模考中托勒密定理的应用 训练-2026届高三数学一轮复习

( 第 1 页 共 4 页 ) 更多模考中托勒密定理的应用 【典例1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【典例2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【典例3】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【典例4】凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（　　） A．4 B． C． D． 【典例5】在中，，，以为边作等腰直角三角形(为直角顶点，，两点在直线的两侧).当角变化时，线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【典例6】如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【典例7】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【典例8】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系： 如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度； （2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立． ②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： （i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值； （ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积． 【典例9】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，. (1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长； (2)当时，求线段长度的最大值. 【典例10】已知半圆O的半径为1，A为直径延长线上的点，且，B为半圆上任意一点，以为一边作等边，设. (1)当时，求四边形的周长； (2)托勒密所著《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.据以上材料，当线段的长取最大值时，求； (3)当为何值时，四边形的面积最大，并求此时面积的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ ( 第 1 页 共 4 页 ) 更多模考中托勒密定理的应用 【典例1】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和.其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积.从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质.已知四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC、BD是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形ABCD的面积为（    ） A． B．16 C． D．12 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即，所以，， 又因为，， 因此， . 故选：C. 【典例2】托勒密是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理原文：圆的内接四边形中，两对角线所包矩形的面积等于一组对边所包矩形的面积与另一组对边所包矩形的面积之和．其意思为：圆的内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积．从这个定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式，托勒密定理实质上是关于共圆性的基本性质．已知四边形的四个顶点在同一个圆的圆周上，、是其两条对角线，，且为正三角形，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设，由托勒密定理可知， 即，所以，， 又因为，， 因此， . 故选：C. 【典例3】克罗狄斯·托勒密是古希腊著名数学家、天文学家和地理学家，他在所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和，当且仅当凸四边形的对角互补时取等号，后人称之为托勒密定理的推论．如图，四边形ABCD内接于半径为的圆，，，，则四边形ABCD的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】连接AC，BD． 由，及正弦定理，得， 解得，． 在中，，，， 所以． 因为四边形ABCD内接于半径为的圆， 它的对角互补，所以， 所以,所以， 所以四边形ABCD的周长为． 故选：A． 【典例4】凸四边形就是没有角度数大于180°的四边形，把四边形任何一边向两方延长，其他各边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形，如图，在凸四边形ABCD中，，，，，当变化时，对角线BD的最大值为（　　） A．4 B． C． D． 【答案】C 【解析】设，，，， 在△ABC中，由余弦定理，得， 由正弦定理，得，∴. ∵，，， 在△BCD中，由余弦定理，得, ∴ ， 当，即时，取得最大值，为， 即BD的最大值为. 故选：C. 【典例5】在中，，，以为边作等腰直角三角形(为直角顶点，，两点在直线的两侧).当角变化时，线段长度的最大值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．9 【答案】A 【解析】中，，，， 在中，由正弦定理得：， ， 在中， ， 当时最大为9，故最大值为3， 故选：A 【典例6】如图所示，在平面四边形ABCD中，AB=1，BC=2，ACD为正三角形，则BCD面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在ABC中，设， ， 由余弦定理得：， ∵ACD为正三角形， ∴， ， ， 在ABC中，由正弦定理：， ∴， ∴， ∴， ， ∵，∴为锐角，， ∴， ， 当时，． 【典例7】古希腊数学家托勒密对凸四边形（凸四边形是指没有角度大于180°的四边形）进行研究，终于有重大发现：任意一凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当四点共圆时等号成立.且若给定凸四边形的四条边长，四点共圆时四边形的面积最大.根据上述材料，解决以下问题，如图，在凸四边形中，    (1)若，，，（图1），求线段长度的最大值； (2)若，，（图2），求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出四边形面积的最大值； (3)在满足（2）条件下，若点是外接圆上异于的点，求的最大值. 【解析】（1）由，，，，可得， 由题意可得， 即， 即，当且仅当四点共圆时等号成立 即的最大值为； （2）如图2，连接，因为四点共圆时四边形的面积最大，，，， 所以，即，， 在中，，① 在中，由余弦定理可得，② 由①②可得， 解得，而，可得， 所以， 此时． 所以时，四边形面积取得最大值，且最大值为． （3）由题意可知所以，即， 在中，由余弦定理可得, 故, 故， 故，当且仅当时等号成立， 故最大值为 【典例8】（1）四点共圆是平面几何中一种重要的位置关系： 如图，，，，四点共圆，为外接圆直径，，，，求与的长度； （2）古希腊的两位数学家在研究平面几何问题时分别总结出如下结论： ①（托勒密定理）任意凸四边形，两组对边的乘积之和不小于两条对角线的乘积，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时等号成立．②（婆罗摩笈多面积定理）若给定凸四边形的四条边长，当且仅当该四边形的四个顶点共圆时，四边形的面积最大． 根据上述材料，解决以下问题： （i）见图1，若，，，，求线段长度的最大值； （ii）见图2，若，，，求四边形面积取得最大值时角的大小，并求出此时四边形的面积． 【解析】（1）因为为外接圆直径，，，， 由同弧所对的圆周角相等，可得，， ，所以， 而， 所以， ， 在中，由正弦定理可得， 即； 即，； （2）（i）设，则 ， 由材料可知， ， 即 ， 解得 ， 所以线段长度的最大值为． （ii）由材料可知，当 A、B、C、 四点共圆时，四边形的面积达到最大． 连接，在中，由余弦定理得： ，① 在 中，由余弦定理得： ，② 因为 A、B、C、 四点共圆，所以，从而，③ 由①②③，解得 ， 因为，所以 ． 从而， ， 所以 ． 【变式1-1】克罗狄斯托勒密（约90-168年）是希腊著名的数学家、天文学家和地理学家.他一生有很多发明和贡献，其中托勒密定理和托勒密不等式是欧几里得几何中的重要定理.托勒密不等式内容如下：在凸四边形中，两组对边乘积的和大于等于两对角线的乘积，即，当四点共圆时等号成立.已知凸四边形中，. (1)当为等边三角形时，求线段长度的最大值及取得最大值时的边长； (2)当时，求线段长度的最大值. 【解析】（1）设，因为，所以， 所以，当四点共圆时等号成立，因为，， 在中，， 所以，所以的边长为； （2）设，在中， 因为， 所以，所以， 因为.所以， 当且仅当时等号成立，因为，所以， 所以， 由，故， 因为，， 所以，所以. 【变式1-2】已知半圆O的半径为1，A为直径延长线上的点，且，B为半圆上任意一点，以为一边作等边，设. (1)当时，求四边形的周长； (2)托勒密所著《天文集》中涉及如下定理：任意凸四边形中，两条对角线的乘积不大于两组对边乘积之和，当且仅当对角互补时取等号.据以上材料，当线段的长取最大值时，求； (3)当为何值时，四边形的面积最大，并求此时面积的最大值. 【解析】（1）在中，由余弦定理得，即， 于是四边形的周长为； （2）因为，且为等边三角形，，， 所以， 所以， 即的最大值为3，取等号时， 所以， 不妨设，则，解得， 所以， 所以； （3）在中，由余弦定理得， 所以， 因为，于是四边形的面积为： ， 当，即时，四边形的面积取得最大值为． 所以，当满足时，四边形的面积最大，最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$