第11章 整式的乘除（知识清单）数学华东师大版2024八年级上册

第11章 整式的乘除 一、幂的运算 1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：等于各因数乘方的积。 4.同底数幂相除：底数不变，指数相减。 二、整式的乘法 1.单项式乘以单项式：把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3.多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 三、整式的除法 1.单项式相除：把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 四、乘法公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。 五、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法主要有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、添拆项法等。其中，公式法即利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。 一、整式乘法易错点 1.单项式乘法时，容易在计算积的系数时忽略符号，或漏掉只在一个单项式里出现的字母。例如，在计算(2a³b)²·(-3a²b³c)时，可能会忽略负号或漏掉字母c。 2.单项式与多项式相乘时，容易出现去括号时忽略符号、漏乘不相同的字母、漏项或不合并同类项的错误。例如，在计算x(x²-xy+y²)-y(x²+xy+y²)时，可能会在去括号或合并同类项时出错。 3.多项式与多项式相乘时，容易在去括号时漏乘某项或忽略符号。 二、整式除法易错点 1.在整式除法中，余数问题常常让人头疼，需要仔细检查计算过程，避免出错。 2.单项式除以单项式时，容易在计算系数和同底数幂的除法时出错，或忽略只在被除式里出现的字母及其指数。 3.多项式除以单项式时，需要确保每一项都正确除以单项式，并将所得的商相加，避免漏项或计算错误。 三、因式分解易错点 在进行因式分解时，公因式的提取要彻底，否则会导致分解不彻底或结果错误。同时，要注意检查分解后的式子是否满足原式的要求。 综上所述，整式的乘除和因式分解是数学中的基础内容，但也是容易出错的部分。在学习过程中，需要仔细理解运算规则，多进行练习和总结，以提高计算的准确性和效率。 四、特殊公式应用易错点 1.平方差公式与完全平方公式的混淆：在整式的乘除中，平方差公式(a-b)²=a²-2ab+b²和完全平方公式(a+b)(a-b)=a²-b²经常被混淆。在应用这些公式时，需要准确判断题目中给出的式子是否满足公式的条件，并注意公式的正确形式。 2.乘法公式的逆用：有时题目需要利用乘法公式的逆用来进行因式分解或化简，但学生往往难以识别这种应用情境，导致解题受阻。因此，需要加强对乘法公式逆用的理解和练习。 五、解题策略与习惯易错点 1.缺乏检查习惯：在整式的乘除运算中，由于步骤较多，容易出现计算错误或符号错误。因此，养成良好的检查习惯至关重要。在完成运算后，应仔细检查每一步的计算过程和结果，确保无误。 2.忽视题目条件：有时题目会给出一些特殊的条件或限制，但学生在解题过程中往往忽视这些条件，导致解题方向偏离或结果错误。因此，在解题前需要仔细阅读题目，明确题目要求和条件。 3.缺乏解题策略：面对复杂的整式乘除问题，学生往往缺乏有效的解题策略，导致解题效率低下或无法得出正确答案。因此，需要学习和掌握一些常用的解题策略，如代入法、特殊值法、公式法等，以提高解题能力。 题型01 同底数幂的乘法 1.下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，合并同类项，根据同底数幂的乘法，合并同类项法则逐一排除即可，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：，原选项计算错误，不符合题意； 、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 2.若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，熟练掌握各运算法则是解题关键． 根据已知等式可得，则． 【详解】解：∵， ， ， ， 故选：B． 3.若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4.我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则 ； （2）若，则 ； 【答案】 9 【分析】本题主要考查了新定义运算及有理数的混合运算，同底数幂的乘法． （1）利用新运算的规定进行运算即可； （2）利用新运算的规定进行运算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）， ， ； 故答案为：9；． 5.如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，幂的乘方的运算法则，读懂题意理解新定义规定是解题的关键． （1）根据新定义规定即可解答； （2）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； （3）根据同底数幂的运算法则、幂的乘方的运算法则及新定义规定即可解答； 【详解】（1）解：∵ ， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 题型02幂的乘方 1.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的运算，包括合并同类项、幂的乘方、同底数幂相乘等基本法则的应用。需逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：， 合并同类项时，系数相加，字母部分不变。，但结果错误地写为，故A错误； 选项B：， 只有同类项（同底数且同指数）才能合并，而与指数不同，无法合并为，故B错误； 选项C：， 根据幂的乘方法则，，故，C正确； 选项D：， 系数相乘为，字母部分，结果应为，但D写为，故D错误． 故选C． 2.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方和同底数幂的乘法，根据相应的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选C． 3.已知，则的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的从乘法，把变形为，然后把代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：8． 