3.2.1 函数的单调性及应用讲义-2025年暑假新高一（初升高衔接）数学

3.2.1 函数的单调性及应用 知识梳理 一．函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，此时称f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 3．单调性的等价形式 若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0 (或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) ⇔ f(x)在区间D上单调递增． ②<0 (或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) ⇔ f(x)在区间D上单调递减． 二．函数单调性的判断与证明 1．定义法：（一般用于证明）设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2．图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 从左往右看，呈上升趋势 → 增； 呈下降趋势 → 减 3．性质法 (1) 组合函数f（x）+g（x）的单调性——“同增同减” 在公共区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ (2) 复合函数f(g(x))的单调性：——“同增异减” 在公共区间D上，外层函数y＝f(u)和内层函数u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． (3) 其他运算性质： ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. 典例剖析 【考点一 函数单调区间的求解】 【归纳总结】求函数的单调区间 1.图象法： （1）利用基本初等函数的单调性 （2）图象变换 ①平移变换：左加右减自变量x，上加下减常数项 ②翻折变换 自变量加绝对值 （右翻左）：去掉y轴左侧图象，保留y轴右侧图象； 将y轴右侧图象翻折到y轴左侧 解析式整体加绝对值（下翻上）：保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方 2.根据平移变化推测 3.性质法：①复合函数“同增异减”； ②组合函数“同增同减” 【题型一 图象法求单调区间】 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ） A． B．和 C． D．和    2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24宁夏银川高一上期中）函数的单调递减区间为 ． 【题型二 平移法求单调区间】 3．（22上海高一上期末）函数的单调减区间为 . 【练习】函数的单调递减区间为 ． 【题型三 性质法求函数的单调性】 类型1：复合函数的单调性——内外“同增异减” 【归纳总结】求复合函数单调区间的一般思路 ★★★ (1)明确内外层函数 (2)分别求内层、外层函数的单调区间（注意：落脚点在自变量x）． (3)内外层范围取交集，单调性“同增异减” 4．（25江苏高二下月考）函数的单调减区间是 ． 【练习】（24广东高一上期中）函数的单调递减区间为 . 5．函数的单调递增区间为 ． 【练习】（24山东菏泽高三上月考）函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 6．（24安徽高一上期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 【练习】（24陕西线高一上月考）函数的单调增区间是 ． 类型2：组合函数的单调性——各部分“同增同减” 7．（23北京高一上期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 8．的值域为（    ） A． B． C． D． 【练习】函数的最小值是 ． 【考点二 根据函数单调性求参】 9．（25云南昭通高一下开学）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24江苏高一上月考）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24广东湛江高一上月考）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 11．（25云南昭通高一下联考）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24上海高一上期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 12．（23福建自主招生）已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 . 【变式】（24江苏苏州高一上期中）已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 13．（24福建漳州高三上月考）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式】（24重庆高一上期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【考点四 函数单调性的应用】 【题型一 利用单调性比较大小】 【总结归纳】利用单调性比较函数值大小的解题思路 (1)已知函数在定义域的某个区间上是递增的，若对区间内任意两个值，且x1<x2，都则f(x1)<f(x2)； (2)已知函数在定义域的某个区间上是递减的，若对区间内任意两个值，且x1<x2，都则f(x1)>f(x2)； 【注意】比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较；对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 14．