第十三章 三角形 单元测试 2024-2025学年人教版数学八年级上册

人教版（2024）八年级上册 第十三章 三角形 单元测试 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，则∠A的度数为（　　） A.38° B.42° C.52° D.62° 2.已知是等腰三角形的两边长，且满足，则此等腰三角形的周长为（） A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 3.如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4.绝缘梯多用作电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则两点之间的距离可能是（    ） A. B. C. D. 5.将含有和的一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（） A. B. C. D.105° 6.下列具有稳定性图形的是（    ） A.   B.   C.   D.   7.下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 8.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确 9.已知三角形的三条边长分别为，，，化简的结果为（   ） A. B. C. D. 10.如图，在中，，为三条角平分线的交点，则的度数是（   ） A. B. C. D. 11.如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 12.用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（   ） A.2 B.4 C.5 D.6 二、填空题 13.如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 　     　，这三条高所在直线交于点 　      　． 14.已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　    　． 15.在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢钱用来固定电线杆(如图所示)，这样做的数学原理是______________． 16.如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为        cm．    17.如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时，             ． 三、解答题 18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝4∠B，求∠B的度数． 19.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 20.画出下图中的重心．    21.（1）如图①，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数． （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点D是线段AB延长线上一点，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 22.综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． [结论发现]三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： [简单应用] （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； [变式拓展] （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 人教版（2024）八年级上册 第十三章 三角形 单元测试（参考答案） 一、选择题 1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝38°，则∠A的度数为（　　） A.38° B.42° C.52° D.62° 【答案】C 【解析】∵∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∵∠B＝38°， ∴∠A＝52°. 2.已知是等腰三角形的两边长，且满足，则此等腰三角形的周长为（） A.8 B.6或8 C.7 D.7或8 【答案】D 【解析】， 解得 2是腰长时，三角形的三边分别为2，2，3，能组成三角形，周长； ②2是底边时，三角形的三边分别为2，3，3，能组成三角形，周长， 所以，三角形的周长为7或8． 3.如图，光线照射到平面镜上，然后在平面镜和之间来回反射，光线的反射角等于入射角，若已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】根据题意可得，，，； 由三角形内角和定理和平角的定义得. 4.绝缘梯多用作电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则两点之间的距离可能是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵的长度都为，， ∴ 则两点之间的距离可能是． 5.将含有和的一副三角尺按如图所示的方式叠放，则的度数为（） A. B. C. D.105° 【答案】C 【解析】解：由三角形的外角定理可知， ． 6.下列具有稳定性图形的是（    ） A.   B.   C.   D.   【答案】C 【解析】因为三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性． A.由两个四边形组成，不具有稳定性，不符合题意； B.由一个三角形和一个四边形组成，不具有稳定性，不符合题意； C.有三个三角形组成，具有稳定性，符合题意； D.由两个四边形组成，不具有稳定性，不符合题意． 7.下面是四位同学分别用三根木棍组成的图形，其中是三角形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：由题意得，只有A选项中的图形是三角形． 8.如图，△ABC的角平分线AD、中线BE相交于点O．有下列两个结论：①AO是△ABE的角平分线；②BO是△ABD的中线．其中（　　） A.只有①正确 B.只有②正确 C.①和②都正确 D.