专题05 三角函数 （上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题05 三角函数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1二倍角公式（5年3考） 2024年二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 2023年由正切的倍角公式求解 2022年二倍角的余弦公式 三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性等基础性质是高频考点，常以选择题、填空题形式出现。 两角和差公式、二倍角公式的应用是核心内容，题目常以化简求值、求参数范围等形式出现。 上海高考三角函数命题在保持基础稳定的同时，不断强化综合应用和核心素养考查，考生需在扎实掌握知识的基础上，注重能力提升和思维拓展，以应对灵活多变的题目形式。 考点2三角函数模型（5年2考） 2025年三角函数在生活中的应用 2023年几何中的三角函数模型 考点3辅助角公式（5年2考） 2025年辅助角公式 2023年辅助角公式 考点4三角函数的基本性质（5年4考） 2025年求cosx(型)函数的值域 2023年求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 2022年三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 2021年单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、三角函数线的应用 考点01 二倍角公式 1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·上海·高考真题）已知，则= . 3．（2022·上海·高考真题）函数的周期为 ； 考点02 三角函数模型 4．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到） 5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 考点03 辅助角公式 6．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 考点04 三角函数的基本性质 7．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 8．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 9．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 10．（2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是 一、单选题 1．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 3．（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 5．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 6．（2025·上海宝山·三模）已知，则 . 7．（2025·上海崇明·三模）设，则 . 8．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 9．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 10．（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 11．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 . 12．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 13．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，的最小值是，则实数 . 14．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 15．（2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 16．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 17．（2025·上海黄浦·三模）已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则 三、解答题 18．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 19．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 三角函数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 考点1二倍角公式（5年3考） 2024年二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 2023年由正切的倍角公式求解 2022年二倍角的余弦公式 三角函数的周期性、单调性、奇偶性、对称性等基础性质是高频考点，常以选择题、填空题形式出现。 两角和差公式、二倍角公式的应用是核心内容，题目常以化简求值、求参数范围等形式出现。 上海高考三角函数命题在保持基础稳定的同时，不断强化综合应用和核心素养考查，考生需在扎实掌握知识的基础上，注重能力提升和思维拓展，以应对灵活多变的题目形式。 考点2三角函数模型（5年2考） 2025年三角函数在生活中的应用 2023年几何中的三角函数模型 考点3辅助角公式（5年2考） 2025年辅助角公式 2023年辅助角公式 考点4三角函数的基本性质（5年4考） 2025年求cosx(型)函数的值域 2023年求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 2022年三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系 2021年单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、三角函数线的应用 考点01 二倍角公式 1．（2024·上海·高考真题）下列函数的最小正周期是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求正弦（型）函数的最小正周期、求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式 【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 . 