解析几何：直线方程复习讲义-2026届高三数学一轮复习

解析几何：直线方程复习讲义 解析几何：直线方程复习讲义 考点一 直线的倾斜角与斜率 【知识点解析】 概念 知识点解析 直线倾斜角的定义 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是的直线没有斜率. 斜率公式 ①经过两点、的直线的斜率. ②倾斜角的直线的斜率. ③方向向量为的直线的斜率. 【例题分析】 1．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意有直线的斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，又因为,所以， 故选：C. 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知， 所以，即. 故选：A. 3．（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】因为直线的一个方向向量为，所以， 则. 故选：D 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线方向向量为，则直线斜率为，结合倾斜角的范围，故其倾斜角为. 故选：C 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，直线的方程为，此时直线的倾斜角； 当时，直线的斜率为， 因为， 所以，即， 又因为， 所以结合正切函数的图象可得：. 综上可得：直线的倾斜角的取值范围是. 故选：C. 6．（2025·河南·模拟预测·多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】当时，； 当时，. 故选：AB 7．（24-25高三上·河北承德·期中·多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 【答案】ABC 【详解】依题意，不妨将三角形的顶点放到坐标原点，则在轴上（如下图所示）， 则，所以直线的斜率为，故A正确； 因为边上的高也为的平分线，所以边上的高所在直线的斜率为，故B正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故C正确； 边上的高所在直线的倾斜角为，故D错误. 故选：ABC 8．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 【答案】/ 【详解】因为直线经过点、两点，所以， 设直线的倾斜角为，所以，故， 故直线的斜率为. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 【答案】 【详解】直线的斜率为，倾斜角为， 因为直线与直线的夹角为， 所以直线的倾斜角为或， 若直线的倾斜角为，则不存在； 若直线的倾斜角为，则. 综上所述，. 故答案为：. 10．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 【答案】 【详解】①当时，直线的斜率不存在，其倾斜角； ②当时，直线的斜率， 因，则，则， 因，所以倾斜角， 综上，直线的倾斜角的范围是. 故答案为：. 11．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 【答案】 【详解】根据题中条件画出图形，如图所示，    因为，，，设直线l的斜率为， 则， 直线l与以为端点的线段相交，结合图形， 则直线l的斜率的取值范围为. 故答案为：. 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】表示线段上的点与连线的斜率， 因为， 所以由图可知的取值范围是． 故答案为：. 13．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，得. （2）由题意得，得， 故实数的取值范围为 14．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 【答案】(1)或斜率不存在 (2) 【详解】（1）如图，由题意可知 ， 要使直线l与线段有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是或斜率不存在. （2）由题意可知，l的倾斜角介于直线与的倾斜角之间. 又的倾斜角是，的倾斜角是， 所以直线l的倾斜角的取值范围是. 考点二 直线平行与垂直问题 【知识点解析】 位置关系 解决思路 直线与直线平行 ①若直线与直线的斜率均存在，则且（即不能重合）. ②直线与直线的斜率均不存在. 直线与直线垂直 ①若直线与直线的斜率均存在，则. ②若直线与直线有一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为. 、、三点共线 ①若，则. ②. 除了用斜率进行处理，平行问题、垂直问题、共线问题也可用向量进行处理，但本章主要讲解直线方程，所以不对向量进行展开！ 【例题分析】 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因，则或. 当，，，两直线平行，满足题意； 当，，，满足题意. 则的充要条件为或. 则“”的充分不必要条件可以是，也可以是. 故选：A 2．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【详解】若，则直线，直线，此时平行， 若平行，则即， 当时，平行， 当时，直线，直线，此时也平行， 故平行时推不出，故“”是“平行”的充分不必要条件， 故选：A. 3．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 【答案】D 【详解】依题意得，， 得， 解得或， 若时，直线与直线平行，符合题意； 若时，直线与直线平行，符合题意； 综上所述：或． 故选：D 4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知，直线，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【详解】因为，所以，即， 因为，，所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最小值为． 故选：C. 5．