第5章 《二次函数》单元卷 2024-2025学年苏科版数学九年级下册

2024-2025学年苏科版九年级下册数学《二次函数》单元卷 （满分100） 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1．下列函数解析式中，一定为二次函数的是　　 A． B． C． D． 2．将抛物线向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是　　 A． B． C． D． 3．关于二次函数，下列说法正确的是　　 A．函数图象的开口向下 B．函数图象的顶点坐标是 C．该函数有最大值，最大值是5 D．当时，随的增大而增大 4．二次函数的部分图象如图所示，由图象可知该抛物线与轴的交点坐标是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 5．如图，二次函数的图象经过点，若点的横坐标为，则一次函数的图象大致是　　 A． B． C． D． 6．若二次函数的最小值是2，则的值是　　 A．4 B．3 C． D．4或 7．如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即的长）为　　 A．40米 B．30米 C．25米 D．20米 8．二次函数的部分图象如图所示，与轴交于，对称轴为直线．下列结论：①；②；③对于任意实数，都有成立；④若，，，在该函数图象上，则；⑤方程，为常数）的所有根的和为4．其中正确结论有　　个． A．2 B．3 C．4 D．5 2、 填空题（共9空，满分36分，每空4分） 11．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是　　． 12．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是　　． 13．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．以上说法中，正确的有　　． 第13题 14．函数的图象是抛物线，则　　． 15．顶点为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　　． 16．把二次函数化成的形式是　 　． 17．把二次函数y＝﹣x2+4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　　，把此函数图象向右平移2个单位后，它的顶点坐标是　　． 18．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是　2　． 19． 如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　　． 第19题图 3、 解答题（共4小题，满分32分） 20．（8分）已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）． （1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标． 21．（8分）已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围；（2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 22．（8分）如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）a（x+1）2+4＝0的解是　　； （2）确定a的值； （3）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积． 23．（8分）已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？ 参考答案 1、 单项选择 1.C 2.B 3. D 4. A 5. D 6. A 7. A 8. A 二、填空 11．抛物线y＝（x+2）2+3的顶点坐标是　（﹣2，3）　． 【分析】已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标． 【解答】解：∵y＝（x+2）2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣2，3）． 故答案为：（﹣2，3）． 12．已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3，若点P（﹣2，5）与点Q关于该抛物线的对称轴对称，则点Q的坐标是　（4，5）　． 【分析】根据抛物线解析式求出抛物线对称轴为x＝1，再根据图象得出点p（﹣2，5）关于对称轴对称点Q的纵坐标不变，两点横坐标到对称轴的距离相等，都为3，得到Q点坐标为（4，5）． 【解答】解：∵x＝﹣＝﹣＝1． ∴P（﹣2，5）关于对称轴的对称点Q的坐标是（4，5）． 故点Q的坐标是（4，5）． 故答案为：（4，5）． 13．如图为二次函数y＝ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac＜0；②方程ax2+bx+c＝0的根是x1＝﹣1，x2＝3；③a+b+c＞0；④当x＞1时，y随x的增大而增大．以上说法中，正确的有　①②④　． 14．函数的图象是抛物线，则　　． 【分析】根据二次函数的定义列式求解即可． 【解答】解：根据二次函数的定义，且， 解得且， 所以，．故答案为：． 15．顶点为，形状与函数的图象相同且开口方向相反的抛物线解析式为　　． 【分析】由形状与函数的图象相同且开口方向相反可知，把顶点代入顶点式即可求得抛物线解析式． 【解答】解：设抛物线解析式为， 形状与函数的图象相同且开口方向相反， ， 把，顶点代入得： ， 故答案为：． 16．把二次函数化成的形式是　　． 【分析】根据配方法整理即可得解． 【解答】解： ， 所以． 故答案为：． 17．把二次函数y＝﹣x2+4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，则y＝　﹣（x﹣2）2+5　，把此函数图象向右平移2个单位后，它的顶点坐标是　（4，5）　． 【分析】用配方法可以将抛物线的一般式转化为顶点式，抛物线的平移，实际上就是顶点的平移． 【解答】解：y＝﹣x2+4x+1＝﹣（x2﹣4x+4）+5＝﹣（x﹣2）2+5， 由此可知，抛物线的顶点坐标为（2，5）， 把抛物线向右平移2个单位后，顶点坐标为（4，5）． 18．