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【变式】（23上海高一上期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 15．已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【题型二 利用单调性解不等式】 【总结归纳】利用单调性求解含“f”的函数不等式 1.根本：利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 2.解题思路： (1)首先求函数的定义域，在函数定义域范围内解不等式 (2)若在给定区间上是递增的，当f(x1)>f(x2)，则有； (3)若在给定区间上是递减的，当f(x1)>f(x2)，则有； 16．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 17．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24山东高一上期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是减函数 B．， C．若，则的取值范围是 D．在区间上的最大值为0 【考点四 定义法证明函数的单调性】 【题型一 具体函数单调性的证明】 【归纳总结】利用定义证明函数单调性 1.五个步骤 2.常用变形技巧： 因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解， 通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解， 分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。 18．已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 19．用定义法证明：函数在上是增函数. 20．用定义法证明函数在定义域内是减函数． 【题型二 抽象函数单调性的证明】 【方法归纳】抽象函数的变形技巧 1.根本：对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小． 2.变形：有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2＋x1－x2或x1＝x2·等． 21．（25河北保定高一下月考）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 22．（25安徽高一下开学）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 23．（23云南保山高一上期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 24．（25江西高一下开学）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2.1 函数的单调性及应用 知识梳理 一．函数的单调性 1．单调函数的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，此时称f(x)在区间D上是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，此时称f(x)在区间D上是减函数 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 2．单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】当函数有多个单调区间时，区间之间用“和”或“，”连接，而不能用“∪”连接． 3．单调性的等价形式 若∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 ①>0 (或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0) ⇔ f(x)在区间D上单调递增． ②<0 (或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0) ⇔ f(x)在区间D上单调递减． 二．函数单调性的判断与证明 1．定义法：（一般用于证明）设函数，证明的单调区间为 ①取值：任取，，且； ②作差：计算； ③变形：对进行有利于符号判断的变形（如通分，因式分解，配方，有理化等）；如有必要需讨论参数； ④定号：通过变形，判断或（），如有必要需讨论参数； ⑤下结论：指出函数在给定区间上的单调性 2．图象法 一般通过已知条件作出函数的图象（或者草图），利用图象判断函数的单调性. 从左往右看，呈上升趋势 → 增； 呈下降趋势 → 减 3．性质法 (1) 组合函数f（x）+g（x）的单调性——“同增同减” 在公共区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． ①增函数（↗）增函数（↗）增函数↗ ②减函数（↘）减函数（↘）减函数↘ (2) 复合函数f(g(x))的单调性：——“同增异减” 在公共区间D上，外层函数y＝f(u)和内层函数u＝g(x)的单调性的关系是“同增异减”． (3) 其他运算性质： ①与（C为常数）具有相同的单调性. ②若为常数，则当时，与具有相同的单调性；当时，与具有相反的单调性. ③若恒为正值或恒为负值，为常数，则当时，与具有相反的单调性；当时，与具有相同的单调性. ④若，则与具有相同的单调性. 典例剖析 【考点一 函数单调性的判断与单调区间的求解】 【归纳总结】求函数的单调区间 1.图象法： （1）利用基本初等函数的单调性 （2）图象变换 ①平移变换：左加右减自变量x，上加下减常数项 ②翻折变换 自变量加绝对值 （右翻左）：去掉y轴左侧图象，保留y轴右侧图象； 将y轴右侧图象翻折到y轴左侧 解析式整体加绝对值（下翻上）：保留轴上方的图象，将轴下方的图象翻折到轴上方 2.