21.2.3因式分解法 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.3因式分解法 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:__________学号:___________ 一、单选题 1．方程的解为（       ） A．， B．， C．， D．， 2．一元二次方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．方程的根是( ) A．， B．， C．， D．， 4．如果二次三项式能分解成的形式，则方程的两个根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5．设是方程的一个较大的根，是方程的一个较小的根，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．若实数m,n满足(m2+3n2)2-4(m2+3n2)-12=0,则m2+3n2的值为 (　　) A．2 B．6 C．6或-2 D．6或2 7．关于x的一元二次方程有一个根为0，则k的值是（       ） A．3 B．1 C．1或 D．或3 8．三角形两边长分别是8和6，第三边长是一元二次方程一个实数根，则该三角形的面积是（       ） A．24 B．48 C．24或 D． 二、填空题 9．方程的根为 ． 10．代数式x2-2x与4x的值相等,则x的值为　　　　．  11．一元二次方程的解是 ． 12．下列方程:①x2-4=0;②2x2+3x=0;③5x2-3x-5=0;④4x2-8x+4=0;⑤9(x+2)2=64;⑥(x-5)2=9x2;⑦5x2-3x+6=0;⑧2x2+4x=1．其中,用直接开平方法解比较简单的是　　　　;用因式分解法解比较简单的是　　　　;每个方程均可利用　　　　法或　　　　法求解．(前两空填序号)  13．菱形的两条对角线长分别是方程的两实根，则菱形的面积为 ． 14．［中］定义新运算“”如下：当时，；当时，.若，则______________. 三、解答题 15．用因式分解法解下列方程： （1）； （2）； （3）． 16．用适当的方法解方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 17．阅读后解答问题，解方程：． 解：， 拆项，分组得， 提公因式，得， 再提公因式，得， 所以或． 即． 运用以上因式分解法解方程：． 18．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，研究发现了此类方程的一般性结论，设其中一根为t，则另一根为2t，因此ax2＋bx＋c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx＋2t2a，所以有b2ac＝0；我们记“K＝b2ac”，即K＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0为倍根方程：下面我们根据所获信息来解决问题： (1)以下为倍根方程的是 ；（写出序号）①方程x2﹣x﹣2＝0；②x2﹣6x＋8＝0； (2)若关于的x方程mx2＋（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程，求4m2＋5mn＋n2的值； (3)若A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上，且关于x的一元二次方程是倍根方程，求此倍根方程． 参考答案 1．【答案】C 【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出即可． 【详解】解：x2﹣2x=0 x（x﹣2）=0 x=0，x﹣2=0 ∴x1=0，x2=2． 故选C． 2．【答案】A 【分析】原方程变形后，利用因式分解法求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， 即为， ∴或， ∴． 故选C． 3．【答案】B 【解析】，，或，解得，，故选. 【关键点拨】利用十字相乘法分解因式是解题关键. 4．【答案】B 【解析】根据题意得，，解得，，故方程的两个根为，，故选. 5．【答案】C 【分析】先解方程求出两个方程的解，再得出、的值，最后求出答案即可． 【详解】解：， ， 或， 解得：或， 是方程的一个较大的根， ， 或， 解得或， 是方程的一个较小的根， ， ， 故选C． 6．【答案】B 【详解】设m2+3n2=y,原方程可化为y2-4y-12=0,则(y-6)(y+2)=0,解得y1=6,y2=-2.因为m2+3n2＞0,所以m2+3n2的值为6.故选B. 7．【答案】A 【分析】 把x=0代入原方程得到转化关于k的方程，然后结合二次项系数不等于0求解即可． 【详解】 解：∵关于x的一元二次方程的一个根是0， ∴-2k-3=0，且k+1≠0, ∴k=3． 故选A． 8．【答案】C 【详解】， ， 或， 所以，， 当第三边长为6时，三角形为等腰三角形，则底边上的高，此时三角形的面积， 当第三边长为10时，∵, ∴三角形为直角三角形，此时三角形的面积． 故选C． 9．【答案】 【分析】移项后再因式分解求得两根即可． 【详解】解：， ， ， 或, 解得 10．【答案】0或6　 【解析】根据题意得x2-2x=4x,整理得x2-6x=0,因式分解得x(x-6)=0,所以x=0或x-6=0,解得x1=0,x2=6．故答案为0或6． 11．【答案】或 【详解】解：， ， ∴， 或， 解得，，. 12．【答案】①⑤⑥　①②④⑤⑥　公式　配方   13．【答案】24 【详解】解：x2﹣14x+48=0， 则有（x-6）(x-8)=0 解得：x=6或x=8． 所以菱形的面积为：（6×8）÷2=24． 菱形的面积为：24． 14．【答案】或 【解析】①当，即时，，解得或，和均舍去.②当，即时，，解得或，均符合题意.故答案为或. 【关键点拨】 根据题中所给出的新运算法则，分即时和即时两种情况进行求值即可. 15．【答案】（1），．（2），.（3），． 【分析】（1）先去分母，再移项，最后利用平方差公式即可得出答案； （2）直接提公因式，再令每个括号内的式子等于0，即可得出答案； （3）直接提公因式，再令每个括号内的式子等于0，即可得出答案. 【详解】解：（1）整理，得， , ，或． ∴，． （2）原方程变形为， 即， 即，或， ∴，， （3），， ∴，或， ∴，． 16．【答案】(1)，； (2)，； (3)方程无实数根； (4)， 【详解】（1）解：， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ，； （3）解：， ， ， ∴原方程没有实数根； （4）解：， ， ， ， ， ，. 17．【答案】 【分析】拆项、分组得，找到公因式，提公因式即可解得． 【详解】解：， 拆项，分组得， 提公因式， 再提公因式得， 即， ． 18．【答案】(1)②； (2)0； (3). 【分析】（1）根据倍根方程定义判断即可； （2）根据（x-2）（mx+n）=0是倍根方程，且x1=2，x2=-得到m=-n或m=-n，从而得到m+n=0，4m+n=0，进而得到4m2+5mn+n2=0； （3）设其中一根为t，则另一个根为2t，据此知ax2+bx+c=a（x-t）（x-2t）=ax2-3atx+2t2a，从而得倍根方程满足b2-ac=0，据此求解可得． 【详解】（1）①x2﹣x﹣2＝0， （x+1）（x﹣2）＝0， x1＝﹣1，x2＝2， ∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程； ②x2﹣6x+8＝0， （x﹣2)(x﹣4)＝0, x1＝2，x2＝4， ∴方程x2﹣6x+8＝0是倍根方程； 故答案为②； （2）mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0， 因式分解得（x﹣2）（mx+n）＝0， 解得x1＝2，x2， ∵方程mx2+（n﹣2m）x﹣2n＝0是倍根方程， ∴2或4，即m＝﹣n或mn， ∴m+n＝0或4m+n＝0； ∴4m2+5mn+n2＝（4m+n）（m+n）＝0； （3）设其中一根为t，则另一个根为2t， 则ax2+bx+c＝a（x﹣t）（x﹣2t）＝ax2﹣3atx+2t2a， ∴b2ac＝0， ∵x2n＝0是倍根方程， ∴（）2n＝0，整理得m＝3n， ∵A（m，n）在一次函数y＝3x﹣8的图象上， ∴n＝3m﹣8， ∴n＝1，m＝3， ∴此倍根方程为x2x0． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$