非对称韦达定理与应用讲义-2025届高三数学二轮复习

非对称韦达定理与应用 在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．或者在处理斜率比值的时候： 还有诸如线段的比例关系会得到：或者的结构. 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法． 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决： （1）利用关系式,将问题转化韦达定理求解. （2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型. 具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析 二．典例分析 例1．已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值． 例2（2024·湖北宜昌·二模）已知、分别是离心率的椭圆的左右顶点，P是椭圆E的上顶点，且. （1）求椭圆E的方程； （2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点. 例3.（2018年重庆预赛）设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示). 例4．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值． 例5.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,椭圆的离心率为.（1）求椭圆方程; （2）若直线交椭圆于、两点,交轴于点. （i）求三角形面积的最大值(其中为坐标原点); （ii）若,求实数的取值范围. 例6．已知椭圆的离心率为，点，分别为的上下顶点，点为的四等分点． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与交于异于，的，两点，且直线，交于点，证明：点在定直线上． 三．练习 1．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. （1）求点的轨迹的方程. （2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 2．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围. 3.已知双曲线C:过点,且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程; (2)如图,过点的直线1交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点、,求的值. 4.（2024·湖北·一模）如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且 （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3． 5.（2024·河南新乡·三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|． （1）求椭圆C的标准方程： （2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 非对称韦达定理与应用 在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”．或者在处理斜率比值的时候： 还有诸如线段的比例关系会得到：或者的结构. 我们明明求了韦达定理却无法代入，这时我们就需要通过所求得的韦达定理找到和之间的关系，将其中一个替换，常用手段是把乘法的替换成加法． 这样的非对称形式，即韦达定理无法直接代入，可以通过下面的方法解决： （1）利用关系式,将问题转化韦达定理求解. （2）韦达定理构造互化公式，先局部互化，然后可整理成对称型. 具体办法之一为联立方程后得到韦达定理：代入之后进行代换消元解题.下面通过例题来分析 二．典例分析 例1．已知点F为椭圆的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点(不与A，B重合)，记直线AM与BN的斜率分别为证明为定值． 解析：方法1.先联，消x得，易知△>0，则．，代入目标信息得，稍作整理，即可得，为定值，得证． 若看不出两根之和与两根之积的关系怎么办呢？我们不妨用待定一下系数， 设，∴，完毕，实质上，利用上述待定系数法我们可以进一步解决 的情形. 方法2.显然先考虑直线l斜率不存在时的情形，此时，，或，，对应为或，，此时均有，为定值． 当直线l斜率存在时，不妨就正设直线，联立， 消得易知△＞0，则 处设，即，解得，即 则，得证． 例2（2024·湖北宜昌·二模）已知、分别是离心率的椭圆的左右顶点，P是椭圆E的上顶点，且. （1）求椭圆E的方程； （2）若动直线过点，且与椭圆E交于A、B两点，点M与点B关于y轴对称，求证：直线恒过定点. （1）由题意得，，， 则，所以， 又，所以，，所以椭圆E的方程为. （2）当直线的斜率存在时，设直线，，，则， 由，消去y得.由， 得，所以，. ， 直线的方程为， 即， 因为，，所以， 直线的方程为可化为，则直线恒过定点. 当直线的斜率不存在时，直线也过点，综上知直线恒过定点 例3.