第5章 图形的轴对称 暑假巩固复习 2024--2025学年北师大版七年级数学下册

北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第五章《图形的轴对称》 1.轴对称及其性质 2.简单的轴对称图形 知识点复习 轴对称及其性质 1. 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作 轴对称图形 ，这条直线叫作 对称轴 。   2.  如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成 轴对称 ，这条直线叫作这两个图形的 对称轴 。 3. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴___垂直平分__，对应线段___相等___，对应角___相等______。 简单的轴对称图形 1. 等腰三角形是 轴对称 图形，它的对称轴是顶角的_平分线____、底边上的___中线___、底边上的___高___所在的直线（三线合一）。     2. 等腰三角形的两个______底角____相等。  3. 等边三角形有____三___条对称轴，它的三个内角都__相等___，且均为____60°______度。    4. 线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的__垂直平分线___。  5. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的__垂直平分线____，简称_____中垂线_____。   6. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个______端点____的距离______相等____。   7. 角是轴对称图形，它的对称轴是____角平分线______所在的直线。  8. 角平分线上的点到这个角的两边的____距离______相等。  尺规作图 1. 用尺规作线段的垂直平分线时，分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段___一半____的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线就是该线段的垂直平分线。  2. 用尺规作角的平分线时，在角的两边上分别截取相等的线段，再分别以这两条线段的端点为圆心，以大于两端点距离一半的长为半径作弧，两弧在角内相交于一点，过角的顶点和这个交点的___射线_______就是该角的平分线。  知识点练习 一、选择题练习 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：B，C，D选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； A选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：A． 2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．线段 D．角 【解答】解：A、等边三角形是轴对称图形，不符合题意； B、锐角三角形不一定轴对称图形，符合题意； C、线段是轴对称图形，不符合题意； D、角是轴对称图形，不符合题意， 故选：B． 3．正方体的下列展开图为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，只有选项C的图形能找到一条直线，使图形沿直线对折们两边能完全重合，故选项C是轴对称图形，选项A、B、D不是轴对称图形． 故选：C． 4．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 【解答】解：①当腰是3cm，底边是7cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去． ②当底边是3cm，腰长是7cm时，能构成三角形，则其周长＝3+7+7＝17（cm）． 故选：C． 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）（180°﹣30°）＝75°， ∵以B为圆心，BC的长为半径圆弧，交AC于点D， ∴BC＝BD， ∴∠CBD＝180°﹣2∠ACB＝180°﹣2×75°＝30°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝75°﹣30°＝45°． 故选：B． 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若∠C＝70°，则∠ABD＝（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝70°， ∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝40°， ∵l是AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴∠A＝∠ABD＝40°， 故选：B． 7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 【解答】解：由作图可知AD＝AC， ∵分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E． ∴MN垂直平分BD， ∴BE＝DE， ∴△ADE的周长为AD+AE+DE＝AC+AE+BE＝AC+AB， ∵AB＝9，AC＝7， ∴△ADE的周长为9+7＝16， 故选：D． 8．