第2讲 一元二次函数、方程与不等式- 《温故知新》2025-2026学年高一数学上学期暑假复习课（人教A版2029必修第一册）

第2讲 一元二次函数、方程与不等式 考点一 基本不等式求最值 【例1-1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【例1-2】（1）（2026湖南）当时，函数的最大值为 ． （2）（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为 【例1-3】（24-25浙江宁波·期中）（多选）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【变式】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 3．（2026北京）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 5．（24-25浙江）已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 6．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）（多选）已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 考点二 一元二次不等式的解确定参数 【例2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【变式】 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山东日照·期末）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 3．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足，求的最小值. 考点三 一元二次不等式恒（能）成立 【例3-1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-2】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】 1．（2025湖南）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 2．（2026高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 3．（2025·辽宁）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 考点四 一元二次根的相关问题 【例4-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【例4-3】（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式】 1.（2025安徽）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 2、（2025河南）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 考点五 解含参的一元二次不等式 【例5】（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【变式】 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 2．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 3．（24-25 安徽铜陵·阶段练习）设． (1)若，求的最小值； (2)解关于的不等式. 考点六 不等式的性质 【例6-1】（2025·山西临汾）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【例6-2】．（24-25高一上·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式】 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）（多选）下列不等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．，则 3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 考点七 一元二次函数的单调性及最值 【例7-1】（24-25高一上·海南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【例7-2】（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式】 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南·阶段练习）（多选）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 4．（24-25河南周口·期中）已知函数在区间内的最大值为，则 ． 1． 单选题 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在时取得最小值，则（   ） A．24 B．28 C．32 D．36 3．（2025·天津红桥）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 4．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2025高一上·河北保定·专题练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 7（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 8．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 2． 多选题 9．（24-25高一上·全国·期末）下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 10．（24-25高一上·福建福州·期中）下列四个结论中正确的是（　　） A．命题“”的否定是“” B．设，则“”的充分不必要条件是“” C．