根据平移变化推测 3.性质法：①复合函数“同增异减”； ②组合函数“同增同减” 【题型一 图象法求单调区间】 1．已知函数的图象如图所示，则该函数的单调递增区间为（    ）    A． B．和 C． D．和 【答案】B 【分析】根据函数图象直接确定递增区间即可. 【详解】由图象知，该函数的单调递增区间为和， 故选：B． 2．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作出函数的图象，如图所示．由图象得的单调递增区间为和． 【变式】（24宁夏银川高一上期中）函数的单调递减区间为 ． 【答案】， 【分析】化简为分段函数，去掉绝对值．利用二次函数的图象及性质即可得到答案． 【详解】 函数化简为： ，开口向上，对称轴，所以在是减区间，在是增区间； ，开口向上，对称轴，所以在是增区间，在是减区间； 所以：的单调递减区间和． 故答案为：，． 【题型二 平移法求单调区间】 3．（22上海高一上期末）函数的单调减区间为 . 【答案】和 【分析】分离参数，根据反比例函数的性质可得的单调区间，进而可求解. 【详解】，由于函数的单调减区间为和. 故函数的单调减区间为和. 故答案为：和 【练习】函数的单调递减区间为 ． 【答案】和 【分析】整理可得，利用函数单调性的定义判断函数单调性. 【详解】首先，的定义域为，且. 而对任意，根据可知，即，故. 又对任意，根据可知，故. 因此在区间上单调递减，在上单调递减，故函数的单调递减区间为和． 故答案为：和． 【题型三 性质法求函数的单调性】 类型1：复合函数的单调性——内外“同增异减” 【归纳总结】求复合函数单调区间的一般思路 ★★★ (1)明确内外层函数 (2)分别求内层、外层函数的单调区间（注意：落脚点在自变量x）． (3)内外层范围取交集，单调性“同增异减” 4．（25江苏高二下月考）函数的单调减区间是 ． 【答案】 【分析】首先求函数的定义域，再求函数的单调递减区间，最后求交集，即可求解. 【详解】由，得：或， 所以函数的定义域为， 函数的单调递减区间是， 再和定义域求交集得. 故答案为： 【练习】（24广东高一上期中）函数的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】根据偶次方根的被开方数为非负数列不等式，由此求得的定义域，结合二次函数的性质求得的单调递减区间. 【详解】由，解得或， 则函数的定义域是， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 5．函数的单调递增区间为 ． 【答案】， 【分析】首先求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性计算可得. 【详解】令，解得且， 所以的定义域为， 又是一个复合函数，它由与复合而成． 由下表可知，的单调递增区间为，． 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递增 单调递减 单调递减 单调递增 单调递减 单调递减 故答案为：， 【练习】（24山东菏泽高三上月考）函数的单调增区间为（    ） A． B． C．和 D． 【答案】C 【分析】令，根据二次函数的性质求出的单调区间，再由复合函数的单调性即可得函数的单调增区间. 【详解】设，则有且， ，则， 所以函数的定义域为：且， 由二次函数的性质可知的单调递增区间为：；单调递减区间为：和； 又因为在区间和上单调递减， 由复合函数的单调性可知：函数的单调增区间为：和. 故选：C. 6．（24安徽高一上期中）已知函数，则的单调递减区间为 ． 【答案】 【分析】先求函数的定义域，再根据复合函数的单调性求解. 【详解】令，解得或， 又在上单调递减，在上单调递增， 且在上单调递减，所以在上单调递增，在上单调递减． 故答案为：. 【练习】（24陕西线高一上月考）函数的单调增区间是 ． 【答案】 【分析】求出函数的定义域，利用复合函数“同增异减”的性质即可求得其单调增区间. 【详解】由题意可知，解得，即函数定义域为， 易知函数由复合而成， 且在单调递减，在单调递增，在上单调递减； 利用复合函数单调性可得的单调增区间是 故答案为：. 类型2：组合函数的单调性——各部分“同增同减” 7．（23北京高一上期中）已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数单调性的性质逐一判断即可. 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 【变式】（多选）已知函数在上是增函数，则下列说法错误的是（    ） A．在上是减函数 B．在上是减函数 C．在上是增函数 D．（a为实数）在上是增函数 【答案】BCD 【详解】设，则必有，所以，所以选项A一定成立；其余三项不一定成立，如当时，B，C不成立；当时，D不成立． 8．的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，即．又在上单调递增，故当时，函数取最大值为，即的值域为． 故选：A. 【练习】函数的最小值是 ． 【答案】 【详解】由得的定义域为．又函数在区间上单调递增，函数在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增．所以当时，． 【考点二 根据函数单调性求参】 9．（25云南昭通高一下开学）“”是函数在上是增函数的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由函数单调性可求得，再根据不等式范围大小可判断出结论. 【详解】因为在上是增函数，可得，即， 显然“”能推出“”，反之则不成立， 所以“”是函数在上是增函数的充分不必要条件. 故选：A. 10．（24江苏高一上月考）设函数在区间上具有单调性，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在本题中先求出函数的对称轴，再根据函数在区间上具有单调性，分类讨论，确定对称轴与区间的位置关系来求解的取值范围. 【详解】对于函数，可得对称轴为. 因为函数在区间上具有单调性，所以对称轴不在区间内. 