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】当时，，，此时，所以可以推出， 若，由，解得或， 当，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】B 【详解】因为直线， 当时，，解得或， 当时，，此时两直线重合，舍去， 又时，，此时， 所以 “”的充要条件是“”. 故选：B. 7．（24-25高二上·福建莆田·期中·多选）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AD 【详解】已知直线， 若，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD 8．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 【答案】4 【详解】因为的横坐标不相同，故三点共线 可得，则，解得. 故答案为：. 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 【答案】 【详解】方程组无解， 等价于直线与直线平行， 可得：， 解得：或， 当时，直线方程分别为：和重合舍去， 当时，直线方程分别为：和，平行， 故， 故答案为： 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 【答案】或 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得或， 故答案为：或. 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 【答案】(1)点的坐标为或或 (2)平行四边形为菱形，平行四边形、不是菱形 【详解】（1）由题意得，，， 设， 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为或或. （2）若的坐标为， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为， 因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 12．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 【答案】(1) (2)四边形为直角梯形 【详解】（1）由题意可得， 则，， 所以两条直线平行，即， （2）因为，， 所以，即与不平行， 又，所以， 所以四边形为直角梯形. 考点三 直线的五种方程 【知识点解析】 方程 形式 使用条件 直线的点斜式方程 ①已知直线上一个定点. ②直线斜率存在. 直线的斜截式方程 ①直线斜率存在. ②直线与轴的截距存在. 直线的两点式方程 ①已知直线上两个不重合的定点、 ②且. 直线的截距式方程 ①直线与轴的截距存在且不为. ②直线与轴的截距存在且不为. 直线的一般式方程 适用于所有直线，没有限制条件.无论直线是水平、竖直、过原点还是其他情况，都可以表示为一般式. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可知的斜率为， 所以与其垂直的直线斜率为， 由点斜式可知该直线方程为， 故选：D 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的方程为，即， 故选：A． 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由复数的几何意义可知，到的距离等于到的距离，故在和的垂直平分线上， 又的中点且，所以的垂直平分线的斜率为， 所以的垂直平分线方程为，即. 故选：A. 4．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 则， 所以线段AB的中垂线的斜率为， 又线段的中点为，即， 所以线段中垂线方程为：，即. 故选：C． 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解析  因为直线与直线垂直，所以的斜率为-2，所以的方程为，即． 故选：A. 6．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 【答案】或 【详解】当直线过原点时，在坐标轴上的截距都为0， 此时直线的斜率为：； 当直线不过原点时，设直线的方程为， 则，即， 则直线的方程为，斜率为. 故答案为：或. 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】设直线的截距为a， 情况一：截距非零（) 此时直线方程为截距式：，代入点 ： 因此直线方程为：； 情况二：截距为零（) 此时直线过原点，设方程为：， 代入点 ：， 因此直线方程为. 故答案为： 或 . 8．（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），， 直线AB的方程为， 化简得； （2）直线AB的斜率为， 边上的高所在直线的斜率为， 边上的高所在直线的方程为，即 9．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设边上的中点为D，则D，则中线斜率为， 则由点斜式可得边上的中线的直线方程为：； （2）由题可得斜率为：， 则边上的高斜率为，又边上的高的直线方程过点A， 则边上的高的直线方程为：； （3），设， 则，所以为AD的方向向量，则， 所以AD：，整理得 10．（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得直线斜率为， 故直线方程为，即； （2）由题意可设直线方程为，，结合直线经过点， 可得，则直线方程为. 11．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 【答案】(1)或 (2)或 【详解】（1）当即时，直线的方程为，不满足题意； 当，即时，令得，令，得， 由截距相等得，解得或， 当时，直线的方程为，当时，直线的方程为， 故综上所述，所求直线的方程为或． （2）由题意知，，，且在轴、轴上的截距分别为、， 所以，解得， 所以的面积，    由题意知，化简得，解得或，均满足条件， 所以或． 12．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设中点为，所以，即， 所以，直线：，即， 所以边上的中线所在的直线方程为. （2）由题意得，所以边上高的斜率为， 所以边上高所在直线的方程为：，即. 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 【答案】(1) (2)或. 【详解】（1）设交于，则为的中点，设， 因为点是三角形的重心， 所以，所以， 所以，， 所以， 所以 ， 故，解得. 