第十五章 轴对称 单元测试2025-2026学年人教版（2024）八年级数学上册

人教版（2024）八年级上册 第十五章 轴对称 单元测试 一、选择题 1.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长度是（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 2.如图，将一块等边三角形纸板与直尺叠放在一起，且等边三角形纸板的一个顶点在直尺的一边上，则α与β的数量关系为（　　） A.α+β＝180° B.α+β＝120° C.α＝β D.α﹣β＝60° 3.在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．过△ABC的定点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A.7条 B.8条 C.9条 D.10条 4.一张菱形纸片按图1、图2依次对折后．再按图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ） A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（　　） A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位 C.向下平移8个单位 D.向上平移8个单位 6.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝3，则OM的长是（　　） A.2 B.3.5 C.6 D.8 7.已知点A的坐标为（﹣2，3），点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，则点C关于x轴对称的点的坐标为（ ） A.（2，﹣3） B.（﹣2，3） C.（2，3） D.（﹣2，﹣3） 8.边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 9.如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E，连接EC，AB＝10，△BEC的周长为18．若点P在直线EF上，连接PA，PB，则|PA﹣PB|的最大值为（　　） A.5 B.8 C.10 D.13 11.如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝40°，则∠AEF＝（　　） A.100° B.110° C.120° D.130° 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A.45° B.90° C.75° D.135° 二、填空题 13.已知点A（a，-2）与点B（3，-2）关于y轴对称，则a=            ． 14.如图，△ABC中，DE垂直平分线段AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=______________度． 15.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=23cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为　            　． 16.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． 设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 17.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝124°，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数是 　 　． 三、解答题 18.证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点． 已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，垂足分别为点E，F，两线相交于点P． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P． 证明：∵P是AB边的垂直平分线上的一点，∴PB＝　  　． ∵P是BC边的垂直平分线上的一点，∴PB＝　   　． ∴　   　＝　    　，∴P在AC边的 　    　上． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点 　    　． 19.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F． 求证：CE＝CF． 20.如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 21.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，﹣1）．将△ABC关于y轴对称后得到△A1B1C1，且点A、B、C的对应点分别为A1，B1，∁1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）点C与C1之间的距离为 　     　． 22.如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F． （1）说明△AEF是等腰三角形的理由； （2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数． 人教版（2024）八年级上册 第十五章 轴对称 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠B=30°，AD=2，则AB的长度是（ ） A.2 B.4 C.8 D.16 【答案】C 【解析】解：根据题意，画出图形，然后根据“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”去求解.如图，由题意可知在Rt△ACD中，∠ACD=30°，所以AC=2AD=4，所以AB=2AC=8.故选C. 2.如图，将一块等边三角形纸板与直尺叠放在一起，且等边三角形纸板的一个顶点在直尺的一边上，则α与β的数量关系为（　　） A.α+β＝180° B.α+β＝120° C.α＝β D.