1.4用一元二次方程解决问题（第3课时）学案2025—2026学年苏科版数学九年级上册

1.4用一元二次方程解决问题（第3课时）学案 班级：___________姓名：___________评价：___________ 【知识梳理】 在用一元二次方程解决根图形有关的问题时，常利用图形性质找出问题中的等量关系. 【课堂练习】 1．如图，在中，，，，动点P，Q分别从点A，B同时开始沿，运动（运动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，当点Q移动到点C时，两点同时停止运动，设运动的时间为，当的面积为时，则可列方程为（    ） 第1题 第2题 A． B． C． D． 2．如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向移，得到，若两个三角形重叠部分的面积为，则它移动的距离等于（    ） A． B． C．或 D． 3．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    第3题 第4题 第5题 A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，，动点P，Q同时出发，点P从A点出发以的速度向点B移动，一直到达点B为止，点Q从点C出发以的速度向点D移动．请问当点P和点Q的距离是时，P、Q两点出发了（   ）秒． A．4 B．或4 C．或8 D． 5．如图，在中，，，，一动点从点出发沿着 方向以的速度运动，另一动点从点出发沿着边以的速度运动，，两点同时出发，运动时间为．当时，（   ） A． B． C．或 D．或 6．如图1，矩形中，，，两动点M，N同时从点B出发，点M在边上以的速度匀速运动，到达点C时停止运动，点N沿的路径匀速运动，到达点C时停止运动．的面积与点N的运动时间的函数图象如图2所示．则下列说法正确的是（    ）           第6题 第7题 ①N点的运动速度是； ②的面积的最大面积为； ③当时，t的值为3或17． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 7．如图，在正方形中，，，相交于点，，分别为边， 上的动点（点，不与线段，的端点重合）且，连接，，、在点运动的过程中，有下列五个结论： ①是等腰直角三角形； ②面积的最小值是1； ③四边形的面积始终不变； ④长度的最小值是； ⑤存在两个，使得的周长是． 所有正确结论的序号是（   ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 8．根据物理学规律，如果把一物体从地面以的速度竖直上抛，那么经过x秒物体离地面的高度（单位：）约为．根据上述规律，则物体经过 秒落回地面． 【课后反馈】 9．如图，线段厘米，O为的中点，射线．动点P从点A出发，以1厘米/秒的速度向点B运动，另一动点Q从点O出发，以2厘米/秒的速度沿射线运动，点P，Q同时出发，当点P到达点B时，点P，Q都停止运动．设点P的运动时间为t秒，当的面积为8平方厘米时，t的值为 ． 第9题 第10题 第11题 10．如图，中，，，，点从点开始沿向点以的速度运动，点从点开始沿边向点以的速度运动，那么 秒后，线段将分成面积的两部分． 11．如图，在四边形中，，，，，．动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运动．设运动的时间为t秒，当 时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 12．如图所示，在四边形中，，，，点P从A向点D以的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以的速度运动，到点B即停止，直线将四边形截得两个四边形，分别为四边形和四边形， (1)则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ (2)若，当时，直接写出经过______秒后，． 13．阅读材料：各类方程的解法：求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式，求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解：类似的，三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程，可以通过因式分解把它转化为，解方程和，可得方程的解． (1)问题：方程的解是：　　，　　； (2)拓展：用“转化”思想求方程的解； (3)应用：如图，已知矩形草坪的长m，宽m，点P在上（），小华把一根长为m的绳子一段固定在点B，把长绳段拉直并固定在点P，再拉直，长绳的另一端恰好落在点C，求的长．    14．某家禽养殖场，用总长为的围栏靠墙（墙长为）围成如图所示的三块矩形区域，矩形与矩形的面积都等于矩形面积的，设长为． (1)请直接写出：____________； (2)当矩形的面积为时，求的长是多少？ 15．《九章算术》是我国古代数学的经典著作，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，其“勾股”中记载了一个数学问题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高，广各几何？”译文为：“已知有一扇矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长为1丈（1丈尺），那么门的高和宽各是多少？”（结果精确到）（参考数据：） 16．合肥某中学老师为了激发同学们的兴趣，在2022年3月22日的“课后服务”中，将围棋棋子摆放成四个图形，如图所示： [观察思考] 第1个图形有6个棋子，第2个图形有10个棋子，第3个图形有16个棋子，第4个图形有24个棋子，以此类推． [规律总结] （1）第5个图形中有_____个棋子． （2）第个图形中有_____个棋子（用含的代数式表示）． [问题解决] （3）是否存在某个图形由114个棋子组成，若存在，求出是第几个图形；若不存在，请说明理由． 17．如图，已知矩形的边长，，某一时刻，动点M从点A出发，沿方向以的速度向点B匀速运动，同时，动点N从点D出发沿方向以的速度向点A匀速运动，当点M到达点B时，两点同时停止运动，问： (1)经过多长时间，长为？ (2)经过多长时间，面积等于矩形面积的？ 18．如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； (1)当移动几秒时，的面积为． (2)设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 19．我们定义：如果一个矩形A周长和面积都是B矩形的N倍，那么我们就称矩形A是矩形B的完全N倍体． 【概念辨析】 （1）若矩形A是边长为1的正方形，是否存在一个正方形B是正方形A的完全2倍体？ ．（填“存在”或“不存在”）． 【深入探究】 长为4，宽为3的矩形C是否存在完全2倍体？ 小鸣和小棋分别有以下思路： 【小鸣方程流】设新矩形长和宽为x、y，则依题意，， 联立由①得③， 将③代入②，得，再探究根的情况； 【小棋函数流】如图，也可用反比例函数与一次函数来研究，作出图象，有交点，意味着存在完全2倍体． （2）那么长为4，宽为3的矩形C是否存在完全倍体？请你利用上述其中一种思路，若存在，请求出新矩形的长和宽；若不存在，请说明理由． （3）静静认为对于任意长为m，宽为n的矩形都存在完全2倍体；小兰认为有些矩形不存在完全2倍体．你支持谁的观点？请说明理由． 20．如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒. (1)当 时，平分四边形的面积. (2)当与四边形的某一边平行时，求的值. (3)连接，是否存在为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$