛】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意乘法分配律的应用． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数四则运算，先计算有理数除法，再计算有理数加法即可得出答案． 【详解】解：， 故选：D． 2．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)10 (2) (3)0 (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是解题的关键． （1）逆用乘法分配律进行计算即可； （2）利用列项进行计算即可； （3）逆用乘法分配律进行计算即可； （4）将变形为，然后再用裂项的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题主要考查探寻数列规律问题以及逆推法的应用，注意观察总结出规律，并能正确的应用规律是解题关键． 首先根据题意，应用逆推法，用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；用乘以，得到；然后分类讨论，判断出所有符合条件的的值，即可． 【详解】解： 逆运算 第步后的数为 ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： ； 第步后的数： 或 ； 第步后的数： （舍去）或 或 （舍去） 或 ； 则原数为 或 或 或 ； 综上：所有符合条件的的值有4个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了有理数的运算，要熟练掌握，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．根据有理数的加减乘除运算法则计算即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2025·甘肃陇南·二模）定义运算：，如．则： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数混合运算，新定义，理解新定义是解题的关键．根据新定义先计算出的值即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)5 (2)34 (3) (4) 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”． （1）根据有理数加减混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数四则混合运算法则进行计算即可； （3）根据有理数乘除混合运算法则进行计算即可； （4）根据乘法分配律进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 【答案】A 【分析】本题考查百分数的应用，解题的关键是先求出飞机票原价，再算出超重重量，最后根据超重行李费的计算规则求出应付行李费． 先根据机票折扣和折后价格求出原价，再确定超重重量，最后依据超重部分每千克的收费标准算出应付行李费． 【详解】解：飞机票原价为元， 超重的重量为千克， 每千克超重行李收费为， 超重10千克，所以应付行李费为元． 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，． (1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？ (2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？ 【答案】(1)杨老师最后回到了出发地1楼 (2)32.4度 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，有理数加法的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）把上下楼层的记录相加，根据有理数的加法运算法则进行计算，如果等于0则能回到1楼，否则不能； （2）求出上下楼层所走过的总路程，然后乘以即可得解． 【详解】（1）解： ， ∴杨老师最后能回到出发点1楼； （2）解：杨老师走过的路程是： ， 他办事时电梯需要耗电（度． 答：他办事时电梯需要耗电度． 1．（湖南省怀化市2024-2025学年七年级下学期期末数学试题）如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，根据长方形的面积公式列式计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：绿化的面积是， 故选：D． 2．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的四则混合运算，解题关键是掌握有理数的四则混合运算． 根据题意，王叔叔的应纳税所得额为月工资减去个税起征点，再乘以税率计算税款． 【详解】解：(元)， ∴他应缴个人所得税元， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，结合已知条件列出算式是解题的关键． 根据题意列式计算即可． 【详解】解：， 所以最后的长度比原长度约伸长． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 【答案】88分 【分析】本题考查有理数的混合运算，正数和负数，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． 根据正数和负数的实际意义列式计算即可． 【详解】解：（分）， 即这位选手的得分是88分． 【典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加、减、乘法计算，解题关键是根据数轴可得，，再根据有理数的加法、乘法、有理数减法进行分析． 【详解】由数轴可得：，且， ∴，，， 故选C． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）表示三个数的点在数轴上如图所示，    (1)根据数轴化简：a ______0；c ______0； ______0； ______0． (2)化简：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了有理数的加法，有理数的乘法，数轴，化简绝对值等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）根据数轴以及有理数的加法法则和乘法法则即可确定； （2）根据绝对值的性质化简即可． 