边所在直线的方程为，即. （2）当在轴、轴上的截距为0时，易知直线方程为：， 当截距不为0时， 设直线方程为：，因为点在直线上， 所以，可得， 即直线方程为：； 综上所述：直线方程为或. 14．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 【答案】(1)证明见解析 (2)或. 【详解】（1）将直线整理得 对任意实数都成立， 所以，解得 所以对任意实数，直线都经过一个定点； （2）由已知条件可知，求得直线与轴、轴的交点分别为 ， 则有，化简得， 当时，直线的方程为 当时，直线的方程为 所以直线的方程为或. 考点四 交点问题与定点问题 【知识点解析】 1.两直线交点问题 已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标 2.定点问题 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 考向一 交点问题 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线与互相垂直,可得，即. 把代入直线，得到. 联立方程组 解得.把代入，得. 所以交点坐标为. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线与直线的交点为， 又因为与直线平行，所以设直线为：， 代入得，所以， 所以直线的方程为. 故选：A. 3．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【详解】联立方程 ，解得 ，所以交点坐标为 ； 直线 的斜率为 ，所以所求直线方程的斜率为 ， 由点斜式直线方程得：所求直线方程为 ，即 ； 故选：D 4．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得， 因为两条直线的交点在第一象限，故且，故， 故，解得或. 故选：A. 5．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 考向二 定点问题 1．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 【答案】 【详解】由题意可得，令，解得， 所以直线恒过定点， 故答案为： 2．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 【答案】1 【详解】因为动直线过定点，动直线过定点， 且，可知，即， 所以. 故答案为：1. 3．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 【答案】4 【详解】直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 直线化为， 当，得，即直线恒过点，即点， 且两条直线满足, ,即， , ,当且仅当时，等号成立， 的最大值为4. 故答案为：4. 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【详解】（1）由，可得， 令，所以直线过定点. （2）由（1）知，直线恒过定点，由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点为，，令，得；令，得， 所以面积， 当且仅当，即时，面积最小值为4. 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)4 【详解】（1）证明： 直线l的方程可化为，故无论k取何值，直线l总过定点． （2）直线l的方程为， 则直线l在y轴上的截距为，要使直线l不经过第四象限，则， 解得，故k的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， ∴，． 又且， ∴ ． 故， 当且仅当，即时，取等号． 故S的最小值为4． 6．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【详解】（1）由可得：， 令，解得， 经检验，满足， 所以直线过定点． （2）由（1）知直线过定点，当时，原点到直线的距离最大， 又，所以直线的方程为，即， 所以与原点距离最大的直线方程为. （3）由（1）知，直线恒过定点， 由题意可设直线的方程为， 设直线与轴，轴正半轴交点分别为， 令，得；令，得， 所以面积 ， 当且仅当，即时，面积最小， 此时，，， 的周长为. 所以当面积最小时，的周长为. 7．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由可得， 由解得，所以直线恒过点. （2）若经过点，所以，解得 所以直线的方程为. 考点五 距离问题 【知识点解析】 1.两点之间的距离公式 已知点，则线段的长度. 2.点到直线的距离公式 已知点，点到直线的距离. 3.平行线的距离公式 已知直线与，直线到直线的距离. ※注意使用平行线的距离公式时，需注意先统一系数、！ 【例题分析】 1．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知点，直线，则到的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线可化为， 联立，即直线过定点， 要使到的距离的最大，只需，即距离最大值为. 故选：B 2．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，所以，则，所以可得， 根据两平行直线间的距离公式可得与的距离为. 故选：C. 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）直线：与直线：平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以直线：与直线：间的距离为： . 故选：B 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 【答案】C 【详解】因为点在直线上运动，所以， 所以， 表示轴上一点到两定点的距离之和. 在轴两侧，因为中，两边之和大于第三边，所以， 当三点共线时，，此时最小值为， 即的最小值为. 故选：C. 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 由得， 由得，故直线过定点. 记点为点，当与直线垂直时，点到直线的距离有最大值， 最大值为. 故选：D. 6．