第二十七章 相似 单元测试 2024—2025学年人教版数学九年级下册

人教版九年级下册 第二十七章 相似 单元测试 一、选择题 1.下列命题中，正确命题的是（    ） A.所有的正方形都相似 B.所有的菱形都相似 C.底边相等的两个等腰三角形相似 D.对角线相等的两个矩形相似 2.下列两个图形一定相似的是（    ） A.两个菱形 B.两个矩形 C.两个正方形 D.两个五边形 3.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，灯与三角尺距离为2m，三角尺与投影面距离为3m，且三角尺的面积为24cm2，则投影三角形的面积为（　　） A.60cm2 B.120cm2 C.150cm2 D.180cm2 4.下列说法中错误的是（    ）． A.所有等边三角形都相似 B.和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C.所有菱形都相似 D.所有的正方形都相似 5.如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（    ） A. B. C. D. 6.如图，下列各式能使ΔACB∽ΔDCA的是（   ） A. B. C. D. 7.在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，，那么∠B的度数是（　　） A.40° B.60° C.80° D.100° 8.如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　） A.（，n） B.（m，n） C.（，） D.（m，） 9.如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条，若恰好可以用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），则这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为（　　） A.2：3 B.3：4 C.1：1 D.4：3 10.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（　　） A.3对 B.4对 C.6对 D.8对 11.如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（　　） A.∠ACD＝∠DAB B.AD＝DE C.AD•AB＝CD•BD D.AD2＝BD•CD 12.如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（     ）    A. B. C. D. 二、填空题 13.在 和 中，如果，， ，，那么这两个三角形是否相似？答：           ，理由是                 ． 14.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为m，树的顶端在水中的倒影距自己m远，淇淇的身高为m，则树高为         m．    15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为　     　． 16.在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为            . 17.如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 　           　． 三、解答题 18.如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 19.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F． （1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）； （2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由． 如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 20.     21.已知，求： (1)； (2)． 22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？ （2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算． （3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 人教版九年级下册 第二十七章 相似 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.下列命题中，正确命题的是（    ） A.所有的正方形都相似 B.所有的菱形都相似 C.底边相等的两个等腰三角形相似 D.对角线相等的两个矩形相似 【答案】A 【解析】解：A、∵所有正方形的四个角都是90度，对应边成比例， ∴所有的正方形都相似，故原命题正确，符合题意； B、∵所有的菱形其四个角不一定对应相等， ∴所有的菱形不一定都相似，原命题错误，不符合题意； C、底角相等的两个等腰三角形相似，原命题错误，不符合题意； D、对角线相等的两个矩形不一定相似，例如长方形和正方形的对角线相等，但是它们不相似，原命题错误，不符合题意； 故选A． 2.下列两个图形一定相似的是（    ） A.两个菱形 B.两个矩形 C.两个正方形 D.