【详解】（1）解：由数轴可知， ∴，， 故填：>，<，<，< （2）解： ． 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上表示、两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数轴知，由图可知，根据有理数乘法和加法法则判断即可． 【详解】解：由图可知， 异号， ，， 所以A，C，D不正确，B正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了有理数的运算和绝对值意义，掌握从数轴上判断，符号和绝对值的大小是关键． 2．（2023·江苏南京·二模）如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b．下列算式中，结果一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图示知b＜a＜0，并且|a|＜|b|．根据有理数的加减乘除法运算的计算法则即可求解． 【详解】解：解：由数轴得b＜a＜0，|a|＜|b|． A、a+b＜0，故该选项符合题意； B、a-b＞0，故该选项不符合题意； C、ab＞0，故该选项不符合题意； D、a÷b＞0，故该选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数与数轴，利用数轴得出b＜a＜0，|a|＜|b|是解题关键，又利用了有理数的运算． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，有理数加法和乘法．根据数a、b在数轴上的位置可确定数a、b与1及的大小关系，从而可确定、、、及的符号，进而确定式子的符号，逐一作出判断． 【详解】解：①，，则，故该项不正确； ②，，则，故该项正确； ③，，则，，即，故该项正确； 则只有②③正确． 故答案为：②③． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用点在数轴上的位置，可得，，从而可得答案； （2）先判断，，再化简绝对值，合并同类项即可． 本题考查的是利用数轴比较有理数的大小，绝对值的化简，有理数加减运算的符号确定，去括号，合并同类项，掌握以上知识是解题的关键． 【详解】（1）解：由图知： ，， ，． 故答案为：， （2）解：由图知：，，， ，， ． 1．（2025·江苏扬州·二模）算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，分别填入加减乘除符号，计算出对应式子的结果即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 2．（2025·江苏常州·一模）的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了倒数的定义，掌握“乘积是1的两个数互为倒数”是解题关键． 【详解】解：， 的倒数是， 故选：C． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法法则、减法法则、除法法则和乘法法则，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ，故选项A运算错误，不符合题意； B. ，故选项B运算错误，不符合题意； C. ，故选项C运算错误，不符合题意； D. ，运算错误，符合题意． 故选：D． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若5个有理数之积为正数，则这5个因数中负因数个数可能是（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或没有 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘法，掌握有理数的乘法运算法则是解题关键．根据5个有理数之积为正数，即得出这5个因数中负因数个数一定为偶数，即可得解． 【详解】解：因为五个有理数的积为正数， 所以其中负因数的个数一定为偶数， 所以这5个因数中负因数个数可能是2或4或没有． 故选D． 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ） A．任何数乘以0，其积为零； B．0除以任何一个数，其商为零； C．任何有理数的绝对值都是正数； D．两个有理数相比较，绝对值大的反而小． 【答案】A 【分析】本题主要考查了有理数的乘除法计算，绝对值的意义，有理数比较大小，根据有理数乘除法计算法则可判断A、B；根据0的绝对值是0可判断C；根据两个负有理数相比较，绝对值大的反而小即可判断D． 【详解】解：A、何数乘以0，其积为零，原说法正确，符合题意； B、0除以任何一个不为零的数，其商为零，原说法错误，不符合题意； C、任何有理数（0除外）的绝对值都是正数，原说法错误，不符合题意； D、两个负有理数相比较，绝对值大的反而小，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列计算结果为负的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据有理数的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A． ，不符合题意；     B． ，不符合题意；     C． ，符合题意； D． ，不符合题意； 故选C． 7．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，将带分数化为假分数，分子分母颠倒位置即可得出答案． 掌握乘积为1的两个数互为倒数是解题的关键． 【详解】解：，则的倒数是， 故选：D． 8．（22-23七年级上·江苏南京·开学考试）下面各组数中，互为倒数的是（    ） A．和2 B．和 C．和2 【答案】A 【分析】此题主要考查了互为倒数，正确把握互为倒数的定义是解题关键．直接利用互为倒数的定义分析得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴0.5和2互为倒数，符合题意； B、∵， ∴和不是互为倒数，不合题意； C、∵， ∴和2不是互为倒数，不合题意； 故选：A． 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了有理数的除法，掌握有理数的除法法则是本题的关键，两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除． 