重难点06 整式的加减及实际应用-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

重难点06 整式的加减及实际应用 题型探究 1 题型1、整式的加减——化简运算 1 题型2、整式的加减——化简求值 2 题型3、整式的加减——判断错误步骤及原因 3 题型4、整式的加减——不含某项 5 题型5、整式的加减——与某项的取值无关 6 题型6、整式的加减——遮挡问题 6 题型7、整式的加减——定值问题 8 题型8、整式的加减——整除问题 10 题型9、整式的加减——新定义问题 11 题型10、整式的加减——比较整式大小 12 题型11、整式加减的实际应用 14 基础通关 17 拓展提优 23 题型1、整式的加减——化简运算 例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（24-25七年级上·北京·期中）化简： (1) (2) 例3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）化简： 变式1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）化简： (1)． (2)． 变式2．（24-25七年级上·广东江门·期中）化简： (1)； (2) 变式3．（24-25七年级上·北京·期中）化简 (1)； (2) 变式4．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）计算：． 题型2、整式的加减——化简求值 例1．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 例3．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 例4．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，是两个多项式，其中，． (1)求多项式； (2)若为最大的负整数，的平方等于本身，先化简，再求的值． 变式1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中，． 变式3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 变式4．（24-25七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中a，b满足，a是最小的正整数，等腰三角形的三边长为3，6，b． 题型3、整式的加减——判断错误步骤及原因 例1．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是_______； ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误． (2)任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 例2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题： 化简： 原式………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 (1)以上步骤中第一步依据的运算律是________； A．加法结合律    B．乘法分配律    C．加法交换律 从第________步开始出现错误，出现错误的原因是________________； (2)请写出正确的化简过程，并计算当，满足，时该整式的值． 变式1．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 变式2．（24-25七年级上·山西太原·期中）（1）化简：； （2）下面是小优同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．         第一步         第二步 ．        第三步 任务1：填空： 以上化简步骤中，第________步开始出现错误，具体错误是________； 任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当，时该整式的值 题型4、整式的加减——不含某项 例1．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）多项式合并同类项后不含项，则n的值是（　　） A． B．2 C． D． 例2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）关于、的多项式不含二次项，则的值是（   ） A． B．0 C．4 D．5 例3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 例4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）已知． (1)求的值； (2)若与互为相反数． ①求C的代数式； ②若，求C的值； (3)若的结果不含项，写出m与n的数量关系，并说明理由． 变式1．（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 变式2．（24-25七年级上·广西来宾·期末）若多项式和相减后不含二次项，则的值是 ． 变式3．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）关于的代数式化简后不含有项和常数项 (1)求和的值． (2)若，求：代数式的值． 变式4．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）已知，．若中只含有的项，求的值． 题型5、整式的加减——与某项的取值无关 例1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为 ． 例2．（24-25七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，满足，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 变式1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）已知，，且的值与y的值无关，求的值． 变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 题型6、整式的加减——遮挡问题 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 例2．（23-24七年级上·四川自贡·期末）某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式〇 (1)求破损部分的整式； (2)若，求破损部分整式的值． 例3．（22-23七年级上·河北唐山·期末）练习册上一道整式运算的参考答案破损看不见了，形式如下： 解：原式 (1)求破损部分的整式； (2)，，且时，求破损部分整式的值． 变式1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）小明在数学课上学习了整式的加减，放学后，他拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容．突然，他发现一道题：被钢笔墨水弄污了，被弄污的地方应是（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 变式3．（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 题型7、整式的加减——定值问题 例1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）无论取何值，多项式的值不变，则（   ） A．， B．， C．， D．， 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 例3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 变式1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）数学课上，张老师出示了这样一道题目：“当时，求已知的值”．解完这道题后，小茗同学发现：“是多余的条件”．师生讨论后，一致认为小茗的发现是正确的．受此启发，张老师又出示了一道题目：无论取任何值，多项式的值都不变，则系数的值分别为（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图1，这是某年月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 变式3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图2中表示出、、三点的位置； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求出的值． 题型8、整式的加减——整除问题 例1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）我们常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数，即用代数式表示．类似的，用代数式表示三位数 ___________． （2）证明：各数位上的数字之和能被整除的两位数能被整除． （3）探究三位数能被整除的条件，并说明理由． 例2．（24-25七年级上·全国·期末）表示两位数，表示三位数．若把放在的左边组成一个五位数记作；把放在的左边组成一个五位数记做，求证：是的倍数． 例3．（2022·安徽芜湖·模拟预测）阅读下列材料，完成后面的问题． 材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为1～9的自然数，b，c，d为0～9的自然数），我们可以将其表示为：； 材料2：把一个自然数（个位不为0）的各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数．我们称该数为原数的兄弟数．如数“123”的兄弟数为“321”． (1)四位数______；（用含x，y的代数式表示） (2)设有一个两位数，它的兄弟数比原数大63，请求出所有可能的数； (3)求证：四位数一定能被101整除． 变式1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明： 显然 能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 变式2．（24-25七年级上·河南周口·期中）如果一个三位数是583，我们知道百位数字为5，十位数字为8，十位数字为3，即583可表示为． 现有一个四位数：，如果千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，那么可构成一个新的四位数． (1)四位数可表示为______．（用含a，b，c，d的代数式表示） (2)如果，试说明；能被1111整除． 变式3．（2025·福建泉州·二模）设是一个四位数，下列说法正确的是（   ） A．若，则这个数是11的倍数 B．若，则这个数是11的倍数 C．若，则这个数是11的倍数 D．若，则这个数是11的倍数 变式4．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：如果一个两位数，个位上的数字是b，十位上的数字是a，那么我们可以把这个两位数简记为，． 材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为 ． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除． (1)填空：_______； (2)求证：能被11整除； (3)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它能被9整除，并说明理由． 题型9、整式的加减——新定义问题 例1．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 例2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 例3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）定义：若，则称、是“白马湖数”，例如：，因此和是一组“白马湖数”． (1)若与是一组“白马湖数”，求的值； (2)若、是一组“白马湖数”，求的值． 变式1．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）定义一种新运算．观察下列算式： ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______填“=”或“”）； (3)若，求的值． 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 变式3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 题型10、整式的加减——比较整式大小 例1．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 作差法 在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一、所谓“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号来确定它们的大小．例如，要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此． 任务： (1)比较大小：_________． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)已知，比较A与的大小关系． 例2．（24-25七年级下·广西贺州·期末）【阅读理解】我们在分析和解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要计算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】用上述方法，解决以下问题： （1）比较大小： ___________． （2）当时，比较与的大小，并说明理由． 【解决问题】 （3）图①是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图②所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图③所示的大正方形，此时大正方形的面积为． ①请判断与的大小关系，并说明理由； ②已知，则A与B的大小关系为：A___________B． 变式1．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 变式2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 变式3．