在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．75° 【解答】解：∵AB∥CD，∠BAD＝25°， ∴∠ADC＝∠BAD＝25°， ∵CE＝DE， ∴∠DCE＝∠ADC＝25°， ∴∠AEC＝∠DCE+∠ADC＝50°， ∵CE＝AC， ∴∠CAE＝∠AEC＝50°， ∴∠CAB＝∠CAE+∠BAD＝75°． 故选：D． 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E，F是AD上的两点，连接BE，BF，CE，CF．若BC＝6，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．4.5 【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∵AD＝6，BC＝5， ∴阴影部分的面积S△ABC6×5＝7.5． 故选：B． 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB， ∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）， ∵∠OBC+∠OCB＝180°﹣∠BOC，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A， ∴180°﹣∠BOC（180°﹣∠A）， ∴∠BOC＝90°∠A，所以①正确； ∵EF∥BC， ∴∠AEF＝∠EBC， 而OB平分∠EBC， ∴∠EBO∠EBC， ∴∠EBO∠AEF，所以②正确； ∵OD⊥AC于D， ∴∠ODC＝90°， ∴∠DOC+∠OCD＝90°， ∵OC平分∠BCD， ∴∠OCB＝∠OCD， ∴∠DOC+∠OCB＝90°，所以③正确； ∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴O点到BA和BC的距离相等，O点到BC和AC的距离相等， ∴O点到AB的距离等于OD的长，即O点到AE的距离等于m， ∴S△AEFAE•mAF•mm（AE+AF）mn，所以④正确． 故选：D． 二、填空题练习 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　45°或135°　 ． 【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形， ∵BD⊥AC，∠ABD＝45°， ∴∠A＝45°， 即顶角的度数为45°． ②如图，等腰三角形为钝角三角形， ∵BD⊥AC，∠DBA＝45°， ∴∠BAD＝45°， ∴∠BAC＝135°． 故答案为45°或135°． 12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　42　 ． 【解答】解： 过O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA， ∵OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC， ∴OE＝OD，OD＝OF， 即OE＝OF＝OD＝4， ∴△ABC的面积是：S△AOB+S△AOC+S△OBC AB×OEAC×OFBC×OD 4×（AB+AC+BC） 4×21＝42， 故答案为：42． 13．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若△AEC的周长为9cm，AC＝3cm，则BC＝　6　 cm． 【解答】解：∵DE垂直平分AB， ∴BE＝AE， ∵△AEC的周长为9cm， ∴AC+AE+CE＝AC+CE+BE＝9cm， ∵AC＝3cm， ∴CE+BE＝6cm， ∴BC＝6cm， 故答案为：6． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，已知DE⊥AB，若AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积为 　18　 ． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的角平分线交BC于点D，DE⊥AB， ∴DE＝CD， ∵CD＝3， ∴DE＝3 ∵AB＝12， ∴△ABD的面积为：AB×DE12×3＝18， 故答案为：18． 15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F，G，若BC＝18，则△AEF的周长是　18　 ． 【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线， ∴EA＝EB， ∵FG是AC的垂直平分线， ∴FA＝FC， ∴△AEF的周长＝EA+EF+FA＝EB+EF+FC＝BC＝18， 故答案为：18． 16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为　10　 ． 【解答】解：∵CE是AD的垂直平分线， ∴DC＝AC＝6， ∴∠DAC＝∠ADC， ∵∠DAC＝2∠B， ∴∠ADC＝2∠B， ∵∠ADC＝∠B+∠DAB， ∴∠DAB＝∠B， ∴BD＝AD＝4， ∴BC＝BD+DC＝4+6＝10， 故答案为：10． 17．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为点P1，P2，若OP＝8，P1P2＝14，则△P1OP2的周长是　30　 ． 【解答】解：由题知， ∵点P关于l1的对称点为点P1， ∴OP1＝OP＝8． 同理可得，OP2＝OP＝8． 又∵OP＝8， ∴△P1OP2的周长是：8+8+14＝30． 故答案为：30． 