根据有理数的除法法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得： ； 故选：B． 10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）的倒数是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了倒数，根据乘积为1的两个数互为倒数，可得一个数的倒数． 【详解】∵ ∴的倒数是， 故选：A． 11．（2025·江苏南京·一模）的倒数是 ；的相反数是 ． 【答案】 / 2 【分析】此题主要考查了一个数的倒数的求法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一、②求一个分数的倒数，就是调换分子和分母的位置． 首先根据求一个整数的倒数，就是写成这个整数分之一，可得：的倒数是；然后根据相反数的含义和求法，可得：的相反数是2． 【详解】解：的倒数是；的相反数是2． 故答案为：，2． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）2022的相反数的倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数和倒数，根据相反数和倒数的定义解答即可． 【详解】解：2022的相反数是，的倒数是． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）将分数化成小数为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了有理数的除法．根据分数化小数的方法，把分数化成小数即可． 【详解】解：， 故答案为：． 14．（2024·江苏镇江·二模）计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘法，根据两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘计算即可． 【详解】解： 故答案为：1． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一个数的负倒数的方法，正确理解互为负倒数的定义是解题的关键．根据互为负倒数的定义可知，用即可得到的负倒数． 【详解】解：， 的负倒数是． 故答案为：． 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)0 (3) 【分析】本题考查有理数的乘法运算，熟练掌握有理数的乘法运算法则是解决问题的关键． （1）根据有理数乘法运算法则直接求解即可得到答案． （2）根据因数有0，则相乘的结果为0，即可作答． （3）奇数个负数相乘的结果是负数，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)15 (2)8 (3)-65 (4) 【分析】（1）打开括号即可求解； （2）打开括号即可求解； （3）运用乘法分配律即可求解； （4）先算括号，再进行运算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式 【点睛】本题考查有理数的混合运算．掌握相关原式法则即可． 18．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）解答下列问题：    请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式变形为后利用乘法分配律进行运算即可； （2）把原式变形为，再逆用乘法分配律进行运算即可． 【详解】（1）解： （2） 【点睛】此题考查了有理数乘法分配律的应用，熟练掌握乘法分配律的内容是解题的关键． 19．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1)； (2)10； (3)； (4)8． 【分析】（1）根据有理数的加法运算即可求出答案； （2）根据有理数的减法运算即可求出答案； （3）根据有理数的乘法运算即可求出答案； （4）根据有理数的除法运算即可求出答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式． 【点睛】本题考查有理数的运算，解题的关键是熟练运用有理数的加减运算法则以及乘除运算法则，本题属于基础题型． 20．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：(﹣32)÷4×(﹣8)． 【答案】64 【分析】先算除法后算乘法即可． 【详解】解：(﹣32)÷4×(﹣8) =328 =64． 【点睛】本题考查有理数的乘法和除法，明确运算顺序和运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲有理数的乘法与除法（6大知识点+11大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 两个有理数的乘法运算 典型例题二 多个有理数的乘法运算 典型例题三 有理数乘法的实际应用 典型例题四 倒数 典型例题五 有理数的乘法运算律 典型例题六 有理数的除法运算 典型例题七 有理数除法的应用 典型例题八 有理数乘除混合运算 典型例题九 有理数四则混合运算 典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用 典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 知识点1：有理数乘法法则 1. 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2. 0与任何数相乘都得0； 3. 任何数与1相乘都等于它本身，任何数与－1相乘都等于它的相反数； 4. 拓展： 几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； 几个数相乘，如果有一个因数为0，那么积就等于0．反之，如果积为0，那么至少有一个因数为0. 一般地，在乘法运算中，若有带分数和小数，应先把带分数化为假分数，小数化为分数之后再计算，方便约分. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 2．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 知识点二：倒数 1.