（2018年重庆预赛）设椭圆的左、右顶点为,过右焦点作非水平直线与椭圆交于两点,记直线的斜率分别为,试证:为定值,并求此定值(用的函数表示). 证明：设，代入椭圆方程得 ， 设,则，. 两式相除得,. 由题意知,. 从而. . 因为，所以. 可以看到，椭圆中的蝴蝶构型在证明过程中会出现非对称韦达结构，所谓蝴蝶定理，指的是：分别为椭圆的左、右顶点，为轴上一定点，过直线交椭圆于两点，连接，那么. 下面再看一道将蝴蝶定理与面积比结合起来，计算时需要用到非对称韦达定理的题目. 例4．已知椭圆的右焦点为，上顶点为H，O为坐标原点，，点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）设经过点且斜率不为0的直线l与椭圆E相交于A，B两点，点，．若M，N分别为直线AP，BQ与y轴的交点，记，的面积分别为，，求的值． 解析：（1）由，得（c为半焦距），∵点在椭圆E上，则． 又，解得，，．∴椭圆E的方程为． （2）由（1）知．设直线，，．由消去x，得．显然．则，． ∴．由，，得直线AP的斜率，直线的斜率．又，，， ∴．∴． ∵． ∴． 例5.已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点相同,椭圆的离心率为.（1）求椭圆方程; （2）若直线交椭圆于、两点,交轴于点. （i）求三角形面积的最大值(其中为坐标原点); （ii）若,求实数的取值范围. 解析：（1）由，可得，故，设椭圆． 又抛物线的焦点，即，∴椭圆． （2）（ⅰ）当且仅当，，时，等号成立，此时面积最大为． （ⅱ），，， ，， 又， ． 下面我们将会看到，在很多定直线问题中也会出现非对称韦达定理的结构. 例6．已知椭圆的离心率为，点，分别为的上下顶点，点为的四等分点． （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线与交于异于，的，两点，且直线，交于点，证明：点在定直线上． 解析：（1）由题意可知，，因，，且为的四等分点，所以，所以，又知，所以由，解得，， 故椭圆的方程为． （2）由题意可知，直线的斜率存在，设直线方程为，，． 由，得，所以，． 所以．由（1）可知，，， 所以，所以的方程为， 同理可知的方程为，将两直线方程联立方程组可知， ，故点在定直线上． 三．习题 1．已知为的两个顶点，为的重心，边上的两条中线长度之和为6. （1）求点的轨迹的方程. （2）已知点，直线与曲线的另一个公共点为，直线与交于点，求证：当点变化时，点恒在一条定直线上. 【详解】（1）因为为的重心，且边上的两条中线长度之和为6， 所以,故由椭圆的定义可知的轨迹是以为焦点的椭圆（不包括长轴的端点），且，所以，所以的轨迹的方程为； （2）设直线的方程为：，，联立方程得：，则，所以， 又直线的方程为：， 又直线的方程为：，联立方程得：，把代入上式得： ，所以当点运动时，点恒在定直线上. 2．已知椭圆的离心率为，且点在椭圆上． （1）求椭圆的标准方程； （2）若过定点的直线交椭圆于不同的两点､(点在点､之间)，且满足，求的取值范围. 【详解】（1）由题意可知：，解得：椭圆的标准方程为：． （2）①当直线斜率不存在，方程为，则，. ②当直线斜率存在时，设直线方程为，联立  得：.由得：.设，，则 ，，又，，，则， 由于，所以，解得：,又， 综上所述：的取值范围为. 3.已知双曲线C:过点,且渐近线方程为. (1)求双曲线的方程; (2)如图,过点的直线1交双曲线C于点M、N.直线MA、NA分别交直线于点、,求的值. 【详解】（1）∵双曲线C的渐近线方程为，则可设双曲线C的方程为，代入点，即，故双曲线C的方程为. （2）由双曲线C的方程为的方程可得， 由题意可得点，则有：当直线l与轴垂直时，则， 可得直线，令，则，即点，同理可得：点，故，即；当直线l不与轴垂直时，设直线，联立方程，消去x得， 则，可得直线，令，则， 即点，同理可得：点， ，即点关于x轴对称，故，即； 综上所述：的值为1. 4.（2024·湖北·一模）如图，为坐标原点，椭圆（）的焦距等于其长半轴长，为椭圆的上、下顶点，且 （1）求椭圆的方程； （2）过点作直线交椭圆于异于的两点，直线交于点．求证：点的纵坐标为定值3． 【解析】（1）由题意可知：,，又， 有，故椭圆的方程为：． （2）由题意知直线的斜率存在，设其方程为，用的横坐标表示的纵坐标，再联立的方程和椭圆的方程，消去得，利用韦达定理化简的纵坐标后可得所求的定值. 设（）， 联立直线方程和椭圆方程得，消去得， ,，且有， 又，， 由得， 故，整理得到 ，故 ． 故点的纵坐标为3． 5.（2024·河南新乡·三模）已知分别是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，当PF1⊥F1F2时，|PF2|＝2|PF1|． （1）求椭圆C的标准方程： （2）过点Q（﹣4，0）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点M关于x轴的对称点为点M′，证明：直线NM′过定点． （1）由得，， 由椭圆的定义得，，， ，所以点P的坐标为， 将点P的坐标代入椭圆的方程中有， 又，， 解得或， 当，，故舍去； 当，， 所以椭圆的标准方程为：. （2）由题意可知，直线l的斜率必然存在,故设直线l的方程为，设，则， 联立方程组，得， ， 解得，，， 又，，设直线的方程为， ， 当时，，所以直线过定点. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$