（24-25七年级上·河南安阳·期末）阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式要比较大小，只要计算的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较大小： ；（填“”“”或“”） (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①则 ；（填“”“”或“”） ②若，，用作差法比较代数式与的大小；并结合数轴自行赋予合适的值，求出的值． 题型11、整式加减的实际应用 例1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数为 （用含的式子表示）． 例2．（24-25七年级上·广东广州·期中）为做好期末冲刺复习，某同学制作了一个“期末冲刺日历表”，从最后天起，将距离期末考试的天数填进了日历表里面，根据该日历表，回答以下问题：    (1)如图，用一个“十”字型的方框随机框住日历中的个数字，方框中所有数字之和为，正中间的数为，求与的数量关系； (2)如图，用一个“”型的方框随机框住日历中的个数，则该个数之和能否为，若能，求出“”型框中最大的数；若不能，请说明理由； (3)如图，用“”型的方框随机框住日历中的个数字，再用“倒”型方框随机框出个数字（所框数字可以重复），问：“”型框三个数之和与“倒”型框三个数之和能否相等？若能，请举出一组符合条件的例子；若不能，请说明理由． 例3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化． (1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）． 例4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）一公交车上原有人，中途下车一半人，又上车若干人后，车上共有乘客人，则上车的乘客有 人． 变式2．（2025·河北邯郸·二模）图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，一个长方形运动场被分割成A，A，B，B，C共5个区域，A区域是边长为的正方形，C区域是边长为的正方形． (1)①B区域长方形场地的长是___________m，宽是___________m； ②列式表示一个B区域长方形场地的周长，并将式子化简． (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当时，求整个长方形运动场的周长． 变式4．（24-25七年级上·北京·期中）出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 13元 （包含里程3公里，包含时长9分钟） 2元/公里 0.4元/分钟 0.6元/公里 （超过20公里后，加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：（元）． (1)若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费_____元． (2)若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为分钟． ①若，则小尧应付车费_____元；（用含a、b的代数式表示，并化简） ②若，则小尧应付车费_____元．（用含a、b的代数式表示，并化简） (3)小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算： (1) (2) 2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中满足． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）题中是小贤同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步的依据是_______．（填序号） ①等式的基本性质；②加法交换律；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)以上化简步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_____． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时，该整式的值． 5．（24-25七年级上·全国·期中）阅读材料： 我们已经学过整式的加减，我们还可以列竖式进行整式的加减运算，只要将参加运算的整式连同字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可．例如，计算时，我们可以用下列竖式计算： 即 这种方法叫做分离系数法，用分离系数法计算： (1)； (2)． 6．（24-25七年级上·北京·期中）若关于的多项式中不含一次项，则的值是 ． 7．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 8．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 9．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知． (1)求； (2)若（1）中式子的值与的取值无关，求的值． 10．（24-25七年级上·全国·单元测试）某教辅书中一道整式运算题的参考答案如下所示，部分答案破损看不见了，用“○”表示． 解：原式 ． (1)求破损部分的整式； (2)当，时，求破损部分整式的值． 11．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 12．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_______； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 13．（24-25七年级上·广东珠海·期中）小王在数学学习中发现：，，，，…而自然数12，27，33，45，……，这样的自然数都能被3整除． 猜想：如果一个自然数的所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并给出了当这个自然数为两位数时的说明如下： 如果一个两位数的十位、个位上的数字分别是a、b，那么记这个两位数为，于是． 而9a能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 据此回答下列问题： (1)用含a、b、c的代数式表示三位数 （其中a是百位数，b是十位数，c是个位数）； (2)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 14．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】若一个三位自然数十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，则称这个三位自然数为“好友数”，将这个“好友数”记为，交换个位上的数字和百位上的数字，得到一个与之对应的“好友数”，记为，称与为一对“好友数”．例如：253是“好友数”，因为；375不是“好友数”，因为；253与352为一对“好友数”． （1）判断187和692是不是“好友数”，并说明理由． 【数学理解】（2）设“好友数”的个位数字为，百位数字为，试用含，的代数式表示一对“好友数”与． 【拓展探索】（3）任意一对“好友数”的和都能被11整除吗？为什么？ 15．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算“☆”，对于任意有理数m，n有 (1)___________． (2)若，，求的值． 16．（24-25七年级上·广东江门·期中）对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 17．（23-24七年级上·云南红河·期末）阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 19．（24-25七年级上·四川成都·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式a、b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则．请你用“作差法”解决以下问题： (1)制作某产品有两种用料方案： 方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板； 方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板； A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 20．（2025·安徽·一模）甲、乙各收集一些废电池，如果甲再多收集6节，就是乙的2倍，若甲收集节，则两人一共收集 节废电池．（用含的整式表示） 21．（24-25七年级上·北京·期中）有三个植树队，第一队植树x棵，第二队植的树比第一队植的2倍少25棵，第三队植的树比第一队值的树的一半多2棵． (1)求三个队共植树的棵数； (2)当时，求第二队比第三队的植树棵数多多少棵． 22．（24-25七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 23．（24-25七年级上·河南商丘·期中）某超市在国庆假期期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 大于或等于200元但小于500元 八折优惠 大于或等于500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠 根据以上优惠条件完成下列任务． (1)若王老师一次性购物600元，则他实际付款多少元？ (2)若王老师在该超市一次性购物x元，则当x大于或等于500元时，他实际付款多少元？（用含x的代数式表示） (3)若王老师两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（），若两次分开付款，则王老师两次购物实际付款合计多少元？（用含a的代数式表示） 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，．下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 3．（24-25九年级下·重庆万州·期中）在两个整式，之间写上这两个整式之和，得到整式串：、、，看作第一次操作；再在、、每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，得到一个新的整式串，看作第二次操作；第三次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的；第四次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，…，则下列说法中： ①第二次操作得到整式串：，，，； ②第四次操作后的整式串的第四个整式为； ③第六次操作后的整式串中共有个整式65； ④当时，第2025次操作后得到的整式串中所有整式之和为2053351．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在一堂数学活动课上，“奋进”小组发现：如果一个数各数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．例如：，所以9207能被9整除． “奋进”小组的同学对该结论进行了证明．以两位数为例： 设一个两位数的个位数字为，十位数字为，若能被9整除，则该两位数也能被9整除． 证明：能被9整除， 设（为整数）， ， ， 为整数， 能被9整除，即该两位数能被9整除． “创新”小组发现：如果将一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，若差是7的倍数，则该整数能被7整除．例如：，所以294能被7整除． “创新”小组的同学想对该结论进行证明，以两位数为例： 设一个两位数的个位数字为，十位数字为，若能被7整除，则该两位数也能被7整除． (1)请你帮“创新”小组完成证明过程． (2)现有一个三位数，百位数字为3，十位数字为9，当其个位数字为多少时，该三位数能被7整除，请直接写出答案． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，数学兴趣小组提出一个猜想： 一个两位数，其十位数字大于个位数字，且个位数字不为0．将它的十位数字和个位数字交换位置之后，得到一个新的两位数．那么原数与新数的差等于原数的十位数字与个位数字之差，再乘以9的积． 例如：，先算，再算，即； ，先算，再算，即； 经过老师和同学们的探索和证明，发现数学兴趣小组的这一猜想是正确的． (1)若用（，且）表示一个两位数，其中表示十位数字，表示个位数字，则这个两位数________；该两位数的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新数________；（用含有、的式子表示） (2)通过计算（，且）的值，证明上述猜想的正确性； (3)下列结论正确的有________．（填序号） ①的值一定能被11整除； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在四位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数． 6．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为 ． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)①若，则 ； ②若，则 ； (2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 8．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 9．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）对于一个四位正整数（满足的整数），若，则称为“翼龙数”，例如：8466满足，所以8466是“翼龙数”，那么最小的“翼龙数”为 ；记为“翼龙数”的“转化数”，则当能被12整除，能被5整除时，最大的“翼龙数” ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 整式的加减及实际应用 题型探究 1 题型1、整式的加减——化简运算 1 题型2、整式的加减——化简求值 5 题型3、整式的加减——判断错误步骤及原因 10 题型4、整式的加减——不含某项 14 题型5、整式的加减——与某项的取值无关 20 题型6、整式的加减——遮挡问题 24 题型7、整式的加减——定值问题 28 题型8、整式的加减——整除问题 35 题型9、整式的加减——新定义问题 41 题型10、整式的加减——比较整式大小 46 题型11、整式加减的实际应用 51 基础通关 58 拓展提优 80 题型1、整式的加减——化简运算 例1．（24-25七年级上·湖南株洲·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案； （3）根据合并同类项的计算法则求解即可； （4）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例2．（24-25七年级上·北京·期中）化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 例3．