倒数：乘积为1的两个数互为倒数，其中一个数叫做另一个数的倒数. PS：单独的一个数不能称为倒数；0与任何数相乘都等于0，不可能等于1，所以0没有倒数. 2求一个数的倒数的方法： （1）一个不为0的整数的倒数，是用这个数作分母，1作分子的分数； （2）求一个真分数的倒数，就是将这个分数的分子与分母交换一下位置； （3）求带分数的倒数，要先将带分数化成假分数，再交换分子与分母的位置； （4）求小数的倒数，先将小数化为分数，再求倒数. 3.化为倒数的两个数的符号是相同的，正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数. 【即时训练】 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 2．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 知识点三：有理数的乘法运算律 1. 乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即； 2. 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即； 3. 乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加．即. 4. 拓展： 三个或三个以上有理数相乘，任意交换因数的位置，或者先把其中几个因数相乘，积相等； 乘法分配律对一个有理数同多个有理数的和相乘仍适用 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）计算，最合理的方法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如下，①到②的运算依据是 ． 计算： ① ② 知识点四：有理数除法法则 1. 除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2. 两个不为0的数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 3. 0除以任何一个不为0的数都等于0，0不能作为除数，无意义. 4. 一个非零的数除以它的本身等于1. 两数相除要先确定商的符号，再确定绝对值，其中商的符号的确定方法与有理数乘法中积的符号确定方法相同. 补充： （1）两个数相除，若商是1，则这两个数相等；若商是-1，则这两个数互为相反数. （2）有理数的除法中没有交换律、结合律、分配律. 【即时训练】 1．（2025·江苏扬州·二模）若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）计算等于 ． 知识点五：有理数乘除混合运算 1. 有理数乘除混合运算顺序：没有括号的情况下，按照从左到右的顺序计算，有括号的要先算括号里面的； 2. 要先将除法化为乘法，化成连乘的形式，同时，有带分数的先化成假分数，有小数的要先化成分数，然后按照有理数乘法运算法则进行计算. 【即时训练】 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 知识点六：有理数四则混合运算 运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减。 同级运算，从左到右进行。 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 运算技巧： 转化法：将除法转化为乘法. 凑整法：在加减混合运算中，把和为零的两个数、分母相同的两个数、和为整数的两个数或乘积为整数的两个数分别结合为一组求解。 分拆法：先将带分数分拆成一个整数与一个真分数的和的形式，然后进行计算。 巧用运算律：巧妙运用加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律，使计算更简便。 【即时训练】 1．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 2．（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）对有理数、定义运算“”如下：，则 ． 【典型例题一 两个有理数的乘法运算】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·开学考试）李芳在计算160乘一个数时，把160错看成了16，要使原来的积不变，另一个因数应该（     ） A．减144 B．加144 C．除以10 D．乘10 2．（2024七年级上·江苏·专题练习）计算：． 1．（2024七年级上·江苏·专题练习）水结成冰体积增大，现有体积为a的水结成冰后体积为（　　） A．a B．a C．a D．a 2．（2024·江苏南通·一模）计算的结果是（    ） A．2 B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，数轴上点A，B，C表示的数为a，b，c，则的值最接近的整数是 ． 4．（2023七年级·江苏·专题练习）计算： (1)9×(－6) (2)(－9)×6 (3)(－9)×(－6) 【典型例题二 多个有理数的乘法运算】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列算式中，积为正数的是（   ） A． B． C． D． 2．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图，数轴上有①②③④四个部分，已知，，则原点所在的部分是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 2．（22-23七年级上·河南漯河·阶段练习）有5个有理数相乘，积为负，则其中正因数的个数为（     ） A．0 B．2或4 C．1或3或5 D．0或2或4 3．（23-24七年级上·江苏泰州·期中）如果有个不同的整数满足，那么的最大值为 ． 4．（2023七年级上·江苏·专题练习）计算 【典型例题三 有理数乘法的实际应用】 1．（23-24七年级上·江苏淮安·开学考试）某音乐会预留了长米、宽米的长方形场地作为观众席．观众席场地上站满了观众．下面最有可能是观众席的人数的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南京·期中）南京某景点每天游客人数以1万人为标准，超过的人数记作正数，不足的人数记作负数，国庆期间（10月1日—10月7日）接待游客人数的变化情况如下表： 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 人数变化（万人） ＋0.5 ＋0.7 ＋0.8 －0.4 －0.6 ＋0.9 ＋0.2 （1）请判断这7天中，游客人数最多的一天比人数最少的一天多 万人． （2）若平均每人门票100元，该景点在这7天期间门票总收入是多少万元？ 