第11章 整式的乘除（单元测试·提升卷）数学华东师大版2024八年级上册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式可化为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 3．当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 6．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 9．已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 10．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为 ． 12．若，则的值是 ． 13．若，，则 ．（填写“”或“”或“”） 14．4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为 ． 15．若，则的值为 . 16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 17．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 18．如果一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0，若满足，则称这样的四位数为“好运平方差数”，并规定，．例如：6237，因为，所以6237是一个“好运平方差数”，，．若是最小的“好运平方差数”，则是 ．若（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”，且能被6整除，则所有满足条件的中的最小值为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）分解因式： (1)． (2) (3) 20．（10分）老师在黑板上写了一道题目： 求的值，已知．针对这道题目小涛和小玲的讨论如图所示． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 21．（10分）如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形的边长是______； (2)利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． (3)利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 22．（12分）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 23．（12分）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)模仿例题中列竖式计算的方法计算的值． (2)现在有一个长方体长为 ，宽为．若这个长方体体积为， ①求这个长方体的底面积（用含x的代数式表示）； ②求这个长方体的高（用含x的代数式表示）． 24．（12分）题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以为边在三角形外部作正方形和正方形，连结．若的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 25．（12分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．若代数式可化为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 3．当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 5．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 6．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 9．已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 10．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为 ． 12．若，则的值是 ． 13．若，，则 ．（填写“”或“”或“”） 14．4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为 ． 15．若，则的值为 . 16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 17．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 18．如果一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0，若满足，则称这样的四位数为“好运平方差数”，并规定，．例如：6237，因为，所以6237是一个“好运平方差数”，，．若是最小的“好运平方差数”，则是 ．若（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”，且能被6整除，则所有满足条件的中的最小值为 ． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）分解因式： (1)． (2) (3) 20．（10分）老师在黑板上写了一道题目： 求的值，已知．针对这道题目小涛和小玲的讨论如图所示． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 21．（10分）如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形的边长是______； (2)利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． (3)利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 22．（12分）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 23．（12分）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)模仿例题中列竖式计算的方法计算的值． (2)现在有一个长方体长为 ，宽为．若这个长方体体积为， ①求这个长方体的底面积（用含x的代数式表示）； ②求这个长方体的高（用含x的代数式表示）． 24．（12分）题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以为边在三角形外部作正方形和正方形，连结．若的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 25．（12分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，涉及合并同类项、同底数幂的乘除、幂的乘方等基本法则，需逐一验证各选项的正确性，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．若代数式可化为，则（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 利用完全平方公式将原代数式转化为给定形式，比较系数列方程求解． 【详解】由题知，， 又， ， 解得， ， 故选：C． 3．当m为自然数时，下列一定能整除的数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了因式分解的应用．把原式利用平方差公式进行因式分解，可得无论取何自然数，恒为8的倍数，即可求解． 【详解】解： ∴无论取何自然数，恒为8的倍数， ∴一定能被8整除． 故选：D 4．已知长方形的面积为，长为，则这个长方形的宽为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的除法及整式加减运算的应用．根据长方形的面积公式可得长方形的另一边长为，根据多项式除法法则进行计算． 【详解】解：∵长方形的面积为，且一边长为， ∴另一边长是：， 故选：D． 5．已知，，，则代数式的值为（　　） A．5 B．6 C．3 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式，把所求式子变形为含、、的形式是关键．由，，，得，，，将进行因式分解变形，即可得结论． 【详解】解：，，， ，，， ， 故选：C． 6．规定，若，则（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了新定义的整式运算． 根据新定义即可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， 故选：B． 7．已知，，，则a，b，c之间满足的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂相乘，掌握同底数幂乘法法则是解题关键．