α﹣β＝60° 【答案】B 【解析】解：如图， ∵△ADF是等边三角形， ∴∠FAD＝60°， ∵AB∥EC， ∴∠α＝∠DAB． ∵∠β+∠FAD+∠DAB＝180°， ∴∠β+60°+∠α＝180°， ∴α+β＝120°． 故选：B． 3.在△ABC中，∠ABC=30°，∠BAC=70°．过△ABC的定点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（　　） A.7条 B.8条 C.9条 D.10条 【答案】A 【解析】解：如图： ∴最多画7条，故选：A． 4.一张菱形纸片按图1、图2依次对折后．再按图3打出一个圆形小孔，则展开铺平后的图案是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：采用逆向思维的方法，如下图： 故选C. 5.在平面直角坐标系中，点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴对称，则应把点A（　　） A.向左平移6个单位 B.向右平移6个单位 C.向下平移8个单位 D.向上平移8个单位 【答案】B 【解析】解：∵点A（﹣3，﹣4）平移后能与原来的位置关于y轴轴对称， ∴平移后的坐标为（3，﹣4）， ∵横坐标增大， ∴点是向右平移得到，平移距离为|3﹣（﹣3）|＝6． 故选：B． 6.如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM＝PN，若MN＝3，则OM的长是（　　） A.2 B.3.5 C.6 D.8 【答案】B 【解析】解：作PH⊥MN于H，如图， ∵PM＝PN， ∴， 在Rt△POH中， ∵∠POH＝60°， ∴∠OPH＝30°， ∴， ∴OM＝OH﹣MH＝5﹣1.5＝3.5． 故选：B． 7.已知点A的坐标为（﹣2，3），点B与点A关于x轴对称，点C与点B关于y轴对称，则点C关于x轴对称的点的坐标为（ ） A.（2，﹣3） B.（﹣2，3） C.（2，3） D.（﹣2，﹣3） 【答案】C 【解析】解：点A的坐标为（﹣2，3），点B与点A关于x轴对称，得 B（﹣2，﹣3）．点C与点B关于y轴对称，得C（2，﹣3）．则点C关于x轴对称的点的坐标为（2，3），故选：C． 8.边长为整数，周长等于21的等腰三角形共有（　　） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 【答案】B 【解析】解：设等腰三角形的腰长为x，则其底边长为：21﹣2x．∵21﹣2x﹣x＜x＜21﹣2x+x，∴5.25＜x＜10.5，∵边长为整数，∴x的取值为：6，7，8，9，10，∴这样的等腰三角形共有5个，故选B． 9.如图，M，N为4×4方格纸中格点上的两点，若以MN为边，在方格中取一点P（P在格点上），使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为（　　） A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【答案】C 【解析】解：如图： 分三种情况： 当MP＝MN时，以点M为圆心，以MN长为半径作圆，则点P1，P2即为所求； 当NP＝NM时，以点N为圆心，以NM长为半径作圆，则点P3即为所求； 当PM＝PN时，作线段MN的垂直平分线，则点P4，P5即为所求； 综上所述：使得△MNP为等腰三角形，则点P的个数为5个， 故选：C． 10.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E，连接EC，AB＝10，△BEC的周长为18．若点P在直线EF上，连接PA，PB，则|PA﹣PB|的最大值为（　　） A.5 B.8 C.10 D.13 【答案】B 【解析】解：∵AC的垂直平分线交AC于点F，交AB于点E， ∴EA＝EC， ∵△BEC的周长是18，AB＝10， ∴BC＝△BEC的周长﹣（EC+EB）＝18﹣（AE+EB）＝18﹣AB＝18﹣10＝8， 点P在直线EF上，如图，连接PC， ∵点P在AC的垂直平分线EF上， ∴PA＝PC， ∴|PA﹣PB|＝|PC﹣PB|≤BC＝8， 故|PA﹣PB|的最大值为8，此时点P是直线EF与直线BC的交点． 故选：B． 11.如图，把长方形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1＝40°，则∠AEF＝（　　） A.100° B.110° C.120° D.130° 【答案】B 【解析】解：∵长方形ABCD沿EF对折， ∴∠2＝∠3， ∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝40°， ∴∠3＝70°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC， ∴∠AEF＝∠EFC＝∠3+∠1＝110°， 故选B． 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点．当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是（　　） A.45° B.90° C.75° D.135° 【答案】B 【解析】解：作点D关于BC的对称点D'，作点E关于AC的对称点E'，连接D'E'分别交AC，BC于点M'，N'，连接ME'，ND'，EM'，DN'， 则ME＝ME'，ND＝ND'， ∴四边形DEMN的周长＝DE+ME+MN+ND＝DE+ME'+MN+ND'≥DE+D'E'， ∵DE长固定， ∴点M与M'重合，点N与点N'重合时，四边形DEMN的周长最小，此时∠DNM+∠EMN＝∠DN'M+∠EM'N， 由对称性和三角形外角性质可知：∠DN'M＝∠N'DD'+∠N'D'D＝2∠N'D'D，∠EM'N＝∠M'EE'+∠M'E'E＝2∠M'E'E， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2∠N'D'D+2∠M'E'E＝2（180°﹣∠D'DE'）， 设DD'与BC交于点H， ∵AB＝AC，∠A＝90°， ∴∠BDH＝45°， ∴∠D'DE'＝180°﹣45°＝135°， ∴∠DN'M+∠EM'N＝2（180°﹣135°）＝90°， 即当四边形DEMN的周长最小时，∠DNM+∠EMN的大小是90°， 故选：B． 二、填空题 13.已知点A（a，-2）与点B（3，-2）关于y轴对称，则a=            ． 【答案】-3 【解析】解：∵点A（a，-2）与点B（3，-2）关于y轴对称，∴a=-3. 