第08讲 一元二次方程根与系数的关系（知识清单+2必考题型）（讲义）-2025-2026学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备考系列（北师大版）

第08讲 一元二次方程根与系数的关系 题型梳理 易错分析 易错点一 已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 题型方法 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 题型二 一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识清单 知识点：一元二次方程根与系数的关系（难点） 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 易错分析 【易错点一】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【变式2】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【变式3】（22-23八年级下·山西忻州·期中）一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程： 题目：当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数？ 解：因为：关于x的方程的两根互为相反数； 所以：设这个方程的两个根为k与； 所以： （1）式减（2）式得： 所以：或；把 ，代入（1）式，得 所以：或 (1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？ (2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正． 题型方法 【题型一】一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知、是关于的方程的两个根，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）在解关于x的一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为；小刚看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程： ． 【题型二】一元二次方程的根与系数的关系的应用 【例2】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该矩形的面积为（    ） A．10 B．12 C．20 D．24 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【变式3】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知是方程的两根，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 3．（24-25八年级下·广西崇左·阶段练习）已知等腰的一条边为7．其余两边的边长恰好是方程的两个根．则m的值是（    ） A．2 B．4 C．2或10 D．4或10 4．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）设方程的两根是，则方程的根为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知整式，其中，，，，是自然数，若，．下列说法： ①若，则； ②若，且，则满足条件的不同整式中共有7个； ③当时，设其四个实数根为，，，．若存在正整数使得为正整数，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）已知 m、n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 8．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ． 9．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知m，n是方程的两实数根，则 10．（24-25九年级下·江苏连云港·期中）方程的两个根为，，若，则 ． 11．（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 三、解答题 12．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 13．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 14．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 15．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根，满足，求的值． 16．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 17．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第08讲 一元二次方程根与系数的关系 题型梳理 易错分析 易错点一 已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 题型方法 题型一 一元二次方程的根与系数的关系 题型二 一元二次方程的根与系数的关系的应用 知识清单 知识点：一元二次方程根与系数的关系（难点） 韦达定理：如果是一元二次方程 的两个根,由解方程中的公式法得, ． 那么可推得这是一元二次方程根与系数的关系． 易错分析 【易错点一】已知根与系数的关系求字母系数的值时，忽略Δ≥0 而出错 【例1】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有一个根是，求的值． (2)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (3)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1)，； (2)的取值范围是； (3)的值为． 【分析】此题考查了一元二次方程的解， 一元二次方程，一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，掌握知识点的应用及正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）把代入方程得，然后解一元二次方程即可； （）由题意得，然后解不等式即可； （）由题意可得，，则，解得，， 再通过即可求出的值． 【详解】（1）解：∵该方程有一个根是， ∴， ∴， 解得，； （2）解：∵该方程有两个实数根， ∴， 解得． 即的取值范围是； （3）解：∵该方程的两个实数根，， ∴，， ∴， 化简得， 解得，， 由（）可知，， 所以的值为． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级下·广东珠海·期中）已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 【变式2】（24-25九年级上·河南许昌·阶段练习）阅读下列材料，完成相应任务． 十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式时，关于的一元二次方程的两个根，有如下关系：，”．此关系通常被称为“韦达定理”． (1)若一元二次方程的两个实数根为，，则_____，_____． (2)已知关于的方程有两个实数根． ①求的取值范围． ②若此方程的两根分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)①；②． 【分析】本题主要考查的是一元二次方程根与系数的关系、根的判别式等知识点，熟知、是一元二次方程的两根时，是解题的关键． （1）直接根据一元二次方程根与系数的关系解答即可； （2）①由一元二次方程根的判别式得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；②根据一元二次方程根与系数的关系用m表示出和，然后得到关于m的方程求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程的两个实数根为、， ∴． 故答案为：． （2）解：①∵关于x的方程有两个实数根， ∴，解得：； ②∵关于x的方程的两根分别为α，β， ∴， ∵， ∴，即，解得， 由①知， ∴． 【变式3】（22-23八年级下·山西忻州·期中）一次作业中，小明做了这样一题，以下是他的解题过程： 题目：当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数？ 解：因为：关于x的方程的两根互为相反数； 所以：设这个方程的两个根为k与； 所以： （1）式减（2）式得： 所以：或；把 ，代入（1）式，得 所以：或 (1)请你代入原方程进行检验；说明小明同学解题过程是否正确？ (2)如果解题过程正确，请你给予适当的评价，如果不正确，请指出错误，并给予纠正． 【答案】(1)不正确，检验见解析； (2)不正确，见解析； 【分析】（1）将或代入解方程得到答案判断即可得到答案； （2）根据（1）判断，并根据根与系数的关系直接求解即可得到答案； 【详解】（1）解：①当时，原方程化为： 解得：，，符合题意， ②当时，原方程化为：， 解得：，，不符合题意， 故小明同学解题过程不正确； （2）解：由（1）得，不正确， 根据判别式可得：， ∴方程的两个根不相等， ∴， 当m为何值时，关于x的方程的两根互为相反数，解决这类问题，要根据根与系数的关系来解决， 由根与系数关系可得：，解得：， 错误的原因是没有注意判别式与根的情况，解决此类题最直接的方法是利用根与系数的关系求解． 【点睛】本题考查根与系数的关系及根与判别式之间的关系，解题的关键是熟练掌握，，，时方程有两个不相等的实数根，时方程有两个相等的实数根，时方程没有实数根． 题型方法 【题型一】一元二次方程的根与系数的关系 【例1】（24-25九年级下·黑龙江绥化·阶段练习）在解关于x的方程时，甲看错了方程中的常数项，解得两根为8和2，乙看错了方程中的一次项，解得两根为和，则正确的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，若、是方程的两根，则有，．先设这个一元二次方程的两根是、，甲看错常数项，解得两根为8和2，说明，即，乙看错一次项系数，解得两根为和，说明，即，两式联合，可求关于、的方程． 【详解】解：设这个一元二次方程的两根是、，根据题意得 ，， 那么以、，为两根的一元二次方程就是， 故选：B． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·河北沧州·期中）已知、是关于的方程的两个根，若，则（    ） A．4 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查两根之和．根据题意可得，继而可得本题答案． 【详解】解：∵、是关于的方程的两个根， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【变式2】（24-25九年级上·江苏扬州·期中）关于的一元二次方程的一个根为，则它的另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，设方程的另一个根为m，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴方程的另一个根为， 故答案为；． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）在解关于x的一元二次方程时，小明看错了一次项系数b，得到的解为；小刚看错了常数项c，得到的解为．请你写出正确的一元二次方程： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解、根与系数的关系等知识点，灵活运用根与系数的关系是解题关键． 分别运用根与系数的关系求得正确的b、c的值即可解答． 【详解】解：∵小明看错了一次项系数b，得到的解为， ． 小刚看错了常数项c，得到的解为， ， ． ∴正确的一元二次方程为． 故答案为：． 【题型二】一元二次方程的根与系数的关系的应用 【例2】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）已知是的两个根，则的值是（   ） A． B． C．3 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知：若是一元二次方程的两个根，则，．根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，再代入中计算即可． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故选：C． 【举一反三】【变式1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如果一个矩形的相邻两边长分别是关于x的一元二次方程的两个实数根，则该矩形的面积为（    ） A．10 B．12 C．20 D．24 【答案】D 【分析】设矩形的相邻两边长分别是，则是方程的两个实数根，矩形的面积为，根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，矩形的面积，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设矩形的相邻两边长分别是， 则是方程的两个实数根， 故 又矩形的面积为， 故矩形的面积为24， 故选：D． 【变式2】（24-25九年级下·黑龙江绥化·期中）若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系和一元二次方程的解，记住，是解答此题的关键． 