4.我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新运算、幂的乘方逆运算、同底数幂的乘法、整体代入法求代数式的值．首先根据规定的新运算可得，求出，从而可得：，根据幂的乘方逆运算法则和同底数幂的乘法的运算法则整理可得：，然后再整体代入计算即可． 【详解】 解：，， ， ， ． 故答案为： ． 5.在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）由幂的乘方的逆运算法则得到，则，据此可得方程，解方程即可得到答案； （2）根据同底数幂乘法的逆运算法则得到，进一步可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型03 积的乘方 1.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查整式的运算，涉及同底数幂相乘、积的乘方、合并同类项等基本法则．根据同底数幂相乘、积的乘方、合并同类项等基本法则需逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】选项A：，但选项结果为，错误． 选项B：，与选项结果一致，正确． 选项C：中，与不是同类项，无法合并为，错误． 选项D：，但选项结果为，错误． 2.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查积的乘方运算，熟练掌握运算法则即可解答 根据积的乘方的运算法则进行计算即可． 【详解】解： 故选：C． 3.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法的逆运算，根据积的乘方的逆运算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4.已知，，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了幂的乘方、同底数幂的乘法等幂的运算性质，熟练掌握幂的运算法则是解题的关键．先根据幂的运算法则，将转化为以为底的幂，再结合，通过幂的运算找到、的关系，进而求出的值． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴． ∴． 把代入，得， 故答案为：1． 5.阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】 本题考查幂的乘方与积的乘方、有理数大小比较，解答本题的关键是明确有理数大小的比较方法． （1）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （2）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （3）仿照材料中的例题，比较大小即可求解； （4）仿照材料中的例题，比较大小即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∵， ∴， 即； （2）∵，，， ∵， ∴， 即； （3）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （4）∵，， 又∵， ∴． 题型04 同底数幂的除法 1.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方和同底数幂的除法分别运算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：，该选项运算错误，不合题意； ，该选项运算错误，不合题意； ，该选项运算正确，符合题意； ，该选项运算错误，不合题意； 故选：． 2.已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，将已知条件转化为方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：C． 3.已知，那么的值为 ． 【答案】18 【分析】根据题意，得，解答即可． 本题考查了同底数幂的除法的逆应用，幂的乘方的逆应用，熟练掌握公式的逆应用是解题的关键． 【详解】解：， 由， ∴， 故答案为：18． 4.已知，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法法则及合并同类项法则得出，即可求出的值． 【详解】解：∵， ， ， ， ， 故答案为：4． 5.已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母，，之间的数量关系为_____________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）逆用幂的乘方，进行计算即可； （2）逆用幂的乘方和同底数幂的乘法和除法法则进行计算即可； （3）利用幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴． 题型05 单项式与单项式相乘 1.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式的乘法、积的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键．先算积的乘方、再运用单项式乘单项式的运算法则计算，最后结合选项判定即可． 【详解】解：． 故选 D． 2.已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查单项式乘法法则（系数相乘、同底数幂“底数不变，指数相加” ），熟练掌握单项式乘法的运算规则是解题关键．先依据单项式乘法法则计算与的积，再通过对比积与的形式，确定、的值． 【详解】解： 单项式相乘，系数相乘，同底数幂分别相乘（底数不变，指数相加） ，， 又 ， 故选：． 3.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式．据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4.若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式乘以单项式及求值，根据单项式乘以单项式的法则进行计算，逆用幂的乘方，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 5.计算： (1) ； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，解题关键是牢记运算法则，注意：①单项式的乘法应遵循“符号优先”，先确定符号，再把它们的绝对值相乘．