3.2 长方体和正方体的表面积 暑假专项提升（讲义）-2024-2025学年五年级下册数学人教版

3.2 长方体和正方体的表面积 暑假专项提升 思维导图 知识点讲解 一、长方体的表面积 1.表面积的概念： 长方体6个面的总面积，叫做它的表面积。长方体相对的面完全相同，所以我们在计算表面积时，可以分别求出三组相对面的面积，再相加。 2.长方体表面积的计算公式推导： 长方体有上、下两个面，每个面的面积是长×宽，所以上下两个面的面积和是（长×宽）； 长方体有前、后两个面，每个面的面积是长×高，所以前后两个面的面积和是（长×高）； 长方体有左、右两个面，每个面的面积是宽×高，所以左右两个面的面积和是（宽×高）。把这三组面的面积相加，就得到长方体表面积的计算公式： 长方体的表面积 = （长×宽 + 长×高 + 宽×高） 用字母表示为：，其中表示表面积，表示长，表示宽，表示高。 3.计算长方体表面积的步骤： （1）确定长方体的长、宽、高的长度值。 （2）按照表面积公式，分别计算出括号内每一项的值（即三组相对面中每组面的面积）。 （3）将计算出的三项结果相加后再乘以，得到长方体的表面积。 二、正方体的表面积 1.正方体与长方体的关系： 正方体是特殊的长方体，它的六个面都是完全相同的正方形。 2.正方体表面积的计算公式推导： 因为正方体的六个面完全相同，每个面都是正方形，正方形的面积 = 边长×边长，所以正方体一个面的面积是棱长×棱长。 那么正方体的表面积就是个这样相同面的面积之和，即正方体的表面积 = （棱长×棱长）。 3.正方体表面积的计算公式： 用字母表示为：，其中表示表面积，表示正方体的棱长。 4.计算正方体表面积的步骤： （1）确定正方体的棱长长度值。 （2）按照表面积公式，先计算出棱长×棱长的值（即一个面的面积）。 （3）将一个面的面积乘以，得到正方体的表面积。 三、应用实例 1.已知长、宽、高（棱长）求表面积： 直接将相应的数值代入长方体或正方体的表面积计算公式进行计算。 2.根据表面积及部分条件求其他量： 例如已知长方体的表面积、长和宽，求高。我们可以先根据长方体表面积公式列出方程，然后通过解方程求出高的值。 3.实际生活中的应用： 比如给一个长方体形状的盒子贴包装纸，求需要多少包装纸，就是求这个长方体盒子的表面积；给一个正方体的礼品盒喷漆，求喷漆的面积，就是求正方体礼品盒的表面积等。在解决这类实际问题时，关键是要正确判断出所求的是哪个立体图形的表面积，以及准确找出对应的长、宽、高（棱长）等数据，再代入合适的公式进行计算。 暑假提升练习 一、填空题 1．“礼、乐、射、御、书、数”是古代读书人必须学习的“六艺”。在正方体的6个面上分别写着“六艺”中的一种，正方体展开后如图，与“礼”字相对的是　 　字。与“数”字相对的是　 　字。 2．一个正方体的棱长是4cm，它的棱长总和是　 　cm，表面积是　 　cm2。 3．一个长 6m 、宽 4m、高 3m 的长方体纸箱，它的占地面积最大是　 　m2，表面积是　 　m2。 4．如下图，一个长方体的长、宽、高分别是7dm、2dm和2dm， 这个长方体有　 　个面是边长为2d m的正方形，这个长方体上面的面积是　 　dm2。 5．刘叔叔给一个长5m、宽4m、高3m的长方体库房的房顶和四周刷油漆(门窗忽略不计)，需要给　 　个面刷油漆，需要刷油漆的面积是　 　m2。 6．下图中长方体的长是8cm，高是4厘米，涂色部分两个面的面积之和为72cm2，这个长方体的宽是　 　cm，表面积是　 　cm2。 7．一根长80厘米、宽和高都是12厘米的长方体钢材，从钢材的一端锯下一个最大的正方体后，它的表面积减少　 　平方厘米。 8．把3个棱长为3分米的正方体木箱放在墙角处（如下图），露在外面的面积是　 　平方分米。 9．爸爸要装修卧室。已知卧室的长是5m，宽是3.6m，高是3m，门窗的面积是 要在卧室的顶部和四面墙壁贴壁纸，每平方米壁纸需要花30元，买壁纸至少需要　 　元。 10．如图，合并包装这样的2盒巧克力，比单独包装最多可以节约　 　平方厘米的包装纸。 二、判断题 11．长方体的展开图中，只有长方形，不可能出现正方形。（　　） 12．