【详解】对A，，周期，故A正确； 对B，，周期，故B错误； 对于选项C，，是常值函数，不存在最小正周期，故C错误； 对于选项D，，周期，故D错误， 故选：A． 2．（2023·上海·高考真题）已知，则= . 【答案】/ 【知识点】二倍角的正切公式 【分析】由正切的倍角公式求解 【详解】已知，则. 故答案为： 3．（2022·上海·高考真题）函数的周期为 ； 【答案】 【知识点】求余弦（型）函数的最小正周期、二倍角的余弦公式 【分析】利用降幂公式化简，即可求出答案. 【详解】, 所以的周期为： 故答案为：. 考点02 三角函数模型 4．（2025·上海·高考真题）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为A、B，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光：其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到） 【答案】 【知识点】三角函数在生活中的应用 【分析】先根据在处的旗杆算出阳光和水平面的夹角，然后结合处的旗杆算出斜面角. 【详解】如图，在处，，在处满足， （其中水平面，是射过处杆子最高点的光线，光线交斜面于）， 故设，则， 由勾股定理，，解得， 于是 故答案为： 5．（2023·上海·高考真题）公园修建斜坡，假设斜坡起点在水平面上，斜坡与水平面的夹角为θ，斜坡终点距离水平面的垂直高度为4米，游客每走一米消耗的体能为，要使游客从斜坡底走到斜坡顶端所消耗的总体能最少，则 ． 【答案】 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、几何中的三角函数模型、辅助角公式 【分析】方法1，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，利用导数求解作答. 方法2，根据给定条件，求出斜坡长，列出总体力关于的函数，借助辅助角公式求解作答. 【详解】方法1：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 求导得，由，得， 当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 方法2：依题意，斜坡长度， 因此人沿斜坡到坡顶消耗的总体力， 由，得，即，其中锐角由确定， 显然，而，则，当且仅当，即时取等号， 此时，即， 所以当时，人上坡消耗的总体力最小. 故答案为： 考点03 辅助角公式 6．（2025·上海·高考真题）已知，是平面内三个不同的单位向量．若，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知分段函数的值求参数或自变量、辅助角公式、垂直关系的向量表示、数量积的坐标表示 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得，再根据数量积关系设出坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换求解模的范围可得. 【详解】若，则， 又三个向量均为平面内的单位向量，故向量两两垂直，显然不成立； 故. 不妨设，则， 不妨设，， 则，则， 则 ， 由，， 则， 故. 故答案为：. 考点04 三角函数的基本性质 7．（2025·上海·高考真题）函数在上的值域为 ． 【答案】 【知识点】求cosx(型)函数的值域 【分析】利用余弦函数的单调性可得. 【详解】由函数在上单调递增，在单调递减， 且， 故函数在上的值域为. 故答案为：. 8．（2023·上海·高考真题）已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】C 【知识点】求sinx的函数的单调性、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 9．（2022·上海·高考真题）若，且满足，则 . 【答案】/ 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用定义求向量的数量积 【分析】设，利用数量积定义求出，即可求出. 【详解】因为，所以，设. 由可得：， 两式相除得：. 又，且 解得：. 因为，所以，解得：. 故答案为：. 10．（2021·上海·高考真题）已知，对任意，总存在实数，使得，则的最小值是 【答案】 【知识点】单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质、三角函数线的应用 【分析】 利用单位圆中的终边位置研究，可知，存在正整数,使得，，由此求得的最小值. 【详解】在单位圆中分析，由题意， 的终边要落在图中阴影部分区域 （其中）， 必存在某个正整数，使得终边在OB的下面，而再加上，即跨越空白区域到达下一个周期内的阴影区域内， ∴， ∵对任意要成立，所以必存在某个正整数，使得以后的各个角的终边与前面的重复（否则终边有无穷多，必有两个角的终边相差任意给定的角度比如1°，进而对于更大的,次差的累积可以达到任意的整度数，便不可能在空白区域中不存在了）， 故存在正整数,使得，即，， 同时， ∴的最小值为, 故答案为：. 【点睛】 本题考查三角函数的性质，主要思想是在单位圆中利用数形结合思想进行研究分析.得出存在正整数,使得，是关键. 一、单选题 1．（2025·上海普陀·二模）设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 2．（2025·上海杨浦·三模）“”是“”的（ ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分也非必要 【答案】D 【分析】根据充分条件和必要条件的概念，以及正切函数的性质，判断充分性和必要性，求得结果. 【详解】当时，，不能得出，不具备充分性， 当时，正切值不存在，所以不能得出，也不具备必要性. 故选：D. 3．（2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. 二、填空题 4．（2025·上海徐汇·二模）已知，则的值为 . 【答案】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 5．（2025·上海青浦·模拟预测）函数的值域是 . 【答案】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再结合正弦函数求值域即可. 【详解】， 其中， 则其值域为 故答案为：. 6．（2025·上海宝山·三模）已知，则 . 【答案】/0.75 【分析】根据诱导公式化简即可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 7．