3.3 长方体和正方体的体积 暑假专项提升（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

3.3 长方体和正方体的体积 暑假专项提升 思维导图 知识点讲解 一、体积的概念 1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。 二、长方体的体积 1.计算公式推导： （1）用若干个1立方厘米的小正方体摆成不同的长方体，通过观察发现，长方体所含小正方体的个数正好等于长方体的长、宽、高所含的厘米数的乘积。 （2）例如，一个长方体的长是5厘米，宽是3厘米，高是2厘米，那么沿着长一排可以摆5个1立方厘米的小正方体，沿着宽可以摆3排，沿着高可以摆2层，总共的小正方体个数就是5×3×2 = 30个，而这30个小正方体的总体积就是这个长方体的体积，所以长方体的体积 = 长×宽×高。 2.计算公式：长方体的体积用字母表示为：V = abh，其中V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高。 3.计算步骤： （1）确定长方体的长、宽、高的具体数值。 （2）将长、宽、高的数值代入公式V = abh中，按照从左到右的顺序依次进行乘法运算，得出长方体的体积。 三、正方体的体积 1.与长方体的关系及公式推导： （1）正方体是特殊的长方体，它的长、宽、高都相等，也就是棱长。 （2）因为正方体的长、宽、高都等于棱长，所以正方体的体积就等于棱长×棱长×棱长。 2.计算公式：正方体的体积用字母表示为：V = a³，其中V表示体积，a表示正方体的棱长。这里的a³表示a×a×a。 3.计算步骤： （1）确定正方体的棱长数值。 （2）将棱长的值代入公式V = a³中，进行三次相同棱长的乘法运算，得到正方体的体积。 四、体积单位 1.常用体积单位： （1）立方厘米（cm³）：棱长为1厘米的正方体，它的体积是1立方厘米。一个手指尖的部分体积大约是1立方厘米。 （2）立方分米（dm³）：棱长为1分米的正方体，它的体积是1立方分米。一个粉笔盒的体积大约是1立方分米。 （3）立方米（m³）：棱长为1米的正方体，它的体积是1立方米。一个洗衣机的体积大约是1立方米。 2.单位换算： （1）1立方米 = 1000立方分米，因为1米 = 10分米，那么（10分米）³ = 1000立方分米，所以1立方米 = 1000立方分米。 （2）1立方分米 = 1000立方厘米，同理，1分米 = 10厘米，（10厘米）³ = 1000立方厘米，所以1立方分米 = 1000立方厘米。 五、应用实例 1.已知长、宽、高（棱长）求体积：直接将相应的数值代入长方体或正方体的体积计算公式进行计算。比如已知一个长方体的长是4厘米，宽是3厘米，高是2厘米，那么它的体积V = 4×3×2 = 24立方厘米；若已知一个正方体的棱长是5厘米，那么它的体积V = 5³ = 5×5×5 = 125立方厘米。 2.根据体积及部分条件求其他量：例如已知长方体的体积、长和宽，求高。可以根据长方体体积公式V = abh，将已知值代入，通过变形公式h = V÷(ab)来求出高的值。同样，对于正方体，已知体积和棱长的关系，也可通过变形公式来求出未知量。 3.实际生活中的应用：比如要计算一个长方体形状的水池能装多少水，就是求这个长方体水池的体积；计算一个正方体形状的石料的体积，以便确定运输量等。在解决这类实际问题时，关键是要准确找出对应的长、宽、高（棱长）等数据，再代入合适的公式进行计算。 暑假提升练习 一、填空题 1．在横线上填上合适的单位。 一个魔方的体积约是216　 　 一台冰箱的容积约是450　 　 2．在横线上填上适当的数。 2.4立方米=　 　升 720毫升=　 　升 6立方分米=　 　立方厘米 0.14立方米=　 　立方分米=　 　升 3．一个长方体，底面是周长为20cm的正方形，高7cm，它的体积是　 　cm3。 4．一个正方体的棱长总和是60cm，它的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 5．一根长方体钢材长 1. 5m，横截面是0.2m2 的正方形，如果每立方米的钢材重7.8t，则这根钢材重　 　t。 6．边长20cm的正方形纸剪去一部分（如下图），剩余部分中有两个面是正方形，用它折成的长方体表面积是　 　 cm2，体积是　 　 cm3。 7．如下图，把四个棱长是5cm的正方体拼成一个长方体，这个长方体的表面积是　 　cm2，体积是　 　cm3。 8．一个无盖的玻璃鱼缸形状是正方体，棱长是 5 分米，制作这个鱼缸至少需要　 　平方分米的玻璃，这个鱼缸最多可以装水　 　毫升。（玻璃的厚度忽略不计） 9．某学校科技小组仿照我国古代发明的水漏计时法，制作了一个长方体水漏计时器，该计时器长4分米、宽2分米、高3分米，加满水后全部漏完需6小时，一天中午12时，同学们往计时器里面加满水，当天下午5时放学时，计时器里面还剩下水　 　升。 