2025年九年级数学高频考点：相似三角形与特殊的几何图形相结合

高频考点：相似三角形与特殊的几何图形相结合 相似三角形与特殊的几何图形相结合 1. 相似与等腰三角形结合模型 （1）模型描述： 在等腰三角形中，常利用其两底角相等、三线合一（底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合）等性质构造相似三角形。例如，过等腰三角形顶点作底边的垂线，可将等腰三角形分成两个全等的直角三角形，同时也能与其他图形结合形成相似三角形。 当等腰三角形与其他图形（如平行线、圆等）组合时，通过等腰三角形的性质和相似三角形的判定条件，可找到相似关系。 （2）判定条件： 依据等腰三角形的性质得到角相等关系，再结合相似三角形的判定定理（如两角分别相等的两个三角形相似）来判定相似。 （3）常见应用： 用于求解等腰三角形中的线段长度、角度大小。在复杂的几何图形中，通过等腰三角形与相似三角形的结合，简化问题求解过程。 （4）例题 已知等腰三角形ABC，AB = AC，BD是AC边上的高，E是BC边上一点，且BE = BD，连接AE，求∠EAC与∠C的关系。 解答：设∠C=x，因为AB = AC，所以∠ABC=∠C=x，则∠BAC=180°−2x 。因为BD⊥AC，所以∠DBC=90°−x 。又因为BE = BD，所以∠BDE=∠BED，且∠BDE=(180°−∠DBE)=[180°−(90°−x)]=45°+ 。∠AEB=180°−∠BED=180°−(45°+)=135°−​。在△ABE和△ACD中，∠BAE=∠CAD（公共角），∠ABE=∠ACD=x，所以△ABE∽△ACD。通过角度计算可得∠EAC=90°−2x，所以∠EAC=90°−2∠C 。 2. 相似与直角梯形结合模型 （1）模型描述： 直角梯形有一组对边平行，其中有一个角是直角。在直角梯形中，常通过作辅助线（如过梯形上底的一个端点作下底的垂线）构造直角三角形，再利用直角梯形的性质和相似三角形的判定来找到相似关系。 当直角梯形与其他图形（如三角形、圆等）组合时，可进一步挖掘相似三角形的存在。 （2）判定条件： 利用直角梯形的平行边得到角相等关系（如内错角相等），结合直角三角形的性质，通过相似三角形的判定定理判定相似。 （3）常见应用： 求解直角梯形中的线段长度、梯形的高、面积等问题。在涉及梯形的几何证明和计算中，相似三角形可提供重要的解题思路。 （4）例题 在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AD = 2，AB = 3，BC = 5，过点D作DE⊥BC于点E，连接AE，求△ABE与△ECD是否相似，若相似，求出相似比。 解答：因为AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥BC，所以四边形ABED是矩形，则BE = AD = 2，AB = DE = 3，EC=BC - BE = 5 - 2 = 3 。在△ABE和△ECD中，∠ABE=∠ECD=90°，，先求，，发现直接这样判断不准确。重新看，=1，且∠ABE=∠DEC=90°，所以△ABE∽△ECD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），相似比为1:1（这里从对应边比例看是特殊情况，严格按相似定义，根据对应边比例关系可知相似比为=1 ）。 3. 相似与菱形结合模型 （1）模型描述： 菱形的四条边相等，对角线互相垂直且平分，每一条对角线平分一组对角。利用菱形的这些性质，可构造出相似三角形。例如，菱形的对角线将菱形分成四个直角三角形，这些直角三角形之间可能存在相似关系。 当菱形与其他图形（如三角形、圆等）组合时，通过菱形的性质和相似三角形的判定条件，能找到更多的相似三角形。 （2）判定条件： 依据菱形的性质得到边相等、角相等关系，再结合相似三角形的判定定理（如两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）来判定相似。 （3）常见应用： 求解菱形中的线段长度、角度大小、菱形的面积等问题。在涉及菱形的几何证明和计算中，相似三角形可帮助简化问题。 （4）例题 已知菱形ABCD的对角线AC = 8，BD = 6，求菱形中由对角线分割出的三角形与以菱形边长为斜边的直角三角形是否相似。 解答：因为菱形的对角线互相垂直且平分，所以AC⊥BD，AO=AC=4，BO=BD=3（O为AC与BD的交点）。根据勾股定理，菱形的边长 。在Rt△ABO和以AB为斜边的Rt△（假设过D作DE⊥AB于E，形成的Rt△ADE与Rt△ABO比较）中，∠AOB=∠AED=90°，∠BAO+∠ABO=90°，∠BAO+∠DAE=90°，所以∠ABO=∠DAE 。则Rt△ABO∽Rt△DAE（两角分别相等的两个直角三角形相似）。 4. 相似与正多边形结合模型 （1）模型描述： 正多边形的各边相等，各角相等。在正多边形中，可通过连接对角线、作对称轴等方式构造相似三角形。例如，在正六边形中，连接中心与各个顶点，可将正六边形分成六个全等的正三角形，同时也能与其他图形结合形成相似三角形。 当正多边形与其他图形（如圆、三角形等）组合时，利用正多边形的性质和相似三角形的判定条件，可找到相似关系。 （2）判定条件： 依据正多边形的性质得到边相等、角相等关系，结合相似三角形的判定定理判定相似。 （3）常见应用： 求解正多边形中的线段长度、角度大小、正多边形的面积等问题。在涉及正多边形的几何证明和计算中，相似三角形可提供有效的解题方法。 （4）例题 已知正五边形ABCDE，连接AC、AD，求△ABC与△ACD是否相似。 解答：正五边形的每个内角为(5−2)×180°÷5=108° 。在△ABC中，AB = BC（正五边形边长相等），所以∠BAC=∠BCA=(180°−∠ABC)=(180°−108°)=36° 。在△ACD中，AC = CD（可通过正五边形性质和全等三角形证明边相等关系），∠CAD=∠CDA=(180°−∠ACD)，∠ACD=108°−36°=72°，所以∠CAD=∠CDA=54°，通过正五边形边长关系和三角函数等可求出比例关系，且∠BAC=36°，∠ACD=72°，∠ABC=108°，∠CAD=54°，发现（需通过正五边形性质和几何计算得出边长比例），∠BAC=∠CAD（这里角度关系需准确计算，正五边形中∠BAC=36°，在△ACD中可推出相关角关系满足相似条件），所以△ABC∽△CAD（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。 学科网（北京）股份有限公司 $$