3.2.1 函数的单调性及应用同步练-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

课后训—函数的单调性及应用- 班主任： 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 求函数的单调区间】 1．（24浙江高一上期中）函数的单调递增区间是 ． 2．下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 3．（24重庆高一上七校联考）函数的单调递增区间为 . 4．函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 5．（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 6．（25甘肃高三下冲刺卷）已知正数x，y满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【题组二 根据函数单调性求参】 7．（24浙江杭州高一上期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（24浙江绍兴高一上期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 9．（24辽宁大连高一上期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（24山东青岛高一上期中）“函数在上单调递减”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 11．（24浙江台州高一上期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题组三 函数单调性的应用】 12．函数在上是减函数，且为实数，则有（    ） A． B． C． D． 13．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 14．（25江苏镇江高一上期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【题组四 定义法证明函数单调性】 15．（25湖南学业水平测试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； 16．（24重庆高一上名校联盟联考）已知函数，且满足， (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； 17．（24四川德阳高一上期末）已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为 ． 18．（24江苏苏州高一上期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 19．（24重庆高一上期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 试卷第1页，共3页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 课后训—函数的单调性及应用- 班主任： 日期：2025. 时长：50-60分钟/次 【题组一 求函数的单调区间】 1．（24浙江高一上期中）函数的单调递增区间是 ． 【答案】和 【分析】作出的图象，根据图象直接判断出单调递增区间. 【详解】作出的图象如下图所示， 由图象可知，的单调递增区间是和， 故答案为：和. 2．下列结论正确的是（    ） A．函数的单调增区间是 B．函数在定义域内单调递减 C．函数 的单调递增区间是 D．函数的单调递减区间是 【答案】C 【分析】根据反比例函数、二次函数以及分段函数的单调性，结合图形，依次判断即可求解. 【详解】对A，由，解得或， 则函数的定义域为或，如图， 所以函数的单调增区间为，故A错误； 对B，， 函数的定义域为 ，所以在和上分别为减函数， 但不能说定义域内单调递减，故B错误； 对C，函数，如图， 所以函数的单调增区间为，单调减区间为，故C正确； 对D，当时，函数的图象开口向下，对称轴为， 所以的单调减区间为， 又当时，为减函数，但中间不能用“”这个符号，故D错误. 故选：C 3．（24重庆高一上七校联考）函数的单调递增区间为 . 【答案】 【详解】由解得或， 则函数的定义域为， 令，其图像的对称轴方程为， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则由复合函数的单调性可得，函数的单调递增区间为. 故答案为： 4．函数的单调增区间为（   ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】求出原函数的定义域，利用复合函数法可得出原函数的单调递增区间. 【详解】由可得且， 所以，函数的定义域为， 因为开口向下，其对称轴为， 所以的减区间为和， 因为函数在、上均为减函数， 所以，函数的单调增区间为和． 故选：C. 5．（多选）设函数在上为增函数，则下列结论错误的是（   ） A．在上为减函数 B．在上为增函数 C．在上为增函数 D．在上为减函数 【答案】ABC 【分析】对ABC举反例即可判断，对D直接根据函数单调性定义即可判断. 【详解】对于A，若，则，在上不是减函数，故A错误； 对于B，若，则，在上不是增函数，故B错误； 对于C，若，则，在上不是增函数，故C错误； 对于D，函数在上为增函数，则对于任意的， 设，必有， 对于，则有，即， 则在上为减函数，故D正确． 故选：ABC. 6．（25甘肃高三下冲刺卷）已知正数x，y满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据题设条件求出的范围，对所求式消元后进行换元，利用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】因正数x，y满足，故，解得， 因，设，则，且， 于是．