根据题意可得，，再将变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， 故答案为： 【变式3】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）关于的一元二次方程． (1)证明：不论为何值，方程总有两个不相等的实数根． (2)在中，斜边，、的长恰是方程的两个根，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，勾股定理，解题的关键是熟记根的判别式和根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式进行判断即可； （2）根据勾股定理得出，根据根与系数的关系得出，，根据，列出关于m的方程，求出m的值，最后根据三角形的面积公式，求出三角形面积即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ∴不论为何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：由已知得：，，， ∴， 即， 解这个方程得：，． 当时，，与已知不符合，舍去， ∴，此时方程为， 解得：， 故的两直角边长是4和3． ∴． 好题必刷 一、单选题 1．（24-25九年级下·四川眉山·期中）已知是方程的两根，则的值为（   ） A． B．10 C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查根与系数之间的关系，根据根与系数的关系得到，再利用完全平方公式变形进行求解即可，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选B． 2．（24-25九年级上·广东江门·期中）若、是一元二次方程的两个根，则的值是（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据韦达定理解答即可． 本题考查了韦达定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：由、是一元二次方程的两个根， 则， 故选：D． 3．（24-25八年级下·广西崇左·阶段练习）已知等腰的一条边为7．其余两边的边长恰好是方程的两个根．则m的值是（    ） A．2 B．4 C．2或10 D．4或10 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键是学会利用一元二次方程的根与系数的关系，把问题转化为方程解决．分7为等腰三角形的底或腰两种情形，讨论求解即可． 【详解】解：当7为底时，则等腰的腰长为的两个相等根． 可得，，即， 则， 解得， 此时一元二次方程为， 解得， 因为，舍去； 当7为腰时，则方程的一个根为7． 将代入， 得， 即， 解得或， 当时，此时一元二次方程为， 解得， 得三边长为7、7、15，由于，不能构成三角形， 当时，此时一元二次方程为， 解得， 得三边长为3、7、7，由于，可以构成三角形， 故的值为4． 故选：B． 4．（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）设方程的两根是，则方程的根为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解，此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出方程的解．首先把变为，而方程的两根是、，利用根与系数可以得到、、、之间的关系，然后代入后面的方程即可解决问题． 【详解】解：， ， 而方程的两个根为、， ，① ，② 又方程可以变为，③ 把①②代入③中得 ， ， ，． 故选：A． 5．（24-25九年级上·甘肃天水·期中）已知m、n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，． 先根据n方程的实数根得出，结合根与系数的关系求出，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m、n是方程的两个实数根， ∴，即， ∴， ∵m，n是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故选：C． 6．（24-25九年级下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知整式，其中，，，，是自然数，若，．下列说法： ①若，则； ②若，且，则满足条件的不同整式中共有7个； ③当时，设其四个实数根为，，，．若存在正整数使得为正整数，则． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查因式分解的拓展应用，韦达定理．令和，可判断①；根据抽屉原理，可判断②；根据韦达定理得出，根据为正整数，通过解不等式组求出整数k，可判断③． 【详解】解：当时，， 即， 当时，， 即， 得：， ， ∵， ，故①正确； ∵， ∴． ∴． ∵， ∴的最小取值． ∴， ∵，， ∴都为自然数， ∴或， ∴，或，或或或，， ∴，（舍去）或，或，（舍去）或，， 当，时， 则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 当，时， 则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合； ∴满足条件的不同整式有：(个)； 综上，满足条件的不同整式有：(个)；故②错误． 当时，该方程存在4个实数根记为，，，， ， 由等式两边常数项相等，可得：， ， 存在正整数k，使为正整数， 或， 或， 或， 或， 或，故③错误； 综上可知，正确的个数为1个， 故选：B． 二、填空题 7．（24-25九年级上·江西九江·阶段练习）已知 m、n是一元二次方程 的两个实数根，则 的值为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键； 根据题意可得，然后变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m、n是一元二次方程 的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 8．（24-25九年级下·山东菏泽·期中）关于x的一元二次方程有两个实数根．若分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，由关于x的一元一次方程有两个实数根，得到，由分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2，，联立求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∵分别是一个菱形的两条对角线，菱形的面积是2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴关于x的一元二次方程为， ， ∴k的值为， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·四川南充·期中）已知m，n是方程的两实数根，则 【答案】3 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义以及根与系数的关系．