（2025·上海崇明·三模）设，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数值求，以及，再求余弦值. 【详解】，则，，所以. 故答案为： 8．（2025·上海浦东新·模拟预测）把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图像，则 . 【答案】 【分析】根据三角函数图象的伸缩以及平移变换规律，即可求得答案. 【详解】函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），可得， 再将图象上所有的点向右平移个单位长度，可得， 即 故答案为： 9．（2025·上海·模拟预测）， 恒成立，则 ． 【答案】 【分析】首先利用辅助角公式，化简函数，再根据函数的性质求，最后代入求的值. 【详解】，令，得，， 由 恒成立，可知，，， 则. 故答案为： 10．（2025·上海长宁·二模）顶角为的等腰三角形被称为黄金三角形，其底边和腰之比正好为黄金比，用黄金比表示 ． 【答案】 【分析】根据已知可得，由二倍角的余弦函数即可求解. 【详解】 如图等腰三角形中，，过作交于， 所以为角平分线， 所以，即， 由已知可得， 所以， 所以. 故答案为：. 11．（2025·上海杨浦·模拟预测）已知在底面半径为1且高为10的圆柱体的表面上有三个动点、、，则的最小值为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的线性运算与数量积运算转化为平面向量，结合三角函数恒等变换与三角函数性质求最值即可. 【详解】如图，过点、、分别作与圆柱底面平行的平面截圆柱得圆， 设点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为，点在圆上的射影点为， 则 由可得到， 当且仅当时，等号成立， 如图，在圆所在平面建立平面直角坐标系， 则， 所以 则 ， 当，时，等号成立； 故，所以的最小值为. 故答案为：. 12．（2025·上海徐汇·二模）设实数，若满足对任意，都存在，使得成立，则的最小值是 . 【答案】/ 【分析】先证明，再说明满足条件，即可得到的最小值是. 【详解】假设，则由可知，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 假设，取，则对任意，由于，故，从而，不满足条件，矛盾； 以上结果表明必有，而当时，对任意，由可知，故. 而，，所以一定存在，使得，即，满足条件. 综上，的最小值是. 故答案为：. 13．（2025·上海浦东新·三模）已知函数，的最小值是，则实数 . 【答案】 【分析】由题意先求出时的取值范围，从而得到的值域，再根据最小值为-1求出实数a的值. 【详解】由题意得，当时，， 故在的值域为, 又因为最小值是-1，所以， 故答案为. 14．（2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为 . 【答案】3 【分析】本题可先根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值. 【详解】已知，则. 可得： 因为的取值范围是，所以当时，取得最大值. 此时. 那么的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 15．（2025·上海·三模）如图是函数的图象，则的值为 . 【答案】2 【分析】由函数的图象可求得最小正周期为，进而可求得. 【详解】因为的图象过点，所以，所以， 所以，解得. 故答案为：. 16．（2025·上海浦东新·三模）著名数学家傅立叶认为所有的乐声都能用一些形如的正弦型函数之和来描述，其中频率最低的一项是基本音，其余的为泛音．研究表明，所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，称为基本音的谐波．若对应于的泛音是对应于的基本音的一个谐波，则正整数的所有可能取值之和为 【答案】12 【分析】由所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，可得到，，代入分析整数解，可得到有限个正整数的解，一一验证，即可得到符合条件的. 【详解】因为所有泛音的频率都是基本音频率的整数倍，所以，, ，两式相加得：，， 又，且，，的可能值为：1，2，4，5，10，20， 一一代入式中能同时使，为整数的值即为正解； 经检验：的值为和； 所以正整数的所有可能取值之和为. 故答案为：. 17．（2025·上海黄浦·三模）已知函数的部分图像如下，将沿翻折至，使得二面角为.若，则 【答案】/ 【分析】利用可求得；作出二面角的平面角，结合余弦定理和勾股定理可求得点坐标，由此可得的最小正周期，进而得到. 【详解】，又，； 记点为，翻折后，连接， ，，即为二面角的平面角，， ，， 轴，，，又，平面， 平面，又平面，， ，， 由图可知，的最小正周期， 又因为, . 故答案为：. 三、解答题 18．（2025·上海松江·二模）已知函数，当时函数取得最大值4，记. (1)求函数的表达式； (2)若数列为等差数列，，记，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由时函数取得最大值4，可知值及关于的方程，由其范围可求得值，得解； （2）由（1）求得，进而求得，得，由等比数列前项和公式求解. 【详解】（1）已知当时函数取得最大值4， 因为，所以.此时， 又，解得， 所以函数的表达式为. （2）由（1）知，则，. 因为是等差数列，设公差为，则，解得，， 所以. 又，数列是以为首项，为公比的等比数列， 可得. 19．（2025·上海·三模）设函数，其中向量，，，. (1)求函数的最大值及相应的值； (2)将函数的图像按向量平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的. 【答案】(1)最大值为，，； (2). 【分析】（1）由向量数量积的坐标运算及三角恒等变换化简函数式得，根据正弦型函数的性质求最大值及其对应自变量； （2）设，根据图象平移得，由余弦函数的奇偶性列方程求得，（），，再由向量模长的最小值，即可得结果. 【详解】（1）， 故函数的最大值为，相应的值为，； （2）设，则平移后的函数为， 为奇函数，故，，得，， 于是，当时，最小，此时. 20．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数. (1)若，求在区间上的零点； (2)若在上严格增，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案； （2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案. 【详解】（1），当时，， ， 解得，即， 当时，，当时，. （2），求导可得 即在上恒成立，即 当时，，，故，所以. / 学科网（北京）股份有限公司 $$