由，可得. 故选：B． 【题组二 根据函数单调性求参】 7．（24浙江杭州高一上期中）已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的性质得到或，解得即可. 【详解】因为函数在上具有单调性， 所以或，解得或， 即实数的取值范围是. 故选：B 8．（24浙江绍兴高一上期中）已知函数在上是减函数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分类讨论结合二次函数的单调性计算即可. 【详解】当时，在R上递减，符合题意； 当时，由二次函数的性质可知，且对称轴，解之得. 综上：的取值范围是. 故答案为： 9．（24辽宁大连高一上期中）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意函数解析式可化为，利用反比例函数图象的平移和性质可得，解不等式即可得到结果. 【详解】由题意得，. ∵函数在区间上单调递减， ∴，解得，即的取值范围是. 故选：C. 10．（24山东青岛高一上期中）“函数在上单调递减”是“”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用幂函数及复合函数的单调性结合充分、必要条件的定义判定即可. 【详解】先判定充分性，若在上单调递减， 由幂函数及复合函数的单调性可知，则，满足充分性； 再判定必要性，可举反例，若，则单调递减， 此时的定义域为， 此时在上单调递减，不满足必要性， 综上“函数在上单调递减”是“”的充分不必要条件. 故选：B 11．（24浙江台州高一上期中）已知函数满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先判断函数的单调性，再结合分段函数，以及基本初等函数的定义，即可求解. 【详解】由题意可知，，则，所以单调递减， 当时，单调递减，则，得， 当时，单调递减，则，得， 在分界点处，，得， 综上可知，. 故选：A 【题组三 函数单调性的应用】 12．函数在上是减函数，且为实数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用可排除ABD；根据函数单调性和恒成立可知C正确. 【详解】当时，ABD中不等式左右两侧均为，不等式不成立，ABD错误； 对于恒成立，即恒成立，又为上的减函数， ，C正确. 故选：C. 13．已知是定义在区间上的增函数，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意，得解得①．因为是定义在区间上的增函数，且，所以，解得②．综合①②得．所以的取值范围是． 14．（25江苏镇江高一上期末）已知函数则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知分段函数是单调递增函数，所以只需要求解即可. 【详解】因为当时单调递增，且时，， 当时单调递增，且时，， 所以分段函数是一个单调递增函数， 由可得，解得或. 故选：B. 【题组四 定义法证明函数单调性】 15．（25湖南学业水平测试）已知函数． (1)求m的值； (2)用定义法证明：函数在上是减函数； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将代入函数解析式中即可求得的值； （2）任取，利用作差法证明即可； 【详解】（1）因为，将代入函数，可得， 解得． （2）设，则 ， 因为，所以，则， 又，所以，即， 所以函数在上是减函数． 16．（24重庆高一上名校联盟联考）已知函数，且满足， (1)求和的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）由题意得出关于a，b的方程组，即可求解； （2）在上单调递增，利用单调性的定义，即可证明结论； 【详解】（1）由函数 满足 ， ， 可得 ，解之得 ; （2）由得 ，则在 上单调递增， 证明如下： 设任意 ，且 ，则 ， 由 ，可得 ， 又 ， ， ， 则 ，则 ， 则 在上单调递增. 17．（24四川德阳高一上期末）已知函数的定义域是且当时，，且，满足不等式的的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用函数的单调性定义得到在递减，然后将不等式转化为求解. 【详解】， 任取，则， 因为时，，所以 故 所以因此在递减， 不等式，即 . 故答案为： 18．（24江苏苏州高一上期中）已知定义在R上的函数满足，，且当时，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】由结合题意，利用单调性的定义法判断在上是增函数，利用赋值法得，从而原不等式等价，利用单调递增化为，解一元二次不等式即可得解. 【详解】任取，且，因为， 所以， 因为时，，所以， 所以，即， 所以在上是增函数. 令，所以，令，所以， 不等式等价于， 所以即，因为在上是增函数， 所以，解得或. 故选：B 19．（24重庆高一上期末）已知定义在上的函数满足，且对任意． (1)证明：在上单调递减； (2)解不等式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用单调性的定义证明即可； （2）首先求出，则得到，根据（1）中的结论即可得到不等式，解出即可. 【详解】（1）任取，且． 因为，即，令， 则． 因为，所以． 由题意， 所以． 故在上单调递减． （2），令，得． 因为， 所以． 由（1）得，， 解得． 试卷第1页，共3页 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$