根据一元二次方程根的定义可得出，根据根与系数的关系得出，然后整体代入求解即可． 【详解】解∶∵m，n是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为∶3． 10．（24-25九年级下·江苏连云港·期中）方程的两个根为，，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，可求出m的值；再由，即可求出答案． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（24-25九年级上·全国·期中）设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：，是关于x的方程的两根， ， ， ， 将代入，得：， 解得， 故答案为：8． 三、解答题 12．（24-25九年级上·广东江门·期中）已知关于的方程．若方程的一个根是，求的值及另一个根． 【答案】，另一个根是 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解以及一元二次方程的根与系数的关系，将代入方程得出关于的一元一次方程，解方程求得，设另一个根为，根据根与系数的关系，即可求出答案． 【详解】解：∵关于的方程．方程的一个根是， ∴ 解得： 设另一个根为，根据一元二次方程根与系数的关系可得：， 解得：； 综上所述，，另一个根是． 13．（24-25九年级上·云南红河·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握根的判别式和根与系数之间的关系，是解题的关键： （1）求出判别式的符号进行判断即可； （2）根据根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根； （2）由题意，得：， ∴． 14．（24-25九年级上·全国·期中）已知关于x的一元二次方程． (1)若方程总有两个实数根，求m的取值范围； (2)若方程有一个实数根为1，求m的值和另一个实数根． 【答案】(1)； (2)m的值为1， 另一根为3 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程． （1）由方程有两个实数根结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围； （2 ）设为方程的另一个根，根据根与系数的关系可得出，，解方程组即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x的方程总有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：设为方程的另一个根， ∴，． 解得：，， ∴m的值为1，另一个根为3． 15．（24-25九年级上·广东汕头·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个根，满足，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)的值为或． 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程根与系数的关系，正确理解一元二次方程根的判别式，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根；熟记：一元二次方程的两个根为，，则，是解题的关键． （）计算根的判别式的值得到，所以，然后根据根的判别式的意义得到结论； （）先利用根与系数的关系得，，再由已知条件得到，所以，然后解关于的方程即可． 【详解】（1）证明：∵ ∴方程总有两个不相等的实数根； （2）解：根据根与系数的关系得，， ∵， ∴， ∴， 整理得， 解得，， 即的值为或． 16．（24-25九年级上·四川南充·阶段练习）已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论为何值，该方程总有两个不等实根． (2)当的斜边，且两直角边恰好是这个方程的两个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系和根的判别式及勾股定理，解题的关键是掌握相关知识． （1）根据即可证明无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）根据勾股定理及根与系数的关系列出关于的方程，解出即可得出答案． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ， ， ， 无论为何值，， 无论为何值，该方程总有两个不等实根； （2）解：和恰好是方程的两个根， ，， 是直角三角形，斜边为， ， ， ， 化简得， 解得或， 又时，，不合题意舍去， ． 17．（24-25九年级上·广东惠州·期中）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，． (1)求的取值范围． (2)是否存在实数，使得成立？若存在，请求出值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不存在这样的实数k．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系等知识点． （1）根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再代入化简可得，据此求解即可得． 【详解】（1）解：由题意得：方程的根的判别式， 解得； （2）解：不存在，理由如下， 由一元二次方程根与系数的关系得：，， 则， ， ， ， ∵， ∴， ∴． ∵（不符题意，舍去）， 故不存在这样的实数k． 18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）类比是探索发现的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法． 学习再现： 设一元二次方程的两个根分别为和， 那么， 比较系数得，． 类比推广： （）设的三个根分别为，，，求的值． 问题解决： （）若的三个根分别为，，，则的值是______． 拓展提升： （）已知实数满足，且，求正数的最小值． 【答案】（）；（）；（） 【分析】（）根据学习材料得，据此即可求解； （）结合（）的结果，再根据即可求解； （）由题意可得，，进而得是方程的两根，由和可得，即得，进而可得，据此即可求解； 本题考查了一元二次方程根和系数的关键，一元二次方程根的判别式，多项式的乘法运算，掌握一元二次方程中根与系数的关系以及多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：（）根据学习材料提示得， ， ， ， ∴，， ∴的值为； （）∵的三个根分别为，，， 又∵，， ∴，， ∴， 故答案为：； （）∵，， ∴，， ∵是方程的两根， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴正数的最小值为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$