18．如图△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD．若∠EDF＝50°，则∠A的度数为　80°　 ． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BDE与△CDF中， ， ∴△EBD≌△DCF（SAS）． ∴∠BDE＝∠CFD， ∵∠EDF＝50°， ∴∠BDE+∠CDF＝∠CDF+∠CFD＝130°， ∴∠C＝50° ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝50°， ∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°， 故答案为：80°． 19．如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，联结P1P2、OP1、OP2，如果△OP1P2的周长是18，那么OP＝　6　 ． 【解答】解：如图所示， ∵点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称， ∴OP＝OP1，OP＝OP2，∠POA＝∠P2OA，∠POB＝∠P1OB， ∴∠P1OP2＝2（∠POA+∠POB）＝2∠AOB＝60°， ∴△OP1P2是等边三角形． ∵△OP1P2的周长是18， ∴OP1＝18÷3＝6， ∴OP＝6． 故答案为：6． 20．如图，已知线段AB、CD的垂直平分线交于点O，连接OA、OD、AC、BD，若∠BAO＝∠CDO＝76°，∠ACD＝118°，那么∠ODB的度数是 　42°　 ． 【解答】解：如图，连接OB，OC， ∵线段AB、CD的垂直平分线交于点O， ∴OA＝OB，OC＝OD， ∴∠BAO＝∠1＝∠CDO＝∠2＝76°， ∴∠3＝∠4＝180°﹣2×76°＝28°， ∴∠3+∠5＝∠4+∠5，即∠AOC＝∠BOD， ∵∠ACD＝118°B∠6＝∠ACD﹣∠2＝118°﹣76°＝42°， ∵OA＝OB，∠AOC＝∠BOD，OC＝OD， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠ODB＝∠6＝42°， 故答案为：42°． 三、解答题练习 21．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 【解答】解：如图所示： ． 22．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1； （2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积． 【解答】解：（1 ） 如图，△A1B1C1为所作； （2）△ABC的面积＝3×32×13×23×1＝3.5． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm．求底边BC的长． 【解答】解：∵DE垂直平分AC， ∴AD＝CD， ∴△BCD的周长为BC+BD+CD＝BC+BD+AD＝BC+AB， ∵△BCD的周长为22cm， ∴BC+AB＝22cm， ∵AB＝AC＝12cm， ∴BC＝10cm， ∴底边BC的长为10cm． 24．如图，在△ABC中，CA＝CB，D为BC边上一点，过点D作FD⊥BC于点D，作DE⊥AB于点E，若∠EDF＝65°，求∠AFD的度数． 【解答】解：∵FD⊥BC，DE⊥AB， ∴∠FDC＝90°，∠DFB＝90° ∵∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，且∠EDF＝65°， ∴∠BDE＝180°﹣（∠EDF+∠FDC）＝180°﹣（65°+90°）＝25° ∴∠B＝90°﹣∠BDE＝90°﹣25°＝65°， ∵CA＝CB， ∴∠A＝∠B＝65°， ∵∠A+∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣（∠A+∠B）＝180°﹣（65°+65°）＝50°， ∴∠CFD＝90°﹣∠C＝90°﹣50°＝40°， ∴∠AFD＝180°﹣∠CFD＝180°﹣40°＝140°． 25．【问题背景】 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC＝2∠C，BD＝CD． 【问题探究】 （1）若∠A＝∠DEC，试说明AB＝EC； （2）若AB＝BD，求∠A的度数． 【解答】解：（1）∵BD＝CD， ∴∠C＝∠DBC， ∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC＝2∠C， ∴∠ABD＝∠C， 在△ABD和△ECD中， ， ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴AB＝EC； （2）∵AB＝BD， ∴∠A＝∠BDA， 由（1）知，∠ABD＝∠DBC＝∠C， ∵∠ADB＝∠DBC+∠C， ∴∠A＝∠ADB＝2∠ABD， ∵∠A+∠ABD+∠ADB＝180°， ∴∠A+∠A∠A＝180°， ∴∠A＝72°． 26．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 【解答】解：（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z， ∵MP和NQ分别垂直平分AB和AC， ∴AP＝PB，AQ＝CQ， ∴∠B＝∠BAP＝x+z，∠C＝∠CAQ＝x+y， ∵∠BAC＝80°， ∴∠B+∠C＝100°， 即x+y+z＝80°，x+z+x+y＝100°， ∴x＝20°， ∴∠PAQ＝20°； （2）∵△APQ周长为12， ∴AQ+PQ+AP＝12， ∵AQ＝CQ，AP＝PB， ∴CQ+PQ+PB＝12， 即CQ+BQ+2PQ＝12， BC+2PQ＝12， ∵BC＝8， ∴PQ＝2． 