若“”为真命题，则 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是 11．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 12．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 13．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 3． 填空题 14．（安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题）已知，，，则的最小值为 ． 15．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，那么函数的最小值是 . 16．（2025·甘肃）已知，且，则的最小值是 . 17．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 18．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 4． 解答题 19．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数满足的解集为，且． (1)求的解析式； (2)设，解关于的不等式. 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 21．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 22．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 23．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 24．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 25．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 26．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 27．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若关于x的方程有两个不等的正实数根与，求a的取值范围和的取值范围. 28．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 29．（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 30．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设函数，其中. (1)若， （i）当时，求的最大值和最小值; （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2讲 一元二次函数、方程与不等式 考点一 基本不等式求最值 【例1-1】（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）（1）已知，求的最大值； （2）若，求的最小值； （3）已知为正实数，，求的最小值. 【答案】（1）；（2）8；（3）． 【解析】（1）因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号；所以，的最大值为. （2）因为，所以，所以，当且仅当时取等号， 故的最小值为. （3），． 又，，， 当且仅当，即时，等号成立．由得当，时，取得最小值． 【例1-2】（1）（2026湖南）当时，函数的最大值为 ． （2）（2025·福建泉州·二模）若，，且，则的最小值为 【答案】（1）3（2）3 【解析】（1）由， 当且仅当，即时等号成立，所以．故答案为：. （2）因为，，则，，由题意可知，则， ， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值是. 【例1-3】（24-25浙江宁波·期中）（多选）已知，为正实数，，则（   ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为 D．的最小值3 【答案】ACD 【解析】对于A，，为正实数，，所以， 当且仅当时，的最大值为1，故A正确； 对于B，由于，由A选项可知， 所以，所以的最小值为2，故B不正确； 对于C， ， 因为，为正实数，，所以， 则， 当且仅当，即时，的最小值为，故C正确； 对于D，，当且仅当时，的最小值3，故D正确. 故选：ACD. 【变式】 1．（2026高三·全国·专题练习）已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为，所以，由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立，故的最大值为.故选：A 2．（24-25高一上·内蒙古乌兰察布·期末）已知，则的最小值是（   ） A．4 B．5 C．3 D．2 【答案】C 【解析】由题设，当且仅当时取等号，故原式的最小值为3. 故选：C 3．（2026北京）若正实数，满足，则的最小值为（   ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【解析】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立．故选：A. 4．（24-25高一下·辽宁朝阳·阶段练习）已知正数x，y满足，则的最小值为（   ） A．36 B．24 C．18 D．12 【答案】B 【解析】因，，则， 当且仅当，即，时，等号成立．故选：B 5．（24-25浙江）已知，，且，则的最小值为（   ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【解析】因为，，，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8.故选：C 6．（24-25高一下·湖南常德·阶段练习）（多选）已知均为正数，且，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】对于A，，于是，解得， 当且仅当即时等号成立，故A正确； 对于B 由得，得，即， 所以， 当且仅当即时等号成立，故B正确； 对于C，由得，即， 由于，所以， 所以 ， 当且仅当即等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当即等号成立，故D错误 故选：ABC. 