第二十二章 二次函数 单元测试 2025--2026学年人教版九年级数学上册

人教版九年级上册 第二十二章 二次函数 单元测试 一、选择题 1.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（　　） A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=-2 D.直线x=2 2.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法： ①抛物线与y轴的交点为（0，6）； ②抛物线的对称轴是在y轴的右侧； ③抛物线一定经过点（3，0）； ④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知点A（-5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　） A.x0＞-1 B.x0≥-1 C.x0＞3 D.x0≥3 4.2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（40＜x＜44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A.y=20x-580 B.y=-20x+300 C.w=（20x-480）（x-40） D.w=（-20x+1180）（x-40） 5.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A.m＜2 B.m＞2 C.0＜m≤2 D.m＜-2 6.下列函数中，不是二次函数的是（　　） A.y=1-2x2 B.y=2（x-1）2+3 C.y＝ (x+4)(x−3) D.y=（x-3）2-x2 7.已知抛物线y=（2-a）x2+1有最低点，那么a的取值范围是（　　） A.a＞0 B.a＜0 C.a＞2 D.a＜2 8.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 9.一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10.函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象可能是（　　） A. B. C. D. 11.若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A.（﹣3，0）、（1，0） B.（﹣2，0）、（2，0） C.（﹣1，0）、（1，0） D.（﹣1，0）、（3，0） 12.设二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，下列结论正确的是（　　） A.若ab＜0，且a+b＜0，则m＞4 B.若ab＜0，且a+b＞0，则5＜m＜7 C.若ab＞0，且a+b＜0，则m＞5 D.若ab＞0，且a+b＞0，则m＞6 二、填空题 13.如图，圆O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是_______. 14.抛物线y=(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______. 15.函数y=ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y=x2+3x-2的“特征数”是[1，3，-2]，函数y=-x+4的“特征数”是[0，-1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是__________________． 16.如图，二次函数的对称轴为直线x＝2，则当y＞﹣4时，x的取值范围是 　           　． 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 　     　cm． （2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 　     　cm． 三、解答题 18.在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化，如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN=AM=CP=CQ=x m，已知矩形的边BC=200 m，边AB=a m，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为s m2 （1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）若a=400，求S的最大值，并求出此时x的值； （3）若a=800，请直接写出S的最大值． 19.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a⟩0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．当c＝3，m＝n＝0时，求抛物线的解析式. 20.在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：y=- (x+2)2，y=- (x-1)2. 21.已知二次函数y＝x2﹣2x+4． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，﹣5），请说明理由． 22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如下表： （1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式； （2）①请求出该商品的进价； ②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价； （3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元，要使该公司在捐款后该商品每周获利最大，请求出周利润最大时，该商品的销售单价及此时每周的最大利润．