1．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）某种商品原价为8元，现打五折促销，则促销价为（    ） A．2元 B．4元 C．12元 D．40元 2．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）规定：水位上升为正，水位下降为负；几天后为正，几天前为负，若水位每天下降，今天的水位记为，那么3天前的水位用算式表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏徐州·期末）宿羊山华联超市改造升级后于2024年元旦开业，所有商品均打折出售，某种方便面5袋装原价是26元/袋，现在打8折销售，现在的售价是 元/袋． 4．（22-23七年级上·辽宁沈阳·期末）近日市场上一种“果冻橙”比较畅销．现有8箱这种橙子，以每箱10千克为标准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如图，回答下列问题： (1)求这8箱“果冻橙”的总质量是多少千克？ (2)若这种橙子每千克售价12元，则出售这8箱“果冻橙”可卖多少元？ 【典型例题四 倒数】 1．（24-25九年级下·江苏无锡·期中）的倒数是（   ） A． B．2 C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）已知四个有理数a、b、c、d在数轴上对应的点分别为A、B、C、D，a，b互为倒数，c，d互为相反数． (1)根据已知条件回答：若，则 ；若，则 ； (2)把下列各数在数轴上表示：，2，，0，． (3)将（2）中各数按由小到大的顺序用“”连接起来． 1．（2025·江苏镇江·二模）9的倒数是（   ） A． B．9 C． D． 2．（2025·江苏扬州·一模）倒数等于的数（    ） A． B． C． D． 3．（2025·江苏南京·二模）如果实数a、b满足 ，那么a、b互为倒数． 4．（2024七年级上·全国·专题练习）求下列各数的倒数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题五 有理数的乘法运算律】 1．（23-24七年级上·江苏南京·阶段练习）若2022×21=P，则2022×20的值可表示为（　　） A．P-1 B．P+1 C．P-2022 D．P 2．（23-24七年级上·江苏扬州·期中）计算： (1)； (2) 1．（24-25七年级上·云南西双版纳·期中）用简便方法计算，逆用分配律正确的是（      ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽蚌埠·期末）若，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·江苏宿迁·开学考试），应用了( )律． 4．（23-24七年级上·江苏盐城·期末）计算： (1)； (2) 【典型例题六 有理数的除法运算】 1．（2025·江苏扬州·二模）若，则“”内应填的实数是（    ） A． B． C． D．2 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算，方方同学的计算过程如下： 原式=． 请你判断方方的计算过程是否正确，若不正确，请你写出正确的计算过程． 1．（2025·江苏南通·一模）计算的结果是（   ） A．3 B．4 C． D． 2．（24-25八年级上·江苏镇江·期末）用四舍五入法把精确到千分位得到的近似数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）计算等于 ． 4．（23-24七年级上·江苏·周测）化简下列各数： (1)； (2)． 【典型例题七 有理数除法的应用】 1．（2025·上海·二模）下列分数中，能化为有限小数的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·湖北武汉·阶段练习）今年8月15日，武汉市汉阳区古城历史风貌区重点项目汉阳树公园北园建成开园．汉阳树公园被有年历史的显正街分为南北两个园区，树龄年的汉阳树座落在北园．北园面积约，是公园总占地面积的．公园总占地面积是多少万平方米？（得数保留一位小数．） 1．（24-25七年级上·黑龙江·期中）胜利小学计划招生人，实际 招生人， 实际多招了几分之几的算式是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）下面各年份中，不是闰年的是（    ） A．1942 B．2000 C．2004 D．2020 3．（2023七年级上·江苏·专题练习）已知4个矿泉水空瓶可以换矿泉水1瓶，现有12个矿泉水空瓶，若不另外付钱，则最多可以换矿泉水 瓶． 4．（23-24七年级上·安徽淮南·开学考试）张叔叔周末沿着舜耕山环山路骑行26千米，用了2小时，随后原路返回，往返的平均速度为12千米/时．返回时用了多长时间？ 【典型例题八 有理数乘除混合运算】 1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）计算： (1)； (2)． 1．（22-23七年级上·江苏·阶段练习）计算：的结果为（    ） A． B．1 C． D． 2．（23-24七年级上·湖北恩施·期末）计算的结果是（    ） A． B． C．3 D．9 3．（23-24七年级上·江苏连云港·阶段练习）计算 ． 4．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【典型例题九 有理数四则混合运算】 1．（2025·天津和平·二模）计算的结果等于（　　） A．6 B．2 C． D． 2．（2024七年级上·江苏苏州·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) 1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）通过多次举例验证，发现取一个自然数，若它是奇数，则乘以3加上1，若它是偶数，则除以2，按此规则经过若干步的计算最终可得到1．例如：取自然数5．经过下面5步运算可得1，即：．