14.如图，△ABC中，DE垂直平分线段AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=______________度． 【答案】50 【解析】解：∵DE垂直平分AC，∴EA=EC，∴∠ACE=∠A=30°，∵∠ACB=80°，∴∠BCE=80°﹣30°=50°． 15.如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，若AB=4cm，AD=23cm，E为AB的中点，P为AD上一点，PE+PB的最小值为　            　． 【答案】23cm 【解析】连接EC交于AD于点P． ∵AB=AC，BD=DC，∴AD⊥BC． ∴AD是BC的垂直平分线．∴PB=PC．∴PE+PB=EP+PC=EC． ∵△ABC为等边三角形，∴∠EAC=∠ACD=60°，AB=BC． ∵点E和点D分别是AB和BC的中点， ∴AE=DC．∴△ACE≌△CAD． ∴EC=AD=23cm．故答案为：23cm． 16.如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，E． 设直线DM，EN交于点O，判断点O是否在BC的垂直平分线上． 【答案】解：点O在BC的垂直平分线上．理由如下： 如图，连接OA，OB，OC， ∵OM是AB的垂直平分线，ON是AC的垂直平分线， ∴OA＝OB，OA＝OC， ∴OB＝OC， ∴点O在BC的垂直平分线上（线段垂直平分线的判定）. 17.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝124°，M，N分别是边DC，BC上的动点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数是 　 　． 【答案】68°． 【解析】解：如图，作点A关于CD、CB的对称点E、F，连接EF分别交CD、CB于点H、G，连接AH、AG、EM、FN， 由对称性知：EM＝AM，EH＝AH，NF＝NA，GF＝GA， ∴AM+MN+NA＝EM+MN+NF≥EF， ∴当点M与点H重合，点N与点G重合时，△AMN的周长最小； ∵GA＝GF，EH＝AH， ∴∠GAF＝∠GFA，∠HEA＝∠HAE， ∴∠AGH＝2∠GFA，∠AHG＝2∠HEA， ∵∠DAB＝124°， ∴∠GFA+∠HEA＝180°﹣∠DAB＝56°， ∵∠AGH+∠AHG＝2∠GAF+2∠HEA＝2×56°＝112°， ∴∠GAH＝180°﹣（∠AGH+∠AHG）＝180°﹣112°＝168°， 此时∠MAN＝68°， 故答案为：68°． 三、解答题 18.证明：三角形三条边的垂直平分线相交于一点． 已知：如图，在△ABC中，分别作AB边、BC边的垂直平分线，垂足分别为点E，F，两线相交于点P． 求证：AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P． 证明：∵P是AB边的垂直平分线上的一点，∴PB＝　  　． ∵P是BC边的垂直平分线上的一点，∴PB＝　   　． ∴　   　＝　    　，∴P在AC边的 　    　上． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点 　    　． 【答案】证明：∵P是AB边的垂直平分线上的一点， ∴PA＝PB． ∵P是BC边的垂直平分线上的一点， ∴PB＝PC． ∴PA＝PC， ∴P在AC边的垂直平分线上． ∴AB、BC、AC的垂直平分线相交于点P． 故答案为：PA；PC；PA；PC；垂直平分线；P． 19.如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F． 求证：CE＝CF． 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CBF+∠CFB＝∠DBE+∠DEB＝90°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠CBF＝∠DBE， ∴∠CFB＝∠DEB， 又∵∠FEC＝∠DEB， ∴∠CFB＝∠FEC， ∴CE＝CF． 20.如图，在正方形网格上有一个△ABC． （1）画△ABC关于直线MN的对称图形（不写画法）； （2）若网格上的每个小正方形的边长为1，求△ABC的面积． 【答案】解：（1）△ABC关于直线MN的对称图形如图所示： （2）△ABC的面积=4×5﹣×1×4﹣×1×4﹣×5×3=20﹣2﹣2﹣7.5=8.5． 【解析】 21.如图，△ABC的顶点坐标分别为A（2，4），B（1，1），C（3，﹣1）．将△ABC关于y轴对称后得到△A1B1C1，且点A、B、C的对应点分别为A1，B1，∁1． （1）请在图中画出△A1B1C1； （2）点C与C1之间的距离为 　     　． 【答案】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求． （2）点C与C1之间的距离为3﹣（﹣3）＝6， 故答案为：6． 【解析】 22.如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F． （1）说明△AEF是等腰三角形的理由； （2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数． 【答案】解：（1）∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∵BE＝DE， ∴∠CBE＝∠D， ∵∠ABC＝∠ABE+∠CBE，∠ACB＝∠D+∠CED， ∴∠ABE＝∠CED， ∵AE＝BE， ∴∠A＝∠ABE， ∵∠AEF＝∠CED， ∴∠A＝∠AEF， ∴AF＝EF， ∴△AEF是等腰三角形； （2）设∠A＝x，∠D＝y， ∴∠ABE＝x，∠BFE＝∠A+∠AEF＝2x，∠BEF＝∠D+∠DBE＝2y， ∴∠BFE≠∠ABE， ∴当△BEF是等腰三角形时，存在以下两种情况： ①当∠BFE＝∠BEF时，2x＝2y， ∴x＝y， △AEF中，2x+2y+x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠A＝36°； ②当∠BEF＝∠ABE时，x＝2y， ∵2x+2y+x＝180°， ∴4x＝180°， ∴x＝45°， ∴∠A＝45°， 综上，∠A的度数为36°或45°． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$