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 【答案】或 【详解】当直线的斜率不存在时，直线的方程为：时，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 由于和两点到直线的距离相等， 所以， 解得，此时直线的方程为：， 综上所述，直线的方程为：或. 故答案为：或 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为 ． 【答案】 【详解】以向量为方向向量的直线的斜率为， 则过点的直线的方程为， 即， 则点到直线的距离. 故答案为：. 8．（24-25高二上·安徽·期中）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点． (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？ 【答案】(1)证明见解析 (2)时，最大距离为 【详解】（1）证明：将直线的方程整理得， 由，解得，所以直线恒过点． （2）由（1）可得直线过定点，设定点为． 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为． 此时，而直线的斜率，所以，解得． 9．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线经过点， (1)若点到直线的距离为2，求直线的方程； (2)直线与，轴的正半轴交于A，B两点，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)12 【详解】（1）当直线斜率不存在时，，此时点到直线的距离2，符合要求； 当直线斜率存在时，设，即， 则有，解得，故； 综上所述，直线的方程为或； （2）如图，设，则，， 即， 由，则，故当时， 有. 10．（23-24高二上·广东江门·期中）已知的三个顶点是. (1)求直线AB的方程以及的面积； (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)， (2)或 【详解】（1）∵，∴， ∴直线AB的方程为，即， ∵，点到直线AB的距离为， ∴的面积. （2）∵点A，B到直线的距离相等，∴直线与AB平行或通过AB的中点， ①当直线l与AB平行时，， 直线的方程为，即. ②当直线通过AB的中点时， ∵，∴，即， 综上:直线的方程为或. 考点六 对称问题 【知识点解析】 1．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为． （2）点关于轴的对称点为． （3）点关于原点的对称点为． （4）点关于直线的对称点为． （5）点关于直线的对称点为． 2.对称问题 （1）点关于点对称 已知点，求关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用点为点、的中点. （2）点关于直线对称 已知点，求关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用直线为线段的垂直平分线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】点关于轴的对称点为， 故，在反射光线所在的直线上，故， 直线方程为，即， 故选：C 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，直线为线段的垂直平分线，且， 所以直线的斜率为， 又因为线段的中点为，所以直线的方程为， 整理可得. 故选：C. 3．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设关于直线的对称点为， 由对称关系可得， 解得． 则点到直线：的距离为． 故选：C． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设点关于直线的对称点为， 则满足，解得，即. 故选：C. 5．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设线段上的入射点为，依次在，，上的反射点为，最后射出的点为 设关于对称的点为，关于对称的点为， 设，且，则， 由可得，所以直线， 由对称性可得，所以直线， 则，所以直线， 故，所以， 故， 则由题可得（*）， 又，所以， ，所以 所以不等式组（*）解得，因为， 函数在上均为增函数，所以， 故的取值范围是. 故选：C. 6．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】    建立直角坐标系，可得,故直线BC的方程为， 则三角形的重心为，即， 设,其中，则点P关于直线BC的对称点， 满足，解得，即， 易得P关于y轴的对称点，由光的反射原理可知四点共线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 由于直线过三角形的重心，代入得， 化简得或（舍去），故,,,直线的方程为, 联立,解得,即点Q的坐标为, 则三角形的面积， 故选：A 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】联立，解得.则交点坐标为. 取直线上一点，设点关于直线：的对称点为， 则由，且线段的中点在直线上， 得，解得. 故所求直线过点，. 所以所求直线方程为：，即. 故选：B 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 【答案】 【详解】如图作出点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 连接，则，此时即为最小值. 理由：在轴上任取点，连接，易得， 则， 故上述点即是使取得最小值的点. 故答案为：.    9．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 【答案】 【详解】设，则中点坐标为，又和关于直线对称， 所以有，解得，即对称点坐标为. 故答案为：． 10．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 【答案】 【详解】如图，设关于直线的对称点为，则， 解得，则， 于是， 结合图形知，当三点共线时，此时取得最小值， 即取得最小值为 故答案为： 11．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ． 