集合 讲义-2026届高三数学一轮复习

第1章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合 课标要求： 1.了解集合的含义，了解全集、空集的含义. 2.理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系. 3.会求两个集合的并集、交集与补集. 4.能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算． 一．知识梳理：（学生填空自测，教师补充完善） 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2.集合的基本关系 (1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)． (2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)． (3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. (4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．集合的基本运算 表示 运算 集合语言 图形语言 记法 并集 {x|x∈A，或x∈B} A∪B 交集 {x|x∈A，且x∈B} A∩B 补集 {x|x∈U，且x∉A} ∁UA 常用结论 1．若集合A有n(n≥1)个元素，则集合A有2n个子集，2n－1个真子集． 2．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集． 3．A∩B＝A⇔A⊆B，A∪B＝A⇔B⊆A. 4.德·摩根定律：①CU(A∩B)=(CUA)U(CUB); ②CU(AUB)=(CUA)∩(CUB) 5.集合中元素个数计算(阅读课本人教A 版P15-P16) ①card(AUB)=card(A)+card(B)-card(A∩B) ②card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(A∩C)-card(B∩C)+card(A∩B∩C) （本部分教师要帮助学生形成集合知识结构图） 二．考点强化 考点1：集合与元素 例1.（1）已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A中元素个数为____个 （2） 设，集合，则b-a=_____; 答案：（1）A={(-1，-1),(-1，0),(0，-1),(0，0),(0，1),(1，0),(1，1)}共7个； （2）1 方法总结：解决集合含义问题的关键点：(1)一是确定构成集合的元素．(2)确定元素的限制条件．(3)根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题． 考点2：集合的基本关系 例2.（1）(2023·新高考全国Ⅱ)设集合A＝{0，－a}，B＝{1，a－2,2a－2}，若A⊆B，则a等于(　　) A．2 B．1 C. D．－1 （2） （3）已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且A∪B＝A，则实数m的取值范围是________． 答案（1）.B解析：若a－2＝0，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1,0,2}，不符合题意；若2a－2＝0，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{1，－1,0}，符合题意．综上所述，a＝1. （2）M=N （3）{m|m≤4} 解析：　因为A∪B＝A，则B⊆A. 当m＋1>2m－1，即m<2时，B＝∅⊆A，满足题意； 当m＋1≤2m－1，即m≥2时，B≠∅， 由B⊆A可得解得－3≤m≤4，此时2≤m≤4. 综上所述，m≤4. 方法总结:(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解． (2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题． 考点3：集合的基本运算 例3.（1）（2025新课标2）已知集合，0，1，2，，，则　　 A．，1， B．，2， C．， D．， （2）（多选）若非空集合M，N，P满足M∩N＝N，M∪P＝P，则(　　) A．P⊆M B．M∩P＝M C．N∪P＝P D．M∩(∁PN)＝∅ 答案　（1）D （2）BC解析：由M∩N＝N，可得N⊆M， 由M∪P＝P，可得M⊆P，则推不出P⊆M，故A错误；由M⊆P，可得M∩P＝M，故B正确；因为N⊆M且M⊆P，所以N⊆P，则N∪P＝P，故C正确；由N⊆M，可得M∩(PN)不一定为空集，故D错误． 方法总结：对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况． 三．考点练习 1.（人教A版必修1P5练习2)用符号或填空： 0____N; -3___N; 0.5____Z;__Z;__Q;___R. 2.设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为(　　）A．3 B．4 C．5 D．6 3.已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为(　　) A．1 B．1或0 C．0 D．－1或0 4.（2025新课标1）设全集，集合，则中元素个数为（   ） A．0 B．3 C．5 D．8 5.(2025北京卷）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 6.(2023·新高考全国Ⅰ)已知集合M＝{－2，－1,0,1,2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N等于(　　) A．{－2，－1,0,1} B．{0,1,2} C．{－2} D．{2} 7．已知全集U，若集合A和集合B都是U的非空子集，且满足A∪B＝B，则下列集合中表示空集的是(　　) A．(∁UA)∩B B．A∩B C．(∁UA)∩(∁UB) D．A∩(∁UB) (选用）8.（必修1P35拓广探索） 学校举办运动会时，高一(1)班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛.同时参加田径和球类比赛的有多少人?只参加游泳一项比赛的有多少人? 答案:1.0N; -3N; 0.5Z;Z;Q;R. 2.B.解析　因为集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，C＝{x＋y|x∈A，y∈B}，所以C＝{5,6,7,8}．即C中元素的个数为4. 3.C 解析　∵－1∈A，∴当a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合中元素的互异性；当a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，符合题意，故a＝0. 4.C 5.D 6.C 7.D解析　由Venn图表示集合U，A，B如图， 由图可得(∁UA)∩B＝∁BA，A∩B＝A，(∁UA)∩(∁UB)＝∁UB，A∩(∁UB)＝∅. 学科网（北京）股份有限公司 $$