5 第2课时 垂线的画法及应用-【随堂笔记】2025-2026学年四年级上册数学（人教版）

随堂笔记·数学·四年级·上册·RJ 第②课时 垂线的画法及应用 课前·预习笔记 AI伴学 微课讲解 任务 笔记 重点@ 知识点① 垂线的画法（教材第58页例2） 借助三角尺画垂线的方法： 过直线上（或直线外)一点画已知直线的垂线。用三角尺的一条 直角边和已知直线重合，另一条直角边和直线上（或直线外）的一点 对齐，画出垂线，最后标上直角符号。 里点@ 知识点②点到直线的距离、平行线间的距离（教材第59页例3） (1)点到直线的距离。 学 ①从直线外一点到这条直线所画的（垂直线段）的 长度，叫作这点到直线的（距离）。②从直线外一点到 知 这条直线的所有线段中，（垂直)线段最短。 (2)平行线之间的距离。 端点分别在平行线上，且与平行线垂直的所有 线段的长度都（相等）。这些（垂直线段）的长度 叫作这两条平行线间的距离。两条平行线间的距离处处（相等)。 难点@ 知识点3画长方形的方法（教材第60页例4） 长方形相邻的两条边（互相垂直），可以用（画垂线）的方法 画长方形：(1)画一条线段作长方形的长。（2)从线段的两个端点 出发分别画两条与这条线段垂直的线段，使画出的两条线段长度相等。 (3)把所画的两条线段另外的端点连起来。(4)标出相应数据。 理 点到直线的距离、 垂线的画法 垂线的画法 平行线间的距离 及应用 画长方形的方法 路 90 5平行四边形和梯形 课堂·听课笔记 精批注 [对应教材P58~P60] 2你能画出互相垂直的两条直线吗？ 方法二 方法一 我用两把三角尺来画。 我用量角器画。 方法三： 两把三角尺女须紧靠才能保证画图准确。 也可以用一把三角尺来画。这三种画法中，用一把三角尺画互相垂直的两条直线 最简便，因为三角尺上的两条直角边是互相垂直的。 (1)过直线上一点画垂线。 ①三角尺的一条直②沿直线平移三角 门③沿三角尺的另一条④标上直角特号。 角边与直线重合。 尺，使三角尺的直角 直角边画一条直线 顶点和已知点重合。 与已知直线相交于已 知点。 你能说出过直线上一点，用三角尺画垂线的步骤吗？ (2)过直线外一点画这条直线的垂线，用三角尺应该怎样画呢？试一试。 总结：过直线上（外） 过直线外一点画垂线 一点画垂线的方法共分 和过直线上一点画垂 四步。 线的方法类似，不同 ①重合。②平移。③画线。 的是，在平移三角尺 ④标上直角特号。 时，要使三角尺的男 一条直角边过直线外 做一做 的一点。 你能分别过下面的点，画出相应直线的垂线吗？ 画垂线时，应该沿着三角尺的另 一条直角边画，而不是沿着科边 画，且一定要标出直角符号。 91 随堂笔记·数学·四年级·上册·RJ 3(1)从直线外一点A,到这条直线画几条线段。量一量所画线段的长度， 哪一条最短？ 线段 b d 长度(mm)32273036 实际测量发现，这些线段 的长度各不相等，但垂直 线段b最短，b的长度便 是点A到这条直线的距离。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫作这点到 直线的距离。 这一性质可以应用到铺管道、挖水渠等工程中，可达到节约成本 的目的。 (2)下图中，a∥b。在a上任选几个点，分别向b画垂直的线段。量一量 这些线段的长度，你发现了什么？ 先选几个点画出平行线间 的垂直线段，再量一量这 些线段的长度。 A Ba C D 端点分别在两条平行线上 且与平行线垂直的所有线 b 段的长度都相等。 画平行线间的垂直线段的方法与 过直线外一点画已知直线的垂线 的方法类似。 发现：一平行线间的距 离处处相等。 做一做 1.右图中，小明如果从A点过马路，怎样走路线最短？ 为什么？把最短的路线画出来。 提示·垂直线段最短。 2.请用在例3中发现的规律，检验下面各组直线α、b是否互相平行。 提示：平行线间的距离处处相等。根据这一特点可以判断各组直线α、b是否互相平行。 92 5平行四边形和梯形 4 画一个长10厘米、宽8厘米的长方形。 阅读与理解〈《 长方形的特点· (1)对边平行且长度相等。 知道长方形的长、宽，要画出这个长方形。 (2)四个角都是直角。 分析与画图 画因时，要注意， (1)确保相邮边互相垂直。 (2)每条边的长度要准确。 长方形相邻的两 可以用画垂线 条边互相垂直。 的方法来画。 具体画法· ①画一条10厘米长的线 段，作为长方形的长。 10厘米 10厘米 ②过这条线段的两个端点，分 ③把两条8厘米长线段另外 别画与这条线段垂直的线段 的两个端点连接起来，即画 使它们的长度都是8厘米。 出长方形的号一条长。 回顾与反思《 你是怎样画出这个长方形的？ 我先画出长方形 的长，再… 过长的一个第点画一秦8厘米长的 垂直线段，作为长方形的宽：过宽 10座 的另一个端点画一秦10厘米长的 垂直线段，作为长方形的号一条长 最后把这两拳长的另外两个骗点连 做一做 接起来，即画出长方形的另一条宽。 1.画一个长4厘米、宽3厘米的长 2.画一个边长5厘米的正方形。 方形。 提示：正方形的画法与长方形的画法类以。 93· 随堂笔记·数学·四年级·上册·RJ 学方法 解决此题的关健是明确所画最大正方形的边长是平行线间垂直线段的长度。 ○根据正方形的特征和垂线等知识解决画图问题 用画垂直线段的方法在两条平行线间画出最大的正方形。 思路分析：正方形的边的特点：对边平行，邻边垂直，且四条边都相等。