（24-25七年级上·陕西西安·阶段练习）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的加减，熟练掌握整式加减法则是解题的关键； 根据整式的混合加减运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式 变式1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）化简： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号先去括号，然后再合并同类项． （1）先去括号，再合并同类项即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1） （2） . 变式2．（24-25七年级上·广东江门·期中）化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，熟练掌握去括号法则和合并同类项法则是解题的关键． （1）先去括号，然后再合并同类项即可； （2）先去括号，然后再合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 变式3．（24-25七年级上·北京·期中）化简 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （1）将式子去括号，合并同类项求解即可； （2）将式子去括号，合并同类项求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 变式4．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的加减运算，熟练掌握整式的加减运算是解题的关键；先去括号，然后再进行合并同类项即可． 【详解】解：原式， ， ． 题型2、整式的加减——化简求值 例1．（24-25七年级上·宁夏银川·期中）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)，3 (2)，81 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，一般先把所给整式去括号合并同类项，再把所给字母的值或代数式的值代入计算． （1）先合并同类项，然后把代入计算即可． （2）先去括号合并同类项，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， 当时， 原式； （2）解： ， 当时， 原式． 例2．（24-25七年级上·四川南充·期中）先化简，再求值：，其中x、y满足． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，非负数的性质，正确计算是解题的关键．先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出x、y的值，最后代值计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴原式． 例3．（24-25七年级上·重庆酉阳·期中）先化简，再求值：已知与是同类项，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟知同类项的定义是解答的关键．先根据整式的加运算法则化简原式，再根据同类项的定义求得a、b值，然后代值求解即可． 【详解】解： ， ∵与是同类项， ∴， 解得，， 原式． 例4．（24-25七年级上·广东广州·期中）已知，是两个多项式，其中，． (1)求多项式； (2)若为最大的负整数，的平方等于本身，先化简，再求的值． 【答案】(1) (2)，或 【分析】（1）根据已知和的表达式，利用的关系，通过去括号、合并同类项来求解； （2）先化简，再根据、的条件确定其值，代入化简后的式子计算结果 ． 本题主要考查了多项式的加减运算以及有理数的相关概念（最大负整数、平方等于本身的数 ），熟练掌握多项式加减运算的去括号、合并同类项法则，以及准确确定、的值是解题的关键． 【详解】（1）解： （2）解：为最大的负整数，的平方等于本身， ，或， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或． 变式1．（24-25七年级上·山东济宁·期中）先化简，再求值： (1)，其中，； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)，1 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）先去括号，再合并同类项，代值化简即可得到结果； （2）去括号，再合并同类项，整体代入，即可得到结果． 【详解】（1）解： 当，时 原式 ． （2） 当时， 原式． 变式2．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求代数式的值，其中，． 【答案】，8 【分析】本题考查了整式加减中的化简与求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键．利用整式加减的运算法则化简，再代入的值计算即可． 【详解】解： ， 代入，，原式． 变式3．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知多项式A，B，其中，马小虎同学在计算“”时，误将“”看成了“”，求得的结果为． (1)求多项式； (2)求； (3)当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则，本题属于基础题型． （1）根据可求出A； （2）依题意，，，根据整式的加法计算，即可求解； （2）将代入（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解： ， （3）当时，． 变式4．（24-25七年级下·四川成都·期中）化简求值：，其中a，b满足，a是最小的正整数，等腰三角形的三边长为3，6，b． 【答案】； 【分析】本题考查了整式的加减与化简求值，等腰三角形的定义，三角形三边关系；先根据整式的加减化简，再求得，，进而代入求值，即可求解． 【详解】解： ∵a是最小的正整数， ∴， ∵等腰三角形的三边长为3，6，b． 当时，，不能构成三角形， 当时，，能构成三角形， ∴ 当，时，原式． 题型3、整式的加减——判断错误步骤及原因 例1．（24-25七年级上·福建莆田·期中）下面是小乐同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解： 第一步 第二步 ．第三步 (1)任务1：填空： ①以上化简步骤中，第一步依据的运算律是_______； ②以上化简步骤中，第______步开始出现错误． (2)任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当时该整式的值． 【答案】(1)①乘法分配律；②二 (2)， 【分析】本题考查了整式的加减运算——化简求值，熟练掌握去括号以及合并同类项法则是解题的关键． （1）①观察第一步变形的过程，确定出依据即可；②找出出错的步骤，分析其原因即可； （2）原式去括号再合并同类项得到最简的结果，再把和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：①第一步依据的运算律是乘法分配律． 故答案为：乘法分配律 ②以上化简步骤中，第二步开始出现错误，具体错误是去括号时，括号前面是“－”号，括号内的第二项没有变号． 故答案为：二 （2） ． 当，时，原式． 例2．（24-25七年级上·湖南永州·期中）以下是小飞同学进行整式化简的过程，请根据下列化简步骤回答问题： 化简： 原式………………第一步 ………………第二步 ………………第三步 (1)以上步骤中第一步依据的运算律是________； A．加法结合律    B．乘法分配律    C．加法交换律 从第________步开始出现错误，出现错误的原因是________________； (2)请写出正确的化简过程，并计算当，满足，时该整式的值． 【答案】(1)C，二，括号前是负号，去括号时没有改变符号； (2)见解析，17． 【分析】根据小飞同学的化简过程可以看出：小飞同学第一步依据的运算律是乘法分配律，从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时没有改变符号； 根据去括号法则，括号前是负号去掉括号和括号前面的负号括号里面的各项都变号可得化简结果为，再把已知中所给出的、代入化简的结果计算即可． 【详解】（1）解：第一步依据的运算律是乘法分配律， 故应选：B； 从第二步开始出现错误，出现错误的原因是括号前是负号，去括号时没有改变符号， 故答案为：括号前是负号，去括号时没有改变符号； （2）解： ， ，， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了整式的加减、代数式的求值．整式的化简就是去括号、合并同类项，本题中求代数式的值时需要整体代入求值． 变式1．（24-25七年级上·北京·期中）下面是小岩整式化简的过程，请认真阅读并回答问题． ········第一步 ·········第二步 ． ··············第三步 (1)第一步的依据是_______________________________； (2)小岩的化简过程从第____步出现错误，出现错误的原因是______________________； (3)请写出正确的化简过程，并计算当，时该整式的值． 【答案】(1)分配律 (2)二；去括号后，括号内的第二项没有变号； (3)化简结果，求值结果为 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解题的关键在于能够熟练掌握整式的加减计算法则． （1）根据乘法分配律解答即可； （2）观察每一步发现，在第二步去括号的时候应该是； （3）按照整式的加减计算法则进行化简然后代值计算即可． 【详解】（1）解：的依据是乘法分配律， 故答案为：乘法分配律； （2）解： ········第一步 ·········第二步 ．··············第三步 ∴是从第二步开始出错的，错误的原因是去括号时没有变号； （3）解： ． 当，，原式． 变式2．（24-25七年级上·山西太原·期中）（1）化简：； （2）下面是小优同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务．         第一步         第二步 ．        第三步 任务1：填空： 以上化简步骤中，第________步开始出现错误，具体错误是________； 任务2：请直接写出该整式正确的化简结果，并计算当，时该整式的值 【答案】（1）；任务1：一，把括号前面的系数放进括号里面时，的系数没有乘以3；任务2：， 【分析】本题主要考查了合并同类项，整式的加减计算，整式的化简绝对值： （1）合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可； （2）任务1：第一步把括号前面的系数放进括号里面时，的系数没有乘以3，据此可得答案； 任务2：先去括号，然后合并同类项化简，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ； （2）任务1：观察解题过程可知，第一步开始出现错误，原因是把括号前面的系数放进括号里面时，的系数没有乘以3， 故答案为：一，把括号前面的系数放进括号里面时，的系数没有乘以3； 任务2： ， 当，时，原式． 题型4、整式的加减——不含某项 例1．（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）多项式合并同类项后不含项，则n的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查整式的加减，将该多项式合并同类项后，令的项的系数为0，求解即可． 【详解】解：多项式合并同类项后，为， ∵该式不含项， ∴， ∴． 故选：C 例2．（24-25七年级上·山东济宁·期中）关于、的多项式不含二次项，则的值是（   ） A． B．0 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了整式加减中的无关题型，掌握相关运算法则是解题关键．先去括号、合并同类项，再根据不含二次项求出、的值，再代入计算即可． 【详解】解： ， 多项式不含二次项， ，， ，， ， 故选：B． 例3．（24-25七年级下·甘肃兰州·期中）已知关于x、y的多项式 (1)若该多项式不含三次项，求m的值； (2)在（1）的条件下，当，时，求该多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式加减的化简求值，多项式的概念，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据去括号和合并同类项法则将多项式化简，再根据不含三次项可知，三次项的系数为0，即可求出m的值； （2）由（1）可得，该多项式为，再整体代入计算求值即可． 【详解】（1）解：， 该多项式不含三次项， ， ； （2）解：由（1）可得，该多项式为， 当，时， ． 例4．（24-25七年级上·广东佛山·期中）已知． (1)求的值； (2)若与互为相反数． ①求C的代数式； ②若，求C的值； (3)若的结果不含项，写出m与n的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)，理由见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，相反数的定义，非负数的性质，熟练掌握去括号法则与合并同类项法则是解本题的关键． （1）将A，B代入，合并同类项即可； （2）①若与互为相反数，则，进而可得；②利用平方和绝对值的非负性求出x和y的值，代入①中结论求值即可； （3）的结果不含项，则合并同类项后项的系数为0，由此可解． 【详解】（1）解： ； （2）解：①与互为相反数， ， ； ②，，， ，， ，， ，， ； （3）解：若的结果不含项，则，理由如下： ， 的结果不含项， ， ． 变式1．（24-25七年级上·四川南充·期中）若关于a、b的多项式与的和不含，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式的和中不含某项的条件；求出多项式的和为，由多项式中不含某项的条件，即可求解；理解“多项式中不含某一项就是使得这一项的系数为零．”是解题的关键． 【详解】解：由题意得 不含， ， 解得：， 故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·广西来宾·期末）若多项式和相减后不含二次项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式加减中的无关型问题，解一元一次方程等知识点，由“多项式和相减后不含二次项”得出是解题的关键． 先去括号，然后合并同类项，将整式整理为，由“多项式和相减后不含二次项”可得，解方程即可求出的值． 【详解】解： ， 多项式和相减后不含二次项， ， 解得：， 故答案为：． 变式3．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）关于的代数式化简后不含有项和常数项 (1)求和的值． (2)若，求：代数式的值． 【答案】(1)， (2)5 【分析】本题考查整式的乘法和加减运算、代数式求值． （1）先将已知代数式整理后，根据题意求得a、m值； （2）根据，求得n值，然后代值求解即可． 