当时，即，函数在区间上单调递增. 当时，即，函数在区间上单调递减. 所以的取值范围是或. 故选：D. 【变式】（24广东湛江高一上月考）已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据二次函数和一次函数的单调性分类讨论求解即可. 【详解】当时，在上单调递减，符合题意； 当时，函数在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是. 故答案为： 11．（25云南昭通高一下联考）（多选）函数在区间上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据一次分式型函数的单调性，即可得到两参数的范围. 【详解】由在区间上单调递增，则，即，故B正确，A错误； 又在区间上单调递增，则，即，故D正确，C错误. 故选：BD. 【变式】（24上海高一上期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将变形得到，根据条件，结合反比例函数的性质，即可求解. 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 12．（23福建自主招生）已知函数，且当时，随的增大而增大，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先根据复合函数单调性得出二次函数的单调性应用单调性求参. 【详解】因为在上y随x的增大而增大， 所以在上y随x的增大而减小， 则,且, 因为,所以, 所以只需要, 即. 故答案为：. 【变式】（24江苏苏州高一上期中）已知函数在单调递增，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复合函数的单调性，结合二次函数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系求出范围. 【详解】函数中，，解得或， 而函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数在上单调递增，因此函数的单调递增区间是， 依题意，，解得， 所以a的取值范围是. 故选：D 13．（24福建漳州高三上月考）已知函数是上的减函数，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分段函数在上的单调性可得出关于实数的不等式组，进而可求得实数的取值范围. 【详解】由于函数是定义在上的减函数， 所以，函数在区间上为减函数，函数在区间上为减函数，且有， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. 故选：A. 【变式】（24重庆高一上期中）若函数满足对任意实数，都有成立，则 ，实数的取值范围是 【答案】 【分析】令即可求解，再根据已知可得函数是单调递增函数，利用分段函数的单调性的求法即可求解． 【详解】由已知可得：，又由已知可得函数是单调递增函数， 所以有：，解得， 故答案为：；． 【考点四 函数单调性的应用】 【题型一 利用单调性比较大小】 【总结归纳】利用单调性比较函数值大小的解题思路 (1)已知函数在定义域的某个区间上是递增的，若对区间内任意两个值，且x1<x2，都则f(x1)<f(x2)； (2)已知函数在定义域的某个区间上是递减的，若对区间内任意两个值，且x1<x2，都则f(x1)>f(x2)； 【注意】比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较；对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解． 14．已知定义域为的函数，，，，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知是上的减函数，结合单调性比较函数值的大小. 【详解】因为，，，则， 且，可得，即， 可知是上的减函数，且，所以． 故选：B. 【变式】（23上海高一上期中）函数为定义在上的单调增函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由函数单调性的定义和性质依次分析选项，综合可得答案. 【详解】函数为定义在上的单调增函数， 当时，，故错误； 当时，，故错误； 当时，，故正确； 当时，，故错误； 故选：C． 15．已知函数，，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由定义法得到函数在上单调递增，然后求自变量的范围，从而得到正确结论. 【详解】任取，则 ∵，∴，则在上单调递增． 又，所以． 故选：D. 【题型二 利用单调性解不等式】 【总结归纳】利用单调性求解含“f”的函数不等式 1.根本：利用函数的相关性质将不等式转化为f (g(x))＞f (h(x))的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或g(x)＜h(x))． 2.解题思路： (1)首先求函数的定义域，在函数定义域范围内解不等式 (2)若在给定区间上是递增的，当f(x1)>f(x2)，则有； (3)若在给定区间上是递减的，当f(x1)>f(x2)，则有； 16．已知在定义域上是减函数，且，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由解得． 17．已知函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先确定函数的单调性，则可将转化为，解不等式可得答案. 【详解】由题意可知，函数的定义域为，且在上单调递增， ∵， ∴，解得或. 故选：C. 【变式】（24山东高一上期中）（多选）已知函数，下列说法正确的是（    ） A．函数是减函数 B．， C．若，则的取值范围是 D．在区间上的最大值为0 【答案】ACD 【分析】由题意，作图，根据其单调性，可得答案. 【详解】由题意，可作图如下： 由图像知在定义域上单调递减，所以A正确； 因为，所以 又因为函数是减函数，所以，所以B不正确； 因为函数是减函数，所以，解得：，所以C正确； 由图像可知D正确. 