②单项式与单项式相乘，若它们的系数为带分数，应化为假分数，再相乘，最后结果的系数若是带分数应化为假分数． （1）先计算系数的积，再将字母的指数相加； （2）先计算系数的积，再将相同字母的指数相加，只在一个单项式里出现的字母则连同它的指数一起作为积的因式； （3）先算乘方，再计算系数的积，最后将相同字母的指数相加，只在一个单项式里出现的字母则连同它的指数一起作为积的因式； （4）将2和6相乘，再将10的指数相加． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型06 单项式与多项式相乘 1.计算：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查单项式与多项式的乘法运算．运用分配律进行计算出结果即可判断． 【详解】解：， 故选：A． 2.计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查单项式乘以多项式，利用单项式乘以多项式的法则进行计算即可．熟练掌握单项式乘以多项式的法则，是解题的关键． 【详解】解：． 故选：D． 3.计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4.计算的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法运算，涉及多项式乘以单项式、单项式乘以单项式及同底数幂的乘法运算法则等知识，熟练掌握整式的乘法运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 5.在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2)20 【分析】本题考查了整式的乘法运算与图形面积，求代数式的值，准确识图，熟练运用相关知识是解题的关键； （1）盲区面积等于梯形面积加上正方形面积加上两个直角三角形的面积，据此列式计算即可； （2）把整体代入（1）中所求代数式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积为： ； （2）解：当时，． 题型07 多项式与多项式相乘 1.已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式——化简求值，正确计算是解题的关键． 先把所求式子化简为，然后把已知条件式整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， ． 故答案为：． 2.已知，则的值为（    ）． A．25 B．24 C．16 D．10 【答案】A 【分析】本题考查多项式乘以多项式，代数式求值，根据多项式乘以多项式的法则进行计算，进而确定的值，再进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选A． 3.如果的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则求出的展开结果，再根据展开结果中不含的一次项，即含的一次项的系数为0列式求解即可． 【详解】解： ， ∵的乘积中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：1． 4.我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】210 【分析】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知，含的项是展开式中的第三项，观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是210． 故答案为：210． 5.在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据题意可以得到，，然后整理化简，即可求得m、n的值； （2）先将所求式子化简，然后将m、n的值代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴，， ∴，， 解得，； （2）解： ， 当，时，原式． 题型08 两数和乘以这两数的差 1.下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平方差公式的应用，根据平方差公式的特点：两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意； B．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意； C．，括号内满足形式，可用平方差公式计算，结果为，故本选项正确； D．，不符合平方差公式的结构特征，故本选项不符合题意． 故选：C． 2.如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，根据阴影部分的面积相等列出面积的表达式是解题的关键． 分别表示出两个图形中阴影部分的面积，然后根据两个阴影部分的面积相等即可得解． 【详解】解：左边图形中，阴影部分的面积， 右边图形中，阴影部分的面积， ∵两个图形中的阴影部分的面积相等， ∴， 故选：C． 3.若，，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了代数式求值以及多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先通过，，求得，然后把，代入，即可求解； 【详解】解：∵，， ∴， 解得：， 把，代入， 即， 故答案为：； 4.如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．根据阴影部分的面积和图形特征，可得，，即可得解． 【详解】解：由题意知， ， ，， ， 故答案为：． 5.思考与探究 如图 1 的两个长方形可以按不同的形式拼成图 2 和图 3 两个图形． (1)在图 2 中的阴影部分的面积 S，可表示为 （写成多项式乘法的形式）；在图 3 中的阴影部分的面积 S：可表示为 （写成两数平方差的形式）； (2)比较图 2 与图 3 的阴影部分面积，可以得到的等式是 ； A． B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算 的值． 【答案】(1)； (2)B (3) 【分析】本题考查了平方差公式的证明及应用，善于应用是解题的关键． （1）图2中阴影部分的长为，宽为，根据长方形的面积即可表示出阴影部分面积；图3中阴影部分面积为大正方形面积与小正方形面积之差； （2）根据图2图3中阴影部分面积相等，即可得结论； （3）式子乘，再依次利用上面得到的等式计算即可． 【详解】（1）解：图2中阴影部分为长方形，其长为，宽为，则面积为； 图3中阴影部分面积为边长为a的大正方形面积与边长为b的小正方形面积的差，即为； 故答案为：；. （2）解：图 2 与图 3 的阴影部分面积相等，即有； 故选：B． （3）解：原式 ． 