如果自然数m恰好经过7步运算可得到1，则所有符合条件的m的值有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·甘肃陇南·二模）定义运算：，如．则： ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【典型例题十 有理数四则混合运算的实际应用】 1．（23-24七年级上·河北唐山·开学考试）乘坐飞机的每位成人旅客，可以免费携带20千克的行李，如果超过20千克，超过的部分每千克需按飞机票原价的1.5%付行李费．王叔叔从北京乘飞机到南京，飞机票价打六折后是540元，王叔叔还带了30千克的行李，王叔叔应付行李费（   ）元 A．105 B．115 C．125 D．135 2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）杨老师到市政务中心办理业务，假设乘电梯向上一楼记作，向下一楼记作．杨老师从1楼（即地面楼层）出发，电梯上下楼层依次记录如下：（单位：层），，，，，，． (1)请通过计算说明杨老师最后是否回到了出发地1楼？ (2)该中心大楼每层楼高约3米，电梯每向上或向下1米需要耗电度，根据杨老师现在所处位置，请你算算，他办理业务时电梯需要耗电多少度？ 1．（湖南省怀化市2024-2025学年七年级下学期期末数学试题）如图，某住宅小区有一长方形地块，若要在长方形地块内修筑同样宽的三条道路，道路宽为，余下部分绿化，则绿化的面积是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25六年级下·黑龙江绥化·期中）王叔叔的月工资是元，扣除元个税起征点后的部分按缴税，他应缴税（   ）元． A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在范围内，当温度每上升时，某种金属丝约伸长；反之，当温度每下降时，金属丝约缩短．把的这种金属丝先加热到，再使它冷却降温到，最后的长度比原长度约伸长 mm． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）某次数学演讲比赛中，某选手得分情况如下：90、85、89、92、80、88、87、93．要想计算出平均分，可以直接把8个数相加，再用和除以8．小明在学习了正负数以后，提出以下方法：若以90分为标准，超出部分记为正，低于部分记为负，那么这位选手的得分是：0、、、、、、、．请帮助小明继续完成计算． 【典型例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 1．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）已知a，b两数在数轴上对应的点如图所示，在下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）表示三个数的点在数轴上如图所示，    (1)根据数轴化简：a ______0；c ______0； ______0； ______0． (2)化简：． 1．（22-23七年级上·江苏无锡·阶段练习）在数轴上表示、两数的点如图所示，则下列判断正确的是（    ）    A． B． C． D． 2．（2023·江苏南京·二模）如图，在数轴上，点A，B分别表示实数a，b．下列算式中，结果一定是负数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，数轴上A，B两点所表示的数分别为a，b，下列各式：①；②；③．其中正确式子的序号是 ． 4．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）有理数，在数轴上表示的点如图所示． (1)比较：______0，______（填“”“”或“”）； (2)化简：． 1．（2025·江苏扬州·二模）算式，若使计算结果为；则中的运算符号是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏常州·一模）的倒数是（   ） A． B．2025 C． D． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）若5个有理数之积为正数，则这5个因数中负因数个数可能是（   ） A．2 B．4 C．2或4 D．2或4或没有 5．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，正确的有（    ） A．任何数乘以0，其积为零； B．0除以任何一个数，其商为零； C．任何有理数的绝对值都是正数； D．两个有理数相比较，绝对值大的反而小． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）下列计算结果为负的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）的倒数是（　　） A． B． C． D． 8．（22-23七年级上·江苏南京·开学考试）下面各组数中，互为倒数的是（    ） A．和2 B．和 C．和2 9．（2024七年级上·江苏·专题练习）一个数与的乘积等于，这个数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·江苏扬州·阶段练习）的倒数是（　　） A．3 B． C． D． 11．（2025·江苏南京·一模）的倒数是 ；的相反数是 ． 12．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）2022的相反数的倒数是 ． 13．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）将分数化成小数为 ． 14．（2024·江苏镇江·二模）计算： ． 15．（23-24七年级上·江苏徐州·阶段练习）若两个数的积为，我们称它们互为负倒数，则的负倒数是 ． 16．（23-24七年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 17．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 18．（22-23七年级上·江苏盐城·阶段练习）解答下列问题：    请你参考黑板中老师的讲解，用运算律简便计算（请写出具体的解题过程）： (1)； (2)． 19．（22-23七年级上·江苏泰州·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 20．（23-24七年级·江苏·假期作业）计算：(﹣32)÷4×(﹣8)． 学科网（北京）股份有限公司 $$