根据指数运算法则，将30分解为已知的2的幂次相乘，进而比较指数得出关系式即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选A． 8．已知，，…，都是正数，如果， ，那么M，N的大小关系是 （   ） A． B． C． D．不确定 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，设，将和用表示后，通过作差法判断的符号即可求解． 【详解】设， ∴， ， ∴ ， ∵，，…，都是正数， ∴， ∴， 故选：A． 9．已知，若，则（   ） A．2025 B．4050 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法的定义，乘方的定义，同底数幂的除法，根据乘法的定义和幂的定义先计算等式，然后根据同底数幂的除法解答即可． 【详解】解：， ， ∴， 故选：D 10．现有若干个长为，宽为的小长方形（如图1）．将其中2个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图2），右下角阴影部分的面积为9；再将其中3个小长方形摆放在边长为的正方形内（如图3），记右上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分面积为．若，则的值为（　　） A．10 B． C．11 D． 【答案】B 【分析】本题考查乘法公式在几何图形中的应用，由图2可得，结合，得出，再用含a，b的式子表示出，代入求值即可． 【详解】解：图2右下角阴影部分的面积为9， ， （负值舍去）， ， ， （负值舍去）， 由图可得，，， ， 故选B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．若一个长方形的面积为，一边长为b，则另一边的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查多项式除以单项式．利用面积除以一边长求得另一边长，即可解答． 【详解】解：长方形的另一边长为：， 故答案为：． 12．若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算，同底数幂的乘法运算，由已知可得，再利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法运算可把代数式转化为，进而把已知代入计算即可求解，掌握幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．若，，则 ．（填写“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，完全平方公式的运用，列式得到，从而得出结果． 【详解】 ， ． 故答案为：． 14．4个数a，b，c，d排列为，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为．若，则x的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，涉及了完全平方公式，多项式乘法，解一元一次方程等知识，正确理解新定义的运算规则是解题的关键． 按规定的运算可得关于的方程，解方程即可求得答案． 【详解】，， ， ， ， 解得， 故答案为：． 15．若，则的值为 . 【答案】1 【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴原式． 故答案为：1． 16．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，进而即可求解． 【详解】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图①中阴影部分面积为 图②中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为： 17．如图，小敏同学在计算机软件上设计一个图案，画一个正方形覆盖在正方形的右下方，使其重叠部分是长方形，面积记为，两个较浅颜色的四边形都是正方形，面积分别记为，．已知，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形的面积，根据正方形的性质，可得，设，则，即得，，进而得到，再利用可求得，据此即可求解，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如果一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0，若满足，则称这样的四位数为“好运平方差数”，并规定，．例如：6237，因为，所以6237是一个“好运平方差数”，，．若是最小的“好运平方差数”，则是 ．若（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”，且能被6整除，则所有满足条件的中的最小值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，且，结合得出，，推出，再分情况讨论即可得解；由题意得出，，求出，得到，即能被6整除，结合题意得出或或或，分情况计算即可得解． 【详解】解：∵一个四位数各个数位数字互不相等且均不为0， ∴，且， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当，时，，此时，，不符合题意； 当，时，，此时，，不符合题意； 当，时，，此时，，符合题意，为； 当，时，，此时，，不符合题意； 当，时，，此时，，符合题意，为； ∵， ∴是； ∵（，，，是整数，且，，，）是一个“好运平方差数”， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∵能被6整除， ∴能被6整除， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴或或或， 当时，即，此时，即，，此时为，不符合题意； 当时，即，此时，不符合题意； 当时，即，此时，即，，此时为，； 当时，即，此时，即，，此时为，； ∵， ∴的最小值为； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了整式加减的应用、因式分解的应用、解二元一次方程组、平方差公式的应用等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分）分解因式： (1)． (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ；（6分） （3）解： ．（10分） 20．（10分）老师在黑板上写了一道题目： 求的值，已知．针对这道题目小涛和小玲的讨论如图所示． (1)你认为谁说得对？请说明理由． (2)如果，，求这个式子的值． 【答案】(1)小玲说得对，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可判断； （2）把，，代入（1）中的代数式，再计算即可． 【详解】（1）解：小玲说得对．理由如下： ． 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对．（5分） （2）解：由（1）得，原式． 当时，原式．（10分） 21．（10分）如图是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线剪成四块完全一样的小长方形，然后按图的方式拼成一个正方形． (1)图中阴影部分的正方形的边长是______； (2)利用图中阴影部分的面积的两种不同计算方法，写出下列三个代数式，，之间的数量关系是____________． (3)利用（）中的结论，对于实数，当，时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键． （）由小长方形的边长即可得到答案； （）由图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案； （）由（）可知，则有，然后把，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：图中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：；（3分） （2）解：图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为， ∴， 故答案为：；（6分） （3）解：由（）知， ∴， ∵，， ∴， ∴．（10分） 22．（12分）阅读下面的材料：我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．例如，“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为：，，如下列探究： 探究一：比较与的大小． 解：因为，， 又因为，所以，所以． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小， 探究二：比较和的大小． 