考点二 一元二次不等式的解确定参数 【例2】（24-25高一下·河北保定·阶段练习）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（    ） A． B． C．不等式的解集为或 D．不等式的解集为 【答案】ABD 【解析】的解集为，故，且，即； 对A：，故A正确； 对B：，故B正确； 对CD：不等式，即，又，故， 也即，解得，即不等式解集为，故C错误，D正确. 故选：ABD. 【变式】 1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题可知的根为1和2，代入方程可得，， 不等式等价于，则解集为， 故选：D. 2．（24-25高一上·山东日照·期末）（多选）已知关于x的不等式的解集为，则（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．的最小值为6 【答案】ACD 【解析】对于A，根据题意，方程的两根，且，故A正确； 对于B，由，，，即，，则，故B错误； 对于C，因为，， 所以不等式为，又， 所以不等式变为，解得，即不等式的解集为，故C正确； 对于D，，，， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为6，故D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一下·安徽亳州·阶段练习）已知关于x的不等式的解集为或. (1)求a，b的值； (2)当，，且满足，求的最小值. 【答案】(1) (2)8 【解析】（1）因为不等式的解集为或， 可知1和是方程的两个实数根且， 方法一：可得，解得； 方法二：由1是的根，则，解得， 将代入得，解得或， 所以. （2）由（1）知，可得， 且，， 可得， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为8. 考点三 一元二次不等式恒（能）成立 【例3-1】（24-25高一上·江苏苏州·期末）若命题“”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为命题“”是假命题， 所以“” 是真命题， 因此 即实数的取值范围是. 故选：B. 【例3-2】（23-24高一上·北京·期中）已知存在，使得成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】依题意，令， 则，其图象开口向上，对称轴为， 所以函数在区间上单调递减，则， 因为存在，使得成立， 所以，即， 即，解得， 所以的取值范围是， 故选：C. 【变式】 1．（2025湖南）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】当时，，不等式恒成立； 当时，，解得． 综上，． 故答案为：. 2．（2026高三·全国·专题练习）若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】构造函数，其图象开口向上， 因为不等式对任意恒成立， 所以，即，解得，即， 所以实数的取值范围是． 故答案为：． 3．（2025·辽宁）命题p:“，”是假命题，则m的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题，为真命题， 所以，对， 又在上的最小值为， ， 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 4．（24-25高一下·贵州毕节·阶段练习）若命题为真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为命题为真命题， 所以在上恒成立， 因为，所以，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 即的最大值为， 所以，即实数的取值范围是. 故答案为： 考点四 一元二次根的相关问题 【例4-1】（24-25高一上·河南·阶段练习）已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】记，则函数为开口向上的二次函数， 要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要时，即可， 即，解得，所以实数a的取值范围是. 故选：C. 【例4-2】（24-25高一上·上海徐汇·期末）下列说法正确的是（    ） A．方程的两个实数根满足 B．关于的一元二次方程一定有两个不相等的实数根 C．已知方程的两个实数根，则 D．若关于的一元二次方程的两个实数根，则 【答案】D 【解析】A：由中，即方程无实根，错； B：由方程知不一定恒成立，故方程不一定有两个不等的实根，错； C：由，显然，错； D：由题设中，对. 故选：D 【例4-3】（2026高三·全国·专题练习）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式可化为， 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是4，5，6，所以； 当时，不等式的解集为，此时不符合题意； 当时，不等式的解集为，要使解集中恰有3个整数，则这3个整数只能是0，1，2，所以． 综上可知，实数的取值范围是． 故选：C． 【变式】 1.（2025安徽）已知方程有两个不相等的实数根，且两个实数根都大于2，则实数m的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令 由题可知： 则，即故选：C 2、（2025河南）已知关于的不等式的解集为，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，且， 所以，当且仅当时等号成立.故选：C 3．（2025·辽宁）已知一元二次方程x2＋ax＋1＝0的一个根在(0，1)内，另一个根在(1，2)内，则实数a的取值范围为________． 【答案】 【解析】设f (x)＝x2＋ax＋1，由题意知，解得－<a<－2.故答案为：. 4．（24-25高一上·天津·阶段练习）方程 的两根都大于2，则实数的取值范围为 【答案】 【解析】令，由方程的两根都大于， 得，即，解得． 故答案为： 考点五 解含参的一元二次不等式 【例5】（2026高三·全国·专题练习）若，解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】移项得，对应的方程的两根为和1， 当时，，解得； 当时，，原不等式无解； 当时，，解得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【变式】 1．