27．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝BC，求∠C的度数． 【解答】解：（1）AD⊥BC，理由如下： 如图，连接AE， ∵EF是AB的垂直平分线， ∴AE＝BE， ∵BE＝AC， ∴AE＝AC， ∵D为线段CE的中点， ∴AD⊥BC； （2）∵AE＝BE， ∵∠EAB＝∠B， ∴∠AEC＝2∠B， ∵AE＝AC， ∴∠AEC＝∠C， ∴∠C＝2∠B， ∵AB＝BC， ∴∠BAC＝∠C， ∴∠B+2∠B+2∠B＝180°， 解得：∠B＝36°， 则∠C＝72°． 28．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【解答】解：（1）∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB∠BAC＝15°，∠ACE∠ACB＝45°， ∴∠CDA＝∠BAD+∠ABD＝75°，∠BEC＝∠BAC+∠ECA＝75°， ∴∠BEC＝∠ADC； （2）相等， 理由：如图①，过点F作FH⊥BC于H．作FG⊥AB于G，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴HF＝FG，∠DHF＝∠EGF＝90°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°， ∴∠BAC＝30°， ∴∠DAC∠BAC＝15°， ∴∠CDA＝75°， ∵∠HFC＝45°，∠HFG＝120°， ∴∠GFE＝15°， ∴∠GEF＝75°＝∠HDF， 在△DHF和△EGF中， ， ∴△DHF≌△EGF（AAS）， ∴FE＝FD； （3）成立． 理由：如图②，过点F作FM⊥BC于M．作FN⊥AB于N，连接BF， ∵F是角平分线交点， ∴BF也是角平分线， ∴MF＝FN，∠DMF＝∠ENF＝90°， ∴四边形BNFM是圆内接四边形， ∵∠ABC＝60°， ∴∠MFN＝180°﹣∠ABC＝120°， ∵∠CFA＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠ABC）＝180°（180°﹣60°）＝120°， ∴∠DFE＝∠CFA＝∠MFN＝120°． 又∵∠MFN＝∠MFD+∠DFN，∠DFE＝∠DFN+∠NFE， ∴∠DFM＝∠NFE， 在△DMF和△ENF中， ∴△DMF≌△ENF（ASA）， ∴FE＝FD． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大版数学七年级下册暑假巩固复习 第五章《图形的轴对称》 1.轴对称及其性质 2.简单的轴对称图形 知识点复习 轴对称及其性质 1. 如果一个平面图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫作 ，这条直线叫作 。   2.  如果两个平面图形沿一条直线折叠后能够完全重合，那么称这两个图形成 ，这条直线叫作这两个图形的 。 3. 在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴_____，对应线段______，对应角_________。 简单的轴对称图形 1. 等腰三角形是 图形，它的对称轴是顶角的_____、底边上的______、底边上的______所在的直线（三线合一）。     2. 等腰三角形的两个_________相等。  3. 等边三角形有_____条对称轴，它的三个内角都_____，且均为__________度。    4. 线段是轴对称图形，它的对称轴是这条线段的_____。  5. 垂直于一条线段，并且平分这条线段的直线，叫作这条线段的______，简称__________。   6. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个__________的距离_________。   7. 角是轴对称图形，它的对称轴是_________所在的直线。  8. 角平分线上的点到这个角的两边的__________相等。  尺规作图 1. 用尺规作线段的垂直平分线时，分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段______的长为半径作弧，两弧相交于两点，过这两点的直线就是该线段的垂直平分线。  2. 用尺规作角的平分线时，在角的两边上分别截取相等的线段，再分别以这两条线段的端点为圆心，以大于两端点距离一半的长为半径作弧，两弧在角内相交于一点，过角的顶点和这个交点的________就是该角的平分线。  知识点练习 一、选择题练习 1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．下列图形中，不一定是轴对称图形的是（　　） A．等边三角形 B．锐角三角形 C．线段 D．角 3．正方体的下列展开图为轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．若等腰三角形的两条边的长分别为3cm和7cm，则它的周长是（　　） A．10cm B．13cm C．17cm D．13cm或17cm 5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以点B为圆心，BC的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝（　　） A．60° B．45° C．40° D．