两个五边形 【答案】C 【解析】解： A、两个菱形对应的角不一定相等，所以不一定相似，故此选项错误； B、两个矩形的角都是直角，但边不一定成比例，故此选项错误； C、两个正方形的角都是直角，一定相等，并且四条边都相等，一定成比例，故此选项正确； D、两个四边形的角不一定相等，故此选项错误， 故选：C． 3.如图，位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，灯与三角尺距离为2m，三角尺与投影面距离为3m，且三角尺的面积为24cm2，则投影三角形的面积为（　　） A.60cm2 B.120cm2 C.150cm2 D.180cm2 【答案】C 【解析】∵三角尺与其灯光照射下的中心投影相似， ∴三角尺的面积：投影三角形的面积＝（）2＝， ∴投影三角形的面积＝24×＝150（cm2）． 故选：C． 4.下列说法中错误的是（    ）． A.所有等边三角形都相似 B.和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C.所有菱形都相似 D.所有的正方形都相似 【答案】C 【解析】解：A、等边三角形的角都为，所有等边三角形都相似， 则A选项正确，故不符合题意； B、相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，则B选项正确，故不符合题意； C、菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，则C选项错误，故符合题意； D、正方形的每个内角都为，所有的正方形都相似，则D选项正确，故不符合题意， 故选C． 5.如图，已知，与，，分别交于，，三点，与，，分别交于，，三点．若，，，则图中长度为的线段是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 6.如图，下列各式能使ΔACB∽ΔDCA的是（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：因为两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似, 所以在ΔACB和 ΔDCA中, 已知∠ACB=∠DCA,所以当, ΔACB∽ΔDCA, 故选B. 7.在△ABC和△DEF中，∠A＝40°，∠D＝60°，∠E＝80°，，那么∠B的度数是（　　） A.40° B.60° C.80° D.100° 【答案】B 【解析】∵∠D＝60°，∠E＝80°，∴∠F＝40°，∴∠A＝∠F， ∵，∴△ABC∽△FDE， ∴∠B与∠D是对应角，故∠B＝∠D＝60°． 故选：B． 8.如图，△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′，B′，A′，B′均在图中格点上，若线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为（　　） A.（，n） B.（m，n） C.（，） D.（m，） 【答案】C 【解析】∵△ABO缩小后变为△A′B′O，其中A、B的对应点分别为A′、B′点A、B、A′、B′均在图中在格点上， 即A点坐标为：（4，6），B点坐标为：（6，2），A′点坐标为：（2，3），B′点坐标为：（3，1）， ∴线段AB上有一点P（m，n），则点P在A′B′上的对应点P′的坐标为：（，）． 故选：C． 9.如图1是一张等腰直角三角形彩色纸，将斜边上的高线四等分，然后裁出三张宽度相等的长方形纸条，若恰好可以用这些纸条为一幅正方形美术作品镶边（纸条不重叠），则这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为（　　） A.2：3 B.3：4 C.1：1 D.4：3 【答案】C 【解析】设三张宽度相等的长方形纸条的宽为x，则等腰直角三角形的高为4x，如图1， ∴AB＝8x， ∴S△ABC＝•4x•8x＝16x2， ∵DE∥AB，FG∥AB，MN∥AB， ∴＝，＝，＝ ∴DE＝AB＝2x，FG＝4x，MN＝6x， ∴DE+FG+MN＝2x+4x+6x＝12x， ∴镶嵌所得的作品的周长为12x+4x＝16x， ∴镶嵌所得的作品的边长为4x， ∴镶嵌所得的作品的面积＝16x2， ∴这张彩色纸的面积与镶嵌所得的作品（如图2）面积之比为1：1． 故选：C． 10.如图，把△ABC绕点A旋转得到△ADE（C与E重合），当点D刚好落在BC上时，连接CE，设AC、DE相交于点F，则图中相似三角形的对数是（　　） A.3对 B.4对 C.6对 D.8对 【答案】B 【解析】∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴△ABC≌△ADE，∠2＝∠1，即△ABC∽△ADE，∴∠3＝∠4， ∴△AFE∽△DFC；∴AF：DF＝EF：FC，而∠AFD＝∠EFC， ∴△AFD∽△EFC； ∵把△ABC绕点A旋转得到△ADE（D与E重合）， ∴∠BAC＝∠DAE，AB＝AD，AC＝AE，∴∠3＝∠5， ∴△ABD∽△AEC．∴图中共有4对相似三角形． 故选：B． 11.如图所示，AB是⊙O的直径，D、E是半圆上任意两点，连接AD、DE，AE与BD相交于点C，要使△ADC与△ABD相似，可以添加一个条件．下列添加的条件中错误的是（　　） A.∠ACD＝∠DAB B.AD＝DE C.AD•AB＝CD•BD D.AD2＝BD•CD 【答案】C 【解析】A．∵∠ACD＝∠DAB，而∠ADC＝∠BDA，∴△DAC∽△DBA，所以A选项的添加条件正确； B．∵AD＝DE，∴∠DAE＝∠E，而∠E＝∠B，∴∠DAC＝∠B，∴△DAC∽△DBA，所以B选项的添加条件正确； C．∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA：DC＝DB：DA，即AD2＝DC•BD时，△DAC∽△DBA，所以C选项的添加条件不正确； D．