14.3 角的平分线 课时2 角的平分线的判定 课件 2025—2026学年人教版八年级数学上册

第十四章 全等三角形 14.3 角的平分线 课时2 角的平分线的判定 目 录 1. 学习目标 3. 知识点1 角平分线的判定 5. 课堂小结 2. 新课导入 4. 知识点2 三角形的角平分线的性质(拓展) 6. 当堂小练 CONTENTS 8. 拓展与延伸 7. 对接中考 1. 探究并证明角的平分线的判定. 2. 会用角的平分线的判定解决问题. 3. 熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用. 学习目标 知识回顾 角的平分线上的点到角两边的距离相等. ∵ OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ PD=PE. 几何语言： 角平分线的性质： 角的平分线的性质的两个必要条件： (1) 点在角平分线上； (2) 这个点到角两边的距离即点到角两边的垂线段的长度. 两者缺一不可. 新课导入 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等.反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？ 如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，并且离公路与铁路的交叉处500m.这个集贸市场应建于何处？ 新课讲解 知识点1 角平分线的判定 探究 已知：角的内部的一个点到这个角两边的距离相等. 求证：这个点在这个角的平分线上. 已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. 证明：如图，过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDO=∠PEO= 90°. 在 Rt△OPD和Rt△OPE中， ∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL）. C OP=OP， PD=PE， ∴∠AOC=∠BOC. ∴点P在∠AOB的平分线上. 新课讲解 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 如图，∵ P为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上，即 OP 平分∠AOB. 几何语言： 角平分线的判定定理： 特别提醒 1.使用该判定定理的前提是这个点必须在角的内部. 2.角的平分线的判定是由两个条件(垂线，线段相等)得到一个结论(角平分线). 3.角的平分线的判定定理是证明两角相等的重要依据，它比利用三角形全等证两角相等更方便快捷. 新课讲解 角的平分线上的点到角两边的距离相等； 从上面两个结论可以看出： 角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 所以在角的内部，角的平分线（顶点除外）可以看成到角两边距离相等的所有点的集合. 例 新课讲解 1. 如图，BE=CF，BF⊥ AC 于点F，CE ⊥ AB 于点E，BF 和CE 交于点D.求证：AD 平分∠ BAC. 思路导引： 证明：∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB， ∴∠ DEB= ∠ DFC=90°. 在△ BDE 和△ CDF 中， ∠ BDE= ∠ CDF， ∠ DEB= ∠ DFC， BE=CF， ∴△ BDE ≌△ CDF(AAS). ∴ DE=DF. 又∵ BF ⊥ AC，CE ⊥ AB， ∴ AD 平分∠ BAC. 例 新课讲解 2. 已知：如图，BP，CP分别是△ ABC 的外角平分线，PM ⊥ AB 于点M，PN ⊥ AC 于点N．求证：AP 平分∠ MAN． 思路导引： 同理可得PN=PD， ∴ PM=PN. 又PM ⊥ AB，PN ⊥ AC， ∴ AP 平分∠ MAN． 证明：作PD ⊥ BC 于点D， ∵ BP 是∠ MBC 的平分线， PM ⊥ AB，PD ⊥ BC， ∴ PM=PD， 新课讲解 练一练 证明：∵D是BC的中点， ∴BD=CD, 又∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°， 在Rt△BDE和Rt△CDF中， 1. 如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF. 求证：AD平分∠BAC. BD=CD， BE=CF， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL), ∴DE=DF, 又DE⊥AB，DF⊥AC， ∴AD平分∠BAC. 新课讲解 练一练 2. 如图，∠AOB＝60 ，P是射线OC上的一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，M，N分别是OA与OB上的点，DM＝EN，∠MPN＝120.求证：OC是∠AOB的平分线. 证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴∠PDM＝∠PEO＝∠PEN＝90. ∵∠DOE＋∠PDO＋∠DPE＋∠PEO＝360， ∠AOB＝60， ∴∠DPE＝120. ∴∠DPM＋∠MPE＝120. 又∵∠MPE＋∠NPE＝∠MPN＝120， ∴∠MPD＝∠NPE. 新课讲解 角的平分线的判定定理与性质定理的关系 (1) 都与距离有关，即条件PD ⊥ OA，PE ⊥ OB 都具备； (2)点在角的平分线上 (角的内部的)点到角两边的距离相等. 知识点2 三角形的角平分线的性质(拓展) 新课讲解 上一章我们学过：三角形的三条角平分线交于三角形内部一点，这一点我们称为三角形的内心. 探究 过交点分别作三角形三边的垂线，测量一下每一组垂线段，从大小上你能观察出什么结论？ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ ┐ A B C A B B C A C 例 新课讲解 证明： (1)如图，过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， ∴PD=PE. 同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 3. 如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证： (1)点P到三边AB，BC，CA的距离相等. (2)△ABC的三条角平分线交于一点. A B C P N M E D F (2)由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等， ∴点 P 在∠A 的平分线上 . ∴△ABC 的三条角平分线交于一点 . 三角形三条角平分线的交点（三角形的内心）到三角形三条边的距离相等. 反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点（三角形的内心）. 归纳 例 新课讲解 4. 如图， 在△ ABC 中，点O 是∠ ABC，∠ ACB 的平分线的交点，AB＋BC＋AC=20. 过O 作OD ⊥ BC 于点D，且OD=3，求△ ABC 的面积. 解：过点O 作OE ⊥ AB 于点E，OF ⊥ AC于点F，连接OA. ∵点O是∠ABC，∠ACB的平分线的交点，OD⊥BC， ∴OE=OD， OF=OD. ∴OE=OF=OD=3. ∴S△ABC=S△ABO＋S△BCO＋S△ACO =AB·OE＋BC·OD＋AC·OF = ×3×(AB＋BC＋AC)= ×3×20 =30. 新课讲解 练一练 1. 如图，O是△ABC内一点，O到三边AB，BC，CA的距离分别为OF，OD，OE，且OF=OD=OE，若∠BAC=70°，则∠BOC= . 解：由题意，得OD⊥BC，OE ⊥ AC，OF ⊥ AB，且OF=OD=OE， ∴OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB. ∵∠BAC=70°， ∴∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC=110°. ∴∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB）=125°. ∴∠OBC+∠OCB= （∠ABC+∠ACB）=55°. 125° 新课讲解 练一练 2. 如图，有一块三角形的空地ABC，其三边长AB，AC，BC 分别为30 m，40 m，50 m.现要把它分成面积比为3∶4∶5 的三部分种植三种不同的花，请你设计一种方案，并简要说明理由. 解：方案如图所示． 分别作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交于点P，连接AP，则△ABP，△ACP，△BCP即为所求的三块地． 理由：易得P为△ABC的三个内角平分线的交点， ∴点P到AB，AC，BC的距离均相等． ∴△ABP，△ACP，△BCP的面积比即为AB，AC，BC的长度的比，即3∶4∶5.(答案不唯一) 课堂小结 角的平分线 判定定理 三角形的角平分线交于一点. 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 内容 作用 结论 判断一个点是否在角的平分线上. 当堂小练 1. 判断题： （1）如图1，若QM=QN，则OQ平分∠AOB.（ ） （2）如图2，若QM⊥OA于点M，QN⊥OB于点N，则OQ平分∠AOB.（ ） × O B A M 图2 N O B A Q M 图1 N ┐ Q ┐ × 当堂小练 2. 如图，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是 ( 　) A．线段CD的中点 B．CD与过点O作CD的垂线的交点 C．CD与∠AOB的平分线的交点 D．以上均不对 C O B A D C 当堂小练 3. 如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等. 若∠A＝40°，则∠BOC的度数为 (　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD， ∴∠ABD=∠CED=90°. ∴∠A=∠C. 在△ABD和△CED中 ∴△ABD≌△CED(AAS). 当堂小练 ∠ABD=∠CED， ∠ADB=∠CDE， AB=CE， 3. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为B，E，AB=CE，AB，CE相交于点F，连接DF.求证：FD平分∠BFE. ∴DB=DE. 又AB⊥CD，CE⊥AD， ∴点D在∠BFE的平分线上， 即FD平分∠BFE. 当堂小练 4. 如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F且DB=DC. 