（注：物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元） 人教版九年级上册 第二十二章 二次函数 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（　　） A.直线x=1 B.直线x=-1 C.直线x=-2 D.直线x=2 【答案】B 【解析】∵y=x2+2x+3=（x+1）2+2， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1． 2.抛物线y=ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表所示．给出下列说法： ①抛物线与y轴的交点为（0，6）； ②抛物线的对称轴是在y轴的右侧； ③抛物线一定经过点（3，0）； ④在对称轴左侧，y随x增大而减小．从表可知，下列说法正确的个数有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由表格中数据可知，x=0时，y=6，x=1时，y=6， ①抛物线与y轴的交点为（0，6），正确； ②抛物线的对称轴是x=0.5，对称轴在y轴的右侧，正确； ③根据对称性可知，抛物线的对称轴是x=0.5，点（-2，0）的对称点为（3，0），即抛物线一定经过点（3，0），正确； ④由表中数据可知在对称轴左侧，y随x增大而增大，错误．正确的有①②③共3个． 3.已知点A（-5，y1）、B（3，y2）均在抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）上，点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，若y1＞y2≥y0，则x0的取值范围是（　　） A.x0＞-1 B.x0≥-1 C.x0＞3 D.x0≥3 【答案】A 【解析】∵点C（x0，y0）是该抛物线的顶点，y1＞y2≥y0，∴抛物线开口向上，当y1=y2时，点A与点B为对称点，此时抛物线的对称轴为直线x=-1，当y1＞y2≥y0，点A到对称轴的距离比点B到对称轴的距离要远，∴x0＞-1． 4.2022年北京冬奥会举办期间，冬奥会吉祥物“冰墩墩”深受广大人民的喜爱．某特许零售店“冰墩墩”的销售日益火爆，每个纪念品进价40元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每降价1元，每天销量增加20个．现商家决定降价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元（40＜x＜44），商家每天销售纪念品获得的利润w元，则下列等式正确的是（　　） A.y=20x-580 B.y=-20x+300 C.w=（20x-480）（x-40） D.w=（-20x+1180）（x-40） 【答案】D 【解析】解：根据题意得：y=300+20（44-x），w=（x-40）y, 即y=-20x+1180，w=（-20x+1180）（x-40）． 故选：D． 5.抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（　　） A.m＜2 B.m＞2 C.0＜m≤2 D.m＜-2 【答案】A 【解析】∵抛物线y=x2+2x+m-1与x轴有两个交点， ∴Δ=b2-4ac＞0， 即4-4m+4＞0， 解得m＜2. 6.下列函数中，不是二次函数的是（　　） A.y=1-2x2 B.y=2（x-1）2+3 C.y＝ (x+4)(x−3) D.y=（x-3）2-x2 【答案】D 【解析】解：A、y=1-2x2，是二次函数，故A不符合题意； B、y=2（x-1）2+3，是二次函数，故B不符合题意； C、y=（x+4）（x-3）=（x2+x-12）=x2+x-6，是二次函数，故C不符合题意； D、y=（x-3）2-x2=-6x+9，是一次函数，故D符合题意； 故选：D． 7.已知抛物线y=（2-a）x2+1有最低点，那么a的取值范围是（　　） A.a＞0 B.a＜0 C.a＞2 D.a＜2 【答案】D 【解析】解：∵抛物线有最低点， ∴抛物线开口向上， ∴2-a＞0， 解得a＜2， 故选：D． 8.在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：观察函数图象可知：a＞0，b＜0，c＞0， ∴二次函数y＝ax2+bx﹣c的图象开口向上，对称轴x＝﹣＞0，与y轴的交点在y轴负半轴． 故选：C． 9.一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由，解得或， ∴一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）的交点为（1，a﹣1），（，0）， A、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＜0，故本选项错误，不符合题意； B、由抛物线可知，a＞0，由直线可知，a＞0，由一次函数y＝ax﹣1（a≠0）与二次函数y＝ax2﹣x（a≠0）可知，两图象交于点（1，a﹣1），则交点在y轴的右侧，故本选项错误，不符合题意； C、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＜0，两图象的一个交点在x轴上，另一个交点在第四选项，故本选项正确，符合题意； D、由抛物线可知，a＜0，由直线可知，a＞0，a的取值矛盾，故本选项错误，不合题意； 故选：C． 10.函数y＝ax2+bx（a≠0）与y＝ax+b的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴a＞0，b＜0， ∴一次函数图象应该经过第一、三、四象限， 当ax2+bx＝0时，即x1＝0，， 当ax+b＝0时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为， A．