30° 6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线l交AC于点D，连接BD．若∠C＝70°，则∠ABD＝（　　） A．35° B．40° C．45° D．50° 7．如图，在△ABC中，以点A为圆心，AC的长为半径作圆弧交BC于点D，再分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧分别交于点M和点N，连接MN交AB于点E．若AB＝9，AC＝7，则△ADE的周长为（　　） A．22 B．20 C．18 D．16 8．在△ACD中，点E在AD上，并且CE＝AC＝DE，若AB平行CD，∠BAD＝25°，则∠CAB＝（　　） A．50° B．55° C．60° D．75° 9．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点E，F是AD上的两点，连接BE，BF，CE，CF．若BC＝6，AD＝5，则图中阴影部分的面积是（　　） A．15 B．7.5 C．6 D．4.5 10．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：①∠BOC＝90°∠A，②∠EBO∠AEF，③∠DOC+∠OCB＝90°，④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题练习 11．等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角的度数为　 　 ． 12．如图，已知△ABC的周长是21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD＝4，△ABC的面积是 　 　 ． 13．如图，在△ABC中，DE垂直平分AB．若△AEC的周长为9cm，AC＝3cm，则BC＝　 　 cm． 14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC的平分线交BC于点D，已知DE⊥AB，若AB＝12，CD＝3，则△ABD的面积为 　 　 ． 15．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DE分别与AB、BC交于点D、E，AC的垂直平分线FG分别与BC、AC交于点F，G，若BC＝18，则△AEF的周长是　 　 ． 16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠DAC＝2∠B，CE是AD的垂直平分线．若AD＝4，AC＝6，则BC的长为　 　 ． 17．如图，直线l1，l2交于点O，点P关于l1，l2的对称点分别为点P1，P2，若OP＝8，P1P2＝14，则△P1OP2的周长是　 　 ． 18．如图△ABC中，AB＝AC，点E、D、F分别是边AB、BC、AC边上的点，且BE＝CD，CF＝BD．若∠EDF＝50°，则∠A的度数为　 　 ． 19．如图，已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，联结P1P2、OP1、OP2，如果△OP1P2的周长是18，那么OP＝　 　 ． 20．如图，已知线段AB、CD的垂直平分线交于点O，连接OA、OD、AC、BD，若∠BAO＝∠CDO＝76°，∠ACD＝118°，那么∠ODB的度数是 　 　 ． 三、解答题练习 21．在图①中描涂2个小方块，在图②中描涂3个小方块，在图③中描涂4个小方块，在图④中描涂5个小方块，分别使图中的阴影图案成为轴对称图形． 22．如图，在正方形网格中，已知△ABC的三个顶点在格点上． （1）画出△ABC关于直线DE的轴对称图形△A1B1C1； （2）若正方形网格的单位长度为1，求△A1B1C1的面积． 23．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12cm，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，且△BCD的周长为22cm．求底边BC的长． 24．如图，在△ABC中，CA＝CB，D为BC边上一点，过点D作FD⊥BC于点D，作DE⊥AB于点E，若∠EDF＝65°，求∠AFD的度数． 25．【问题背景】 如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、BC上，连接BD，DE．已知∠ABC＝2∠C，BD＝CD． 【问题探究】 （1）若∠A＝∠DEC，试说明AB＝EC； （2）若AB＝BD，求∠A的度数． 26．如图，△ABC中，∠BAC＝80°，若MP和NQ分别垂直平分AB和AC． （1）求∠PAQ的度数． （2）若△APQ周长为12，BC长为8，求PQ的长． 27．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，D为线段CE的中点，BE＝AC． （1）判断AD与BC的位置关系，并说明理由； （2）若AB＝BC，求∠C的度数． 28．如图①，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F，且FG⊥AB于G，FH⊥BC于H． （1）求证：∠BEC＝∠ADC； （2）请你判断并FE与FD之间的数量关系，并证明； （3）如图②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，∠B＝60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．请问，你在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$