【详解】（1）解： ， 因代数式中不含项与常数项， ，， ，； （2）解：∵，，， ， ∴， 解得， ． 变式4．（24-25七年级下·北京顺义·阶段练习）已知，．若中只含有的项，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减中的无关型问题，先计算，再根据题意可得的值，即可解答，熟练计算是解题的关键． 【详解】解：， ， ， 中只含有的项， ， 解得， ． 题型5、整式的加减——与某项的取值无关 例1．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型，先去括号，再合并同类项，结合题意得出，求解即可． 【详解】解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴， 故答案为：． 例2．（24-25七年级上·全国·期中）已知关于x，y的多项式，若该多项式的取值与字母y无关，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式去括号合并后由结果与x、y的值无关，确定出a与b的值即可． 【详解】解： ， ∵多项式的取值与字母无关， ∴，， ∴，． 故答案为： 例3．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，满足，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减，非负数的性质，有理数的乘方运算，代数式求值，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据、多项式计算，再根据偶次方和绝对值的非负性，求出、的值，再代入化简即可； （2）先根据、多项式计算，再根据的值与的取值无关，求出、的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ， ，满足， ，， 解得：，， （2）解：，， ， 的值与的取值无关， ，， ，， 变式1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）已知代数式，． (1)求； (2)若单项式与单项式是同类项，求的值； (3)当m取何值时，的值与n的取值无关． 【答案】(1)； (2)28； (3)时，的值与n的取值无关． 【分析】本题考查了整式的加减运算，涉及到同类项概念的应用，熟练掌握整式加减运算法则是解题的关键． （1）把A，B的代数式代入中，去括号，合并同类项后，即可得到结果； （2）根据同类项的概念，得到m，n的值，代入中，得到结果； （3）根据题意，对变形，得到，得到m的值． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， 即； （2）解：∵单项式与单项式是同类项， ∴，， ∴ ； （3）解：， ∵的值与n的取值无关， ∴， ∴， 即时，的值与n的取值无关． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）已知，，且的值与y的值无关，求的值． 【答案】， 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，先根据整式的加减法则计算，进而得到含y的项的系数为0，即可求解． 【详解】解： ， ∵的值与y的值无关， ∴，， ∴，． 变式3．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）已知多项式的值与x的取值无关，求多项式的值． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减—无关题型、求代数式的值，先去括号，再合并同类项即可化简，根据题意得出，，再代入所求式子计算即可得解． 【详解】解： ， ∵多项式的值与x的取值无关， ∴，， ∴，， ∴． 题型6、整式的加减——遮挡问题 例1．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）老师在黑板上写下了关于的多项式混合运算，随后用一张纸板挡住了一个多项式，形式如下：． (1)求被遮挡的多项式； (2)当时，求被遮挡部分多项式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握整式加减的运算法则是解题的关键． （）列式表示出被遮挡的多项式，化简即可； （）把的值代入（）中结果求值即可； 【详解】（1）解：被遮挡的多项式； （2）解：当时， ． 例2．（23-24七年级上·四川自贡·期末）某教辅书中一道整式运算的参考答案，部分答案在破损处看不见了，形式如图： 解：原式〇 (1)求破损部分的整式； (2)若，求破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）设破损的整式为，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果； （2）利用非负数的性质求出与的值，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：设破损的整式为， 根据题意得： ； （2）解：∵， ，， 解得：，， 则原式． 例3．（22-23七年级上·河北唐山·期末）练习册上一道整式运算的参考答案破损看不见了，形式如下： 解：原式 (1)求破损部分的整式； (2)，，且时，求破损部分整式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关系式，去括号合并即可确定出所求； （2）利用，，且解出、以及把、的值代入（1）的结果中计算即可求出值． 【详解】（1）解：设破损部分的整式为， ； （2）解：∵， ∴， ∵ ∴， 则原式 ． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 变式1．（24-25七年级上·贵州铜仁·期中）小明在数学课上学习了整式的加减，放学后，他拿出课堂笔记，认真地复习课上学习的内容．突然，他发现一道题：被钢笔墨水弄污了，被弄污的地方应是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了整式的加减运算，先去括号，然后合并同类项即可得出答案． 【详解】解： ， 故被弄污的地方应是， 故选：C． 变式2．（23-24七年级上·河北唐山·期末）老师讲完整式的加减运算后，在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用书遮挡住了一部分算式（如图）． (1)求被书遮挡部分的整式． (2)当，时，求被书遮挡部分的代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式的加减的应用和求代数式的值． （1）根据题意列出算式，计算即可求解； （2）把，代入（1）的结果即可求解． 【详解】（1）解：被遮挡部分的整式为 ； （2）解：当，时， 原式 ． 变式3．（21-22七年级上·辽宁鞍山·期中）印卷时，工人不小心把一道化简题前面的一个数字遮住了，结果变成■. (1)某同学辨认后把“■”猜成10，请你算算他的结果是多少？ (2)老师说“你猜错了，我看到题目遮挡的数字是单项式的系数和次数之积”，那么被遮挡住的数字是几？ (3)若化简结果是一个常数，请你再算遮挡的数字又是多少？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把“■”换成10，原式去括号合并即可得到结果； （2）求出单项式的系数和次数之积，确定出遮挡部分即可； （3）设遮挡部分为a，原式去括号合并后，根据化简结果为常数，确定出a的值即可． 【详解】（1）解：根据题意得：原式＝ ＝ ＝； （2）解：是单项式的系数和次数之积为：， 答：遮挡部分应是； （3）解：设遮挡部分为a， 原式＝ ＝ ＝； 因为结果为常数，所以 所以遮挡部分为． 【点睛】此题考查了整式的加减和代数式的值与字母无关问题，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 题型7、整式的加减——定值问题 例1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）无论取何值，多项式的值不变，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】此题考查了整式加减中的无关型问题，熟练掌握整式加减的运算法则是关键．去括号合并同类项得到，根据题意得到，，即可得到答案． 【详解】解：原式展开并合并同类项： ∵无论取何值，多项式的值不变， ∴，， ∴，， 故选：A 例2．（24-25七年级上·湖南长沙·期中）如图所示，点A、B、C、D在数轴上对应的数分别为a、b、c、d，其中a是最大的负整数，b、c满足，且． (1) ； ；线段 ； (2)若点A以每秒3个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒5个单位长度的速度向左运动，设运动的时间为t秒，当A、C两点之间的距离为11个单位长度时，求运动时间t的值； (3)若线段和同时开始向右运动，且线段的速度小于线段的速度．在点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足，此时线段为定值吗？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)运动时间为12秒或1秒 (3)是， 【分析】本题主要考查了数轴上两点之间的距离，数轴上动点问题. （1）根据题意和平方绝对值的非负性可求出a，b，c，进而可求出和的值； （2）运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为，根据A、C两点之间的距离为11个单位长度列式求解即可； （3）设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b，根据题意表示出即可求解 【详解】（1）解：∵a是最大的负整数， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得：运动t秒后点A表示的数为，点B表示的数为， ∵A、C两点之间的距离为11个单位长度， ∴， ∴或， 解得：或， ∴运动时间为12秒或1秒； （3）解：线段为定值； 设运动时间为t秒，线段的速度为a，线段的速度为b， 则点A：，点B：，点C：，点D：， ∵点A和点C之间有一点M，始终满足，在点B和点D之间有一点N，始终满足， ∴，， ∴． 例3．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与的取值无关，求的值”．通常的解题方法是：把，看作字母，看作系数合并同类项，因为代数式的值与的取值无关，所以含项的系数为0，即原式，所以，则． (1)如果关于的多项式的值与的取值无关，那么的值为__________． (2)已知，，且的值与的取值无关，求的值． (3)有7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分(图中阴影部分)，设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当变化时，的值始终保持不变，求与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式加减运算和单项式乘以多项式的应用，解题关键是熟练掌握单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）计算，令，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】（1）解：关于的多项式， 关于的多项式的值与的取值无关， ， 即 故答案为：． （2），， ， 又的值与的取值无关， ， 即 （3）由题意得，阴影部分的面积， ， 当变化时，的值始终保持不变， ， 即． 变式1．（23-24七年级上·山东临沂·期末）数学课上，张老师出示了这样一道题目：“当时，求已知的值”．解完这道题后，小茗同学发现：“是多余的条件”．师生讨论后，一致认为小茗的发现是正确的．受此启发，张老师又出示了一道题目：无论取任何值，多项式的值都不变，则系数的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对多项式去括号，合并同类项，再由无论x，y取任何值，多项式的值都不变，可得关于a和b的方程，求解即可． 【详解】解： = = ∵无论取任何值，多项式的值都不变， ∴，， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了整式的加减-化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 变式2．（24-25七年级上·广东揭阳·阶段练习）如图1，这是某年月的月历表，用如图2所示的“Z”字形覆盖住月历表中的五个数，则这五个数从小到大依次为，，，，．这五个数的和能被5整除吗？为什么？ (1)甲同学设，请通过计算得出结论； (2)“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和能是吗？若能，求出5个数的值；若不能，说明理由； (3)小明受到启发，改编了下面一道题目，请解答：代数式的值是否为定值？若是，请求出它的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)能，理由见解析 (2)不能，理由见解析 (3)是， 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减和一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握整式的加减运算法则是解题的关键． （1）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，于是结论得证； （2）设，则，，，，根据题意得出五个数的和为，令，解得，则，根据月历中没有数值即可得出结论； （3）设，则，，，，然后代入，运用整式的加减运算法则求解即可． 【详解】（1）解：这五个数的和能被5整除，理由如下： 设，则，，，， ∴， ∵是5的倍数， ∴能被5整除， ∴这五个数的和能被5整除； （2）解：不能，理由如下： 设，则，，，， ∴， 当时， 解得：， ∴， ∵月历中没有数值， ∴“Z”字形覆盖住月历表中的五个数的和不能是； （3）解：代数式的值为定值，理由如下： 设，则，，，， ∴ ， ∴代数式的值为定值，它的值为． 变式3．（24-25七年级上·湖北恩施·阶段练习）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：如图1，若数轴上点、点表示的数分别为，则线段的长（点到点的距离）可表示为，请用上面材料中的知识解答下面的问题： 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点，再向右移动3个单位长度到达点，然后再向右移动5个单位长度到达点． (1)请在图2中表示出、、三点的位置； (2)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点、从点、点分别以每秒2个单位长度、每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动．设移动时间为秒． ①两点间的距离______； ②用含的代数式表示：秒时，点表示的数为 ，点表示的数为 ，点表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间的变化而变化？