培优1 三次函数的性质研究课件-2026届高三数学一轮复习

培优1　三次函数的性质研究 1 目 录 类型1 三次函数的图象及应用 类型2 三次函数的对称问题 类型3 三次函数的零点 　　对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),求导得f'(x)=3ax2+2bx+c,当Δ=4(b2-3ac)>0时, 不妨设f'(x)=0的两个实根是x1,x2,且x1<x2. 1.三次函数的图象和性质 a>0 a<0 f(x)图象         f'(x)图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0         目 录 单调 区间 单调递增区间:(-∞, x1)和(x2,+∞); 单调递减区间:(x1,x2) 单调递增区间: (-∞,+∞) 单调递增区间:(x1,x2); 单调递减区间:(-∞, x1)和(x2,+∞) 单调递减区间: (-∞,+∞) 极值 f(x1)为极大值 f(x2)为极小值 无极值 f(x1)为极小值 f(x2)为极大值 无极值 对称 中心 任何三次函数图象都有对称中心,且对称中心的坐标为  注意　三次函数要么无极值点,要么有两个,不可能只有一个. 目 录 2.一元三次方程的根的情况 　    f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0时)对应的方程根的情况: b2-3ac>0 b2-3ac≤0 图象   f(x1)·f(x2)<0         f(x1)·f(x2)=0         f(x1)·f(x2)>0   f(x)=0根 的个数 3 2 1 1 目 录 类型1　三次函数的图象及应用 例    (2024山西朔州月考)函数f(x)=ax3-bx2+cx的图象如图,且f(x)在x=x0与x=1处取得极 值,给出下列判断,其中正确的是 ( ) A.c>0 B.a<0 C. f(1)+f(-1)>0 D.函数y=f'(x)在区间(0,+∞)上单调递减     C     目 录 思路导引       目 录 解析　由图知x→+∞时, f(x)→+∞,所以a>0,故B中判断错误; f'(x)=3ax2-2bx+c, 由韦达定理得  所以 故A中判断错误; f(1)+f(-1)=-2b>0,故C中判断正确; f'(x)=3ax2-2bx+c图象的开口向上,对称轴x= <0,所以函数f'(x)在(0,+∞)上单调递增,故 D中判断错误. 故选C. 目 录 方法总结     　　对于三次函数的图象,要熟知总体的变化趋势,x3的系数a的正负与单调区间直接相 关;由极值点的正负, f'(x)=0,结合韦达定理可确定其他未知数的正负. 目 录 类型2　三次函数的对称问题 例　给出定义:设f'(x)是函数y=f(x)的导函数, f″(x)是函数f'(x)的导函数,若方程f″(x)=0 有实数解x=x0,则称(x0, f(x0))为函数y=f(x)图象的“拐点”.经研究发现所有的三次函数 f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象都有“拐点”,且该“拐点”也是函数y=f(x)的图象的对 称中心.已知函数f(x)= x3- x2+3x- . (1)求f(x)图象的对称中心; (2)求f +f +…+f 的值. 目 录 思路导引     (1)  (2)利用倒序相加法求. 目 录 解析    (1)f'(x)=x2-x+3, f″(x)=2x-1, 令f″(x)=0,可得x= ,又f =1, 所以f(x)图象的对称中心为 . (2)因为f(x)图象的对称中心为 , 所以f(x)+f(1-x)=2.(若函数f(x)的图象关于(a,b)中心对称,则有f(x)+f(2a-x)=2b) 设A=f +f +…+f , 则A=f +f +…+f , 目 录 所以2A=f +f +f +f +…+f +f =2×2 022,故A= 2 022,即f +f +…+f =2 022. 目 录 类型3　三次函数的零点 例　已知函数f(x)=ax3+bx2-3x(a,b∈R),且f(x)在x=1和x=3处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式; (2)设函数g(x)=f(x)+t,若g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点,求实数t的取值范围. 目 录 思路导引     (1)  (2)  目 录 解析    (1)f '(x)=3ax2+2bx-3. 因为f(x)在x=1和x=3处取得极值, 所以x=1和x=3是方程f '(x)=0的两个根, 则 解得  经检验,符合已知条件, 所以f(x)=- x3+2x2-3x. (2)由(1)知f(x)在(-∞,1)和(3,+∞)上单调递减,在(1,3)上单调递增, 目 录 又f(1)=- +2-3=- , f(3)=-9+18-9=0, 所以f(x)的大致图象如图所示. 函数g(x)=f(x)+t有且仅有一个零点等价于f(x)的图象与直线y=-t有且仅有一个交点, 由图可知-t>0或-t<- , 即t<0或t> . 目 录 $$