①和②都不正确 【答案】A 【解析】解：AD是三角形ABC的角平分线， 则是∠BAC的角平分线， 所以AO是△ABE的角平分线，故①正确； BE是三角形ABC的中线， 则E是AC是中点，而O不一定是AD的中点，故②错误． 故选：A． 9.已知三角形的三条边长分别为，，，化简的结果为（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵三角形的三边长分别为，，， ∴， 即， ∴ ． 10.如图，在中，，为三条角平分线的交点，则的度数是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：∵为三条角平分线的交点， ∴，， 在中，， ∴， 在中，． 11.如图，在中，，，，，连接，，则的度数是（    ）    A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：如图，延长交于点，    ，， ， ， ， ， ． 12.用螺丝连接四根木条构成一个四边形，四根木条长度如图所示，现添加一根木条，使这个图形稳定，则添加的木条的长度不可以是（   ） A.2 B.4 C.5 D.6 【答案】A 【解析】连接， 根据题意可得，在中，，即， 在中，，即， 则， 在中，，即， 在中，，即， 则． 二、填空题 13.如图，已知△ABC的三条高AD、BE、CF交于点H．△ACH的三条高是 　     　，这三条高所在直线交于点 　      　． 【答案】CD，HE，AF；B． 【解析】由三角形的高可知，△ACH的三条高是CD，HE，AF，这三条高所在直线交于点B， 故答案为：CD，HE，AF；B． 14.已知a，b，c是一个三角形的三条边长，则化简|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b|＝　    　． 【答案】0． 【解析】解：∵a，b，c是一个三角形的三条边长， ∴a﹣c﹣b＜0，c﹣a+b＞0， ∴|a﹣c﹣b|﹣|c﹣a+b| ＝﹣（a﹣c﹣b）﹣（c﹣a+b） ＝﹣a+c+b﹣c+a﹣b ＝0． 故答案为：0． 15.在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢钱用来固定电线杆(如图所示)，这样做的数学原理是______________． 【答案】三角形具有稳定性 【解析】解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做的数学原理是三角形的稳定性． 16.如图，是的三条中线，若的周长是．则的长为        cm．    【答案】5 【解析】∵是的三条中线， ∴， ∴， ∵的周长是， ∴． 17.如图，已知，，点M为射线上一动点，连接，作平分交直线于点P在直线上取点N，连接，使，当时，             ． 【答案】或 【解析】解：①当点N在点P的右侧时， 设， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ∴， ， 平分， ， ， ， ， ， ， . ②当点N在点A的左侧时， 设， 平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ∴， ∴， 将代入上式解得， ③当点在之间时， 设，则， ∵平分， ∴， ∴， 由已知得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，不合题意，此种情况不存在． 综上所述,的度数为或． 三、解答题 18.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝4∠B，求∠B的度数． 【答案】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°， ∵∠A＝4∠B， ∴4∠B+∠B＝5∠B＝90°， ∴∠B＝18°． 【解析】 19.已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2． 【答案】证明：∵∠1是△ABC的一个外角， ∴∠1＞∠3， ∵∠3是△DEC的一个外角， ∴∠3＞∠2， ∴∠1＞∠2． 【解析】 20.画出下图中的重心．    【答案】解：如解图所示，作三角形的两条中线交于点，点即为所求．    【解析】 21.（1）如图①，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是边AC上的高，求∠DBC的度数． （2）如图②，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E，点D是线段AB延长线上一点，过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数． 【答案】解：（1）设∠A＝x， ∵∠C＝∠ABC＝2∠A， ∴∠C＝∠ABC＝2x， 在△ABC中，∠C+∠ABC+∠A＝180°， ∴2x+2x+x＝180°， ∴x＝36°， ∴∠C＝72°， ∵BD是边AC上的高， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠C＝90°﹣72°＝18°； （2）∵∠ACB＝90°，∠A＝40°， ∴∠CBD＝∠ACB+∠A＝90°+40°＝130°， ∵BE平分∠CBD， ∴∠EBD＝＝65°， ∵∠EBD＝∠A+∠AEB， ∴∠AEB＝65°﹣40°＝25°， ∵DF∥BE， ∴∠F＝∠AEB＝25°． 【解析】 22.综合与实践 在数学学习过程中，对有些具有特殊结构，且结论又具有一般性的数学问题我们常将其作为一个数学模型加以识记，以积累和丰富自己的问题解决经验． [结论发现]三角形的一个内角平分线与另一内角的外角平分线的夹角的度数是三角形第三个内角度数的一半． （1）如图1，在中，点是的内角平分线与外角的平分线的交点，则有，请给出证明过程； 请直接应用上面的“结论发现”解决下列问题： [简单应用] （2）如图2，在中，．延长至，延长至，已知的平分线与外角的平分线相交于点，外角的平分线与的延长线相交于点，求的度数； [变式拓展] （3）如图3，四边形的内角的平分线与外角的平分线形成如图所示形状．已知，，则的度数和是__________． 【答案】（1）证明：∵点E是的内角的平分线与外角的平分线的交点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴. （2）∵平分，平分， ∴； 又∵平分，， ∴， ∴. （3）延长，交于点M，延长交于点N，如图所示， ∵分别平分，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 学科网（北京）股份有限公司 $$