21.2.2 公式法 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2.2 公式法 同步练习 2025-2026学年人教版数学九年级上册 学校:___________姓名:___________班级:___________学号:___________ 一、单选题 1．若x= 是某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程可以是 ( ) A．3x2+2x-1=0 B．2x2+4x-1=0 C．-x2-2x+3=0 D．3x2-2x-1=0 2．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（   ） A． B． C． D． 3．若代数式的值是12，则的值为（ ） A．7或 B．1或 C．或 D．不能确定 4．关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（    ） A． B． C．1 D．4 6．定义运算：．方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．只有一个实数根 7．一次函数的图象如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是(     ) A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 8．对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则，其中正确的（　　） A．只有①② B．只有①②④ C．只有②③④ D．只有②③ 二、填空题 9．不解方程，判断一元二次方程的根的情况是 ． 10．若一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为 ． 11．关于的一元二次方程有实数根，则的值可以是  （写出一个即可）. 12．对于实数定义新运算：，例如：．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是 ． 13．若方程有实根，则 . 14．设关于的方程只有3个不相等的实数根，则的值为 ． 三、解答题 15．不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： （1） ； （2） ； （3） . 16．用公式法解方程: (1)3x2+2x-1=0; (2)6x2-5x-2=0. 17．解方程时，有一位同学的解题过程如下： 解：，，，，， ，. 请你分析以上解题过程有无错误.若有错误，请指出错误的地方，并写出正确的解题过程. 18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值． 19．已知关于x的一元二次方程． （1）当时，求这个方程的解； （2）当m为何值时，此方程有两个相等的实数根？当m为何值时，此方程没有实数根？ 参考答案 1．【答案】D 【详解】∵x= 是某个一元二次方程的根,∴此一元二次方程的二次项系数a=3,一次项系数b=-2,常数项c=-1,∴这个一元二次方程可以是3x2-2x-1=0. 故选D 2．【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程没有实数根．利用一元二次方程的根的判别式进行求解判断即可． 【详解】A． 方程中，，，, 判别式，方程有两个相等实数根; B． 方程中，，，, 判别式，方程无实数根; C． 方程中，，，, 判别式，方程无实数根; D． 方程中，，，, 判别式，方程有两个不相等的实数根． 故选D． 3．【答案】A 【解析】由题意得，整理，得，,则,解得，.故选A. 4．【答案】B 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，求解即可得到答案． 【详解】解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：， 又∵m为整数， ∴m的最大值为3． 故答选：B． 5．【答案】C 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，∴，解得，故选C． 6．【答案】C 【分析】根据定义运算得到，得到，得出方程没有实数根，即可得到答案． 【详解】解：根据定义运算得， ， 方程没有实数根， 故选C ． 7．【答案】B 8．【答案】B 【分析】利用根的判别式，方程的解使方程成立，逐一进行判断即可． 【详解】解：若，则方程有一个根为，则，故①正确； 若方程有两个不相等的实根，则， 则的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根，故②正确； 若是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； 若是一元二次方程的根，则， ∴， ∴，故④正确； 故选B． 9．【答案】有两个不相等的实数根 【详解】解：∵一元二次方程， ∴，，， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 10．【答案】 【分析】由题意知，，解不等式即可求解． 【详解】解：对于一元二次方程，因为方程无实数根， 所以， 即， 解得． 11．【答案】1（答案不唯一） 【解析】 关于的一元二次方程有实数根，，解得，则的值可以是1.故答案为1（答案不唯一）. 12．【答案】 【详解】解：由题意得，， ∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得. 13．【答案】 【解析】方程有实根，，化简,得，，而,，，，解得，，.故答案为. 14．【答案】4或 【解析】，①或，②方程①②不可能有相同的根，而原方程只有3个不相等的实数根，方程①②中有一个有两个相等的实数根.又，，或.故答案为4或. 15．【答案】（1） 【解】，，，， 此方程有两个相等的实数根. （2） 方程化为一般形式为. ，，，， 此方程没有实数根. （3） 方程化为一般形式为. ，，，， 此方程有两个不相等的实数根. 16．【答案】 见详解 【详解】 (1)3x2+2x-1=0,∵a=3,b=2,c=-1,∴b2-4ac=22-4×3×(-1)=16＞0,∴x= = ,∴x1= ,x2=-1. (2)6x2-5x-2=0,∵a=6,b=-5,c=-2,∴b2-4ac=(-5)2-4×6×(-2)=73＞0,∴x= ,∴x1= ,x2= . 17．【答案】【解】有错误，错误之处在于没有先把方程化成一般形式. 正确的解题过程： 原方程整理，得. ，，，，， ，. 【易错警示】 运用求根公式解一元二次方程时，一定要先把方程化成一般形式，然后再确定，，的值，并且不要遗漏符号，否则会造成计算错误. 【易错警示】 运用求根公式解一元二次方程时，一定要先把方程化成一般形式，然后再确定，，的值，并且不要遗漏符号，否则会造成计算错误. 18．【答案】（1）k＜；（2）2. 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的范围； （2）找出k范围中的整数解确定出k的值，经检验即可得到满足题意k的值． 【详解】解：（1）∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴． 解得k＜； （2）∵k为正整数， ∴k=1或2， 当k=1时，方程为，两根为，非整数，不合题意， 当k=2时，方程为，两根为或，都是整数，符合题意． ∴k的值为2． 【知识归纳】一元二次方程都可化为，它的解是.一元二次方程的根与判别式有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 19．【答案】（1）， （2）时，方程有两个相等的实数根； 时，此方程没有实数根 【分析】（1）将代入原方程，解一元二次方程即可； （2）根据根的判别式解答即可； 【详解】（1）解：当时，方程为， ， 解得，，； （2），即， ∵， ∴时，方程有两个相等的实数根， 解得：， 即时，方程有两个相等的实数根． ∴时，方程没有实数根 解得：， 即时，方程没有实数根． 第 page number 页，共 number of pages 页 学科网（北京）股份有限公司 $$