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【解析】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 2．（24-25高一上·北京·期中）解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【解析】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 3．（24-25 安徽铜陵·阶段练习）设． (1)若，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)4； (2)答案见解析； 【解析】（1）由，且， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为4. （2）由题设，则， 若，则，即，解集为； 若，则，解集为； 若，则， 当，即时，解集为； 当，即时，解集为； 综上，时解集为； 时解集为； 时解集为； 时解集为. 考点六 不等式的性质 【例6-1】（2025·山西临汾）若，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由可得，故，故选：D 【例6-2】．（24-25高一上·山东泰安·期末）（多选）下列选项正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】BC 【解析】对于A，当时，满足，此时，所以A错误， 对于B，因为，，所以，所以B正确， 对于C，因为，所以，即， 因为，所以，所以C正确， 对于D，当，时，满足，，此时，， 则，所以D错误. 故选：BC 【变式】 1．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 2．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）（多选）下列不等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．，则 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，当，时，显然不成立，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，所以成立，故C错误； 对于D， ，由则，故D正确． 故选：AD． 3．（24-25高一上·云南曲靖·期末）（多选）已知，则下列不等式一定成立的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】由，得， 当时，得0，即； 当时，得，即，综上或， 上述两种情况均可得，故A选项错误； 当时，得，当时，得，故B选项正确； 令，满足，此时，， 从而得，故C选项错误； 由上述论证可知恒成立，故D正确． 故选：BD． 考点七 一元二次函数的单调性及最值 【例7-1】（24-25高一上·海南·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 由函数在区间上单调递增，可得，解得. 故选:C. 【例7-2】（24-25高一上·广东广州·期中）若函数的最大值为，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【解析】函数的对称轴为，图象开口向下. 当时，函数在区间是减函数， ，由，得. 当时，函数在区间是增函数，在上是减函数， .由，计算出或， ，两个值都不满足. 当时，函数在区间是增函数，，. 综上可知或.故选：C. 【变式】 1．（24-25高一上·陕西西安·期末）若函数在区间上不具有单调性，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】时，在上递减，不合题意； 时，函数图象的对称轴为直线， 因为函数在区间上不具有单调性， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：A. 2．（24-25高一下·湖南·阶段练习）（多选）已知函数在区间上既有最大值又有最小值，则实数的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】BC 【解析】，结合函数的图象可知， 当时，既有最大值又有最小值， 故选：BC 3．（24-25高一下·湖南·阶段练习）已知函数在上单调递减，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，，得. 所以的取值范围是， 故答案为： 4．（24-25河南周口·期中）已知函数在区间内的最大值为，则 ． 【答案】/ 【解析】因为二次函数图象的对称轴为直线， 当时，函数在上为减函数，则，解得，合乎题意； 当时，函数在上为增函数，在上为减函数， 所以，，无解； 当时，函数在上为增函数， 所以，，解得（舍）. 综上所述，. 故答案为：. 1． 单选题 1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【解析】因为，所以，当且仅当时，取得等号.故选：A. 2．（2026高三·全国·专题练习）已知函数在时取得最小值，则（   ） A．24 B．28 C．32 D．36 【答案】D 【解析】因为，，所以， 当且仅当，即时，取得最小值， 又因为在时取得最小值，所以．故选：D． 3．（2025·天津红桥）已知，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 【答案】D 【解析】因为，所以， 当且仅当，且，即时，取等号，所以的最小值为2.故选：D. 4．（24-25高一上·上海金山·期末）当时，关于x的不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】时，，不等式可化为， 因为，且，所以，， 解原不等式，得，所以原不等式的解集为.故选：C. 5．（23-24高一下·云南昭通·阶段练习）若关于的方程的两个不相等实数根满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为关于的方程的两个不相等实数根满足， 所以，由根与系数的关系得：， 结合题意得： 即， 解得或， 即实数的取值范围是， 故选：C. 6．