【答案】 【详解】如下图所示： 则、，直线方程为 ，即， 三角形重心为 ，即， 设，设点关于直线对称点为， 由题意可得，解得，即点， 由光的反射性可知、、、四点共线，且， 直线斜率为，直线方程为， 因为直线过重心，即，整理得， 解得（舍去）或，即点， 所以，直线的方程为， 联立，解得，即点. 故答案为：. 12．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由题设，令是关于的对称点， 则，可得，故， 由题意，反射光线过和原点， 所以反射光线所在直线方程为. （2）由直线可改写为，联立，可得， 将点代入原直线方程，显然成立，故直线恒过定点，得证. （3）当原点到直线的距离最大，即点到点的距离，此时， 由，则，故，整理得. 13．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）因为直线与直线平行，直线的方程为， 故可设直线的方程为， 因为点在直线上， 所以， 所以， 所以直线的方程为； （2）设点关于直线的对称点为． 由题意得， 解得，所以点的坐标为， 所以反射光线所在直线方程为，即．    课后提升训练 1．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【详解】， 其中为两点与距离的平方， 所以其最小值即为到直线距离的平方，即， 所以的最小值为1， 故选：B 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】直线即直线，与直线平行，则， 故所求即为平行直线与之间的距离， 即所求为. 故选：B. 3．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线，，设与的交点为P， 联立得出， 所以， 因为，所以，所以，所以， 所以. 故选：D. 4．（24-25高二下·上海·期末）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由直线的法向量为可得：直线的方向向量可取为. 当时，，此时直线垂直于轴，. 当时，直线的斜率， 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 则当时，由基本不等式可得：，当且仅当时等号成立，此时； 综上可得：的取值范围是. 故选：B. 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末·多选）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 【答案】CD 【详解】A.当直线倾斜角为钝角时，直线斜率，当直线倾斜角为锐角时，直线斜率，故A错误. B.当时，过点的直线方程是，故B错误. C.当直线过原点时，由直线过点可得直线斜率，故直线方程为. 当直线不过原点时，设直线方程为， 把点代入直线方程得，解得，故直线方程为， 综上得，经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条，故C正确. D.对于直线，令，得，故直线在y轴上的截距是，故D正确. 故选：CD. 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习·多选）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 【答案】ABD 【详解】对于A，当倾斜角为时，斜率为，当倾斜角为时，斜率为，故A错误； 对于B，直线l的倾斜角满足，但不一定有，故B错误； 对于C，直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故C正确； 对于D，直线，即，故直线直线在轴上的截距是，故D错误. 故选：ABD. 7．（24-25高二下·广东惠州·期中·多选）已知直线，则下列说法错误的是（    ） A．直线l的纵截距是1 B．点在直线l上，则 C．直线l与圆相切 D．直线l与直线间的距离为 【答案】AC 【详解】因为直线，当时，，所以直线l的纵截距是，故错误； 因为点在直线l上，所以，故正确； 因为直线，即， 所以圆心到直线的距离为， 所以直线l与圆不相切，故错误； 因为直线，即， 所以直线与直线平行， 所以两直线的距离为，故正确. 故选：. 8．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 【答案】/0.8 【详解】因为直线与直线平行， 所以且， 解得， 所以两平行线间的距离， 故答案为： 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 【答案】或4 【详解】由直线与直线平行， 若，则直线的方程为，的方程可化为，两直线不平行， 故，所以，解得或. 故答案为：或4 10．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 【答案】 【详解】由， 即， 令，解得，则直线恒过定点， 当时，点到直线的距离最大， 此时最大距离为. 故答案为：. 11．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，且，则， 因， 则直线的方程为，即. （2）设点，则线段的中点为， 将其代入所在直线方程中，得， 将点代入所在的直线方程中，得， 解得，即， 设点关于直线对称得点， 则，得，即， 因三点共线，则, 直线所在的直线方程为，即. 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由，即， 则，解得，所以直线过定点. （2）因为直线不过第四象限，结合图形可知，直线的斜率存在，所以， 此时，直线的方程可化为，记点，则，      由图可得，解得，因此，实数的取值范围是. （3）已知直线，且由题意知，    令，得，得， 令，得，得， 则， 所以当时，取最小值， 此时直线的方程为，即. 13．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立方程，解得； 因为所求直线垂直于直线，所以所求直线的斜率为， 故所求直线方程为，即； （2）设点关于直线对称的点为， 则，解得，即； 则, 故的最小值为.    14．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）设，由ABCD为平行四边形知， 即，则，解得，即. （2）直线AB的方程为，即， 点关于直线AB对称点的坐标为， 所以，解得：， 故C关于直线AB对称点的坐标为. （3）， 直线AB的方程， 点到直线AB：的距离为， ∴. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：直线方程复习讲义 解析几何：直线方程复习讲义 考点一 直线的倾斜角与斜率 【知识点解析】 概念 知识点解析 直线倾斜角的定义 当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围 斜率的定义 我们把一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，通常用小写字母表示，即. 注：倾斜角是的直线没有斜率. 斜率公式 ①经过两点、的直线的斜率. ②倾斜角的直线的斜率. ③方向向量为的直线的斜率. 【例题分析】 1．（24-25高二下·上海崇明·期末）直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·吉林·模拟预测）直线的一个方向向量为，倾斜角为，则（   ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二下·河南商丘·期末）已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河南·模拟预测·多选）已知为等腰直角三角形，为坐标原点，点在第一象限，点在第四象限，，若直线的斜率都存在，记直线的斜率分别为，则的关系可能为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高三上·河北承德·期中·多选）已知为等边三角形，直线，的斜率分别为，，则（   ） A．直线的斜率为 B．边上的高所在直线的斜率为 C．边上的高所在直线的倾斜角为 D．边上的高所在直线的倾斜角为 8．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）已知直线经过点、两点，直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为 ． 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）若直线与直线的夹角为，则实数的值为 . 10．（24-25高二上·广东广州·期中）设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是 . 11．（24-25高二上·福建莆田·阶段练习）已知直线l过，且与以为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围为 ． 12．（24-25高二上·上海·阶段练习）在线段（包括端点）上运动，已知，，则的取值范围是 . 13．（23-24高二上·河南南阳·阶段练习）已知直线过点，. (1)若直线的倾斜角为，求实数的值； (2)若直线的倾斜角为钝角，求实数的取值范围. 14．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知两点，，过点的直线l与线段有公共点. (1)求直线l的斜率k的取值范围. (2)求直线l的倾斜角的取值范围. 考点二 直线平行与垂直问题 【知识点解析】 位置关系 解决思路 直线与直线平行 ①若直线与直线的斜率均存在，则且（即不能重合）. ②直线与直线的斜率均不存在. 直线与直线垂直 ①若直线与直线的斜率均存在，则. ②若直线与直线有一条直线斜率不存在，则另一条直线斜率为. 、、三点共线 ①若，则. ②. 除了用斜率进行处理，平行问题、垂直问题、共线问题也可用向量进行处理，但本章主要讲解直线方程，所以不对向量进行展开！ 【例题分析】 1．（24-25高二下·广西南宁·期末）若，直线，直线，则“”的充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·三模）设为实数，直线，直线，则“”是“平行”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分又不必要 3．（2025·宁夏中卫·三模）若直线：与直线：平行，则（    ） A．4 B．1 C．1或-4 D．-1或4 4．（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）已知，直线，且，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．（24-25高二下·湖南株洲·开学考试）已知直线与直线，则“”是“”（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（24-25高二上·广东深圳·期末）直线，则 “”的充要条件是（    ） A． B． C．或 D．以上均不对 7．（24-25高二上·福建莆田·期中·多选）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若，则或 B．若，则 C．若，则 D．若，则 8．（23-24高二上·福建宁德·阶段练习）已知三点共线，则实数的值为 . 9．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知关于的方程组无解，则实数的值为 . 10．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与垂直，则实数 . 11．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知. (1)若可以构成平行四边形，求点的坐标； (2)在（1）的条件下，判断构成的平行四边形是否为菱形. 12．（24-25高二上·广西南宁·阶段练习）已知点，，，， (1)试判断直线和直线的位置关系； (2)试判定四边形的形状. 考点三 直线的五种方程 【知识点解析】 方程 形式 使用条件 直线的点斜式方程 ①已知直线上一个定点. ②直线斜率存在. 直线的斜截式方程 ①直线斜率存在. ②直线与轴的截距存在. 直线的两点式方程 ①已知直线上两个不重合的定点、 ②且. 直线的截距式方程 ①直线与轴的截距存在且不为. ②直线与轴的截距存在且不为. 直线的一般式方程 适用于所有直线，没有限制条件.无论直线是水平、竖直、过原点还是其他情况，都可以表示为一般式. 【例题分析】 1．