1.2 集合间的基本关系导学案、同步练-2025-2026学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

[键入文字] 第一章 集合与常用逻辑用语 §1．2 集合间的基本关系 【导学目标】 1．在具体情境中，了解空集的含义． 2．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 【知识要点】 1.子集 一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集， 记作.读作“A含于B”(或“B包含A”). 为了直观地表示集合间的关系，我们常用封闭曲线的内部表示集合，称为Venn图． ( B A ) 的Venn图表示 的Venn图表示 的Venn图表示 2.真子集 如果集合,但存在元素,我们称集合A是集合B的真子集，记作或，读作“真含于或（真包含）” 3.集合相等 如果集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集, 此时,集合A与集合B中的元素是一样的,因此,集合A与集合B相等,记作A=B. 4.空集 我们把不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定：是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 5.子集与真子集的个数 集合中有个元素，子集有个，真子集有个， 非空子集有个，非空真子集有个 【典型例题】 题型一　判断集合间的基本关系 【例1-1】下列集合关系中错误的是（    ） A． B． C． D． 【例1-2】已知集合，若，则a的值可以是（    ） A． B． C．1 D．4 【例1-3】已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【例1-4】设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【例1-5】已知集合，若，则（    ） A．2 B．0 C．0或2 D．1或2 题型二　子集、真子集及个数 【例2-1】在下列集合中，是其真子集的是（    ） A． B． C． D． 【例2-2】已知集合，，则集合的真子集个数为（    ） A．8 B．16 C．31 D．63 【例2-3】已知集合，则的非空子集的个数是 ． 【例2-4】设P是一个数集，且至少含有两个数．若对于任意，都有，且若，则，则称P是一个数域．例如，有理数集Q是数域．下列命题正确的是（    ） A．数域必含有0，1两个数 B．整数集是数域 C．若有理数集，则数集M一定是数域 D．数域中有无限多个元素 【例2-5】含有有限个元素的数集，定义其“交替和”如下：把集合中的数按从小到大的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数，例如的“交替和”是；而的交替和是，则集合的所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 题型三　由集合间的子集关系求参数 【例3-1】已知集合，若，则实数（    ） A．或1 B．0或1 C．1 D． 【例3-2】已知集合，，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例3-3】已知集合，，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则可以取3 【例3-4】设集合，若，则实数a的取值范围是 ． 【例3-5】设非空集合满足，，则这样的的个数为 ． 【例3-6】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 题型四 判断集合相等 【例4-1】下列各组集合不表示同一集合的是（    ） A． B． C． D． 【例4-2】下列每组集合是相等集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【例4-2】下列选项中的两个集合相等的有（    ）. A． B． C． D． 题型五 空集的性质及应用 【例5-1】下列集合中表示空集的是（   ） A． B． C． D． 【例5-2】已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是 . 认真听讲，勤于思考 18 / 24 17 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 §1．2 集合间的基本关系 一、单选题 1．给出下列关系，其中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．0 C．2 D．3 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．已知集合是集合的子集，则符合条件的实数的值共（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 4．已知集合，则M的非空子集的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 5．同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有(　 　) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 6．已知集合，若中只有一个元素，则的值是（    ） A． B．0或 C．1 D．0或1 7．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 8．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是 A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2 二、多选题 9．设集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 10．群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．关于数的加法构成群 三、填空题 11．选用适当的符号填空： （1）若集合，则-4__________B，-3______A， A ___________B，B_________________A； （2）若集合，则1__________A，_______________A，_________A； （3）{是菱形}_____________{是平行四边形}；{是等腰三角形}_____________{是等边三角形}. 12．已知集合，，若，则实数的值构成的集合是 ． 四、解答题 13．已知, ,求实数的值. 14．已知， ，当时，求集合B. 15．已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(B)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$第一章 集合与常用逻辑用语 第一章 集合与常用逻辑用语 §1．2 集合间的基本关系 一、单选题 1．给出下列关系，其中正确的个数为（    ） ①；②；③；④ A．1 B．0 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，逐一分析①②③④，即可得答案. 【详解】对于①：0为自然数，所以，故①正确； 对于②：为无理数，所以，故②错误； 对于③：含有元素0，不是空集，故③错误； 对于④：R为实数集，所以④正确； 故选：C 2．