一次函数图象经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图象经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图象经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图象经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 11.若关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2，则二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（　　） A.（﹣3，0）、（1，0） B.（﹣2，0）、（2，0） C.（﹣1，0）、（1，0） D.（﹣1，0）、（3，0） 【答案】A 【解析】解：∵关于x的一元二次方程ax2+k＝0的一个根为2， ∴4a+k＝0， 解得k＝﹣4a， 把k＝﹣4a代入y＝a（x+1）2+k中， 得y＝a（x+1）2﹣4a， 当y＝0时，a（x+1）2﹣4a＝0， 即a（x+1）2＝4a， ∵a≠0， ∴（x+1）2＝4， 解得x＝1或x＝﹣3， ∴二次函数y＝a（x+1）2+k与x轴的交点坐标为（1，0）和（﹣3，0）， 故选：A． 12.设二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4），设y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b，下列结论正确的是（　　） A.若ab＜0，且a+b＜0，则m＞4 B.若ab＜0，且a+b＞0，则5＜m＜7 C.若ab＞0，且a+b＜0，则m＞5 D.若ab＞0，且a+b＞0，则m＞6 【答案】D 【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣mx﹣3m（m为实数）的图象过点（1，y1），（2，y2），（3，y3），（4，y4）， ∴代入变形可得：y1＝﹣4m+1，y2＝﹣5m+4，y3＝﹣6m+9，y4＝﹣7m+16， ∵y1﹣y3＝a，y2﹣y4＝b， ∴a＝2m﹣8，b＝2m﹣12， A、若ab＜0，且a+b＜0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＜0①，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＜0②， 由①得4＜m＜6，由②得m＜5， ∴4＜m＜5， 故A不符合题意； B、若ab＜0，且a+b＞0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＜0③，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＞0④， 由③得4＜m＜6，由④得m＞5， ∴5＜m＜6， 故B不符合题意； C、若ab＞0，且a+b＜0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＞0⑤，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＜0⑥， 由⑤得m＜4或m＞6，由⑥得m＜5， ∴m＜4， 故C不符合题意； D、若ab＞0，且a+b＞0，则（2m﹣8）（2m﹣12）＞0⑦，且（2m﹣8）+（2m﹣12）＞0⑧， 由⑦得m＜4或m＞6，由⑧得m＞5， ∴m＞6， 故D符合题意， 故选：D． 二、填空题 13.如图，圆O的半径为2．C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，则阴影部分的面积是_______. 【答案】2π 【解析】∵C1是函数y=x2的图象，C2是函数y=-x2的图象，∴两函数图象关于x轴对称， ∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为π×22=2π． 14.抛物线y=(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B，则△AOB的面积为_______. 【答案】6 【解析】∵抛物线y=(x-3)2与x轴的交点为A，与y轴的交点为B， ∴0=(x-3)2，解得x=3， 当x=0，y=4，∴A（3，0），B（0，4）， ∴△AOB的面积为×3×4=6． 15.函数y=ax2+bx+c的三项系数分别为a、b、c，则定义[a，b，c]为该函数的“特征数”．如：函数y=x2+3x-2的“特征数”是[1，3，-2]，函数y=-x+4的“特征数”是[0，-1，4]．如果将“特征数”是[2，0，4]的函数图象向左平移3个单位，得到一个新的函数图象，那么这个新图象相应的函数表达式是__________________． 【答案】y=2（x+3）2+4 【解析】∵“特征数”是[2，0，4]， ∴函数解析式为y=2x2+4， ∴函数的顶点坐标为（0，4）， ∵函数图象向左平移3个单位， ∴得到的新的函数图象的顶点坐标为（-3，4）， ∴函数表达式为y=2（x+3）2+4． 16.如图，二次函数的对称轴为直线x＝2，则当y＞﹣4时，x的取值范围是 　           　． 【答案】x＜0或x＞4． 【解析】解：由图象可得抛物线对称轴为直线x＝2，抛物线经过点（0，﹣4）， 由抛物线的对称性可得抛物线经过点（4，﹣4）， ∴当y＞﹣4时，x的取值范围是x＜0或x＞4， 故答案为：x＜0或x＞4． 17.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，O是AB的中点，点P从点C出发沿CB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点A出发沿AC边向点C以2cm/s的速度移动．