精品解析：广东省广州市黄埔区北京师范大学广州实验学校2024～2025学年八年级上学期期中考数学试卷

2024-2025学年第一学期教学质量监测二 八年级数学 第一部分：选择题（30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 7. 已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （ ） A. 7 B. 10 C. 20 D. 50 8. 如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 10. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 第二部分：填空与解答题（90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上） 11. 在中，，则___________． 12. 七边形的内角和是________度． 13. 计算：______． 14. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 15. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 16. 如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为______． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简：. 18. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数． 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）画出关于轴对称的 ； （2）求的面积． 21. （1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔ （2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：． 22. 如图，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的宽_______，长_______（长和宽都用含a，b的式子来表示）． （2）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示） （3）若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则_______． 23. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 24. 在边长为2的等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）当时，连接， ______． 求证： （2）连接，的周长是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期教学质量监测二 八年级数学 第一部分：选择题（30分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将答案填在答题卡上） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．下面四幅作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．根据轴对称图形的知识求解． 【详解】解：A选项：该图形不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：该图形不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：该图形不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D选项：该图形是轴对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 2. 现有两根长度分别为和的木条，要选择第三根木条，把它们钉成一个三角形木架，则第三根木条的长度可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．首先设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边，可得，再解即可． 【详解】解：设第三根木条的长度为，根据三角形的三边关系可得： ， 即：， 只有选项B符合要求， 故选：B 3. 将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（　　） A. 105° B. 75° C. 65° D. 55° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角性质解答即可． 【详解】解：由三角形的外角性质可知：∠α＝30°+45°＝75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形的外角性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． 4. 如图，是尺规作图中“画一个角等于已知角”的示意图，该作法运用了“全等三角形的对应角相等”这一性质，则判定图中两三角形全等的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—做一个角等于已知角，全等三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作图的方法和步骤是关键，根据全等三角形的判定方法，以及全等三角形对应角相等，即可解答． 【详解】解：由作图可知， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：D． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，包括幂的运算性质，如同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方等．需根据运算法则逐一判断． 【详解】解：∵选项A：不是同类项，不能合并，故错误； ∵选项B：，故正确； ∵选项C：，故错误； ∵ 选项D：，故错误． ∴故选B． 6. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故选：C． 7. 已知xa=2，xb=5，则xa+b等于 （ ） A. 7 B. 10 C. 20 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】先逆用同底数幂乘法法则，然后代入运算即可． 【详解】解：xa+b=xaxb=2×5=10． 故选：B 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂乘法法则的逆用是解答本题的关键． 8. 如图，在中，，，点D在上，，，则等于（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理．根据等腰三角形的性质求出和度数，利用直角三角形中含所对应的边是斜边的一半求出的长度，根据角度相等求出以及对应长度，从而求出长度． 【详解】解：，， ，， ，， ，， ， ， ， ． 故选：C． 9. 下列选项所给条件能画出唯一△ABC的是（ ） A. ，， B. ，， C. ， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、3+4=7＜8，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项错误； B、∠A=50°，∠B=30°，AB=2，根据(ASA)能画出唯一△ABC，故此选项正确； C、∠C=90°，AB=90，不能根据(SA)画出唯一三角形，故本选项错误； D、AC=4，AB=5，∠B=60°，不能根据(SSA)画出唯一三角形，故本选项错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 10. 如图，在中，，是的平分线．若分别是和上的动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可以把关于对称到的点，如此的最小值问题即变为与线段上某一点的最短距离问题，最后根据垂线段最短的原理得解． 【详解】解：如图，作关于的对称点，则，连接，过点作于点，所以、、三点共线时，，此时有可能取得最小值， 当垂直于即移到位置时，的长度最小， 的最小值即为的长度， ， ，即的最小值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称最短路径问题，垂线段最短，通过轴对称把线段和最小的问题转化为线段外一点到线段某点连线段最短问题是解题关键． 第二部分：填空与解答题（90分） 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，请将答案填在答题卡上） 11. 在中，，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．利用等边对等角直接求解即可． 【详解】解：如图： ，， ， 故答案为：． 12. 七边形的内角和是________度． 【答案】900 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理．应用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：七边形的内角和， 故答案为：900． 13. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了多项式除以单项式，根据多项式除以单项式计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 14. 如图，已知的周长是21，分别平分和，于D，且，的面积是___． 【答案】42 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质及三角形面积的求法，熟练掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 过O作于E，于F，连接，根据角平分线的性质可得，再由的面积是，即可求解． 