若变化说明理由：若不变，请求出的值． 【答案】(1)图见解析 (2)①3；②，，；③的值不随着时间的变化而变化，其值为12，理由见解析 【分析】本题考查了数轴、整式加减的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先根据数轴的性质求出点表示的数，再在数轴上表示出它们的位置即可得； （2）①根据数轴的性质求解即可得； ②根据点的运动方向和速度，结合数轴的性质求解即可得； ③根据（2）②的结论可求出，再计算整式的加减即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，点表示的数是，点表示的数是，点表示的数是． 则在图2中表示出三点的位置如下： ． （2）解：①∵点表示的数是，点表示的数是1， ∴， 故答案为：3； ②∵点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点表示的数为， ∵点从点分别以每秒2个单位长度，每秒3个单位长度速度沿数轴向右匀速运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：，，； ③的值不随着时间的变化而变化，其值为24，理由如下： ∵点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴，， ∴ ， 所以在移动的过程中，的值不随着时间的变化而变化，其值为12． 题型8、整式的加减——整除问题 例1．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）我们常用表示一个十位数字为，个位数字为的两位数，即用代数式表示．类似的，用代数式表示三位数 ___________． （2）证明：各数位上的数字之和能被整除的两位数能被整除． （3）探究三位数能被整除的条件，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了列代数式，整式的加减应用，解题的关键是正确列出代数式． （1）根据三位数的表示方法求解即可； （2）首先得出，然后根据能被3整除，能被3整除求解即可； （3）首先得出，进而求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 用代数式表示三位数； （2）∵，能被3整除，能被3整除， ∴能被3整除． （3）∵ ， 能被11整除， ∴若能被11整除，那么就能被11整除． 故能被11整除的条件是能被11整除（答案不唯一）． 例2．（24-25七年级上·全国·期末）表示两位数，表示三位数．若把放在的左边组成一个五位数记作；把放在的左边组成一个五位数记做，求证：是的倍数． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查列代数式，和整式的加减，根据题意列出代数式是解题的关键．分别用表示出，再整理得，即可证明． 【详解】证明：表示两位数，表示三位数， 把放在的左边组成一个五位数， 把放在的左边组成一个五位数， ， 是的倍数． 例3．（2022·安徽芜湖·模拟预测）阅读下列材料，完成后面的问题． 材料1：如果一个四位数为（表示千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d的四位数，其中a为1～9的自然数，b，c，d为0～9的自然数），我们可以将其表示为：； 材料2：把一个自然数（个位不为0）的各位数字从个位到最高位倒序排列，得到一个新的数．我们称该数为原数的兄弟数．如数“123”的兄弟数为“321”． (1)四位数______；（用含x，y的代数式表示） (2)设有一个两位数，它的兄弟数比原数大63，请求出所有可能的数； (3)求证：四位数一定能被101整除． 【答案】(1)1000x+10y+505 (2)18、29 (3)证明过程见详解 【分析】（1）依据材料1的方法即可作答； （2）先根据（1）的方法表示出和，在结合题意列出二元一次方程，化简得：，再根据x、y均是1至9的自然数即可求解； （3）利用（1）的方法表示出，依据a为1～9的自然数，b为0～9的自然数，可得10a+b必为整数，即命题得证． 【详解】（1）根据题意有：， 即答案为：； （2）∵，， 又∵， ∴， ∴， ∵根据题意有x、y均是1至9的自然数， ∴满足要求的x、y的数组有：（1,8）、（2,9）， ∴可能的数有18和29； （3）证明：∵， ∴， ∵a为1～9的自然数，b为0～9的自然数， ∴10a+b必为整数， ∴一定能被101整除， 命题得证． 【点睛】本题考查了列代数式和求解二元一次方程的整数解的知识，充分理解材料1、2所给的新定义是解答本题的关键． 变式1．（23-24七年级上·浙江台州·期末）【探究】（1）设是一个三位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 证明： 显然 能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 【应用】（2）设是一个四位数，若可以被9整除，试说明这个数可以被9整除． 【答案】（1），，（2）见解析 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据整式加减法则，进行填空即可； （2）仿照（1）中的证明方法，进行作答即可． 【详解】解：（1）证明： ； 显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除． 故答案为：，，； （2）证明： ， ∵能被整除， ∴若可以被9整除，则能被9整除． 变式2．（24-25七年级上·河南周口·期中）如果一个三位数是583，我们知道百位数字为5，十位数字为8，十位数字为3，即583可表示为． 现有一个四位数：，如果千位数字与个位数字对调，百位数字与十位数字对调，那么可构成一个新的四位数． (1)四位数可表示为______．（用含a，b，c，d的代数式表示） (2)如果，试说明；能被1111整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查正整数的代数式表示，整式的加法计算，正确表示是求解本题的关键． （1）千位数字百位数字十位数字个位数字即可表示． （2）表示，再利用说明能被1111整除． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）证明：根据题意，， ； 因为， 所以原式． 所以能被1111整除． 变式3．（2025·福建泉州·二模）设是一个四位数，下列说法正确的是（   ） A．若，则这个数是11的倍数 B．若，则这个数是11的倍数 C．若，则这个数是11的倍数 D．若，则这个数是11的倍数 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据四位数的意义用含字母的式子表示，然后拆解成11的倍数，再将不合适的代换成11的倍数，即可得解．把整式拆解成11的倍数表示是解题的关键． 【详解】解：由题意可知： ， 当这个数是11的倍数时， 可得是11的倍数， 当时，是11的倍数，故A符合题意； 当时，不是11的倍数，故B不符合题意； 当时，不是11的倍数，故C不符合题意； 当时，不是11的倍数，故D不符合题意； 故选：A． 变式4．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）阅读下列材料，解答下列问题： 材料一：如果一个两位数，个位上的数字是b，十位上的数字是a，那么我们可以把这个两位数简记为，． 材料二：一个三位数的百位、十位和个位上的数字分别是a，b，c，若能被3整除，求证：这个三位数也能被3整除． 证明：根据题意，得这个三位数为 ． 因为能被3整除，能被3整除， 所以这个三位数能被3整除． (1)填空：_______； (2)求证：能被11整除； (3)设是一个四位数，猜想满足什么条件时，它能被9整除，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当的和能被9整除时，能被9整除．理由见解析 【分析】本题考查了新定义运算在数字问题中的应用，数字整除性规律的证明，列代数式，整式的加减与变形，读懂定义并正确列式是解题的关键． （1）根据三位数的十进制规律即可列出其代数表达式； （2）将的表达式化简整理成积式，再根据整数的性质即可判断； （3）将的表达式化简整理成，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可得． 故答案为：． （2）证明：∵，， ∴， 因是的约数，故可被整除． （3）解：∵， ∵能被整除， ∴当的和能被9整除时，能被9整除． 题型9、整式的加减——新定义问题 例1．（24-25九年级下·甘肃平凉·期中）对于任意的有理数，如果满足，那么我们称这一对数为“相随数对”记为．若是“相随数对”则（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查整式的加减—化简求值，由题意得，整理得，即，然后将原式去括号，合并同类项后代入数值计算即可． 【详解】解：由题意得， 整理得， 则， ， 故选：A． 例2．（24-25七年级上·福建莆田·期中）如果整式和整式的和为一个常数，我们称、为常数的“和谐整式”．例如：和为数的“和谐整式”．若关于的整式与为常数的“和谐整式”．则常数的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减，解题的关键是理解和谐整式的概念，正确计算．根据题意得，则，解得，，将代入，进行计算即可得． 【详解】解：∵关于x的整式与为常数k的“和谐整式”， ∴， ， 则 解得，， ∴， 故答案为：． 例3．（24-25七年级上·陕西渭南·期末）定义：若，则称、是“白马湖数”，例如：，因此和是一组“白马湖数”． (1)若与是一组“白马湖数”，求的值； (2)若、是一组“白马湖数”，求的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题考查的是解一元一次方程，整式的化简求值，新定义． （1）设与是一组“白马湖数”，根据“白马湖数”的定义列式计算，得到答案； （2）根据“白马湖数”的定义得到，根据整式的加减混合运算法则把原式化简，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵与是一组“白马湖数”， ∴ 解得： （2）∵m、n是一组“白马湖数”， ∴， 则 ． 变式1．（24-25七年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）定义一种新运算．观察下列算式： ． (1)填一填：______，______； (2)若，则______填“=”或“”）； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查新定义运算，求代数式的值，整式的加减运算，准确掌握运算法则是解题的关键． （1）根据定义进行计算即可； （2）根据定义分别求出和，即可得到答案； （3）根据定义将化简，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，； （2）解：，， ， 故， 故答案为：； （3）解：， 即， ， ． 变式2．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 【答案】(1)③ (2)，，恒定差值为． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，解题的关键是正确理解题意． （1）两个多项式相减，判断差是否为常数即可； （2）两个多项式作差，令二次项系数和一次项系数为零，求出和的值，代入常数项，计算即可． 【详解】（1）解：∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴①不符合题意， ∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴②不符合题意， ∵，是常数， ∴与互为“恒定差多项式”， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵多项式与多项式（，，为常数）互为恒定差多项式， ， ∴为常数， ∴， 解得，，， ∴， ∴恒定差值为． 答：，，恒定差值为． 变式3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）已知a，b为有理数，现规定一种新的运算符号，定义．例如：，请根据符号的意义解答下列问题： (1)求的值； (2)若，求x的值； (3)若，，试判断m、n的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】（）根据新定义运算计算即可； （）根据新定义运算列出方程即可求解； （）根据新定义运算表示出，再利用作差法解答即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，整式的加减，解一元一次方程，理解新定义运算是解题的关键． 【详解】（1）解：； （2）解：∵ ∴， 解得； （3）解：，理由如下： ∵ ， ， ∴ ， ∴． 题型10、整式的加减——比较整式大小 例1．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 作差法 在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是将数或代数式进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一、所谓“作差法”就是通过作差、变形，利用差的符号来确定它们的大小．例如，要比较和的大小，我们可以用得到2．因为2大于零，所以大于零，因此． 任务： (1)比较大小：_________． (2)比较和的大小，并说明理由． (3)已知，比较A与的大小关系． 【答案】(1) (2)当时， ；当时， ；当时， (3) 【分析】本题考查了作差法比较大小，整式的加减运算，掌握作差法比较大小的方法是解题的关键． （1）利用作差法比较大小即可． （2）利用作差法比较大小即可． （3）利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：， ， 故答案为： ； （2）解：， 当时， ， 当时， ， 当时，； （3）解：， ∵任何数的平方都大于等于0，即， ∴， ． 例2．（24-25七年级下·广西贺州·期末）【阅读理解】我们在分析和解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，作差法就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小，即要比较代数式A，B的大小，只要计算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】用上述方法，解决以下问题： （1）比较大小： ___________． （2）当时，比较与的大小，并说明理由． 【解决问题】 （3）图①是边长为4的正方形，将正方形一组对边保持不变，另一组对边增加得到如图②所示的长方形，此长方形的面积为；将正方形的边长增加a，得到如图③所示的大正方形，此时大正方形的面积为． ①请判断与的大小关系，并说明理由； ②已知，则A与B的大小关系为：A___________B． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）①，理由见解析，②理由见解析 【分析】本题主要考查了代数式的大小比较，平方差公式的应用，作差法， 对于（1），计算，根据结果解答； 对于（2），计算，根据x，y的大小可得答案； 对于（3），①计算，可得答案； ②，整理得，再计算，则此题可解. 