点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也同时停止运动． （1）出发2秒后，点P，Q之间的距离是 　     　cm． （2）当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是 　     　cm． 【答案】（1）2；（2） 【解析】解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm， ∴BC＝＝6cm， 由题意可知CQ＝8﹣2＝6（cm），CP＝2cm， ∴PQ＝＝＝2（cm）． ∴点P，Q之间的距离是2cm； 故答案为：2； （2）设经过xs时，△OPQ的面积最小， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝8cm，BC＝6cm， ∵O是AB的中点， ∴O到AC的距离为cm，O到BC的距离为＝4cm， ∵S△OPQ＝S△ABC﹣S△AOQ﹣S△BOP﹣S△PCQ ＝﹣•2x•3﹣﹣ ＝24﹣3x﹣12+2x﹣4x+x2 ＝x2﹣5x+12 ＝（x﹣）2+， ∴当x＝时，△OPQ的面积最小，此时CQ＝8﹣2x＝3cm，CP＝cm， ∴PQ＝＝（cm）． ∴当△OPQ的面积最小时，点P，Q之间的距离是cm． 故答案为：． 三、解答题 18.在一块矩形ABCD的空地上划一块四边形MNPQ进行绿化，如图，四边形的顶点在矩形的边上，且AN=AM=CP=CQ=x m，已知矩形的边BC=200 m，边AB=a m，a为大于200的常数，设四边形MNPQ的面积为s m2 （1）求S关于x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； （2）若a=400，求S的最大值，并求出此时x的值； （3）若a=800，请直接写出S的最大值． 【答案】解：（1）由题意S=200a-2•x2-2•（200-x）（a-x）， ∴S=-2x2+（200+a）x，0＜x≤200． （2）当a=400，S=-2x2+600x，S=-2（x-150）2+45000， ∴当x=150时，S的值最大，最大值为45000平方米． （3）当a=800时，S=-2x2+1000x=-2（x-250）2+125000． ∵0＜x≤200，∴x=200时，S最大值=120000平方米． 【解析】 19.在平面直角坐标系xOy中，点（1，m），（3，n）在抛物线y＝ax2+bx+c（a⟩0）上，设抛物线的对称轴为x＝t．当c＝3，m＝n＝0时，求抛物线的解析式. 【答案】解：∵c＝3，∴y＝ax2+bx+3． 将（1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+3得 ∴y＝x2﹣4x+3，即抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3． 【解析】 20.在同一直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：y=- (x+2)2，y=- (x-1)2. 【答案】解：列表： 描点，连线： 由图象可知函数y=- (x+2)2的对称轴x=-2，顶点坐标为（-2，0），函数y=- (x-1)2的对称轴x=1，顶点坐标为（1，0）. 【解析】 21.已知二次函数y＝x2﹣2x+4． （1）写出抛物线的开口方向及顶点坐标； （2）当x为何值时，y随x的增大而减小？ （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线是否过点P（1，﹣5），请说明理由． 【答案】解：（1）∵y＝x2﹣2x+4中，a＝1＞0， ∴该抛物线的开口向上， ∵y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）； （2）∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴当x＜1时，y随x的增大而减小； （3）把此抛物线向左移动3个单位，再向下移动7个单位后，得到的新抛物线为：y＝（x﹣1+3）2+3﹣7，即y＝（x+2）2﹣4， 当x＝1时，y＝（1+2）2﹣4＝5≠﹣5， ∴新抛物线不过点P（1，﹣5）． 【解析】 22.某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量y是销售单价x的函数，其销售单价x，周销售量y，周销售利润w的三组对应值如下表： （1）请你用所学过的函数知识确定一个满足这些数据的y与x之间的函数表达式； （2）①请求出该商品的进价； ②若该公司想每周获利2000元，并尽可能让利给顾客，请求出此时该商品销售单价； （3）为了帮助贫困山区的小朋友，公司决定每卖出一件商品向希望小学捐款10元，要使该公司在捐款后该商品每周获利最大，请求出周利润最大时，该商品的销售单价及此时每周的最大利润．（注：物价部门最新规定该商品每件的售价不得超过65元） 【答案】解：（1）设y关于x的函数解析式为y＝kx+b， 将（60，80）和（70，60）代入y＝kx+b，得， 解得， ∴y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200； （2）①由表格知，x＝60时，y＝80，w＝2400， 设该商品进价为a元， 则80×（60﹣a）＝2400， 解得a＝30， 即该商品进价为30元； ②设此时该商品销售单价为m元， 则（﹣2m+200）（m﹣30）＝2000， 整理得m2﹣130m+4000＝0， 解得m1＝50，m2＝80， ∵每件的售价尽可能让利给顾客， ∴此时该商品销售单价为50元； （3）由题意知，w＝（﹣2x+200）（x﹣30﹣10）＝﹣2（x﹣70）2+1800， ∵﹣2＜0， ∴w关于x的函数图象开口向下，当x＜70时，w随x的增大而增大， 又∵每件的售价不得超过65元， ∴当x＝65时，w取最大值， ， 即周利润最大时，该商品的销售单价为65元，每周的最大利润为1750元． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$