（24-25高二下·河南濮阳·期中）经过点且与直线垂直的直线方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·安徽·阶段练习）直线经过点，倾斜角是直线的倾斜角的，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知复数z满足，且z在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·北京·期中）以为端点的线段的垂直平分线的方程为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·安徽·阶段练习）若直线经过点且与直线垂直，则的方程为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·湖北荆州·阶段练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线的斜率是 . 7．（24-25高二下·上海·阶段练习）直线过且在两坐标轴上截距相等，则直线的方程为 . 8．（24-25高二上·广西河池·期末）已知三角形三顶点，，，求： (1)直线AB的一般式方程; (2)边上的高所在直线的一般式方程. 9．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）已知的三个顶点是 (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求角A的内角平分线所在的直线方程 10．（24-25高二下·上海崇明·期末）求经过点，且满足下列条件的直线的方程： (1)经过点； (2)与直线平行． 11．（24-25高二上·广东东莞·期中）直线的方程为，. (1)若直线在两坐标轴上的截距相等，求的方程； (2)若直线分别交轴、轴的正半轴于点、，点是坐标原点．若的面积为，求的值. 12．（23-24高二上·海南三亚·期中）已知的顶点为，，，求： (1)边AC上的中线所在直线的方程； (2)边AC上的高所在直线的方程； 13．（24-25高二下·上海浦东新·期中）已知在中，，，点是此三角形的重心. (1)求边所在直线的一般式方程； (2)若直线经过点且在轴、轴上的截距相等，求直线的斜截式方程. 14．（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线. (1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点； (2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程. 考点四 交点问题与定点问题 【知识点解析】 1.两直线交点问题 已知直线与，求直线的交点坐标，由直线方程联立方程组，解方程组可得交点坐标 2.定点问题 方法一：参变分离 （1）分离参数，将原方程化为 （2）联立方程，求解得定点. 方法二：化成直线系方程 可用表示过直线和直线的交点的直线. 【例题分析】 考向一 交点问题 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·江苏宿迁·期末）已知直线l过直线与直线的交点，且与直线平行，则直线l的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·天津北辰·期中）过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（   ）． A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江·阶段练习）若直线与的交点位于第一象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考向二 定点问题 1．（24-25高二上·重庆铜梁·阶段练习）已知直线：，则直线恒过定点 . 2．（24-25高二上·福建龙岩·期中）已知，若过定点A的动直线和过定点的动直线交于点（与A，不重合），则的值为 . 3．（23-24高二上·四川达州·阶段练习）直线与直线相交于点，对任意实数，直线分别恒过定点，则的最大值为 4．（24-25高二上·重庆·期中）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)过（1）中的点引直线交坐标轴正半轴于，两点，求面积的最小值. 5．（24-25高二上·山东菏泽·阶段练习）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值． 6．（24-25高二上·江苏无锡·阶段练习）已知直线的方程为：. (1)求证：不论为何值，直线必过定点； (2)求与原点距离最大的直线方程； (3)过点引直线交坐标轴正半轴于、两点，当面积最小时，求的周长. 7．（24-25高三上·云南文山·期末）已知直线． (1)求恒过的定点的坐标； (2)若经过点，求直线的方程． 考点五 距离问题 【知识点解析】 1.两点之间的距离公式 已知点，则线段的长度. 2.点到直线的距离公式 已知点，点到直线的距离. 3.平行线的距离公式 已知直线与，直线到直线的距离. ※注意使用平行线的距离公式时，需注意先统一系数、！ 【例题分析】 1．（24-25高二上·云南昆明·阶段练习）已知点，直线，则到的距离的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南安阳·期中）已知直线，直线，若，则与的距离为（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东泰安·期末）直线：与直线：平行，则两直线间的距离为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·北京·阶段练习）若点在直线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C．13 D． 5．（24-25高二上·江苏常州·期末）点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·黑龙江大庆·阶段练习）直线过点，且和两点到直线的距离相等，则直线的方程为 . 7．（24-25高一下·河南南阳·期中）已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线，则点到直线的距离为 ． 8．（24-25高二上·安徽·期中）已知直线的方程为． (1)证明：直线过定点． (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大值是多少？ 9．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）已知直线经过点， (1)若点到直线的距离为2，求直线的方程； (2)直线与，轴的正半轴交于A，B两点，求的最小值． 10．（23-24高二上·广东江门·期中）已知的三个顶点是. (1)求直线AB的方程以及的面积； (2)若直线过点，且点A，B到直线的距离相等，求直线的方程. 