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析两个给定的有限集中的元素与另一集合的关系即可得解. 【详解】因集合B中只有一个元素0，并且，于是得集合是集合的子集，从而得， 所以. 故选：D 3．已知集合是集合的子集，则符合条件的实数的值共（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 【答案】C 【分析】根据题意可得，结合,则分类讨论当，，三种情况，分别求出的值，即可得出结果. 【详解】解：由题可知，集合， 集合， , 则当时，可知显然成立； 当时，可得，符合题意； 当时，可得，符合题意； 故满足条件的实数的值共3个. 故选：C. 4．已知集合，则M的非空子集的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】C 【分析】解分式不等式求集合M，并确定元素个数，根据元素个数与集合子集的数量关系求M的非空子集的个数. 【详解】由题设，，即，可得， ∴共有4个元素，故M的非空子集的个数. 故选：C 5．同时满足：①M ⊆{1，2，3，4，5}；②a∈M且6－a∈M的非空集合M有(　 　) A．9个 B．8个 C．7个 D．6个 【答案】C 【分析】由集合的元素所满足的两个性质，找出集合的元素，从而确定集合的个数，得到答案. 【详解】因为①；②若，则， 当时，； 当时，； 当时，； 同时，集合中若有，则成对出现，有时，也成对出现， 所以满足题意点的集合有：， 共有7个集合满足条件，故选C. 【点睛】本题主要考查了元素与集合的关系，以及集合与集合的关系的判定与应用，其中熟记元素与集合的关系，以及集合与集合的包含关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 6．已知集合，若中只有一个元素，则的值是（    ） A． B．0或 C．1 D．0或1 【答案】B 【分析】集合只含有一个元素，说明方程只有一个解.时，方程为一元一次方程，只有一个解，符合条件；时，方程为一元二次方程，若方程只有一个解，需判别式，所以解出即可，这样的值就都求出来了. 【详解】集合中只含有一个元素，也就意味着方程只有一个解； （1）当时，方程化为，只有一个解； （2）当时，若只有一个解，只需，即； 综上所述，可知的值为或. 故选：B 【点睛】本题主要考查了描述法表示集合，一元二次方程只有一个解的充要条件，属于中档题. 7．已知，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都不正确 【答案】B 【分析】根据子集的定义判断即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 8．已知集合A={0，1，2}，B={1，m}．若B⊆A，则实数m的值是 A．0 B．2 C．0或2 D．0或1或2 【答案】C 【分析】根据集合包含关系，确定实数m的值. 【详解】∵集合A={0，1，2}，B={1，m}，B⊆A，∴m=0或m=2 ∴实数m的值是0或2．故选C． 【点睛】本题考查集合包含关系，考查基本分析求解能力. 二、多选题 9．设集合，则下列表述正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】转化条件为，再由元素与集合、集合与集合间的关系即可得解. 【详解】因为， 所以，，，. 故选：ABD. 【点睛】本题考查了元素与集合、集合与集合间的关系的判断，属于基础题. 10．群论是代数学的分支学科，在抽象代数中具有重要地位，且群论的研究方法也对抽象代数的其他分支有重要影响，例如一元五次及以上的方程没有根式解就可以用群论知识证明.群的概念则是群论中最基本的概念之一，其定义如下：设G是一个非空集合，“· ”是G上的一个代数运算，即对所有的a、b∈G，有a·b∈G，如果G的运算还满足：①a、b、c∈G，有（a·b）·c=a·（b·c）；②，使得，有，③，，使a·b=b·a=e，则称G关于“·”构成一个群.则下列说法正确的有（    ） A．关于数的乘法构成群 B．G={x|x=，k∈Z，k≠0}∪{x|x=m，m∈Z，m≠0}关于数的乘法构成群 C．实数集关于数的加法构成群 D．关于数的加法构成群 【答案】CD 【分析】根据群的定义需满足的三个条件逐一判断即可. 【详解】对于A：若，对所有的a、，有， 满足乘法结合律，即①成立，满足②的为1， 但当时，不存在，使得，即③不成立， 即选项A错误； 对于B：因为，且，但， 所以选项B错误； 对于C：若，对所有的a、，有， 满足加法结合律，即①成立，满足②的为0， ，，使，即③成立； 即选项C正确； 对于D：若，所有的、， 有，成立， 即①成立；当时，，满足的，即②成立； ，，使，即③成立； 即选项D正确. 故选：CD. 三、填空题 11．选用适当的符号填空： （1）若集合，则-4__________B，-3______A， A ___________B，B_________________A； （2）若集合，则1__________A，_______________A，_________A； （3）{是菱形}_____________{是平行四边形}；{是等腰三角形}_____________{是等边三角形}. 【答案】（1），，；（2），，；（3）， 【解析】（1）计算，根据集合与集合，元素与集合的关系得到答案. （2）计算，根据元素与集合，集合与集合的关系得到答案. （3）根据菱形，平行四边形，等腰三角形，等边三角形的关系得到答案. 【详解】（1）， 故.， （2），故， （3）{是菱形}{是平行四边形}；{是等腰三角形}{是等边三角形} 故答案为：（1），，；（2），，；（3）， 【点睛】本题考查了元素与集合，集合与集合的关系，意在考查学生对于集合的理解. 12．已知集合，，若，则实数的值构成的集合是 ． 【答案】 【分析】求解出集合A，集合B是集合A的真子集，即可求出a的值. 【详解】, ,则实数的值构成的集合是 【点睛】本题考查利用集合间的关系求解参数a的值，属于基础题，解此类题目主要是正确理解真子集的概念，不要将空集遗漏. 四、解答题 13．已知, ,求实数的值. 【答案】 【分析】由,有或，显然，解方程求出实数的值，但要注意集合元素的互异性. 【详解】因为，所以有或，显然， 当时，，此时不符合集合元素的互异性，故舍去； 当时，解得，由上可知不符合集合元素的互异性，舍去，故. 【点睛】本题考查了元素与集合之间的关系，考查了集合元素的互异性，考查了解方程、分类讨论思想. 14．已知， ，当时，求集合B. 【答案】 【分析】由，可知方程有两个相等实根，再利用韦达定理可求得，继而解方程可求得集合B. 【详解】∵， ∴方程有两个相等实根， 则由根与系数关系得∴， ∴. 可得，解得或， 故集合. 15．已知集合A＝{1，3，－x}，B＝{1，x＋2}，是否存在实数x，使得B∪(B)＝A？若存在，求出集合A和B；若不存在，说明理由． 【答案】存在，A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． 【解析】B∪(B)＝A等价于BA,对集合B中的元素分类讨论,结合集合元素的互异性计算得出答案. 【详解】假设存在x，使B∪(B)＝A，∴BA. ①若x＋2＝3，则x＝1符合题意． ②若x＋2＝－x，则x＝－1不满足A或B中元素的互异性不符合题意． ∴存在x＝1，使B∪(B)＝A， 此时A＝{1，3，－1}，B＝{1，3}． 【点睛】本题考查集合间的关系,考查集合中元素的性质,考查转化思想和分类讨论思想,属于中档题. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$