5.2二次函数的图像与性质（5）交点式学案2024-2025学年苏科版九年级数学下册

九年级数学学案 课题：5.2二次函数的性质（5)交点式 学习目标： 1、会将二次函数一般式转化为两根式 2、知道二次函数的图象与x轴（或y=h）交点的个数与△的关系 学习重点：一般式转化为两根式，两根式转化为一般式。 学习难点：能够综合运用二次函数与一元二次方程的关系解题 学习过程 ： 一、情境引入 1、分解因式：x2-2x-3； 2、根据上面结论，二次函数y= x2-2x-3可以写成什么形式？ 3、回顾一次函数与二元一次方程组的关系：一次函数y=－x+5与y= 2x－1的图象的交点坐标与方程组 的解是什么关系？ 结论：要求两个函数图象的交点坐标，就是把两个函数图象的表达式组成方程组，方程组的解就是交点坐标。 2、 合作探究：二次函数的两根式（交点式） 若一元二次方程的两根为，则可写成a(x-x1)(x-x2)；所以二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)可以写成另一种表达式：y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）叫做二次函数的两根式又称交点式。 知识点1： 对于抛物线y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0），当y=0时,就是方程a(x-x1)(x-x2)=0, 所以，既是方程a(x-x1)(x-x2)=0的 ，也是抛物线y=a(x-x1)(x-x2) 与x轴的 的横坐标。 3、 例题精选 例1：下面是否是二次函数的两根式，如果是请指出a, x1，x2 ;若不是，转变成两根式 （1）y=(x-1)(x+3) （2）y=3x(x-1) （3） y=(2x-6)(3x-3) 同质训练：将下列二次函数化为两根式： （1）y=x2+2x-15； （2）y= x2+x-2； （3）y=2x2+2x-12； 知识点2．抛物线y=a(x-x1)(x-x2)（a≠0）与x轴的交点坐标是A（x1，0）和B（x2，0），那么抛物线的对称轴为x=，点A、点B之间的距离为== 例2：若函数y=ax2+bx+c(a≠0)其中a、b、c满足a+b+c=0和4a-2b+c=0则其对称轴是 。 例3：已知关于x的二次函数图象的对称轴是直线x=1，图象交y轴于点（0，2），且过点（-1，0）求这个二次函数的解析式； 同质训练1：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标是A（1，0）和B（-3，0）， 那么抛物线的对称轴为 点A、点B之间的距离为 同质训练2：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标是A（-1，0），对称轴方程为直线x=3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 知识点3：抛物线与x轴的两个交点的距离（如下图中的AB） ( O x x 1 x 2 y A B )已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标是A（x1，0）和B（x2，0）， 则：=== 当堂反馈：二次函数y=x2－(m－3)x－3m的图象如图所示。 （1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是4？ （2）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，求m为何值时，PQ=MN。 课后练习： 班级 姓名 A基础知识必做题： 1．抛物线y=-9(x-4)(x＋6)与x轴的交点坐标为 。 2．抛物线y= 3x2-2x-1与轴两交点间的距离是 ； 3．若函数y=ax2+bx+c(a≠0)其中a、b、c满足a+b+c=0和9a-3b+c=0则其图象对称轴是 。 4．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的一个交点坐标是A（-1，0），对称轴方程为直线x=3，则抛物线与x轴的另一个交点坐标是 5．抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点坐标是A（1，0）和B（-3，0）， 那么抛物线的对称轴为 点A、点B之间的距离为 6． 将抛物线y=-（x+1）（x+5）沿x轴或y轴只平移一次，使抛物线经过原点，则平移的方式有（ ）种。 A、2 B、3 C、4 D、5 7．抛物线y=3x2＋5x与两坐标轴交 点的个数为（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 8．将下列二次函数化为两根式： （1）y=x2-2x-15； （2）y= x2-x-2； （3）y=2x2-2x-12； 9．试求m为何值时，二次函数y=x2+(m－3)x－3m的图象与x轴的两个交点间的距离是3？ 10．已知抛物线的对称轴为直线x=2，且通过点（1，4）和点（5，0），求此抛物线的解析式； B知识与技能演练题 11．先画出抛物线y=x2－6x+5的草图 ，再回答下列问题： （1）在x轴上截得的长度为______； （2）当x___________时y随x的增大而减小； （3）当x满足__________________时，y>0； （4）若它与直线y= kx-6只有一个交点，则k=____________； ( x y O )（5）将图象沿x轴方向向左平移2个单位，再沿y�轴向下得到平移个2单位，得到新二次函数的解析式为___________________； （6）与它关于x轴对称的抛物线的解析式为_____________； （7）当0≤x≤4时，y的取值范围是 。 C能力拓展探究题 12．如图，直线y1=x+m和抛物线y2=x2+bx+c都经过点A(1，0)，B(3，2)． ⑴求m的值和抛物线的解析式； ⑵求不等式 x2+bx+c > x+m 的解集(直接写出答案)． （3） 求方程 x2+（b-1)x+c-m=0的根 (4)求使y1·y2＜0的自变量x的取值范围。 4 学科网（北京）股份有限公司 $$