考点六 对称问题 【知识点解析】 1．两点关于点对称、两点关于直线对称的常见结论： （1）点关于轴的对称点为． （2）点关于轴的对称点为． （3）点关于原点的对称点为． （4）点关于直线的对称点为． （5）点关于直线的对称点为． 2.对称问题 （1）点关于点对称 已知点，求关于点的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点为，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用点为点、的中点. （2）点关于直线对称 已知点，求关于直线的对称点 ①设对称点为 ②利用、中点在直线上与直线，联立方程，解方程组得坐标. ※本质上是利用直线为线段的垂直平分线. 【例题分析】 1．（24-25高二上·河北唐山·期中）一条光线从点射出，与轴相交于点，经x轴反射，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·湖北·期中）已知点关于直线对称的点为，则直线的方程为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·广东深圳·模拟预测）点关于直线的对称点为，则点到直线的距离为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·阶段练习）点关于直线的对称点为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·广东·期中）已知点，，，，平面上仅在线段，，所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量的方向从线段上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在，，各反射一次后从线段上某点射出，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·上海宝山·阶段练习）在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经、边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的面积等于（    ）    A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏苏州·期末）直线关于直线：对称的直线方程为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知点，点在轴上，则的最小值为 . 9．（24-25高二上·江苏扬州·期末）点关于直线的对称点坐标为 ． 10．（24-25高二上·广东清远·期中）已知点P在直线上，点，则的最小值为 11．（24-25高二上·广东广州·期中）在等腰直角三角形中，以为原点，、所在直线分别为、建立平面直角坐标系，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、发射后又回到原点（如图）．若光线经过的重心，则的坐标等于 ． 12．（24-25高二上·北京·期中）已知直线：． (1)当时，一条光线从点射出，经直线反射后过原点，求反射光线所在直线的方程； (2)求证：直线恒过定点； (3)当原点到直线的距离最大时，写出此时直线的方程（直接写出结果）． 13．（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）已知点，直线：. (1)求过点，且与直线平行的直线的方程； (2)光线通过点，经直线反射，其反射光线通过点，求反射光线所在直线的方程. 课后提升训练 1．（2025·山东·一模）实数满足，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2025·四川成都·模拟预测）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南信阳·模拟预测）若直线，，设与的交点为P，O为坐标原点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·上海·期末）已知为直线的倾斜角，若直线的法向量为，，那么当实数变化时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·浙江杭州·期末·多选）下列说法正确的有（   ） A．直线倾斜角越大，斜率越大 B．过点的直线方程是 C．经过点且在x轴和y轴上截距相等的直线有2条 D．直线在y轴上的截距是 6．（24-25高二上·湖北·阶段练习·多选）下列说法不正确的有（ ） A．直线的倾斜角越大，斜率越大 B．若直线l经过点，.则直线l的倾斜角是 C．直线的倾斜角的取值范围是 D．直线在轴上的截距是3 7．（24-25高二下·广东惠州·期中·多选）已知直线，则下列说法错误的是（    ） A．直线l的纵截距是1 B．点在直线l上，则 C．直线l与圆相切 D．直线l与直线间的距离为 8．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线平行，则与之间的距离是 ． 9．（2025·黑龙江大庆·模拟预测）直线与直线平行，则 . 10．（24-25高二下·上海松江·阶段练习）已知点和直线，则点P到直线l的距离最大值为 ． 11．（24-25高二下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知的顶点； (1)若边上的高所在的直线方程为，求边所在的直线方程； (2)若边上的中线所在直线方程为的平分线所在的直线方程为，求边所在的直线方程； 12．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线． (1)求直线所过定点； (2)若直线不经过第四象限，求实数的取值范围； (3)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 13．（24-25高二上·四川绵阳·期中）已知两直线. (1)求过两直线的交点，且垂直于直线的直线方程； (2)已知两点，动点在直线运动，求的最小值. 14．（24-25高二上·吉林通化·阶段练习）已知的三个顶点的坐标为，，．求： (1)点D的坐标，使四边形ABCD是平行四边形； (2)点C关于直线AB对称点的坐标； (3)求的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$