故选：ACD. 【考点四 定义法证明函数的单调性】 【题型一 具体函数单调性的证明】 【归纳总结】利用定义证明函数单调性 1.五个步骤 2.常用变形技巧： 因式分解：当原函数是多项式函数时，常进行因式分解， 通分：当原函数是分式函数时，作差后通分，然后对分子进行因式分解， 分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化。 18．已知函数． (1)若，证明函数在上单调递减，在上单调递增； (2)当时，，求a的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）证明：设 ． 当时，，所以，所以函数在上单调递减． 同理可得在上单调递增． （2）解：①当时，，不满足条件． ②当时，易知函数在上单调递增，则满足即解得，不满足条件． ③当时，由（1）得函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值应在处取得．当时，函数在上的最小值为，所以，解得，经检验，符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件；当时，函数在上的最小值为，所以，解得，不符合条件．综上，． 19．用定义法证明：函数在上是增函数. 【答案】证明见解析 【分析】根据函数单调性定义证明即可. 【详解】证明：设是上的任意两个实数，且，所以， 则 ，. ，即， 函数在上是增函数. 20．用定义法证明函数在定义域内是减函数． 【答案】见解析 【分析】直接利用函数单调性的定义进行证明，设在R上任取两个数x1，x2，且x1＞x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论． 【详解】设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2； 则f（x1）–f（x2）=–x1–（–x2） =–+（x2–x1） =+（x2–x1） =（x1–x2）（–1） ∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1<0， 则f（x1）–f（x2）<0， ∴函数在R上是减函数． 【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明，解题的关键是化简判定符号，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． 【题型二 抽象函数单调性的证明】 【方法归纳】抽象函数的变形技巧 1.根本：对任意x1，x2在所给区间内比较f(x1)－f(x2)与0的大小，或与1的大小． 2.变形：有时根据需要，需作适当的变形：如x1＝x2＋x1－x2或x1＝x2·等． 21．（25河北保定高一下月考）已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有． (1)求的值； (2)求证：在R上为增函数； (3)若，且关于x的不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用赋值法，求； （2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在R上为增函数； （3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，可得恒成立，通过对勾函数性质求解实数的取值范围 【详解】（1）由， 故此令，则， 则； （2）设，是R上任意两个实数，且，令，， 则，所以， 由得，所以，故，即， 故此函数为R上增函数； （3）由已知条件得：， 故，，， ，由（2）可知在R上为增函数， ，即， 时，可得恒成立， 令， 由对勾函数性质可得在上单调递增， 所以， 所以 综上，. 22．（25安徽高一下开学）已知函数的定义域为，对、，满足，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，且，则，利用函数单调性的定义推导出函数在上单调递减，计算得出，将所求不等式变形为，结合函数的定义域和单调性可得出关于的不等式组，解之即可. 【详解】因为函数的定义域为， 对、，满足， 又当时，， 令，且，则， 则， 所以，所以在上单调递减， 因为，所以，， 则不等式可化为， 所以，，解得． 因此，不等式的解集为. 故选：B. 23．（23云南保山高一上期末）已知定义在上的函数,满足,且当时,. (1)讨论函数的单调性,并说明理由; (2)若,解不等式. 【答案】(1)在上单调递增,理由见解析 (2) 【分析】(1)取,利用单调性的定义,进行取值,作差,变形,定号,结论即可得出结果; (2)先根据,求得,再利用抽象函数的式子化为,根据(1)中的单调性结论,列出不等式,解出即可. 【详解】（1）解:在上单调递增,理由如下: 因为定义域为, 不妨取任意,且,则, 由题意,即, 所以在上单调递增. （2）因为,令,由可得: , 即, 由,可得, 令,, 则, 所以不等式, 即,即, 由(1)可知在定义域内单调递增, 所以只需,解得, 所以不等式的解集为. 24．（25江西高一下开学）已知定义域为的函数满足，，且当时，． (1)求的值； (2)用单调性定义证明：在定义域上是增函数； (3)若，求不等式的解集，若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，解集为 【分析】（1）令，即可求解； （2）由，且，得到，再由当时，，即可求证； （3）由，得到，再结合性质可得，结合定义域和单调性求解即可. 【详解】（1）因为，， 令，可得，所以． （2）对，且， 则， 因为，，则， 又因为，可得， 且当时，，则，即， 所以在定义域上是增函数． （3）因为函数的定义域为，则，解得． 由，得等价于， 且，可得， 由（2）可知：在定义域上是增函数． 可得，解得，或（舍去），故， 故不等式的解集为． 第 2 页 共 22 页 第 1 页 共 22 页 学科网（北京）股份有限公司 $$