【详解】解：如图，过O作于E，于F，连接， ∵分别平分和，， ∴， 即， ∵的周长是21， ∴， ∴的面积是 ． 故答案为：42 15. 如图，已知，，若和分别垂直平分和，则_______． 【答案】##90度 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．先由和分别垂直平分和得到，进而得出，即可解答． 【详解】解：如图： ∵和分别垂直平分和， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在等边三角形中，，．若，，则线段的长为______． 【答案】2 【解析】 【分析】过点E作于点H，根据是等边三角形，，得到是等边三角形，已知，得到，结合，得到，在中，求得，表示出，根据即可求得线段的长，继而得到的长． 本题主要考查等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质与判定，含有角的直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点H， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 三、解答题（本大题共9题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 化简：. 【答案】-3y2 【解析】 【分析】利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式计算以后，再合并即可． 【详解】解： =x2+3xy-xy-3y2-x2-2xy =-3y2． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键． 18. 一个多边形的内角和与外角和的差为1260度，求它的边数． 【答案】11 【解析】 【详解】分析：设多边形的边数是n，则内角和为(n－2)·180，外角和为360°，然后根据内角和与外角和的差为1260度列方程求解即可. 详解：设多边形的边数是n，则 (n－2)·180－360＝1 260.解得n＝11. 答：它的边数为11. 点睛：本题考查了多边形的内外角和的应用，熟练掌握多边形的内角和公式和外角和是解答本题的关键. 19. 如图，点，，，在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：， ． 又，， ． ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质，根据得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得证． 【详解】略 20. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，， （1）画出关于轴对称的 ； （2）求的面积． 【答案】（1） 如图，即为所求， ； （2）12 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换—轴对称，求三角形面积， （1）根据轴对称的性质，描出点A，B，C的对应点，，，顺次连接即可； （2）利用分割法求的面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解;． 21. （1）已知，如图，在三角形中，AD是BC边上的高．尺规作图：作的平分线（保留作图痕迹，不写作法，写出结论）﹔ （2）在已作图形中，若l与AD交于点E，且，求证：． 【答案】 （1）∠ABC的角平分线如图所示： （2）证明：如图，过点E作EH⊥AB于H， ∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，ED⊥ВC， ∴EH=ED， ∵BE=BE， ∴△BDE≌△BHE（HL）， ∵ВH=BD， 在Rt△BDE和Rt△ADC中， ∴△BDE≌△ADC（HL）， ∴DE=DC， ∴HE=CD， ∵AD=BD，∠ADB=90°， ∴∠BAD=45°， ∵HE⊥AB， ∴∠HEA=∠HAE=45°， ∴HE=AH=CD， ∴BC=BD+CD=BH+AH=AB． 【解析】 【分析】（1）直接运用“角平分线——尺规作图”的方法进行作图即可． （2）过点E作EH⊥AB于H，将AB分成两部分，再证明ВH=BD，AH=CD，即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质及角平分线的尺规作图，掌握全等三角形的判定定理和正确作出辅助线是解题关键． 22. 如图，一个小长方形的长为，宽为a，把6个大小相同的小长方形放入到大长方形内． （1）大长方形的宽_______，长_______（长和宽都用含a，b的式子来表示）． （2）求在大长方形中，阴影部分的面积（用含a，b的式子来表示） （3）若，大长方形面积为，大长方形内阴影部分的面积为，则_______． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用整式的加减即可求解； （2）利用多项式乘法求得大长方形的面积，再利用大长方形的面积减去6个小长方形的面积即可求解； （3）当时，分别用a表示出大长方形的面积，阴影部分的面积，代入即可求解． 【小问1详解】 解：大长方形的宽， 长， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：大长方形面积为， 故阴影部分的面积 ； 【小问3详解】 解：当时，； ； ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了列代数式，代数式求值，整式的混合运算涉及的知识有：多项式乘以多项式法则，合并同类项法则，认真观察图形，弄清题意是解本题的关键． 23. 已知在中，，点D是边上一点，． （1）如图1，试说明的理由； （2）如图2，过点B作，垂足为点E，与相交于点F． ①试说明的理由； ②如果是等腰三角形，求的度数． 【答案】（1） 解：∵， ∴， ∵是的一个外角， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴； （2） ①解：∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，三角形的内角和定理及外角的性质，结合图形分情况讨论是解决问题的关键． （1）根据等腰三角形的性质可得，再利用三角形的外角性质可得∠，从而可得，然后根据等量代换可得．再根据等角对等边可得，即可解答； （2）①根据垂直定义可得，从而可得，然后设，则，利用（1）的结论可得，最后利用三角形内角和定理可得，即可解答； ②根据三角形的外角性质可得，然后分三种情况：当时；当时；当时；分别进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①略 ②∵是的一个外角， ∴， 分三种情况： 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时， ∴， ∵， ∴不存在， 综上所述：如果是等腰三角形，的度数为或． 24. 在边长为2的等边中，是边上的中线，E为上一动点，连接，在的下方作等边． （1）当时，连接， ______． 求证： （2）连接，的周长是否有最小值，若有请求出此时的度数；若没有请说明理由． 【答案】（1）①，②证明过程 （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等边三角形的性质可得，，再根据等腰直角三角形的性质可得，求得，再利用求解即可； ②根据等边三角形的性质可得，，，再利用等量代换可得，再根据全等三角形的判定证明即可； （2）连接，由②同理可证，可得，作点D关于的对称点G，连接、，则，当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，的周长最小，再根据等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：①∵、是等边三角形， ∴， ∵是边上的中线， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵、是等边三角形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴； ∵是边上的中线， ∴， 如图，作点D关于的对称点G，连接、，则， ∴当B、F、G三点共线，的最小值为，且时，的周长最小， 由轴对称的性质得，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵，即， ∴． 【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质、轴对称的性质、直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，，且a，b满足，连接，． （1）求点A、点B的坐标． （2）动点P从点O出发，以1个单位/秒的速度沿y轴正半轴运动，运动时间为t秒，连接，过点P作，且，点M在第一象限，请用含有t的式子表示点M的坐标． （3）在（2）的条件下，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R，当时，求点R的坐标． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，坐标与图形的性质以及非负数的性质的综合应用，解决问题的关键是判定全等三角形，依据全等三角形的对应边相等进行推导计算． （1）根据非负数的性质，得到关于，的方程组，求得，的值，即可得到点、点的坐标； （2）根据判定，再根据全等三角形对应边相等，即可得到，，，进而得到点的坐标为； （3）连接并延长交轴于点，连接，过点作的平行线交轴于点，证明是等腰直角三角形，得出，再根据，得出，最后判定，即可得到，进而得出点的坐标为． 【小问1详解】 解： ，满足， ，， ，， ∴； 【小问2详解】 解：如图所示，过作轴于，则， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ； 【小问3详解】 如图所示，连接并延长交x轴于点Q，连接，过点B作的平行线交x轴于点R， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，即 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $