2025年祁阳市中考数学基础题组训练（三）

选择题题组训练(三) 1．对-1 进行下列运算，结果最小的是 ( ) A. 倒数运算 B. 相反数运算 C. 平方运算 D. 绝对值运算 2．下列说法正确的是 ( ) A. 将 310 万用科学记数法表示为 3.1 × 107 B. 用四舍五入法将 1.097 精确到百分位为 1.10 C. 近似数 2.3 与 2.30 精确度相同 D. 若用科学记数法表示的数为 2.01 × 105，则其原数为 20 100 3．下列各数中，是无理数的是 ( ) 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 2 选择题题组训练（三） 1 选择题题组训练（三） 学科网（北京）股份有限公司 A. 2 B. - 1 2 C. π D. 24 4. 下列标志中不是轴对称但是中心对称的图形是 ( ) A. B. C. D. a2-2a +15．下列计算正确的是 ( ) A. (-a - b) (b - a) = a2 - b2 C. (-a - b)2 = a2 - 2ab + b2 B. - 2(3a - b) =-6a - b D. (-3a + 2b) (-3a + 5b) = 9a2 - 10b2 6．已知最简二次根式 2a -5 与二次根式 12 能够合并，则 a 的值为( )． A. 5 B. 3 C. 4 D. 7 7．化简： a2 -1 ，其结果为 ( ) A. a + 1 B. a - 1 C. a +1 a -1 D. a -1 a +1 8. 给甲、乙、丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为 ( ) A. 2 3 B. 1 6 C. 1 2 D. 1 3 9. 下列因式分解正确的是 ( ) A. 2a2 - 4a = 2(a2+a B. 4 - a2 = (2 +a (2 -a C. a2 - 10a + 25 = a(a -10 + 25 D. a2 - 2a + 1 = (a +1 2 10. 一次函数 y =- 1 x + 2 的图象 ( ) 2 A. 经过第一、二、三象限 B. 经过第一、三、四象限 C. 经过第一、二、四象限 D. 经过第二、三、四象限 11. 如图，是反比例函数 y = 5 x 和 y =- 9 x 在 x 轴上方的图象，x 轴的平行线 AB 分别与这两个函数图象相交于点 A，B，则 △AOB 的面积是 ( ) A. 7 B. 14 C. 18 D. 28 212．黄金分割数 5 -1 是一个很奇妙的数，它大量应用于艺术、建筑和统计决策等方面．请你估算黄金分割 数的分子 5 - 1 的值所在的范围是 ( ) A. 0 和 1 之间 B. 1 和 2 之间 C. 2 和 3 之间 D. 3 和 4 之间 13. 顺次连接矩形的各边中点，所得的四边形一定是 ( ) A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 无法判断 14. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，AB = 8 cm，则菱形 ABCD 的面积是( ) cm2 D ( ) A. 16 3 B. 32 3 A C C. 64 D. 323 2 15. 已知圆锥的底面半径为 6，母线长为 10，则圆锥的侧面积是 B ( ) A. 30 B. 60π C. 60 D. 30π 16. 三角函数 sin40°，cos16°，tan50° 之间的大小关系是 ( ) A. tan50° > cos16° > sin40° B. cos16° > sin40° > tan50° C. cos16° > tan50° > sin40° D. tan50° > sin40° > cos16° 17. 在平面直角坐标系中，点 (a + 2，2) 关于原点的对称点为(4，-b)，则 ab 的值为 ( ) A. - 4 B. 4 C. 12 D. - 12 18. 如图，下列四个几何体中，它们各自的三视图(主视图、左视图、俯视图)完全相同的几何体是 ( ) ① ② ③ ④ A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④ 19．已知，如图，AB = AC ，AD = AE，BE 与 CD 相交于点 P，则下列正确的个数为 ( ) ① PC = PB；② ∠CAP = ∠BAP；③ ∠PAB = ∠B；④共有 4 对全等三角形． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 20．已知，二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图所示，则点 P(b2-4ac，abc 所在的象限 是 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 填空题题组训练(三) 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 4 运算题题组训练（三） 3 填空题题组训练（三） 学科网（北京）股份有限公司 1. 若 a -b b =-3，则 a b = . 2. 若式子 x +3 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 . 3. 分式方程 2 x - 1 = 0 的解是 ． x -2 4. 若关于 x 的分式方程 1 - m = 1 (m 为常数)有增根，则增根是 ． x -4 4 - x 5. 在函数 y = 2 中，自变量 x 的取值范围是 ． 4x -3 6. 一次函数 y = kx + b 与 y = 2x + 1 平行，且经过点 (-1，2 ，则解析式为 ． 7. 如图，正比例函数 y1 = k1x 和一次函数 y2 = k2x + b 的图象相交于点 A(2，1)，当 x < 2 时，y1 y2(填 “>”或“<”)． y y1=k1x A O O x E y2=k2x +b A B C （第7 题图） （第9 题图） （第11 题图） 8. 为迎接体育中考，九年级 (1) 班八名同学课间练习垫排球，记录成绩(个数)如下：40，38，42，35，45，40， 42，42，则这组数据的中位数是 ． 9. 某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的 5 次选拔成绩如统计图所示，两位同学的平均成绩相等，若从他们的稳定性考虑，应该选择参赛的同学是 (填“甲”或 “乙”)． 10. 半径为 4，圆心角为 90° 的扇形的面积为 (结果保留π)． 11. 如图，在 ⊙ O 中，AB 为弦，半径 OC ⊥ AB 于 E，如果 AB = 8，CE = 2，那么 ⊙ O 的半径为 ． 12. 如图，四边形 ABCD 内接于⊙ O，DA = DC ，∠CBE = 50°，则 ∠DAC 的大小为 ． 13. 如图，在 △ABC 中，点 D，E 分别是 AC ，BC 的中点，连接 DE．若 DE = 12，则 AB 的长为 ． 14. 如图，△ABC 为⊙ O 的内接三角形，AB 为⊙ O 的直径，点 D 在⊙ O 上，∠ADC = 55°，则 ∠BAC 的度数等于 ． AD O D O C A B E D E A B B C C （第12 题图） （第13 题图） （第14 题图） 运算题题组训练(三) 1. 计算：- 2  - 2sin45° +(1 - 0 + 2 × 8 ．3 2. 计算：-3 - ( 10 -1 0 + 2 cos45° + 1 -1 4( ． ．先化简，后求值： 1 +3 ( 1 x +2 ÷ x2 +6x +9 ，其中 x = 3． x2-4 4. 先化简，后求值： ab ÷ 1 + 2b ，其中 a = 5 + 1，b = 5 - 1． a -b ( a +b a2-b2 5. 已知 y 关于 x 的一次函数 y = kx - 2k + 1 的图象为直线 l1． （1） 试说明：无论 k 为何值，直线 l1 总经过点(2，1 ； （2） 当 m ≤ x ≤ m + 2 时，函数最大值与最小值的差为 4，求 l1 的解析式． 6. 如图，△ABC 是等腰直角三角形，且 ∠ABC = 90°，CA ⊥ x 轴，点 C 在函数 y =y C B O A x k (x > 0) 的图象上，若 AB = 1，则 k 的值为( ) x 2 B. 1A. 2 C. D. 22 7. 如图，二次函数 y = ax2 - 4x + c 的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于 C 点，其中 B(1，0)，C(0，3)． （1） 求这个二次函数的表达式； （2） 求三角形 ABC 的面积． （第6 题图） （第7 题图）y C O B A x 几何基础题题组训练(三) 1. 如图，在 ◻ ABCD 中，FA ⊥ AB 交 CD 于点 E，交 BC 的延长线于点 F ，且 CF = BC ，连接 AC ，DF． （1） 求证：四边形 ACFD 是菱形； （2） 若 AB = 5，DF = 13 ，求四边形 ACFD 的面积． 2 2. 在Rt△ABC 中，∠BAC = 90°，D 是 BC 的中点，E 是 AD 的中点，过点 A 作 AF ∥ BC 交 BE 的延长线于点 F． （1） 证明：四边形 ADCF 是菱形； （2） 若 AC = 4，AB = 4 2 ，求菱形 ADCF 的面积． 3. 如图，在 ◻ ABCD 中，点 E 是 CD 的中点，连接 AE 并延长交 BC 的延长线于点 F． （1）求证：AD = CF ； （2）连接 AC ，DF ，若 ，求证四边形 ACFD 是矩形．请从“① CD = AF； ② CD ⊥ AF ；③ ∠DAC = ∠ACF ”这三组条件中选一组作为已知条件，填在横线上（只填序号），并证明． 4. 如图，菱形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，E 是 AD 的中点，点 F ，G 在 AB 上，EF ⊥ AB，OG ∥ EF． （1） 求证：四边形 OEFG 是矩形； （2） 若 AD = 10，EF = 4，求 OE 和 BG 的长． 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 6 几何基础题题组训练（三） 5 几何基础题题组训练（三） 学科网（北京）股份有限公司 5. 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC ，AD ⊥ BC ，垂足为点 D，AN 是△ABC 外角∠CAM 的平分线，CE ⊥ AN ，垂足为点 E． （1） 求证：四边形 ADCE 为矩形； （2） 当 △ABC 满足 时（添加一个条件），四边形 ADCE 是正方形，并证明． 6. 如图，已知：△ABC ，尺规作图得四边形 DBEC．作图步骤如下： ①分别以 B，C 为圆心，大于 1 BC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 P，Q； 2 ②作直线 PQ 交 AC 于点 D，连接 BD； ③以 B 为圆心，BD 的长为半径作弧，交直线 PQ 于点 E，连接 CE，BE． （1） 根据尺规作图，请直接判断四边形 DBEC 的形状，并说明判断依据； （2） 若 ∠BAC = 90°，AB = 8，AC = 16，求四边形 DBEC 的面积． 7. 如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AD 上的点，点 F 在边 CD 上，且 CF = 3FD，∠BEF = 90°F （1） 求证：△ABE ∾ △DEF ； （2） 若 AB = 6，延长 EF 交 BC 的延长线于点 G，求 BG 的长． A E D B C G 8. 如图，点 O 是等边△ABC 内的一点，∠BOC = 150°，将 △BOC 绕点 C 顺时针旋转得到△ADC ，连接 OA，OD． （1） 求 ∠ODC 的度数； （2） 若 OB = 2，OC = 3，求 OA 的长． 概率和解直角三角形题组训练(三) 1．2025 年我国春晚上出现的扭秧歌机器人轰动世界，机器人与人们的生活联系越来越紧密、某校为了解七、八年级学生对机器人相关知识的了解情况，举办了关于机器人知识的竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取 20 名学生的竞赛成绩(百分制)进行整理、描述和分析(成绩得分用 x 表示，共分为四组：A. x ≤ 70， B. 70 < x ≤ 80，C. 80 < x ≤ 90，D. 90 < x ≤ 100，得分在 90 分以上为优秀)，下面给出了部分信息： 七年级 20 名学生的竞赛成绩是： 72，64，68，78，86，84，96，86，80，92，92，91，97，95，85，82，92，94，99，97八年级 20 名学生竞赛成绩在C 组的数据是：84，85，82，89，89 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 八年级抽取学生的竞赛成绩统计图 年级 平均数 中位数 众数 七年级 86.5 88.5 a 八年级 86.5 b 91 根据以上信息，解答下列问题：D c% C A B 15% 25% （1） 上述图表中的 a = ，b = ，c = ； （2） 根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的机器人知识竞赛成绩更好？请说明理由（；写出一条理由即可） （3） 若该校七年级有 800 名学生、八年级有 1000 名学生参加了此次机器人的知识竞赛，估计该校七、八年级学 生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？ 2. 当前 AI 市场十分火爆，众多优秀 AI 模型不断涌现．百度的文心一言在语言理解和生成方面表现出色，阿里云的通义千问具备多轮对话等能力，它们为科技发展注入强大动力．有关人员开展了对甲、乙两款 AI 聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取 20 份评分数据，对数据进行整理、描述和分析(评分分数用 x 表示，分为四个等级：非常满意 A. 90 ≤ x ≤ 100；满意 B. 80 ≤ x < 90；良好 C. 70 ≤ x < 80；不满意 D. x < 70)，下面给出了部分信息． 甲款评分数据中B 组包含的所有数据为：86，87，88，88，88，89，89； 乙款评分数据中B 组包含的所有数据为：84，85，86，86，87，87，87，87，87． 甲、乙两款AI 机器人满意度评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲款 85 a 88 乙款 85 86 b 根据以上信息，解答下列问题： （1） 上述图表中 a = ，b = ，m = ，并将条形统计图补充完整； （2） 根据以上数据分析，你认为哪款 AI 聊天机器人更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3） 在此次测验中，有 280 人对甲款 AI 聊天机器人进行评分、300 人对乙款 AI 聊天机器人进行评分．请通过计算，估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有多少？ 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 8 概率和解直角三角形题组训练（三） 7 概率和解直角三角形题组训练（三） 学科网（北京）股份有限公司 3. 土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图 1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图 2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角∠ADB = 27°，夏至时夹角 ∠ACB = 72°，且点 A，B，C ，D 都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差 CD 为 2.5 尺． (参考数据sin72° ≈ 0.95，cos72° ≈ 0.3，tan72° ≈ 3.0，sin27° ≈ 0.45， cos27° ≈ 0.85，tan27° ≈ 0.5，sin50° ≈ 0.76，cos50° ≈ 0.6，tan50° ≈ 1.2) （1） 求土圭 AB 的高度为多少尺； （2） 若春分时太阳光线和地面的夹角是 50°，求春分时土圭的影长为多尺？ 4. 某数学研究性学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动． 活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积 测量工具 皮尺、测角仪、计算器等 活动过程 模型抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ABCD，其示意图如下： 测绘过程与数据信息 ①在水池外取一点 E，使得点 C ，B，E 在同一条直线上； ②过点 E 作 GH ⊥ CE，并沿 EH 方向前进到点 F ，用皮尺测得 EF 的长为 8 米； ③在点 F 处用测角仪测得∠CFG = 60.3°，∠BFG = 45°，∠AFG = 21.8°； ④用计算器计算得：sin60.3° ≈ 0.87 ，cos60.3° ≈ 0.50 ，tan60.3° ≈ 1.75 ，sin21.8° ≈ 0.37 ， cos21.8° ≈ 0.93，tan21.8° ≈ 0.40． 请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）： （1） 求线段 CE 和 BC 的长度； （2） 求底座的底面 ABCD 的面积． $$填空题题组训练(三) 5. 4 10. 4π x ≠ 3 选择题题组训练(三) 1 ∾ 5 ABCBA 6 ∾ 10 CCDBC 11 ∾ 15 ABBBB 16 ∾ 20 ADBBA 1. -2 2. x ≥-3 3. x =4 4. x =4 6. y =2x +4 7. < 8. 41 9. 乙 11. 5 12. 65° 13. 24 14. 35° 运算题题组训练(三) 1．解：原式 = 2 - 2 + 1 + 4 = 5． 2．解：原式 = 3 - 1 + 1 + 4 = 7． 3．解： ( 1 x +2 +1 ÷ x +6x +9 2 x2-4 = ( 1 x +2 + x +2 x +2 ∙ ( x +2 ( x -2 = x +3 ∙ ( x +2 ( x -2 = x -2 ( x +3 2 x +2 ( x +3 2 x +3 当 x = 3 时，原式 = 3 -2 = 1 ． 3 +3 6 4．解： ab a -b ÷ ( a +b 1 + 2b a2-b2 = ab a -b ÷ ( a -b (a +b (a -b + 2b (a +b (a -b = ab ÷ a +b a -b (a +b (a -b = ab ∙ (a -b a -b = ab 当 a = 5 + 1,b = 5 - 1 时，原式 = ( 5 +1 ( 5 -1 = ( 5 2 - 1 = 4． 5．(1) 证明：对于 y = kx - 2k + 1 = k ( x -2 + 1， 当 x = 2 时，y = 1，∴ 无论 k 为何值，直线 l1 总经过点(2，1 ； (2) 解：y = kx - 2k + 1 = k ( x -2 + 1 当 k > 0 时，y 随 x 增大而增大， 则当 m ≤ x ≤ m + 2 时，x = m，y = km - 2k + 1 为最小值， x = m + 2，y = k (m +2 - 2k + 1 = km + 1 为最大值， ∵ 函数最大值与最小值的差为 4， ∴ (km +1 - (km -2k +1 = 2k = 4，解得：k = 2，此时，l1 的解析式为 y = 2x - 3； 当 k < 0 时，y 随 x 增大而减小， 则当 m ≤ x ≤ m + 2 时，x = m，y = km - 2k + 1 为最大值， x = m + 2，y = k (m +2 - 2k + 1 = km + 1 为最小值， ∵ 函数最大值与最小值的差为 4， ∴ (km -2k +1 - (km +1 =-2k = 4，解得：k =-2，此时，l1 的解析式为 y =-2x + 5； 综上，l1 的解析式为 y = 2x - 3 或 y =-2x + 5． 参考答案（三） 1 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 祁阳市初中数学名师工作室 2025 年祁阳市中考数学基础题组训练 6. B 7．解：(1) 将点 B(1，0)，C(0，3) 代入 y = ax2 - 4x + c，则 a -4 +c =0，  y   c =3． 解得   a =1， c =3． C ∴ 抛物线解析式为 y = x2 - 4x + 3； (2) 由(1) 可知 y = x2 - 4x + 3当 y = 0 时，x2 - 4x + 3 = 0，解得：x1 = 1，x2 = 3， ∴ A(3，0)，则 OA = 3， ∵ AB = OA - OB = 3 - 1 = 2，OC = 3 O B A x ∴ S△ABC = AB·OC = 2 ×3 = 3 2 2 几何基础题题组训练(三) 1．(1) 证明：∵ ∠BAC = ∠EAD， ∴ ∠BAC - ∠EAC = ∠EAD - ∠EAC ， 即：∠BAE = ∠CAD， 在 △ ABE 和 △ ACD 中，∠ ABD = ∠ ACD ，AB = AC ，∠BAE = ∠CAD， ∴ △ABE ≌ △ACD(ASA)， ∴ AE = AD； (2) 解：∵ △ABE ≌ △ACD， ∴ BE = CD， ∵ BD = 8，DC = 5， ∴ ED = BD - BE = BD - CD = 8 - 5 = 3． 2．