（2025高一上·河北保定·专题练习）“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【解析】当时，得到，不合题意， 当时，由题知，解得， 故选：A. 7（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【解析】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 8．（24-25高一上·广西钦州·阶段练习）“”是“函数在区间上单调递增”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若函数在区间上单调递增， 则，解得，可推出反之不行， 因此，“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：B. 2． 多选题 9．（24-25高一上·全国·期末）下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【答案】BC 【解析】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 10．（24-25高一上·福建福州·期中）下列四个结论中正确的是（　　） A．命题“”的否定是“” B．设，则“”的充分不必要条件是“” C．若“”为真命题，则 D．若函数在区间上的最大值为4，最小值为3，则实数m的取值范围是 【答案】CD 【解析】对于A，命题“”的否定是“”，故A错误； 对于B，当，满足，但，故充分性不成立，故B错误； 对于C，“”为真命题，则，解得，故C正确； 对于D，，对称轴为， 当时，取得最小值3， 令，即，解得或， 函数在区间上的最大值为4，最小值为3， 则实数m的取值范围是，故D正确． 故选：CD． 11．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）已知关于x的不等式的解集为，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．不等式的解集为 D．对满足条件的任意，不等式恒成立，则 【答案】ACD 【解析】因为关于x的不等式的解集为， 所以，且方程的两根为和1， 所以，解得, 所以，解得，故A正确； 由，可得，故B错误； ，即为， 即，即，解得，故C正确； 由B选项可得，设，则， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为不等式恒成立， 所以，解得，故D正确. 故选:ACD. 12．（24-25高一上·四川成都·阶段练习）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．若对都有成立，则 B．若使得有解，则 C．若且使得，则 D．若的解集是，则 【答案】ACD 【解析】对于A，由恒成立，得，解得，A正确； 对于B，当时，，函数在上递减， 当时，，由使得有解，得，B错误； 对于C，依题意，方程有两个不等的正根，则，解得，C正确； 对于D，由的解集是，得是方程的两个根，则，D正确. 故选：ACD 13．（24-25高一上·黑龙江鸡西·期中）下列命题正确的是（    ） A．若关于的方程的一根比1大且另一根比1小，则的取值范围是. B．若关于的不等式的解集是，则关于的不等式的解集是或. C．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是. D．若，则的最小值为. 【答案】ABD 【解析】对于A，二次函数，开口向上， 若关于x的方程的一根比1大且另一根比1小， 则，解得，故A正确； 对于B，若关于x的不等式的解集是，则， 所以关于x的不等式或，故B正确； 对于C，若关于x的不等式在上恒成立， 则只需，即在上恒成立即可， 则实数k的取值范围是，故C错误；‘ 对于D，若，则，解得，等号成立当且仅当， 所以，等号成立当且仅当，故D正确. 故选：ABD. 3． 填空题 14．（安徽省蚌埠市2025届高三下学期适应性考试数学试题）已知，，，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】由题意得， 当且仅当时，即时取等号. 故答案为：. 15．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）已知，那么函数的最小值是 . 【答案】6 【解析】由于，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故答案为：6 16．（2025·甘肃）已知，且，则的最小值是 . 【答案】 【解析】设，由对应系数相等得， 解得 所以，整理得， 即， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是. 故答案为：. 17．（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】，因此由得， 由对勾函数性质知函数在上递减，在上递增， 时，，时，，因此时，的最大值是， 所以，即的范围是． 故答案为： 18．（24-25高一上·重庆·阶段练习）函数的定义域为，值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为函数图象开口向上，且对称轴为，， 令，即，解得或， 所以，即的取值范围是. 故答案为： 4． 解答题 19．（24-25高一上·辽宁鞍山·期中）已知二次函数满足的解集为，且． (1)求的解析式； (2)设，解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）设二次函数， 又，的解集为，即的解集为， 则方程的两根为和，且，所以， 解得，所以. （2）由，即， 当时，原不等式即为，该不等式无解； 当时，解原不等式可得； 当时，解原不等式可得. 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 20．（24-25高一下·安徽马鞍山·开学考试）已知函数，a， (1)若关于x的不等式的解集为或，求实数a，b的值； (2)解关于x的不等式 【答案】(1)； (2)答案见解析 【解析】（1）因为关于x的不等式的解集为或， 所以和1是方程的两个根， 所以， 解得； （2）不等式可化为：， 整理得， 即， 当时，， 则不等式的解集为， 当时，， 则不等式的解集为空集， 当时，， 则不等式的解集为， 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为空集； 当时，不等式的解集为 21．