题型09 两数和（差）的平方 1.若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A．或 B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式可得出，进而可求出a的值． 【详解】解：若是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得：或． 故选：D． 2.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，解决本题的关键是灵活应用完全平方公式的变形．设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则，由题意得、，则可求出，再根据图1中阴影部分面积等于两个正方形面积减去两个三角形面积列式求解即可． 【详解】解：设甲正方形边长为，乙正方形边长为，则， ∴， ∵点H为的中点， ∴， ∵图2的阴影部分面积， ∴， ∴， ∴图1的阴影部分面积， 故选：C． 3.，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形运算，利用进行计算即可求解，掌握完全平方公式的变形运算是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 4.已知，则代数式的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值．设，，则，，利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】解：设，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 5.阅读材料：若x满足，求的值． 解：设，，则，，， 解决问题： (1)若x满足．则________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1)96 (2) (3)96 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键： （1）设，，利用完全平方公式变形计算即可； （2）设，，利用完全平方公式变形计算即可； （3）易得，，长方形的面积，利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】（1）解：设，， 由完全平方公式，得： 故答案为：96； （2）设，， 由完全平方公式，得： ； （3）由题意，得：，， 长方形的面积， 则由完全平方公式，得：， 图中阴影部分的面积和为． 题型10 单项式除以单项式 1.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，单项式的乘法和除法，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握是整解答本题的关键． 根据积的乘方，单项式的乘法和除法，完全平方公式，平方差公式，对各个选项中的式子，计算判断，从而可得答案． 【详解】A. ，∴A不正确： B. ，∴B不正确： C. ，∴C正确： D. ，∴D不正确． 故选：C． 2.小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，根据题意只需要计算出的结果即可得到答案． 【详解】解：， ∴“█”所表示的式子是， 故选：B． 3.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，同底数幂除法，掌握法则并熟练应用是解题关键．根据单项式除以单项式的法则计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4.某科技馆的“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了单项式乘除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 观察给出的两个密码，发现规律，进而确定要输入的密码． 【详解】解：， 观察给出的两个密码可知，的指数依次写下来即密码， ， ∴密码为2025， 故答案为：2025． 5.计算与化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式混合运算顺序和运算法则． （1）先计算乘方，再计算乘法即可； （2）先利用单项式乘多项式、单项式除以单项式法则计算，再计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型11 多项式除以单项式 1.若多项式除以单项式的值为多项式M，则多项式M是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式除以单项式，理解整式的除法运算法则是解题的关键． 将多项式中的每一项分别除以单项式，系数相除，字母部分按同底数幂的除法法则运算． 【详解】 ， ， 多项式， 故选：A． 2.已知，那么代数式值是（    ）． A．18 B．17 C．16 D．15 【答案】D 【分析】本题考查的是已知式子的值求代数式的值，整式的混合运算，掌握其运算规则是解题的关键.由已知方程可得，将代数式展开并整理，利用整体代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 因此，代数式的值为15， 故选：D 3.计算： ． 【答案】 【分析】本题考查整式的除法．利用多项式除以单项式法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 4.计算： ． 【答案】 【分析】根据多项式除以单项式可进行求解． 本题主要考查多项式除以单项式，熟练掌握多项式除以单项式是解题的关键． 【详解】解：． 故答案为：． 5.化简求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式和平方差公式的应用，对原式进行正确的化简是解题的关键．先根据平方差和完全平方公式以及整式混合运算的法则对原式进行化简，再代入a和b的值进行计算即可． 【详解】解： ； 时，原式． 题型12因式分解 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式”进行判断即可得，解题的关键是掌握因式分解的定义． 【详解】解：左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解； 左边是多项式，右边是的乘积形式，是因式分解； 右边是平方与常数的和，未形成乘积形式，不是因式分解； 故选：． 2.