(1) 证明：∵ ∠ACB = ∠CAD = 90°， ∴ AD ∥ CE， ∵ AE ∥ CD， ∴ 四边形 AECD 是平行四边形； (2) 解：如图，过点 E 作 EF ⊥ AB 于点 F ， 由(1) 可知，四边形 AECD 是平行四边形， ∴ EC = AD = 3， ∵ ∠ACB = 90°， ∴ EC ⊥ AC ， ∵ EF ⊥ AB，AE 平分∠BAC ， ∴ EF = EC = 3， ∴ △ABE 的面积= 1 AB•EF = 1 × 10 × 3 = 15． 2 2 3．(1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ，AD = BC ， ∵ 点 F 在 BC 的延长线上，且 CF = BC ， ∴ AD ∥ CF ，AD = CF ， ∴ 四边形 ACFD 是平行四边形， ∵ CD ∥ AB，FA ⊥ AB 交 CD 于点 E， ∴ ∠CEF = ∠ABF = 90°， ∴ FA ⊥ CD， ∴ 四边形 ACFD 是菱形． 2 参考答案（三） (2) 解：∵ 四边形 ACFD 是菱形，CD = AB = 5， ∴ DE = CE = 1 CD = 5 ，AE = FE， 2 2 ∵ ∠DEF = 90°，DF = 13 ， 2 ∴ FE = DF 2- DE 2 = ∴ FA = 2FE = 12， ( 13 -( 5 2 2 2 2 = 6， ∴ S 四边形ACFD = 1 FA•CD = 1 × 12 × 5 = 30， 2 2 ∴ 四边形 ACFD 的面积为 30． 4． (1) 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥ BC ， ∴ ∠DAF = ∠CFA，∠ADC = ∠FCD， ∵ 点 E 是 CD 的中点， ∴ DE = CE， ∴ △ADE ≌ △FCE(AAS)， ∴ AD = CF ； ( 2 ) 解 ：连接 AC ，DF ，若 ①或③ ，求证四边形 ACFD 是矩形 ∵ AD = CF ，AD ∥ CF ， ∴ 四边形 ADFC 是平行四边形， 若 CD = AF 时，则平行四边形 ADFC 是矩形，若∠DAC = ∠ACF 时，∵ AD ∥ CF ， ∴ ∠DAC + ∠ACF = 180°， ∴ ∠DAC = ∠ACF = 90°， ∴ ◻ ADFC 是矩形． 5． 解：(1) 根据作图可得，PQ 垂直平分 BC ， ∴ BE = CE，BD = CD， ∵ 由作图得，BD = BE， ∴ BE = CE = BD = CD， ∴ 四边形 DBEC 是菱形，判断的依据是四边相等的四边形是菱形； (2) 设 PQ 与 BC 的交点为 O， ∵ AB = 8，AC = 16，∠BAC = 90°， ∴ BC = 82+162 = 8 5 ， ∴ BO = CO = 1 BC = 4 5 ， 2 ∵ CA = AD + CD = AD + BD = 16， ∴ DA = 16 - DB， ∵ ∠CAB = 90°， ∴ AB2 + AD2 = BD2， ∴ 82 + (16 - BD)2 = BD2， ∴ BD = 10， ∴ OD = BD2-BO2 = 2 5 ， ∴ 四边形 DBEC 的面积= 8 5 × 2 5 = 80． 6． 解：(1) ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ ∠A = ∠D = 90o， ∵ ∠BEF = 90°， ∴ ∠ABE + ∠AEB = ∠AEB + ∠DEF = 90°， ∴ ∠ABE = ∠DEF ， ∴ △ABE ∾ △DEF ； (2) ∵ 四边形 ABCD 为正方形， ∴ AB = AD = CD = 6，AD ∥ BG， ∵ CF = 3FD， ∴ DF = 1.5， 设 DE = x， ∵ △ABE ∾ △DEF ， ∴ DF = DE ， AE AB 即 1.5 = x ， 6 - x 6 解得：x = 3， ∴ DE = 3， ∵ AD ∥ BG， ∴ ∠DEF = ∠G， ∵ ∠DFE = ∠CFG ∴ △CGF ∾ △DEF ， CG CF ∵ CF = 3FD， ∴ DE = DF ， ∴ 3 = 1 ， CG 3 ∴ CG = 9， ∴ BG = BC + CG = 15． 7． 解：∵ △BOC 绕点 C 顺时针旋转得到△ADC ， ∴ CO = CD，∠OCD = ∠BCA， ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ ∠OCD = ∠BCA = 60°， ∴ △OCD 是等边三角形， ∴ ∠ODC = 60°； (2) ∵ △BOC 绕点 C 顺时针旋转得到△ADC ， ∴ ∠ADC = ∠BOC = 150°，AD = BO = 2， ∴ ∠ADO = ∠ADC - ∠ODC = 90°， ∵ △OCD 是等边三角形， ∴ OD = OC = 3， ∴ OA = AD2+OD2 = 13 ． 