（24-25高一上·江西·期末）设函数 (1)若不等式的解集为，求的值； (2)若，，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解析】（1）由题意，不等式的解集为，则-1和3是方程的两个根， 得解得，所以. （2）若，则，即， 因为，所以，是方程的两个实数根， ①当时，，不等式的解集为， ②当时，解集为， ③当时，，不等式的解集为， 综上所述，当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 22．（24-25高一上·福建莆田·期中）已知关于x的不等式， (1)若的解集为，求实数a，b的值； (2)若求关于x的不等式的解集． 【答案】(1)， (2)答案见解析 【解析】（1）若的解集为， 则是方程的一个根，即，解得， 所以不等式为，解得：，所以. 即，. （2）因为，即， 当时，令，解得， 若时，，不等式解集为：； 若时，，不等式解集为：； 若时， ，不等式解集为：； 综上所述： 当时，不等式解集为：； 当时，不等式解集为：； 当时， 不等式解集为：. 23．（24-25高一上·江西宜春·期中）已知函数，不等式的解集． (1)求函数的解析式； (2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值． 【答案】(1) (2)，． 【解析】（1）∵，不等式的解集， ∴0，5为的两个根， ∴， ∴. （2）由（1）知，，其对称轴是， i.当时，易知在 递增， 故， ii．当即时，， iii．当即时，函数在上单调递减，， 综上，， 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 且，则． 24．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知关于x的方程（其中均为实数）有两个不等实根. (1)若，求m的取值范围； (2)若满足，且，求p的取值范围. (3)若为两个整数根，p为整数，且，求. 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）当时，由题意，若时，方程不是一元二次方程，没有两个实数根， 若方程有两个不等的实数解， 则，解得且， 所以的范围是 . （2），方程为，， 则，又，即 ∴，即， 所以，解得． 所以的取值范围为． （3）依题意：，且， ，， 因为均为整数， 所以也是整数， ∴或， 时，，又且，∴， 时，，又且，∴． 综上，或． 25．（2025高三·全国·专题练习）若关于x的一元二次方程分别满足下列条件时，求m的取值范围． (1)两根都大于0； (2)一根大于，另一根小于； (3)一根在内，另一根在内； (4)一根在内，另一根不在内； (5)一根小于1，另一根大于2； (6)两根都在区间内； (7)在内有解． 【答案】(1) (2) 或 (3) (4) (5) (6) (7) 【解析】（1）设 两根都大于0，应满足解得 （2）一根大于，另一根小于，应满足 , 即 , 解得 或 （3）一根在内,另一根在内,应满足 即 解得 （4）一根在内，另一根不在内， 应满足或或 可得 或 ，又． ∴m的取值范围为． （5）一根小于1，另一根大于2，应满足 即，解得． （6）两根都在内，应满足 解得． （7）在内有解，应满足 或或或解得． 26．（24-25高一上·重庆·期中）已知集合，集合，. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由题意可知，方程有两个不等根、， 所以，，解得或， 由韦达定理可得，， 所以，， 即，解得（舍去）或. （2）方程在区间上有个不等根， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 27．（24-25高一上·湖南长沙·阶段练习）已知函数 (1)若，求不等式的解集； (2)若关于x的方程有两个不等的正实数根与，求a的取值范围和的取值范围. 【答案】(1)或 (2)， 【解析】（1）当时，不等式为， 解得或， 所以不等式的解集为或； （2）因为关于x的方程有两个不等的正实数根与， 所以，解得， 所以a的取值范围为； 因为， 因为，所以， 所以， 所以的取值范围为. 28．（24-25高一上·天津滨海新·期末）已知二次函数，． (1)若时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数a的取值范围： (3)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2) (3)当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 【解析】（1）当，函数， 将代入得， ， 不等式的解集为：； （2）因为的对称轴为：， 为了使函数在区间上单调，对称轴需要位于此区间之外， 或， 解得：或， 因此，实数a的取值范围为：； （3）将原不等式代入得， 整理后得：，即， ①当时，不等式的解集为：， ②当时，不等式的解集为：， ③当时，不等式的解集为：， 综上所述：当时，解集为：；当时，解集为：；当时，解集为：． 29．（24-25高一上·山西朔州·期中）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，若在区间上的最小值为，求的值； (3)当时，若函数在区间上的图象始终在的图象的下方，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3). 【解析】（1）①当时，显然不符合题意； ②当时， 解得. 综上，实数的取值范围为. （2）由知. ①当，即时，， 解得； ②当，即时，， 解得（舍去）. 综上，. （3）由题意得在上恒成立， 即在上恒成立， 又，在上恒成立， 设，则在上单调递减， . 的取值范围是. 30．（24-25高一上·浙江杭州·期中）设函数，其中. (1)若， （i）当时，求的最大值和最小值; （ii）对任意的，都有，求实数的取值范围； (2)若对任意的，都有，求实数的取值范围. 【答案】(1)（i） ；（ii） (2) 【解析】（1）（i）当时，， 所以; （ii）当时，，由， 由题意：，所以. 所以的取值范围为. （2）设函数在区间上的最大值为，最小值为， 所以“对任意的，，都有”等价于“”. ①当时，，， 由，得，又，无解； ②当时，，， 由，得， 因此； ③当时，，， 由，得，因此； ④当时，，， 由，得，无解， 综上所述，实数的取值范围为区间. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$