求证：AD是∠BAC的平分线. ┐ C E A F D B ┐ 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED=∠CFD=90°. 在Rt△BDE和Rt△CDF中， BE=CF， DB=DC， ∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）. ∴DE=DF. ∴点D在∠BAC的平分线上， 即AD是∠BAC的平分线. 当堂小练 2. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC+∠ABC=180°，BC=DC，CE⊥AD，交AD的延长线于点E，CF⊥AB于点F.求证：AC平分∠BAD. E A B C D F ┌ ┐ 证明：∵∠ADC+∠ABC=180°，∠ADC+∠EDC=180°， ∴∠ABC=∠EDC. ∵CE⊥AD，CF⊥AB， ∴∠CED=∠CFB=90°. 在△BCF和△DCE中， ∠CFB=∠CED， ∠FBC=∠EDC， BC=DC， ∴△BCF≌△DCE（AAS）. ∴CF=CE，即AC平分∠BAD. 当堂小练 5. 如图，P是△ABC外部一点，PD⊥AB，交AB的延长线于点D，PE⊥AC，交AC的延长线于点E，PF⊥BC于点F，且PD=PE=PF.关于点P有下列三种说法：①点P在∠DBC的平分线上；②点P在∠BCE 的平分线上；③点P在∠BAC 的平分线上.其中说法正确的个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 C A E B D F P ┐ ┐ D 当堂小练 6. 如图，∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC.求证：AE是∠DAB的平分线. 证明：过点E作EF⊥AD于点F， ∵∠B=∠C=90°， ∴DC⊥EC，EB⊥AB. ∵DE平分∠ADC， ∴EC=EF. ∵E是BC的中点， ∴EC=EB =EF. 又∵EF⊥AD，EB⊥AB， ∴点E在∠DAB的平分线上，即AE平分∠DAB. F ┌ A B C E D ┌ ┌ 当堂小练 证明：(1)过点P作PK⊥AB于点K，PI⊥BC于点I，PH⊥AC于点H. ∵CP平分∠BCE， ∴PH=PI. 同理，PI=PK. ∴PH=PI=PK. 即点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等. 4. 如图，已知△ABC，BF是△ABC的外角∠CBD的平分线，CG是△ABC的外角∠BCE的平分线，BF，CG相交于点P. 求证：(1)点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等； (2)点P在∠A的平分线上. K I H (2) 由(1)知，PH=PK，PH⊥AC，PK⊥AB，且点P在∠A的内部， ∴点P在∠A的平分线上. 对接中考 1. 在正方形网格中， 的位置如图所示，则到 两边距离相等的 点是 ( ) A A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 对接中考 2. 小王同学在学习了全等三角形的相关知识后发现，只用两把完全相同的长方 形直尺就可以作出一个角的平分线，如图，一把直尺压住射线 ，另一把 直尺压住射线并且与第一把直尺交于点，小王说：“射线 就是 的平分线”.这样做的依据是 ( ) A. 平行线之间的距离处处相等 B. 角平分线上的点到这个角两边的距离相等 C. 三角形三条角平分线的交点到三条边的距离相等 D. 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 D 拓展与延伸 1.【问题提出】 (1) 如图①，点在的延长线上， 的平分线与的平分线交 于点，求证： ； 证明：的平分线与的平分线交于点 ， ， ， ， ， . 拓展与延伸 【拓展探究】 (1) 如图②，点在的延长线上， 的平分线与的平分 线交于点，过点作 交 的延长线于点.连接，求证：平分 ； 证明：如图，过点作于点 ，于点 ， ，平分，平分 ， ，， ， 平分 . 拓展与延伸 【学以致用】 (3) 如图③，在四边形中，平 分 ， ， 若 ，求 的度数. 于点， 交的延长线于点 . ， ， ， 平分 . 又平分 ， 由（1）得 . . 由（2）得平分 ， . 解：如图，过点分别作交 的延长线于点， 拓展与延伸 2. 如图，∠MON=60°，点A，B为射线OM，ON上的动点（点A，B不与点O重合），在∠MON的内部，△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°， 求证：点P在∠MON的平分线上. C D A B P O M N ┌ ┌ 证明：①若∠PAO≠90°，如图，过点P分别作PC⊥OM，PD⊥ON，垂足分别为C，D，则∠ACP=∠BDP=90°. 在四边形OCPD中， ∠CPD=360°-∠OCP-∠COD-∠ODP=120°， ∴∠APB=∠CPD. ∴∠APB-∠APD =∠CPD-∠APD，即∠APC=∠BPD. 在△APC和△BPD中， ∠APC=∠BPD， ∠ACP=∠BDP， AP=BP， ∴△APC≌△BPD（AAS）. ∴PC=PD， ∴点P在∠MON的平分线上. ②若∠PAO=90°，则∠PBO=360°-∠APB- ∠PAO -∠AOB = 90° , ∴PA=PB， ∴点P在∠MON的平分线上. 综上，点P在∠MON的平分线上. ∠PAO的度数未知，因分情况讨论，确保结果的完整性. 在△PDM和△PEN中， ∴△PDM≌△PEN(AAS)． ∴DP＝EP. ∵PD⊥OA，PE⊥OB， ∴OC是∠AOB的平分线． $$