∵∠ADC＝∠BDA，∴当DA：DC＝DB：DA，即AD2＝DC•BD时，△DAC∽△DBA，所以D选项的添加条件正确． 故选：C． 12.如图，是的边延长线上一点，连接，交于点，连接，，则等于（     ）    A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵四边形是平行四边形，是的边延长线上一点， ∴， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 如图所示，过点作于点，并延长交于点， 即是的高，是的高，    ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 二、填空题 13.在 和 中，如果，， ，，那么这两个三角形是否相似？答：           ，理由是                 ． 【答案】 两组角分别对应相等的两个三角形相似． 【解析】 解：∵，， ，， ∴， ， ∴． 故答案为；两组角分别对应相等的两个三角形相似． 14.如图，淇淇同学在湖边看到一棵树，他目测出自己与树的距离为m，树的顶端在水中的倒影距自己m远，淇淇的身高为m，则树高为         m．    【答案】 【解析】解：如图所示：    ∵入射光线和反射光线与镜面的夹角相等， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴树高为m． 故答案为： 15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以原点为位似中心，线段AB与线段A′B′是位似图形，若A（﹣1，2），B（﹣1，0），A′（﹣2，4），则B′的坐标为　     　． 【答案】（﹣2，0） 【解析】∵A（﹣1，2）的对应点A′的坐标为（﹣2，4）， ∴B点（﹣1，0）的对应点B′的坐标为（﹣2，0）． 16.在中，，，D是AC上一点，，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与相似，则AE的长为            . 【答案】8或 【解析】解：∵， ∴分或两种情况讨论: ①如图(1)，当时，有， 即，解得； ②如图(2)，当时，有， 即，解得.综上所述，AE的长为8或. 17.如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 　           　． 【答案】（0，），（2，0），（，0） 【解析】当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）； 当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）； 当PC⊥AB时，如图， ∵∠CAP＝∠OAB，∴Rt△APC∽Rt△ABO，∴＝， ∵点A（4，0）和点B（0，3），∴AB＝＝5， ∵点C是AB的中点，∴AC＝，∴＝， ∴AP＝， ∴OP＝OA﹣AP＝4﹣＝， 此时P点坐标为（，0）， 综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）． 三、解答题 18.如图中的两个三角形是否相似？为什么？ 【答案】解：相似，理由如下： 标字母如图， ∵，，， ∴， ∴∽； 【解析】 19.如图，E是平行四边形ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于F． （1）写出图中的三对相似三角形（注意：不添加辅助线）； （2）请在你所找出的相似三角形中选一对，说明相似的理由． 【答案】解：（1）△EAF∽△EBC，△CDF∽△EBC，△CDF∽△EAF． （2）选△EAF∽△EBC， 理由如下：在ABCD中AD∥BC， ∴∠EAF＝∠B． 又∵∠E＝∠E， ∴△EAF∽△EBC． 【解析】 如图，学校植物园是一块边长为5米的正方形，现将其扩大成矩形，且使得矩形矩形，求的长． 20.     【答案】解：矩形矩形 ，即， 设的长为x米 ， 解得：，或（负数不合题意舍去）， 的长为米。 【解析】 21.已知，求： (1)； (2)． 【答案】 解：（1） 设，，， ，，，， ； （2）∵，，， ∴． 【解析】 22.课本中有一道作业题：有一块三角形余料ABC，它的边BC＝120 mm，高AD＝80 mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上． （1）加工成的正方形零件的边长是多少mm？ （2）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少？请你计算． （3）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长． 【答案】解：（1）如图1，设正方形的边长为x mm，则PN＝PQ＝ED＝x， ∴AE＝AD﹣ED＝80﹣x， ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴＝，即＝，解得x＝48． ∴加工成的正方形零件的边长是48 mm； （2）如图2，设PQ＝x，则PN＝2x，AE＝80﹣x， ∵PN∥BC， ∴△APN∽△ABC， ∴＝，即＝， 解得x＝，∴2x＝， ∴这个矩形零件的两条边长分别为mm，mm； （3）如图3，设PN＝x（mm），矩形PQMN的面积为S（mm2）， 由条件可得△APN∽△ABC，∴＝，即＝， 解得：PQ＝80﹣x． 则S＝PN•PQ＝x（80﹣x）＝﹣x2+80x＝﹣（x﹣60）2+2400， 故S的最大值为2400 mm2，此时PN＝60 mm，PQ＝80﹣×60＝40（mm）． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$