把一个正方体的每条棱都扩大到原来的2倍，它的表面积也扩大到原来的2倍。（　　） 13．长方体相邻两个面的面积一定不相等。（　　） 14．做一个棱长为1m的无盖正方体铁箱，至少需要铁皮6m2。（　　） 15．一个正方体的表面积是48平方分米，把它放在桌子上占的面积是8平方分米。（ ） 三、选择题 16．下面有（　　）个图形能折成正方体。 A．2 B．3 C．4 D．5 17．下图中甲的表面积（　　）乙的表面积。 A．大于 B．等于 C．小于 D．无法判断 18．一个正方体和一个长方体正好可以拼成一个新的长方体，它的表面积比原来长方体增加了4m2，原来正方体的表面积是（　　）m2。 A．6 B．10 C．8 D．12 19．将四个长12cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（　　）。 A． B． C． D． 20．下图分别是一个长方体的前面和右面，这个长方体的底面积是（　　）平方厘米。 A．50 B．40 C．20 D．16 四、计算题 21．计算下面立体图形的表面积。(单位：cm) 五、操作题 22．下面是一个无盖水箱的平面展开图(如图①)， 王师傅发现这样设计剩余的铁皮太零碎。你能在不改变水箱尺寸和底面形状的情况下，帮王师傅重新设计一个水箱平面展开图吗？请将你的想法画在图②中。 六、解决问题 23．水泥厂要生产一种长方体铁皮通风管，已知通风管长2米，底面是边长为30厘米的正方形。要生产50节这种通风管，至少需要铁皮多少平方米? (接口处不计) 24．一个放置在地面上的站台长是2米，宽是1.5米，高是16厘米。如果给这个站台的外层都涂抹水泥，那么涂抹水泥部分的面积是多少平方米?如果涂抹每平方米面积需用水泥5千克，那么涂抹这样一个站台一共要用多少千克水泥? 25．一块边长为6cm的正方形纸板，在四角剪掉边长为2cm的正方形，做成无盖盒子，盒子的长、宽、高分别是多少? 表面积是多少? 26．“八公豆腐甲天下”，说的是我国非遗之一——淮南的八公豆腐。现将一块八公豆腐按如图所示的切法继续切成1 cm厚的豆腐片，每个面都淋上料汁然后蒸熟。若每10cm2豆腐需要淋1mL料汁，这道菜需要调配多少毫升的料汁？ 27．小明用硬纸板为小猫做小屋子，小屋子长为1.5m ，宽为1m ，高为0.7 m，请你画出这个小屋子的展开图，并计算所需硬纸板的面积。 (无底，正面有一个高0.4m，宽0.2m的小门) 参考答案 1．御；乐 2．48；96 3．24；108 4．2；14 5．5；74 6．6；208 7．576 8．63 9．1788 10．800 11．错误 12．错误 13．错误 14．错误 15．正确 16．C 17．B 18．A 19．B 20．A 21．解：(8×4+8×5+4×5)×2 =92×2 =184(cm2) (12×8+12×8+8×8)×2+5×5×4 =256×2＋100 =512＋100 =612(cm2) 22．解： 23．解：30厘米=0.3米 0.3×2×4×50 =2.4×50 =120(m2) 答：至少需要铁皮120平方米。 24．解：16厘米=0.16米 2×1.5+(2×0.16+1.5×0.16)×2 =3+（0.32+0.24）×2 =4.12(平方米) 5×4.12=20.6(千克) 答：涂抹水泥部分的面积是4.12平方米。涂抹这样一个站台一共要用20.6千克水泥。 25．解：盒子的长、宽都是6-2×2=6-4=2（厘米） 盒子的高是：2厘米 盒子的表面积：2×2×5=4×5=20（平方厘米） 答：盒子的长、宽、高都是2厘米，表面积是20平方厘米。 26．解：5+4÷1=9(片) （1×12+8×12+1×8）×2 =116×2 =232（cm2） 232×9=2088（cm2） 2088÷10=208.8（mL） 答：这道菜需要调配208.8毫升的料汁。 27．解： 1.5×1+1.5×0.7×2-0.4×0.2+1×0.7×2 =1.5+2.1-0.4+1.4 =1.5+1.7+1.4 =4.6（平方米） 答：所需硬纸板的面积是4.6平方米。 学科网（北京）股份有限公司 $$