【详解】解：（1） 因为， 所以. 故填：； （2）. 理由如下： 因为, 所以. 所以, 所以； （3）①. 理由如下： 因为, 所以. 所以. ②因为, 所以，               所以. 故答案为：. 变式1．（2025·江苏南京·一模）若代数式，，则M和N的大小关系是（    ） A． B． C． D．与a的值有关 【答案】C 【分析】此题考查了整式的加减，以及非负数的性质，把M与N代入中计算，判断差的正负即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 变式2．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）阅读以下信息，解决问题； 信息 1：“作差法”是比较两个数或两个代数式大小的常用方法．如比较a、b两数的大小，若，则；若，则；若，则． 信息2：类似于运算符号“、、、”，新定义一种运算符号“”，规定： (1)若，求x的值． (2)若，，比较m与n的大小，并说明理由． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查了整式加减的应用，解一元一次方程，能灵活运用作差法进行计算是解此题的关键． （1）根据新定义，列式计算，得到结果； （2）先求出m、n的值，然后用作差法，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）解：∵，， ∴ ， ， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 变式3．（24-25七年级上·河南安阳·期末）阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式要比较大小，只要计算的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)比较大小： ；（填“”“”或“”） (2)已知有理数在数轴上的位置如图所示： ①则 ；（填“”“”或“”） ②若，，用作差法比较代数式与的大小；并结合数轴自行赋予合适的值，求出的值． 【答案】(1) (2)①；②；当，时， 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）利用作差法得到，即可得出答案； （2）①利用作差法得到，再根据即可得到答案； ②，再根据，即可得出，赋予合适的值，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）①解： ， 根据数轴可知：， ∴， ∴； ②∵，， ∴ ， 根据数轴可知：， ∴， ∴， 当，时， ． 题型11、整式加减的实际应用 例1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）为了增强学生体质，加强体育锻炼，学校组织了春季运动会；某班有47名同学分成三组进行列队表演，第一组有人，第二组比第一组的一半多6人，求第三组的人数为 （用含的式子表示）． 【答案】人 【分析】本题考查了列代数式，整式加减的应用，正确理解题中的数量关系是解题的关键；由第一组人数可表示出第二组人数，再根据三组总人数为47人，即可表示出第三组的人数，最后化简即可． 【详解】解：第二组人数为：人， 第三组人数为： 人 故答案为：人． 例2．（24-25七年级上·广东广州·期中）为做好期末冲刺复习，某同学制作了一个“期末冲刺日历表”，从最后天起，将距离期末考试的天数填进了日历表里面，根据该日历表，回答以下问题：    (1)如图，用一个“十”字型的方框随机框住日历中的个数字，方框中所有数字之和为，正中间的数为，求与的数量关系； (2)如图，用一个“”型的方框随机框住日历中的个数，则该个数之和能否为，若能，求出“”型框中最大的数；若不能，请说明理由； (3)如图，用“”型的方框随机框住日历中的个数字，再用“倒”型方框随机框出个数字（所框数字可以重复），问：“”型框三个数之和与“倒”型框三个数之和能否相等？若能，请举出一组符合条件的例子；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，理由见解析 (3)不能，理由见解析 【分析】本题围绕日历表中数字规律，通过设未知数表示方框内数字，利用整式运算和方程求解来解决问题． （1）根据“十”字型方框数字与中间数的位置关系表示各数并求和； （2）设“T”型方框中间数，同理表示各数求和后列方程判断； （3）设“V”和“倒V”型方框数字，分别求和后分析是否相等 ． 本题主要考查了日历表中数字的规律探索以及整式的加减运算、一元一次方程的应用，熟练掌握通过设未知数表示数，利用运算和方程解决规律与数量关系问题是解题的关键． 【详解】（1）解：设正中间的数为，上面的数为，左边的数为，右边的数为，下面的数为， ； （2）解：设正中间的数为，左边的数为，右边的数为，下面的数为，最下面的数为， ， ，解得， 没有个数之和为； （3）解：设“”型框三个数为，，， ， 设“倒”型框三个数为，，， ， “”型框三个数之和与“倒”型框三个数之和不相等． 例3．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）某小区的两块紧挨在一起的长方形空地的平面图如图所示（图中长度单位：m），现该小区管理者要在此空地上修建一个半圆形花圃，其余部分进行硬化． (1)求硬化部分的面积（用含x的代数式表示）； (2)当时，求硬化部分的面积（结果保留π）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、求代数式的值、整式的加减，根据图形正确列出代数式是解答的关键． （1）根据图形，阴影部分的面积是两个长方形的面积和减去半圆面积，进而化简可求解； （2）将代入（1）中代数式求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，阴影部分面积为 ； （2）解：当时，硬化部分的面积为． 例4．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）某地区实施阶梯电价制，居民生活用电（一户一表）价格方案如下： 档次 月用电量 电价（元/度） 第一档 月用电量度 第二档 200度月用电量400度 第三档 月用电量400度 例：若某用户2014年9月份的用电量为300度，则需缴电费为：（元）． (1)填空：如果小华家2014年9月份的用电量为100度，则需缴电费______元； (2)如果小华家2014年10月份的用电量为度（其中），则需缴电费多少元？（用含的代数式表示，并化简） (3)如果小华家2014年11、12两个月共用电600度，已知12月份的用电量比11月份多．设11月份的用电量为度，则小华家这两个月共需缴电费多少元？（结果可用含的代数式表示，并化简） 【答案】(1)50 (2)元 (3)元或310元 【分析】本题考查了列代数式及整式加减的应用，读懂图表信息是解题的关键． （1）根据题意选择第一阶梯电价列代数式求解即可； （2）根据题意选择第一阶梯和第二阶梯列代数式求解即可； （3）根据题意，先进行判断的取值范围，根据三种情况列代数式进行表示即可． 【详解】（1）解：（元） 故答案为：50； （2）解：根据题意得， 元， 答：用电量为度（其中），则需缴电费元； （3）解：∵12月份的用电量比11月份多， ∴，根据题意分以下几种情况： ①当时，共需缴费为 元； ②当时，共需缴费为 （元）； ③当时，共需缴费为 （元）； 综上，小华家这两个月共需缴电费元或310元． 变式1．（24-25七年级上·广东广州·期中）一公交车上原有人，中途下车一半人，又上车若干人后，车上共有乘客人，则上车的乘客有 人． 【答案】 【分析】先求出中途下车一半人后车上剩余的人数，再用最终车上的总人数减去剩余人数，从而得到上车的乘客人数，过程中涉及整式的加减运算．本题主要考查了整式的加减运算在实际问题中的应用，熟练掌握去括号、合并同类项的整式加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：公交车上原有人，中途有一半人下车， 剩下的人数， 上车的乘客有人 故答案为：． 变式2．（2025·河北邯郸·二模）图1是2025年1月份的日历表，任意框住如图2的4个数字，设位置2上的数字为x，则下列结论：①：位置1上的数字为；②：位置4上的数字为；③：位置3上的数字为；④：位置1、2、3、4上的4个数的和是4的倍数．其中正确的结论有（   ） A．①② B．②④ C．①③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查对日历中数字规律的观察与应用，以及整式的加减运算和倍数的判断．准确把握日历数字的排列规律是解题的关键．本题通过观察日历表中数字的排列规律，以位置2上的数字为基础，分别分析其余位置数字与x的关系．再将四个位置数字相加，判断其是否为4的倍数，从而确定每个结论的正确性． 【详解】解：设位置2上的数字为x， 则位置1上的数字为；故①错误， 位置4上的数字为，故②正确， 位置3上的数字为；故③错误， 方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数，故④正确． 故选：B． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）如图，一个长方形运动场被分割成A，A，B，B，C共5个区域，A区域是边长为的正方形，C区域是边长为的正方形． (1)①B区域长方形场地的长是___________m，宽是___________m； ②列式表示一个B区域长方形场地的周长，并将式子化简． (2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；当时，求整个长方形运动场的周长． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查列代数式和代数式求值，理解拼图中各个区域之间的关系是解决问题的关键． （1）①根据拼图中各个区域之间的关系得出答案； ②表示一个B区域长方形场地的长和宽，再求周长即可 （2）求出整个大长方形的长、宽，再求出周长，最后把代入计算即可． 【详解】（1）解：①根据图形各个区域之间的关系可得， B区长方形场地的长是，宽为， 故答案为：，； ②一个B区域长方形场地的周长为． （2）解：整个长方形运动场的长为，宽为， 因此，整个长方形运动场的周长为． 当时，． 故整个长方形运动场的周长为． 变式4．（24-25七年级上·北京·期中）出租车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表： 计费项目 起步价 里程费 时长费 远途费 单价 13元 （包含里程3公里，包含时长9分钟） 2元/公里 0.4元/分钟 0.6元/公里 （超过20公里后，加收远途费） 注：车费由起步价、里程费、时长费、远途费四部分构成． 例如，乘坐出租车，行车里程为25公里，行车时间为30分钟，则需付车费为：（元）． (1)若小淇乘坐出租车，行车里程为10公里，行车时间为20分钟，则需付车费_____元． (2)若小尧乘坐出租车，行车里程为a公里，行车时间为分钟． ①若，则小尧应付车费_____元；（用含a、b的代数式表示，并化简） ②若，则小尧应付车费_____元．（用含a、b的代数式表示，并化简） (3)小淇与小尧各自乘坐出租车去市区内某景点（汽车市区内限速40公里/小时），行车里程分别为19公里与22公里，受路况情况影响，小淇反而比小尧乘车时间多用18分钟，利用代数式的知识说明谁付的车费多． 【答案】(1)31.4 (2)①；② (3)见解析 【分析】（1）根据出租车计价规则列式计算即可； （2）①若，应付车费起步价超过3公里的里程费+超过9分钟的时长费； ②若，应付车费起步价超过3公里的里程费超过9分钟的时长费超过20公里后的远途费； （3）根据题意分别计算两人的车费，再作比较． 【详解】（1）（元）； （2）①当时，（元）； ②当时，（元）； （3）设小尧乘车时长为分钟，则小淇乘车时长为分钟． 小淇应付车费：（元）， 小尧应付车费：（元）， 因此，两人付费一样． 【点睛】本题考查有理数的混合运算的实际应用，列代数式、整式的加减运算的应用等知识，正确理解题意是解题关键． 1．（24-25七年级上·河北邢台·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，合并同类项：合并同类项时，只对同类项的系数进行加减计算，字母和字母的指数保持不变，据此求解即可． （1）先去括号，再合并同类项， （2）先去括号，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（24-25七年级上·广东惠州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了整式的加减－化简求值，先把所给整式去括号合并同类项，再把，代入计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 3．（24-25七年级上·重庆·期中）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】本题考查非负数偶次幂、绝对值的性质，整式的加减，掌握去括号、合并同类项法则是解题的关键．由非负数的性质可求出x、y的值，再将原式去括号、合并同类项化简后代入计算即可． 【详解】解：因为， 所以， 解得， 原式， ， ， 所以，原式， ． 4．（24-25七年级上·河南郑州·期中）题中是小贤同学进行整式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． …第一步 …第二步 …第三步 任务： (1)以上化简步骤中，第一步的依据是_______．（填序号） ①等式的基本性质；②加法交换律；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)以上化简步骤中，第______步开始出现错误，这一步错误的原因是_____． (3)请写出该整式正确的化简过程，并计算当，时，该整式的值． 【答案】(1)③ (2)二，去括号时，括号前面是“”号，去掉括号和“”号，括号内的第二项没有变号 (3)化简见解析，整式的值为 【分析】本题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则，和化简求值的步骤是解本题的关键． （1）观察第一步变形过程，确定出依据乘法分配律即可； （2）找出出错的步骤二，分析其原因去括号法则问题即可； （3）原式去括号合并得到最简结果，把x与y的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第一步的依据是乘法分配律， 故答案为：③； （2）解：以上化简步骤中，第二步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，，括号内的第二项没有变号， 故答案为：二，去括号时，括号内的第二项没有变号； （3）解： ， 当，时，． 5．（24-25七年级上·全国·期中）阅读材料： 我们已经学过整式的加减，我们还可以列竖式进行整式的加减运算，只要将参加运算的整式连同字母进行降幂排列，凡缺项则留出空位或添零，然后让常数项对齐（即右对齐）即可．例如，计算时，我们可以用下列竖式计算： 即 这种方法叫做分离系数法，用分离系数法计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式加减运算，理解题意，是解题的关键． （1）根据题干中提供的信息列出竖式进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息列出竖式进行计算即可． 