如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是　2　． 【分析】首先连接BE，由题意易得BF＝CF，△ACP∽△BDP，然后由相似三角形的对应边成比例，易得DP：CP＝1：3，即可得PF：CF＝PF：BF＝1：2，在Rt△PBF中，即可求得tan∠BPF的值，继而求得答案． 【解答】解：如图，连接BE， ∵四边形BCED是正方形， ∴DF＝CF＝CD，BF＝BE，CD＝BE，BE⊥CD， ∴BF＝CF， 根据题意得：AC∥BD， ∴△ACP∽△BDP， ∴DP：CP＝BD：AC＝1：3， ∴DP：DF＝1：2， ∴DP＝PF＝CF＝BF， 在Rt△PBF中，tan∠BPF＝＝2， ∵∠APD＝∠BPF， ∴tan∠APD＝2． 方法二：如图，取格点H，连接AH，BH，证明∠AHB＝90°，CD∥BH， 可得∠APD＝∠ABH， ∴tan∠APD＝tan∠ABH＝＝2． 故答案为：2． 19．如图，有一座拱桥洞呈抛物线形状，这个桥洞的最大高度为16m，跨度为40m，现把它的示意图放在如图的平面直角坐标系中，则抛物线对应的函数关系式为　y＝﹣（x﹣20）2+16　． 【分析】根据题意，抛物线的顶点坐标是（20，16），并且过（0，0），利用抛物线的顶点坐标式待定系数法求它的表达式则可． 【解答】解：设y＝a（x﹣20）2+16， 因为抛物线过（0，0）， 所以代入得： 400a+16＝0， 解得a＝﹣， 故此抛物线的函数关系式为： y＝﹣（x﹣20）2+16． 故答案为：y＝﹣（x﹣20）2+16． 三、解答题 20．已知一抛物线与x轴的交点是A（﹣2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）． （1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 【分析】（1）设交点式y＝a（x+2）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a的值即可得到抛物线解析式； （2）把（1）中的解析式配成顶点式即可得到抛物线顶点坐标； 【解答】解：（1）该抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣1）， 把C（2，8）代入得a•4•1＝8，解得a＝2， 所以抛物线解析式为y＝2（x+2）（x﹣1）， 即y＝2x2+2x﹣4； （2）y＝2x2+2x﹣4＝2（x+）2﹣， 所以抛物线的顶点坐标为（﹣，﹣）． 21．已知关于x的方程k2x2﹣2（k+1）x+1＝0有两个实数根． （1）求k的取值范围； （2）若k为符合条件的最小整数，求此方程的根． 【分析】（1）根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2≥0，然后解两个不等式，求出它们的公共部分即可； （2）直接得出k的值，进而解方程得出答案． 【解答】解：（1）根据题意得k2≠0且Δ＝4（k+1）2﹣4k2＝8k+4≥0， 解得：k≥﹣且k≠0； （2）∵k≥﹣且k≠0，k为符合条件的最小整数， ∴k＝1， 故x2﹣4x+1＝0， 则x2﹣4x+4＝﹣1+4， 故（x﹣2）2＝3， 则x﹣2＝±， 解得：x1＝2+，x2＝2﹣． 22．如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题： （1）a（x+1）2+4＝0的解是　x1＝﹣4，x2＝2　； （2）确定a的值； （3）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积． 【分析】（1）由二次函数的图象可以得到该抛物线的对称轴和抛物线与x轴的交点A的坐标，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，即得到一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解； （2）将点A的坐标代入y＝a（x+1）2+4列方程求出a的值即可； （3）先求出抛物线的顶点坐标，再根据点A、点B的坐标求出△PAB的面积即可． 【解答】解：（1）由二次函数y＝a（x+1）2+4的图象可知，该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，A（﹣4，0）， 设该抛物线与x轴的另一个交点为B， ∵点B与点A（﹣4，0）关于直线x＝﹣1对称， ∴B（2，0）， ∴当y＝0时，一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解为x1＝﹣4，x2＝2， 故答案为：x1＝﹣4，x2＝2． （2）∵点A（﹣4，0）在抛物线y＝a（x+1）2+4上， ∴（﹣4+1）2a+4＝0， ∴解得a＝． （3）由（2）得a＝， ∴该二次函数为y＝（x+1）2+4， ∴该抛物线的顶点为P（﹣1，4）， 又∵A（﹣4，0），B（2，0）， ∴AB＝2+4＝6， ∴S△PAB＝×6×4＝12， ∴△PAB的面积是12． 23．已知：平行四边形ABCD的两边AB，AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根． （1）m为何值时，四边形ABCD是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若AB的长为2，那么▱ABCD的周长是多少？ 【分析】（1）根据菱形的性质可得出AB＝AD，结合根的判别式，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出m的值，将其代入原方程，解之即可得出菱形的边长； （2）将x＝2代入原方程可求出m的值，将m的值代入原方程结合根与系数的关系可求出方程的另一根AD的长，再根据平行四边形的周长公式即可求出▱ABCD的周长． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD． 又∵AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+﹣＝0的两个实数根， ∴Δ＝（﹣m）2﹣4×（﹣）＝（m﹣1）2＝0， ∴m＝1， ∴当m为1时，四边形ABCD是菱形． 当m＝1时，原方程为x2﹣x+＝0，即（x﹣）2＝0， 解得：x1＝x2＝， ∴菱形ABCD的边长是． （2）把x＝2代入原方程，得：4﹣2m+﹣＝0， 解得：m＝． 将m＝代入原方程，得：x2﹣x+1＝0， ∴方程的另一根AD＝1÷2＝， ∴▱ABCD的周长是2×（2+）＝5． 学科网（北京）股份有限公司 $$