要满 足在两条平行线间画出的正方形最大这一条件，就要把平行线间的 垂直线段的长度作为正方形的边长，且正方形的一组对边一定在平 行线上截取，这是画出最大正方形的关键。 正确解答：步骤：(1)用三角尺在两条平行线间画出一条垂直线段。 (2)用直尺量出垂直线段的长度，再以垂直线段与两条平行线的交 点为端点，在平行线上向同一方向分别量出与垂直线段同样长的两 条线段。 (3)把量出的两条线段的另外两个端点连接起来。（如下图） 2厘米 2厘米 2厘米 2厘米 2厘米 2厘米 ○运用垂线的知识解决实际问题点到直线的所有线段中，垂直线段最短。 小鸭家在点A处。小鸭在岸上走路比较吃力，却擅长游泳，它 要从家出发到河对岸点B处的小鹅家，怎样规划路线最合适？ A 思路分析：审题可知，小鸭走路比较吃力，却擅长游泳，所以要使路线最合适， 应使小鸭在岸上行走路线最短，河里游泳路线也尽量最短。 岸上行走路线最短。 分别经过A、B,点画 点到直线的所有线段 到河岸的垂直线段。 中，垂直线段最短。 ◆最合适的路线 河里游泳路线最短。 连接A、B点到河岸 的垂直线段与河岸 两点之间线段最短。 的交点。 正确解答： 94 5平行四边形和梯形 课后·提升笔记 巧总结 ○易错点：不能很好地应用垂直线段最短解决实际问题 选择：在图中，从①②③④四个地方都可以到达购物中心， 购物中心 其中，从()地去购物中心最近。 A.① B.② C.③ D.④ ①②③④ 易错解读：从直线外一点到这条直线所画的线段中垂直线段最短。我们可以把购物中 心看成直线外的一个点，①②③④四个地方在一条直线上，因为垂直线段最短，所以 本题的正确答案为B。 举一反三： 如果李浩要到马路对面，那么怎样走路线最短？用红笔画一画。如果李浩要 走到张航的位置，怎样走路线最短？用蓝笔画一画。 提示：点到直线的距离是点到直线的垂直线段的长度，两点之间的距离是两点之间线段的长度。 张航 李浩 提素养 1.名校真题过三角形的三个顶点分别向对边画垂线，你发现了什么？ 提示：画垂线可以借助直尺、三角尺、量角器等。 2.新情境幸福花园和阳光花园的居民准备安装天然气管道，为了节省安装费用， 请帮助他们设计出安装管道的路线。 提示：可以应用“点到直线的所有线段中，垂直线段最短”这一性质设计安装管道的路线。 ·幸福花园 天然气管道 阳光花园· 95本书练习题参考答案 2.(1)已知的是单价和数量，要求的是总价。 答：1小时能行60千米。 (2)已知的是总价和数量，要求的是单价。 ②提素养 1做-做（例5) 11.方法一：132÷3×12=528（元） 1.(答案不唯一)一辆摩托车每小时行40千米。 528-132=396(元) 2.(1）已知的是速度和时间，要求的是路程。 方法二：12÷3=44×132-132=396（元） (2)已知的是路程和速度，要求的是时间。 答：还需要396元。 举一反三 2.76×3÷4=57(千米) 1时=60分9÷9×60=60（千米） 答：原路返回时平均每小时行57千米。 第4单元要点总结 要点（①）练习 要点（③）练习 (竖式略)166321242756898 1.(1)150075015000(2)240720014400 要点(2)练习 (3)1800036003600 1.125×15=1875(元) 2.60×5÷6=50 答：买15套这样的儿童玩具共需要1875元。 要点(4)练习 2.320×3=960(千米) (竖式略)51303150144003750 答：甲市到乙市的这条线路长960千米。 5 平行四边形和梯形 第1课时平行与垂直 A做一做 举一反三 第二组互相平行，第三组互相垂直。 1(∥)()（⊥）（⊥）（∥）() 练习 ⑦提素养 1+2+3++13+14=105(个) 11.(1)22(2)3 答：15条直线相交最多有105个交点。 12.(1)B(2)B(3)C(4)B 第2课时垂线的画法及应用 2.做-做.（例22 做一做 (例4 略 11.略 2做-做（例3】 12.略 1.根据“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段 举一反三 最短”画出最短路线。 张航 李浩 2.都互相平行。 161 随堂笔记·数学·四年级·上册·RJ @提素养 12. 幸福花园 天然气管道 阳光花园 1 B 三条垂线相交于一个点。 第3课时平行四边形 0.做-做（例5） 1举一反三 略 略 2做一做（例6） ☑提素养 1.能摆出不同的平行四边形。 11.A 不能确定。因为平行四边形具有不稳定性，任意2.(25+30)×2=110（厘米） 拉动，可以变化成不同形状的平行四边形。 答：这个边框的周长是110厘米。 2.略 第4课时梯形 做一做 1②提素养 1.(图略)第一个、第二个和第四个是梯形。每个 1.(50-8-18)÷2=12(厘米) 梯形画高略，标上底、下底和腰略。 答：它的腰长为12厘米。 2.略 2.（答案不唯一) 举一反三 (1)×(2)×(3)V 第5单元要点总结 要点①)练习 要点（③）练习 略 1.略2.略 要点②)练习 要点(4)练习 1.(1)21(2)5 1.62 2.略 2.4+6=10(厘米)10×6=60（平方厘米） 答：这个长方形的面积是60平方厘米。 6 除数是两位数的除法 1.口算除法 2做-做 12.(竖排)66667777 1.(竖排)33332255 162