【详解】（1）解：竖式： ∴； （2）解：竖式： ∴． 6．（24-25七年级上·北京·期中）若关于的多项式中不含一次项，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查整式加减中的无关型问题，去括号，合并同类项后，得到一次项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：， ∵多项式中不含一次项， ∴， ∴； 故答案为：． 7．（24-25七年级上·山东潍坊·阶段练习）（1）先化简，再求值：，其中与互为相反数． （2）若关于、的多项式不含二次项，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负性的性质求出x、y的值，最后代值计算即可得到答案； （2）先把原多项式合并同类项，再根据不含二次项，即二次项的系数为0求出m、n的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：（1） ， ∵与互为相反数， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴原式； （2） ， ∵关于、的多项式不含二次项， ∴， ∴， ∴． 8．（24-25七年级下·山西阳泉·开学考试）已知． (1)求； (2)若的值与y的取值无关，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减的化简求值， 对于（1），将代数式代入，再根据整式的加减法法则计算； 对于（2），先代入，再根据整式的加减法法则计算，然后根据与y的值无关，得其系数为0，求出答案即可． 【详解】（1）解：因为， 所以 ； （2）解：因为， 所以 . 因为的值与y的取值无关，所以， 解得：． 9．（24-25七年级上·陕西安康·期末）已知． (1)求； (2)若（1）中式子的值与的取值无关，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的混合运算，代入求值，整式加减无关项的计算，掌握整式的混合运算法则，无关项的含义是解题的关键． （1）根据整式的混合运算法则代入计算即可； （2）根据无关项的含义得到，含有a的项的系数为0，由此即可求解． 【详解】（1）解：， ∴ ； （2）解： ， ∵与的取值无关， ∴， 解得，． 10．（24-25七年级上·全国·单元测试）某教辅书中一道整式运算题的参考答案如下所示，部分答案破损看不见了，用“○”表示． 解：原式 ． (1)求破损部分的整式； (2)当，时，求破损部分整式的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】此题考查了整式的加减化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）设破损的整式为，由原式确定出关系式，去括号合并得到结果； （2）将与的值，代入计算即可得到结果． 【详解】（1）解：根据题意得，破损部分的整式为A， ． （2）解：当，时， ． 11．（24-25七年级上·广东广州·期中）某同学做一道数学题，已知两个多项式A，B，其中，试求．这位同学把误看成了，结果求出的答案为． (1)请你替这位同学求出的正确答案； (2)当x取任意有理数时，的值是一个定值，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算，整式加减中的无关型问题，熟知整式的加减计算法则是解题的关键． （1）根据，结合整式的加减计算法则求解即可； （2）根据，结合整式的加减计算法则求出的结果，再根据题意的值与x的取值无关，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴          ； （2）解： ，      ∵当x取任意有理数，的值是一个定值， ∴的值与x的取值无关， ∵， ∴， ∴． 12．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题：“代数式的值与x的取值无关，求a的值”．通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式，所以，则． 【理解应用】 （1）若关于x的多项式的值与x的取值无关，则m的值为_______； （2）已知，，且的值与x的取值无关，求n的值． 【能力提升】 （3）有7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照如图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为，左下角的面积为，设，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2） ；（3） 【分析】本题主要考查了整式加减运算和化简求值，解题关键是熟练掌握多项式乘以多项式，单项式乘以多项式法则． （1）先把多项式化简，根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （2）先求出，再根据多项式的值与x的取值无关可知：化简后的多项式含有x的项的系数为0，列出方程解答即可； （3）观察图形，求出，的长与宽，求出它们的面积，进而求出的差，进行判断即可． 【详解】解：（1）依题意：因为， ∵关于的多项式的值与的取值无关， ∴， ∴． （2）解：∵ ， ∵的值与的取值无关， 所以， 则． （3） 解：依题意，由图形可知：，， ∴， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴．即． 13．（24-25七年级上·广东珠海·期中）小王在数学学习中发现：，，，，…而自然数12，27，33，45，……，这样的自然数都能被3整除． 猜想：如果一个自然数的所有数位之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．并给出了当这个自然数为两位数时的说明如下： 如果一个两位数的十位、个位上的数字分别是a、b，那么记这个两位数为，于是． 而9a能被3整除，因此如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 据此回答下列问题： (1)用含a、b、c的代数式表示三位数 （其中a是百位数，b是十位数，c是个位数）； (2)类比上述的过程，尝试说明：如果一个三位数的所有数位之和能被9整除，那么这个三位数就能被9整除． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，即可求解 （2）根据整式加减法则，仿照例题进行计算即可． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：． （2）证明： ； ∵能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． 14．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）【知识技能】若一个三位自然数十位上的数字等于个位上的数字与百位上的数字之和，则称这个三位自然数为“好友数”，将这个“好友数”记为，交换个位上的数字和百位上的数字，得到一个与之对应的“好友数”，记为，称与为一对“好友数”．例如：253是“好友数”，因为；375不是“好友数”，因为；253与352为一对“好友数”． （1）判断187和692是不是“好友数”，并说明理由． 【数学理解】（2）设“好友数”的个位数字为，百位数字为，试用含，的代数式表示一对“好友数”与． 【拓展探索】（3）任意一对“好友数”的和都能被11整除吗？为什么？ 【答案】（1）187是“好友数”，692不是“好友数”，理由见解析；（2）“好友数”为，为；（3）都能被11整除，理由见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的加减运算，解题的关键是能够理解“好友数”的定义，以及表示出一对“好友数”． （1）根据“好友数”的定义分别验证即可； （2）首先求出十位数字为，然后根据三位数的表示方法求解即可； （3）设一个“好友数”的百位数字为x，个位数字为y，表示出一对“好友数”，相加，根据结果判断即可． 【详解】解：（1）在187中，， 则187是“好友数”； 在692中，， 则692不是“好友数”； （2）∵设“好友数”的个位数字为，百位数字为， ∴十位数字为， ∴“好友数”为， ∴“好友数”的个位数字为，百位数字为，十位数字为， ∴“好友数”为； （3）设一个“好友数”的百位数字为x，个位数字为y，则十位数字为， 则该“好友数”为， 则另一个“好友数”为， ∴两数之和为， 故任意一对“好友数”的和能被11整除． 15．（24-25七年级上·北京·期中）定义新运算“☆”，对于任意有理数m，n有 (1)___________． (2)若，，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了新定义的整式运算． （1）根据新定义计算即可； （2）先根据新定义计算得到，在将，代入计算即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∵，， ∴． 16．（24-25七年级上·广东江门·期中）对于，，定义，若，则称与是关于1的“对称数”． (1)填空：7与_________是关于1的“对称数”，与_________是关于1的“对称数”． (2)若，，判断与是不是关于1的“对称数”，并说明理由． (3)已知，，其中，均为常数，且无论取何值，与都是关于1的“对称数”，求，的值． 【答案】(1)， (2)是，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了新定义的运算，解题的关键是熟练掌握整式的加减混合运算法则和运算顺序． （1）根据题中所给关于1的“对称数”的定义，即可进行解得； （2）将a和b相加，看结果是否为2，若为2，则与是关于1的“对称数”，否则不是； （3）根据无论取何值，A与都是关于1的“对称数”可得的结果等于2，且含有x的项系数为0，即可进行求解． 【详解】（1）解：设7与m是关于1的“对称数”， 则，解得， 设与n是关于1的“对称数”， 则，解得：， 故答案为：，． （2）是，理由如下： ， ∴与是关于1的“对称数”． （3） ∵无论取何值，A与都是关于1的“对称数”， ∴， ∴． 17．（23-24七年级上·云南红河·期末）阅读与思考：在某些数学问题中，我们经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的方法一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的转化方法之一． 作差法：通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小． 对于任意的两个代数式A、B要比较大小，只要计算A-B的值，即若，则； 若，则；若，则．反过来也成立． 解决问题：例如比较和的大小，我们可以用，即． 依据上面的方法，完成下列问题： (1)若，则________；（填“”“”或“”） (2)比较与的大小； (3)已知，若，用作差法比较代数式A与B的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了整式的加减计算： （1）利用作差法得到，再根据即可得到答案； （2）利用作差法得到，再由即可得到答案； （3）利用作差法得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 18．（24-25七年级上·四川成都·期末）对于任意的有理数、、、，我们约定．例如：．根据我们的约定，解答下列问题： (1)计算：； (2)若，求的值； (3)试比较与的大小． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题考查了定义新运算、一元一次方程、整式的加减，理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义计算即可； （2）根据新定义进行化简，得到，求解方程即可得出的值； （3）先根据新定义进行化简，得出，，再利用作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：． （2）解：， ， ， 解得：， 的值为． （3）解：， ， ， ． 19．（24-25七年级上·四川成都·期中）我们在分析解决某些数学问题时经常要比较两个数或整式的大小．而解决问题的策略一般要进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形、并利用差的符号来确定它们的大小，即要比较代数式a、b的大小，只要求出它们的差，若，则；若，则；若，则．请你用“作差法”解决以下问题： (1)制作某产品有两种用料方案： 方案一：用3块A型钢板，用7块B型钢板； 方案二：用2块A型钢板，用8块B型钢板； A型钢板的面积比B型钢板的面积大，设每块A型钢板的面积为x，每块B型钢板的面积为y，从省料角度考虑，应选哪种方案？ (2)试比较图1和图2中两个矩形周长的大小． 【答案】(1)从省料角度考虑，应该选方案二； (2)时，图形1的周长大于图形2的周长；时，图形1的周长等于图形2的周长；时，图形1的周长小于图形2的周长． 【分析】此题考查了整式的加减，作差法比较大小，理解题中作差法比较大小是解答的关键． （1）先计算每种方案的耗材面积，作差与零的大小比较即可． （2）先计算每种图形的周长，分三种情况，当时，当时，当时分别作差，比较大小即可． 【详解】（1）根据题意，得 方案一：耗材面积为；方案二：耗材面积， 且即， ∵， ∴． ∴从省料角度考虑，应该选方案二． （2）根据题意， 图形1的周长为， 图形2的周长为， 且， ∵， ∴当时，即图形1的周长大于图形2的周长； ∴当时，即图形1的周长等于图形2的周长； ∴当时，即图形1的周长小于图形2的周长． 20．（2025·安徽·一模）甲、乙各收集一些废电池，如果甲再多收集6节，就是乙的2倍，若甲收集节，则两人一共收集 节废电池．（用含的整式表示） 【答案】 【分析】根据数量关系甲再多收集6节，电池个数就是乙的2倍，可求乙收集了节废电池，再把它们相加得出代数式即可． 【详解】解：由题意，得 （节） 答：两人一共收集(节)． 故答案为：． 【点睛】本题考查列代数式，整式的加减法，找出数量关系列数式子是解决问题的关键． 21．（24-25七年级上·北京·期中）有三个植树队，第一队植树x棵，第二队植的树比第一队植的2倍少25棵，第三队植的树比第一队值的树的一半多2棵． (1)求三个队共植树的棵数； (2)当时，求第二队比第三队的植树棵数多多少棵． 【答案】(1)三个队共植树的棵数为棵 (2)第二队比第三队的植树棵数多3棵 【分析】本题主要考查整式的加减的应用，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据题意表示出第二队植的树和第三队植的树，然后将三个队植的树相加即可； （2）用第二队植的树减去第三队植的树，然后代数求解即可． 【详解】（1）∵有三个植树队，第一队植树x棵， 根据题意得，第二队植树棵，第三队植树棵， ∴ ∴三个队共植树的棵数为棵； （2） 当时，原式 ∴第二队比第三队的植树棵数多3棵． 22．（24-25七年级下·北京·期末）在日历图中有许多奥秘，如图是某月的日历，请仔细观察并思考下列问题： （1）课上我们探究了“3×3”型框架问题，如图框住的九个数的和与正中间数的关系为 ； （2）我们还可以用如图所示的“X”字型框架任意框住日历中的5个数（如图中的阴影部分），探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系． 