托勒密定理 讲义-2026届高三数学一轮复习

一、这道涉及托勒密定理的解三角 二、什么是托勒密定理? 三、托勒密定理在解三角形应用 四、以托勒密定理为素材的 17 分压轴题 一、这道涉及托勒密定理的解三角形题 【湖北十一校 25 届高三一次联 T14】克罗狄斯 . 托勒密是希腊数学家, 他博学多才, 既是天文学权威, 也是地理学大师. 托勒密定理是平面几何中非常著名的定理, 它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系, 该定理的内容为: 圆的内接四边形中, 两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和. 已知四边形 是圆 的内接四边形,且 . 若 ,则 (1)圆 的半径是. (2)四边形 面积的取值范围是_. 图 1 解析: (1)由托勒密定理可得 又 如图 1,设圆 的半径为 ,在 中由正弦定理可得 又 (2)如图 1,设 交于点 ,设 由弧 对应的圆周角相等,可知 所以四边形 面积为 所以四边形 面积的取值范围是 二、什么是托勒密定理? 托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 如下图 2,若四边形 内接于圆 ,则有 证明: 利用余弦定理即可 四边形 内接于圆 在 中,由余弦定理得 在 中,由余弦定理得 得 图 2 由于 所以 同理 即 广义托勒密定理: 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。 三、托勒密定理在解三角形应用 【24 届成都二诊 T15】平面四边形 中, ,则 的最大值为_. 图 3 解析: 设 , 则由托勒密不等式可得 则 的最大值为 4 . 【典例 1】如图 4,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为_. 图 4 解析:由托勒密不等式, 【典例 2】已知平面四边形 是由 与等腰直角 拼接而成,其中 ,则当点 到点 的距离最大时,角 的大小为_. 解析:由托勒密不等式, 因为 为等腰直角三角形 当点 到点 的距离最大时,也即托勒密不等式取等号时,即四边形 四点共圆时,所以 四、以托勒密定理为素材的 17 分压轴题 【海南琼海市高一下 7 月期末 T19】如图,半圆 的直径为 , 为直径延长线上的点, , 为半圆上任意一点,以 为一边作等边三角形 . 设 ( 1 )当 时,求四边形 的周长； (2)克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理, 其中涉及如下定理: 任意凸四边形中, 两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号,根据以上材料,则当线段 的长取最大值 时,求 . ( 3 )当 为多少时,四边形 的面积最大,并求出面积的最大值. 解析: (1)在 中, 由余弦定理得 即 ,于是四边形 的周长为 图 5 (2)由托勒密定理可得 且 为等边三角形, 即 的最大值为 6,取等号时 不妨设 ,则 解得 ( 3 )在 中,由余弦定理得 于是四边形 的面积为 当 ,即 时,四边形 的面积取得最大值为 所以当 满足 时,四边形 的面积最大,最大值为 学科网（北京）股份有限公司 $$ 一、这道涉及托勒密定理的解三角 二、什么是托勒密定理? 三、托勒密定理在解三角形应用 四、以托勒密定理为素材的 17 分压轴题 一、这道涉及托勒密定理的解三角形题 【湖北十一校 25 届高三一次联 T14】克罗狄斯 . 托勒密是希腊数学家, 他博学多才, 既是天文学权威, 也是地理学大师. 托勒密定理是平面几何中非常著名的定理, 它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系, 该定理的内容为: 圆的内接四边形中, 两条对角线长的乘积等于两组对边长的乘积之和. 已知四边形 是圆 的内接四边形,且 . 若 ,则 (1)圆 的半径是. (2)四边形 面积的取值范围是_. 图 1 解析: (1) (2) 二、什么是托勒密定理? 托勒密定理: 圆内接四边形中,两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和. 如下图 2,若四边形 内接于圆 ,则有 证明: 图 2 广义托勒密定理: 在四边形 内,有 , 并且仅当四边形 内接于圆时取等号。该不等式又称为托勒密不等式。 三、托勒密定理在解三角形应用 【24 届成都二诊 T15】平面四边形 中, ,则 的最大值为_. 图 3 解析: 【典例 1】如图 4,在平面四边形 中, ,当 变化时,对角线 的最大值为_. 解析: 图 4 【典例 2】已知平面四边形 是由 与等腰直角 拼接而成,其中 ,则当点 到点 的距离最大时,角 的大小为_. 解析: 四、以托勒密定理为素材的 17 分压轴题 【海南琼海市高一下 7 月期末 T19】如图,半圆 的直径为 , 为直径延长线上的点, , 为半圆上任意一点,以 为一边作等边三角形 . 设 ( 1 )当 时,求四边形 的周长； (2)克罗狄斯·托勒密(Ptolemy)所著的《天文集》中讲述了制作弦表的原理, 其中涉及如下定理: 任意凸四边形中, 两条对角线的乘积小于或等于两组对边乘积之和,当且仅当对角互补时取等号,根据以上材料,则当线段 的长取最大值时,求 . ( 3 )当 为多少时,四边形 的面积最大,并求出面积的最大值. 解析: (1) (2) (3) 图 5 学科网（北京）股份有限公司 $$