已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法是关键． 通过提取公因式将原式分解因式，再对比系数确定参数值即可得． 【详解】解： 由题意可得，， ∴，. ∴． 故选：B． 3.分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法．利用提公因式的方法求解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4.若，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查代数式求值，平方差公式．能利用平方差公式对正确变形是解决此题的关键．另外本题中需注意整体思想的运用． 利用平方差公式对变形，然后将代入即可得出的值． 【详解】解：∵， ， 又 ∵， ， 即． 故答案为：． 5.阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2) (3)12 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、乘法公式，熟练掌握利用配方法分解因式是解题关键． （1）先原式配方为，再利用完全平方公式可得，然后利用平方差公式分解因式即可得； （2）利用配方法和完全平方公式可得，再求出，由此即可得； （3）先利用配方法和完全平方公式可得，则可得，求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解： ． （2）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，是的三边长， ∴的周长为． 2 / 35 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11章 整式的乘除 一、幂的运算 1.同底数幂相乘：底数不变，指数相加。 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘。 3.积的乘方：等于各因数乘方的积。 4.同底数幂相除：底数不变，指数相减。 二、整式的乘法 1.单项式乘以单项式：把他们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。 2.单项式乘以多项式：用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 3.多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 三、整式的除法 1.单项式相除：把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。 2.多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。 四、乘法公式 1.平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。 2.完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²；(a-b)²=a²-2ab+b²。两数和（差）的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。 五、因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法主要有提公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法、添拆项法等。其中，公式法即利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解。 一、整式乘法易错点 1.单项式乘法时，容易在计算积的系数时忽略符号，或漏掉只在一个单项式里出现的字母。例如，在计算(2a³b)²·(-3a²b³c)时，可能会忽略负号或漏掉字母c。 2.单项式与多项式相乘时，容易出现去括号时忽略符号、漏乘不相同的字母、漏项或不合并同类项的错误。例如，在计算x(x²-xy+y²)-y(x²+xy+y²)时，可能会在去括号或合并同类项时出错。 3.多项式与多项式相乘时，容易在去括号时漏乘某项或忽略符号。 二、整式除法易错点 1.在整式除法中，余数问题常常让人头疼，需要仔细检查计算过程，避免出错。 2.单项式除以单项式时，容易在计算系数和同底数幂的除法时出错，或忽略只在被除式里出现的字母及其指数。 3.多项式除以单项式时，需要确保每一项都正确除以单项式，并将所得的商相加，避免漏项或计算错误。 三、因式分解易错点 在进行因式分解时，公因式的提取要彻底，否则会导致分解不彻底或结果错误。同时，要注意检查分解后的式子是否满足原式的要求。 综上所述，整式的乘除和因式分解是数学中的基础内容，但也是容易出错的部分。在学习过程中，需要仔细理解运算规则，多进行练习和总结，以提高计算的准确性和效率。 四、特殊公式应用易错点 1.平方差公式与完全平方公式的混淆：在整式的乘除中，平方差公式(a-b)²=a²-2ab+b²和完全平方公式(a+b)(a-b)=a²-b²经常被混淆。在应用这些公式时，需要准确判断题目中给出的式子是否满足公式的条件，并注意公式的正确形式。 2.乘法公式的逆用：有时题目需要利用乘法公式的逆用来进行因式分解或化简，但学生往往难以识别这种应用情境，导致解题受阻。因此，需要加强对乘法公式逆用的理解和练习。 五、解题策略与习惯易错点 1.缺乏检查习惯：在整式的乘除运算中，由于步骤较多，容易出现计算错误或符号错误。因此，养成良好的检查习惯至关重要。在完成运算后，应仔细检查每一步的计算过程和结果，确保无误。 2.忽视题目条件：有时题目会给出一些特殊的条件或限制，但学生在解题过程中往往忽视这些条件，导致解题方向偏离或结果错误。因此，在解题前需要仔细阅读题目，明确题目要求和条件。 3.缺乏解题策略：面对复杂的整式乘除问题，学生往往缺乏有效的解题策略，导致解题效率低下或无法得出正确答案。因此，需要学习和掌握一些常用的解题策略，如代入法、特殊值法、公式法等，以提高解题能力。 题型01 同底数幂的乘法 1.下面计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2.若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（　　） A． B． C． D． 3.若，，则 ． 4.我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，、为正整数），类似地我们规定关于任意正整数、的一种新运算：，若，则，请根据这种新运算解决以下问题： （1）若，则 ； （2）若，则 ； 5.如果，那么我们规定． 如：因为，所以． (1)【理解】根据上述规定，填空：___________，___________； (2)【说理】记．