解：因为，且，所以，即， 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 解决下列问题： (1)比较，的大小； (2)比较，，，的大小； (3)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的性质是解题的关键． （1）仿照探究二比较即可； （2）仿照探究一比较即可； （3）利用积的乘方的逆运算转化，进而比较即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴；（4分） （2）解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴；（8分） （3）解：∵，， 又∵， ∴．（12分） 23．（12分）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此． 请根据阅读材料，回答下列问题： (1)模仿例题中列竖式计算的方法计算的值． (2)现在有一个长方体长为 ，宽为．若这个长方体体积为， ①求这个长方体的底面积（用含x的代数式表示）； ②求这个长方体的高（用含x的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用竖式计算即可； （2）①用长方体的长乘以其宽即可得到答案；②用长方体的体积除以其底面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴；（6分） （2）解：①， ∴这个长方体的底面积为；（9分） ② ， ∴这个长方体的高为．（12分） 24．（12分）题目：若，求的值． 解：观察发现，与中的与互为相反数， 所以我们不妨设． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 我们把这种方法叫做换元法，利用换元法达到简化计算的目的，体现了转化的数学思想． 【理解应用】 （1）若，则___________． （2）若满足，求的值． 【拓展应用】 （3）如图，在三角形中，，点是边上的点，在边上取一点，使，设．分别以为边在三角形外部作正方形和正方形，连结．若的面积为12，直接写出正方形和正方形的面积和．正方形和正方形的面积和为___________． 【答案】（1）43（2）（3）52 【分析】本题考查完全平方公式公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解题的关键： （1）设，得到，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得，，设，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， （4分） （2）设， 则 ， ， ， ， ， 解得：， （8分） （3）， ， ， ， 设， 则， ， ．（12分） 25．（12分）配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”．理由：因为．再如，（，是整数），所以也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”______________；并判断40是否为“完全数”_______________； （2）若二次三项式（是整数）是“完全数”，可配方成（，为常数），则的值为_______________； 探究问题： （3）已知“完全数”（，是整数）的值为0，则的值为______________； （4）已知（，是整数，是常数），要使为“完全数”，试求出符合条件的值． 拓展结论：已知实数，满足，求的最小值是________________． 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”．（3分） （2）， ，或， 或， 故答案为：4或；（6分） 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：．（9分） （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1．（12分） 学科网（北京）股份有限公司2 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷 第11章 整式的乘除·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D C D D C B A A D B 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．/ 12． 13． 14． 15．1 16． 17． 18． 三、解答题（共7小题，共78分） 19．（10分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式，掌握因式分解的方法是解答的关键． （1）先提公因式m，再利用完全平方公式求解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式求解即可； （3）先利用平方差公式分解因式，再利用完全平方公式分解因式即可求解． 【详解】（1）解： ；（3分） （2）解： ；（6分） （3）解： ．（10分） 20．（10分） 【答案】(1)小玲说得对，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是整式的混合运算，化简求值； （1）先计算整式的乘法运算，再合并同类项即可判断； （2）把，，代入（1）中的代数式，再计算即可． 【详解】（1）解：小玲说得对．理由如下： ． 经过化简，原式的结果只与x的取值有关，所以小玲说得对．（5分） （2）解：由（1）得，原式． 当时，原式．（10分） 21．（10分） 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了乘法公式与图形面积，读懂题意，正确计算是解题的关键． （）由小长方形的边长即可得到答案； （）由图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为，即可得到答案； （）由（）可知，则有，然后把，代入即可得到答案． 【详解】（1）解：图中阴影部分的正方形的边长是， 故答案为：；（3分） （2）解：图中阴影部分面积可以表示为，还可以表示为， ∴， 故答案为：；（6分） （3）解：由（）知， ∴， ∵，， ∴， ∴．（10分） 22．（12分） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的性质是解题的关键． （1）仿照探究二比较即可； （2）仿照探究一比较即可； （3）利用积的乘方的逆运算转化，进而比较即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴；（4分） （2）解：∵，，，， 又∵， ∴， ∴；（8分） （3）解：∵，， 又∵， ∴．（12分） 23．（12分） 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了多项式除以多项式，多项式乘以多项式，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意利用竖式计算即可； （2）①用长方体的长乘以其宽即可得到答案；②用长方体的体积除以其底面积即可得到答案． 【详解】（1）解： ∴；（6分） （2）解：①， ∴这个长方体的底面积为；（9分） ② ， ∴这个长方体的高为．（12分） 24．（12分） 【答案】（1）43（2）（3）52 【分析】本题考查完全平方公式公式与几何图形的面积，熟练掌握换元法以及完全平方公式的变形，是解题的关键： （1）设，得到，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得，，设，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设， 则， ， （4分） （2）设， 则 ， ， ， ， ， 解得：， （8分） （3）， ， ， ， 设， 则， ， ．（12分） 25．（12分） 【答案】解决问题：（1）；是“完全数”（2）4或；探究问题：（3）；（4）；拓展结论：1 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，掌握公式的形式是解题关键． 解决问题（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； 探究问题（3）根据即可求解； （4）根据，即可求解； 拓展结论：根据题意可得即可求解； 【详解】解：解决问题：（1）4是“完全数”，理由：因为； 是“完全数”，理由：因为； 故答案为：；是“完全数”．（3分） （2）， ，或， 或， 故答案为：4或；（6分） 探究问题：（3）， ，， ； 故答案为：．（9分） （4）， 由题意得：， ； 拓展结论：， ； 当时，最小，最小值为1． 故答案为：1．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$