10．如下图，一个长方体木块切割掉一块长和高均是长方体木块一半的小长方体，若表面积减少了 10cm2，小长方体的长为3cm，宽是2cm，则原木块的体积为　 　dm3。 二、判断题 11．长方体、正方体的体积都可以用底面积乘高来计算。（　　） 12．棱长为6厘米的正方体的表面积和体积相等。（　　） 13．一个正方体的棱长扩大到原来的5倍，它的表面积和体积都扩大到原来的25倍。（　　） 14．用6个棱长为2cm的正方体拼图，无论怎么拼，体积都是12cm3。（　　） 15．把一个长7cm、宽5cm、高4cm的长方体木块削成一个体积最大的正方体，削去部分的体积是76立方厘米。（　　） 三、选择题 16．一个长方体酸奶盒上标有“净含量320mL”的字样。320mL是指（　　）。 A．酸奶盒的体积 B．酸奶盒的容积 C．酸奶的体积 D．酸奶的容积 17．把三个相同的小长方体拼成1个15厘米高的大长方体，表面积减少了48平方厘米，原来1个小长方体的体积是（　　）立方厘米。 A．180 B．120 C．60 D．36 18．如图，从甲图形中挖去一个小正方体得到乙图形，从中可以判断出（　　）。 A．表面积和体积都变小 B．表面积和体积都变大 C．表面积变大，体积变小 D．表面积不变，体积变小 19．一个长方体工艺品的表面积是148平方厘米，底面积是24平方厘米，底面周长是20厘米，这个工艺品的体积是（　　）立方厘米。 A．100 B．120 C．130 D．140 20．图中，每个小正方体的体积是1dm3，大长方体的体积是（　　）。 A．20dm3 B．30dm3 C．36dm3 D．45dm3 四、计算题 21．下图是一个长方体的展开图，求原长方体的体积。 22．求下面几何体的表面积和体积。(单位：cm) 五、解决问题 23．把一根2.4米长的方木横锯成三个长方体木料，表面积增加了10平方分米，原来这根方木的体积是多少立方分米？ 24．一个长方体，如果长增加3厘米，则体积增加60立方厘米；如果宽增加2厘米，则体积增加60立方厘米；如果高增加4厘米，则体积增加96立方厘米。这个长方体的体积是多少立方厘米？ 25．一种汽车的油箱从里面量，长6dm，宽4dm，高25cm。如果这种汽车每千米的耗油量是0.08L，那么一箱油最多可以供这种汽车行驶多少千米? 26．工人师傅们用砖砌了一个厚12cm的长方体花坛(如图)，从外面量长11.24m，宽5.24m，高2.12m。这个花坛的容积是多少立方米? 27．一个密封的长方体铁盒长30cm，宽18cm，高12cm，里面装有一些水。将它按图①的方式放置时，水深9cm，那么按图②的方式放置时，水深多少厘米？ 28．如图，在一个长方体容器中放了一个棱长为2cm的正方体铁块。注入多少毫升水，能将正方体铁块刚好浸没? 参考答案 1．立方厘米；升 2．2400；0.72；6000；140；140 3．175 4．150；125 5．2.34 6．230；250 7．450；500 8．125；125000 9．4 10．0.12 11．正确 12．错误 13．错误 14．错误 15．正确 16．C 17．C 18．D 19．B 20．D 21．解：（34－6×2）÷2 ＝（34－12）÷2 ＝22÷2 ＝11（cm） 11×6×2 =66×2 ＝132（cm3） 所以原长方体的体积是132cm3。 22．解：表面积： 大长方体的长：6+3=9（cm） 大长方体的宽：2+3=5（cm） （9×5+9×3+5×3）×2－2×3×2 =87×2－12 =174－12 =162（cm2） 体积： 9×5×3－2×3×3 =135－18 =117（cm3） 23．解：2.4米=24分米 10÷4=2.5平方分米 2.5×24=60（平方分米） 答：原来这根方木的体积是60立方分米。 24．解：宽×高=60÷3=20（cm）， 长×高=60÷2=30（cm）， 长×宽=96÷4=24（cm）， 所以不难得出长=6（cm），宽=4（cm），高=5（cm）， 所以体积为：6×4×5=120（cm3） 答：这个长方体的体积是120立方厘米。 25．解：25cm=2.5dm 6×4×2.5 =24×2.5 =60(dm3)=60L 60÷0.08=750(km) 答：一箱油最多可以供这种汽车行驶750千米。 26．解：12cm=0.12m (11.24-0.12×2)×(5.24-0.12×2)×2.12 =11×5×2.12 =55×2.12 =116.6(m3) 答：这个花坛的容积是116.6立方米。 27．解：(30×18×9)÷(30×12) =4860÷360 =13.5(cm) 答：水深13.5cm。 28．解：8×6×2=96（cm3） 2×2×2=8（cm3） 96-8=88（cm3） 88cm3=88mL 答：注入88毫升水，能将正方体铁块刚好浸没。 学科网（北京）股份有限公司 $$