试说明：； (3)【应用】若，直接写出的值． 题型02幂的乘方 1.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2.计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3.已知，则的值是 ． 4.我们定义：三角形，四边形；若，则 ． 5.在等式的运算中规定：若（且，是正整数），则，利用上面结论解答下列问题： (1)若，求的值； (2)若，求的值． 题型03 积的乘方 1.下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 3.计算： ． 4.已知，，则的值为 ． 5.阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小． 解：，且， ，即． 小结：底数相同且大于1的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小． 【方法运用】 (1)比较、、的大小； (2)比较、、的大小； (3)已知，，，，比较、的大小； (4)比较与的大小． 题型04 同底数幂的除法 1.下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2.已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 3.已知，那么的值为 ． 4.已知，则的值为 ． 5.已知，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)字母，，之间的数量关系为_____________． 题型05 单项式与单项式相乘 1.计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2.已知单项式与的积为，则m，n的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 3.计算： ． 4.若，则的值为 ． 5.计算： (1) ； (2)； (3)； (4) 题型06 单项式与多项式相乘 1.计算：（    ） A． B． C． D． 2.计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 3.计算： ． 4.计算的结果是 ． 5.在一次普及“交通安全知识”的活动中，学生们对货车的盲区面积进行探究．货车盲区的部分分布图如图所示，盲区1，2是两个形状大小均相同的直角三角形，盲区3是一个梯形，盲区4是一个正方形． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积．（结果需化简） (2)若，求图中盲区的总面积． 题型07 多项式与多项式相乘 1.已知：，，化简的结果是（   ） A． B．8 C．6 D． 2.已知，则的值为（    ）． A．25 B．24 C．16 D．10 3.如果的乘积中不含的一次项，则的值为 ． 4.我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 5.在计算时，嘉嘉把n错看成了8，得到的结果是：；琪琪错把看成了，得到结果：． (1)求出m，n的值； (2)求的值． 题型08 两数和乘以这两数的差 1.下列各式中能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2.如图所示，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，再把剩余的部分剪拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式是（    ） A． B． C． D． 3.若，，则 ． 4.如图，正方形的边长分别为，点在边上，连接，若阴影部分的面积为，则正方形与正方形的差为 ． 5.思考与探究 如图 1 的两个长方形可以按不同的形式拼成图 2 和图 3 两个图形． (1)在图 2 中的阴影部分的面积 S，可表示为 （写成多项式乘法的形式）；在图 3 中的阴影部分的面积 S：可表示为 （写成两数平方差的形式）； (2)比较图 2 与图 3 的阴影部分面积，可以得到的等式是 ； A． B． C． (3)请利用所得等式解决下面的问题：计算 的值． 题型09 两数和（差）的平方 1.若是一个完全平方式，则a的值为（   ） A．或 B． C． D．或 2.现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点，连接，将乙纸片放到甲的内部得到图2，已知甲、乙两个正方形边长之和为8，图2的阴影部分面积为6，则图1的阴影部分面积为（    ） A．28 B．21 C．19 D．15 3.，，则 ． 4.已知，则代数式的值为 ． 5.阅读材料：若x满足，求的值． 解：设，，则，，， 解决问题： (1)若x满足．则________； (2)若x满足，求的值； (3)如图，在长方形中，，，点E、F是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和，若长方形的面积为40平方单位，求图中阴影部分的面积和． 题型10 单项式除以单项式 1.下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2.小明在计算整式除法的时候一不小心除数被墨水覆盖了，如，则“█”所表示的式子是（   ） A． B． C． D． 3.计算： ． 4.某科技馆的“数理世界”展厅的WIFI的密码被设计成如图的数学问题．小东在参观时认真思索，输入密码后顺利地连接到网络，则他输入的密码是 ． 5.计算与化简： (1)； (2)． 题型11 多项式除以单项式 1.若多项式除以单项式的值为多项式M，则多项式M是（   ） A． B． C． D． 2.已知，那么代数式值是（    ）． A．18 B．17 C．16 D．15 3.计算： ． 4.计算： ． 5.化简求值：，其中． 题型12因式分解 1.下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2.已知可分解因式为，则的值是（ ） A．1 B．6 C．7 D．8 3.分解因式： ． 4.若，且，则 ． 5.阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：． 例如：求代数式的最小值． 原式． ， 当时，有最小值是2． 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)已知，，是的三边长，且满足，求的周长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$