例如图中“”字型框架框住的五个数的和为： 2+4+10+16+18=50， 5+7+13+19+21=65； 设“”字型框架中正中间数为m，探究“”字型框架中的五个数的和与正中间数的关系，请利用所学知识说明理由； （3）如图所示的“”字型框架框住的五个数之和可以是120吗？如果可以，请写出正中间的数；如果不可以，请说明理由． 【答案】（1）这九个数的和是正中间数的9倍（2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由见详解（3）五个数之和不可以是120，理由见解析 【分析】本题主要考查了有理数加法计算，整式的加减计算，解题的关键是理解题意，列出代数式． （1）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （2）根据题意，表示出各数，列出代数式求解即可； （3）根据题意，求出正中间数，再求出最大的数进行判断即可． 【详解】解：（1）设正中间的数为， 则这9个数依次为， ∴这9个数的和为， 所以，这九个数的和与是正中间数的9倍； （2）这五个数的和是正中间数的5倍，理由如下： 设“X”字型框架中正中间数为m，则这5个数依次为， ∴这5个数的和为， 所以，这五个数的和是正中间数的5倍； （3）五个数之和不可以是120，理由如下： ∵， ∴最大的数为，不符合题意， 所以，五个数之和不可以是120． 23．（24-25七年级上·河南商丘·期中）某超市在国庆假期期间对顾客实行优惠，规定如下： 一次性购物 优惠办法 少于200元 不予优惠 大于或等于200元但小于500元 八折优惠 大于或等于500元 其中500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠 根据以上优惠条件完成下列任务． (1)若王老师一次性购物600元，则他实际付款多少元？ (2)若王老师在该超市一次性购物x元，则当x大于或等于500元时，他实际付款多少元？（用含x的代数式表示） (3)若王老师两次购物货款合计900元，第一次购物的货款为a元（），若两次分开付款，则王老师两次购物实际付款合计多少元？（用含a的代数式表示） 【答案】(1)元 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了列代数式，根据题意列出代数式并计算求值是解本题的关键， （1）根据，500元部分按九折优惠计算，超过500元部分按八折优惠计算即可； （2）时，则500元部分按九折优惠计算，超过500元部分按八折优惠计算即可； （3）分别计算第一实际付款和第二次实际付款，再求实际总付款． 【详解】（1）解：， ， 实际付款为：（元）； （2）∵， ∴500元部分给予八折优惠，超过500元部分给予七折优惠 ∴实际付款为：（元）； （3）解：王老师第一次实际付款：元 王老师第二次实际付款：元， 两次购物实际付款为：（元）． 1．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）已知，，，为常数，，，若的取值与无关，是不含的多项式，且恒成立，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了整式的加减、代数式求值，解决本题的关键是求出、．根据题意，求出，且的取值与无关，所以，，即，；，因为是不含的多项式，所以，即；因为，将、、代入到式子中，可得，即，因为式子恒成立，所以，即，将、、、代入求出． 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为的取值与无关， 所以，， 得：，； ； 因为是不含的多项式， 所以， 即， 因为， 即， ， 因为该式子恒成立， 所以， 即， ． 故选：A． 2．（24-25七年级下·安徽蚌埠·期中）在数学著作《算术研究》一书中，对于任意实数，通常用表示不超过的最大整数，如：，，．下列说法正确的是(    ) A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的基本性质，新定义的理解，准确按照新定义进行运算是解本题的关键．根据不同范围，选择特定值进行计算,按照新定义进行计算即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 故选：C． 3．（24-25九年级下·重庆万州·期中）在两个整式，之间写上这两个整式之和，得到整式串：、、，看作第一次操作；再在、、每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，得到一个新的整式串，看作第二次操作；第三次操作就在第二次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的；第四次操作就在第三次操作基础上，每相邻两个整式之间写上这两个整式之和的，…，则下列说法中： ①第二次操作得到整式串：，，，； ②第四次操作后的整式串的第四个整式为； ③第六次操作后的整式串中共有个整式65； ④当时，第2025次操作后得到的整式串中所有整式之和为2053351．正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探究，整式的加减运算；根据新定义计算第二次操作得到整式串，即可判断①，同理计算第四次操作得到的整式串，即可判断②，根据规律，每一次是前一次数量的2倍少1个，进而求得总数量，即判断③和④， 【详解】解：第一次操作得到整式串：、、，共有个整式， ①第二次操作得到整式串：，，，，，故①不正确，共有个整式， 第三次操作得到整式串：，，，，，，，，，共有个整式， 第四次操作得到整式串：，，，，，，共有个整式，； ……，第次操作得到整式串共有个整式 ②第四次操作后的整式串的第四个整式为，故②正确； ③第六次操作后的整式串中共有个整式，故③正确 ④第一次操作得到整式串：、、，其和为 第二次操作得到整式串：，，，，，其和为， 第三次操作得到整式串：，，，，，，，，，其和为， ……， 第次操作得到整式和为： 当时，第次操作后得到的整式串中所有整式之和为，故④不正确． 故选：B． 4．（23-24八年级上·山西临汾·期中）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在一堂数学活动课上，“奋进”小组发现：如果一个数各数位上的数字之和能被9整除，那么这个数就能被9整除．例如：，所以9207能被9整除． “奋进”小组的同学对该结论进行了证明．以两位数为例： 设一个两位数的个位数字为，十位数字为，若能被9整除，则该两位数也能被9整除． 证明：能被9整除， 设（为整数）， ， ， 为整数， 能被9整除，即该两位数能被9整除． “创新”小组发现：如果将一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数字的2倍，若差是7的倍数，则该整数能被7整除．例如：，所以294能被7整除． “创新”小组的同学想对该结论进行证明，以两位数为例： 设一个两位数的个位数字为，十位数字为，若能被7整除，则该两位数也能被7整除． (1)请你帮“创新”小组完成证明过程． (2)现有一个三位数，百位数字为3，十位数字为9，当其个位数字为多少时，该三位数能被7整除，请直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)2或9 【分析】本题考查了列代数式、有理数的混合运算，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）设（为整数），则，表示出进行判断即可得到答案； （2）设个位数字为，根据题意得：，即能够被7整除，进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：能被7整除， 设（为整数）， ， ， 为整数， 能被7整除，即该两位数能被7整除． （2）解：设个位数字为， 根据题意得：， 能够被7整除， 当时，，能被7整除， 当时，，能被7整除， 综上所述，其个位数字为2或9． 5．（24-25七年级上·吉林长春·期末）数学活动课上，数学兴趣小组提出一个猜想： 一个两位数，其十位数字大于个位数字，且个位数字不为0．将它的十位数字和个位数字交换位置之后，得到一个新的两位数．那么原数与新数的差等于原数的十位数字与个位数字之差，再乘以9的积． 例如：，先算，再算，即； ，先算，再算，即； 经过老师和同学们的探索和证明，发现数学兴趣小组的这一猜想是正确的． (1)若用（，且）表示一个两位数，其中表示十位数字，表示个位数字，则这个两位数________；该两位数的十位数字和个位数字交换位置后，得到的新数________；（用含有、的式子表示） (2)通过计算（，且）的值，证明上述猜想的正确性； (3)下列结论正确的有________．（填序号） ①的值一定能被11整除； ②在三位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数； ③在四位数中，若满足是11的倍数，则是11的倍数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①② 【分析】本题主要考查了用字母表示数、整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）利用两位数的表示方法是十位数字乘以，加上个位数字即可得解； （2）通过计算得，以此即可证明猜想； （3）结合（2）的方法，逐个通过计算判断即可； 【详解】（1）解：两位数：两位数 故答案为：；， （2）证明： 即原数与新数的差等于原数的十位数字与个位数字之差，再乘以9的积，猜想正确； （3）解：① 所以的值一定能被整除，该结论正确． ②，为整数， 是11的倍数，该结论正确； ③， ， 故不是11的倍数，该结论错误； 正确的有：①② 故答案为：①② 6．（24-25七年级下·福建泉州·期中）如图，这是2025年1月的月历，其中“”形、“”形两个阴影图形均覆盖四个数字，它们在框内可上下左右移动，可重叠．设“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为；“”形阴影图形覆盖的最小数字为，四个数字之和为．若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，可得，，即可由得，进而得到，最后取的最大值为代入计算即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：设“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，，“”形阴影图形覆盖的四个数分别为，，，， 则，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，都是正整数，由日历表，可知的最大值为，此时，取得最大值，最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 7．（24-25九年级上·福建厦门·期中）若一个两位数十位、个位上的数字分别为m，n，我们可将这个两位数记为，易知；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)①若，则 ； ②若，则 ； (2)交换任意一个两位数的个位数字与十位数字，可得到一个新数，则一定是9的倍数吗？试着利用整式的运算说明你的结论； (3)北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数，再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为 ； ②设任选的三位数为（不妨设），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】(1)①；②297 (2)是，说明见解析 (3)①495；（2）见解析 【分析】本题考查了新定义，整式的加减，有理数的减法，理解新定义是解答本题的关键． （1）①②按定义列式求解即可； （2）按定义式子展开化简即可； （3）①任选一个三位数，然后根据题中所给的规则继续计算即可求得答案；； ②按定义式子化简，注意条件的应用，化简到出现循环数495即可． 【详解】（1）①∵， ∴ ； 故答案为：； ②∵， ∴ ． 故答案为：297； （2）∵， ∴一定能被9整除； （3）①若选的数为325，则用，以下按照上述规则继续计算， ， ， ， ， 故答案为495； ②当任选的三位数为时，第一次运算后得： ， 结果为99的倍数，由于，故， ∴，又， ∴， ∴，3，4，5，6，7，8，9， ∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到： ，，，， 故都可以得到该黑洞数495． 8．（24-25七年级下·天津河西·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格，其规则是将数字填在正方形格子中，使每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．例如图①就是一个幻方． （I）图②是一个未完成的幻方，则的结果为 ；（II）图③中的为 （用含的式子表示） 【答案】 12 【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组应用． 根据每一行、每一列和两条对角线上的3个数字的和都相等．可知有公共单元格的横竖斜行的其他两个数和相等，据此求出未知第三格的数值（或用代数式表示），最后列出方程（组）求解即可． 【详解】解：∵每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． 由图②中，， ∴， ∴ 解得： ∴， 由图③中，设每一横行，每一坚列以及两条对角线上的3个数之和都相等． ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， 又∵，∴， ， ∴ 故答案为：12；． 9．（24-25七年级下·重庆忠县·期末）对于一个四位正整数（满足的整数），若，则称为“翼龙数”，例如：8466满足，所以8466是“翼龙数”，那么最小的“翼龙数”为 ；记为“翼龙数”的“转化数”，则当能被12整除，能被5整除时，最大的“翼龙数” ． 【答案】 2112 5351 【分析】本题考查了定义新运算，整式的加减运算，有理数的混合运算，理解题意，整式加减，有理数的混合运算法则是关键． 根据题意给定的“翼龙数”的计算方法，结合整式的加减，有理数的混合运算，分类讨论即可求解． 【详解】解：一个四位正整数（满足的整数），，称为“翼龙数”， 求最小的“翼龙数”，则千位的值最小，且， ∴最小为，则， ∴， 满足此算式的的值可以是， ∴保证该“翼龙数”最小，则， ∴， 验证：，符合题意， ∴最小的“翼龙数”为； 设“翼龙数”，即， ∴转换数， ∴ ， ∵， ∴， ， ∴， ∵当能被12整除，能被5整除， ∴是的倍数，是的倍数， ∵要考虑是最大的“翼龙数”， ∴当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； ， 同理，可得当时，，符合题意； ∴， ∵，即， ∴， 当最大为时， ，该数是的倍数， ∴当（为正整数）时，即，则，则时，均不为整数，故不符合题意； 当最大为时，即，则，则时，，符合题意； ∴的最大值为， ∴， ∴的值可以是和，和，和的组合， 其中最大的为， ∴最大的“翼龙数”， 故答案为：①；② ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$