参考答案（三）3 8．(1) 证明：∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AD ∥ BC ，AD = BC ， ∵ CF = BE， ∴ CF + CE = BE + CE，即 EF = BC ， ∴ AD = EF ， 又∵ AD ∥ BC ， (2) ∵ 四边形 AEFD 是矩形， ∴ AF = DE = 8， 在△ABF 中，AB = 6，AF = 8，BF = 10， ∵ AB2 + AF 2 = 100，BF 2 = 100， ∴ AB2 + AF 2 = BF 2， ∴ △ABF 为直角三角形，即∠BAF = 90°， 即 AD ∥ EF ， ∴ 四边形 AEFD 为平行四边形， ∵ AE ⊥ BC ， 由三角形的面积公式得：S △ABF = 1 2 1 AB•AF ， 2 BF • AE = ∴ ∠AEF = 90°， ∴ ◻ AEFD 为矩形； ∴ AE = AB·AF BC = 6 ×8 10 = 4.8． 概率和解直角三角形题组训练(三) 1．解：(1) ∵ 七年级 20 名学生的竞赛成绩中 92 出现次数最多， ∴ a = 92， 由八年级A 组占 15%，人数为 20 × 15% = 3 (人)， 八年级B 组占 25%，人数为 20 × 25% = 5 (人)， ∴ 八年级中位数为C 组的第 2，3 个同学竞赛成绩的平均数即 b = 84 +85 = 84.5， 2 ∴ 八年级D 组人数为 20 - 5 - 3 - 5 = 7 (人)， 则 c% = 7 × 100% = 35%， 20 ∴ c = 35， 故答案为：92，84.5，35； (2) 七年级学生竞赛成绩较好，理由： 七、八年级的平均分均为 86.5 分，七年级的中位数，众数优秀人数均高于八年级的中位数，整体上看七年级学生竞赛成绩较好； (3) 由条件可得： 20 答：估计该校七、八年级学生参加此次机器人知识竞赛成绩达到优秀的共有 750 人． 10 × 800 + 35% × 1000 = 400 + 350 = 750 (人)， 2．解：(1) 把甲款的评分数据从小到大排列，排在中间的两个数是 87，88， ∴ 中位数 a = 87 +88 = 87.5， 2 在乙款的评分数据中，87 出现的次数最多， ∴ 众数 b = 87， 由题意得：m% = 1 - 20% -20% - 9 × 100% = 15%，即 m = 15； 20 故答案为：87.5，87，15； (2) 甲款 AI 聊天机器人更受用户喜爱，理由如下： 因为两款的评分数据的平均数相同都是 85，但甲款评分数据的中位数为 87.5 比乙款的中位数 86 高，所以甲款 AI 聊天机器人更受用户喜爱(答案不唯一)； (3)280 × 20 -3 -5 -7 + 300 × 20% = 130 (人)， 20 答：估计其中对所调查的聊天机器人非常满意的用户人数共有 130 人． 参考答案（三）4 3．解：(1) 设 AB = x 尺， 在Rt△ABC 中，BC = AB ≈ x ， tan72° 3 在Rt△ABD 中，BD = AB ≈ x = 2x， tan27° 0.5 ∴ CD = BD - BC ≈ 2x - x = 2.5， 3 解得：x = 1.5， ∴ AB = 1.5 (尺) 答：土圭 AB 的高度约 1.5 尺； (2)AB = 1.5，∠AFB = 50°， BF = AB ≈ 1.5 = 1.25 (尺)， tan50° 1.2 答：春分时土圭的影长约为 1.25 尺． 4．解：(1) 由题意可得： ∴ tan∠CFE = tan60.3° = CE ≈ 1.75， EF ∴ CE = 14 米； ∵ ∠BFG = 45°， ∴ BE = EF = 8 米， ∴ CB = CE - BE = 6 米； (2) 过点 A 作 AM ⊥ GH 于点 M ， ∵ ∠AFG = 21.8°， ∴ tan∠AFG = tan21.8° = AM ≈ 0.4， MF ∵ AM = BE = 8 米， ∴ MF = 20 米， ∴ AB = ME = 20 - 8 = 12 米， ∴ 底座的底面 ABCD 的面积为：12 × 6 = 72 平方米． 参考答案（三）5 学科网（北京）股份有限公司 $$