第11讲：奇偶性【八大题型】-【初升高暑假衔接】2025-2026学年新高一数学【赢在暑假】同步精讲精练系列（人教A版2019必修第一册）

第11讲：奇偶性 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点二　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点三　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【例题详解】 题型一、判断函数的奇偶性 1．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 【答案】C 【分析】根据偶函数的定义，逐项分析即可得解. 【详解】对于A选项，()定义域不关于原点对称，故A错误； 对于B选项，，所以不是偶函数，故B错误； 对于C选项，函数定义域为R，且，所以是偶函数，故C正确； 对于D选项，，所以不是偶函数，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·全国）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)偶函数 (2)奇函数 (3)奇函数 【分析】（1）（2）（3）求得定义域，利用奇偶性的定义判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）因为的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由题设得：，所以函数定义域为，关于原点对称， 且，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)奇函数. (2)偶函数. (3)非奇非偶函数 【分析】首先求出函数的定义域，判断定义域是否关于原点对称，再利用函数奇偶性的定义逐一判断即可. 【详解】（1）函数的定义域为， ， 是奇函数. （2）函数的定义域是， ， 是偶函数. （3）函数的定义域是，不关于原点对称， 是非奇非偶函数. 题型二、由奇偶性求解析式 命题角度1　求对称区间上的解析式 4．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 【答案】 【分析】根据奇函数的定义求解即可. 【详解】令，则，因为是定义在上的奇函数， 所以. 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数定义求解即可. 【详解】若，则，可得， 又因为函数是定义在R上的奇函数， 所以. 故答案为：. 6．（24-25高一上·内蒙古通辽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质求解. 【详解】由函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时， ，∴． 故答案为：. 命题角度2　构造方程组求解析式 7．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 8．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 【答案】 【分析】利用函数奇偶性的定义构造方程组，求出函数的解析式，代值计算可得出的值. 【详解】因为函数是奇函数，函数为偶函数，且①， 所以，，即②， 联立①②得，，故. 故答案为：. 9．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 【答案】5 【分析】应用函数奇偶性，建立方程组求出，的解析式，再求即可. 【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数， 所以，即， 解之得，所以. 故答案为：5 题型三、由奇偶性求参数 10．（24-25高一上·宁夏中卫·期中）若 为奇函数，则 【答案】 【分析】由奇函数的定义求解参数即可. 【详解】的定义域为， 因为为奇函数， 则，由， ， 所以，解得， 故答案为： 11．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性与二次函数的对称性即可得的值，从而得所求. 【详解】因为函数是偶函数， 所以函数定义域关于原点对称，且函数图象关于你轴对称， 所以，且， 所以. 故答案为：. 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为奇函数的定义域为，所以，解得，又因为，所以，所以，所以． 题型四、由函数奇偶性解不等式 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【详解】由题意得．关于x的不等式，即，所以．又定义在上，且当时，单调递增，所以，解得或． 易错警示 解题中易忽视函数的定义域． 14．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由已知可得在上单调递增，结合奇函数的性质可求得不等式的解集. 【详解】因为对任意的，当时，都有成立， 所以在上单调递增，当，又， 所以由，可得， 又函数是定义在上的奇函数，当时， 由，可得，又由奇函数的性质可得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15．（24-25高一上·广东江门·期末）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 用集合表示 【答案】或 【分析】结合函数的奇偶性和函数的单调性求解即可． 【详解】因为是偶函数，所以， 所以， 又因为在上单调递减， 所以， 解得：或 故答案为：或 题型五、函数奇偶性对称性的应用 16．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 【答案】 【分析】根据是偶函数，可得关于直线对称，将转化为和，根据在上的单调性，即可得结果. 【详解】因为是偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 所以，， 又在上是增函数，且，故. 故答案为：. 17．（22-23高一上·陕西西安·期中）定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是 .    【答案】 【分析】根据偶函数的性质，作出函数的图象，利用分类讨论，结合图象，可得答案. 【详解】由函数为偶函数，则其函数的图象关于轴对称，如下图所示：    当时，由，则，根据图象可得； 当时，由，则，根据图象可得. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为： 18．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 . 【答案】 【分析】先根据可得的单调性，然后结合单调性可解不等式. 【详解】设，因为是定义在上的奇函数，所以， 所以为偶函数， 又，且时，恒成立， 所以在上为减函数， 又 ，可得，所以，得， 在为增函数，由，得， 又，可化为，即，所以，或， 即，或. 故答案为： 题型六：抽象函数的奇偶性 19．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】通过赋值结合题干所给信息证明函数的奇偶性与单调性，最后再利用奇偶性与单调性解不等式. 【详解】令，得， 令，得，所以为定义在上的奇函数， 因为，令，得， 任取，则 ， 因为当时，，所以当时，，即， 所以在上单调递增， 所以不等式 . 故答案为： 20．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 . 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性可得的值，结合已知求出；由是偶函数推出，利用赋值法求出，即可得答案. 【详解】由题意知是定义域为的奇函数，， 故，则， 由是偶函数，得， 令，则，即； 令，则，即， 故， 故答案为：. 21．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据题意得出函数的性质，并画出满足题意的一个大致图象；再根据图象即可求解. 【详解】由函数为偶函数，可知函数关于对称， 又函数在上单调递增，知函数在上单调递减， 由，知，作出函数的大致图象，如下：    由图可知，当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 所以不等式的解集为. 故答案为： 题型七：函数奇偶性的综合问题 22．（24-25高一上·全国）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【分析】（1）由奇函数的性质及已知函数值，列方程求参数值即可； （2）应用单调性定义求证函数的区间单调性即可； （3）根据奇偶性和单调性解不等式. 【详解】（1）是定义在上的奇函数， ，即， ，则， ， ， 函数解析式为． （2）任取，且，， ，则，，， ，即，是上的增函数． （3），，是上的奇函数，， ，为上的增函数，，解得， 不等式的解集为． 23．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2)单调递增，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【详解】（1）因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； （2）由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3）由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 24．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用“赋值法”，可求，，再令，可得与的关系，判断函数的奇偶性. （2）利用，结合，可求的值. （3）先用定义证明函数在上的单调性，结合函数的奇偶性，把函数不等式转化为代数不等式，再结合函数的定义域可解不等式. 【详解】（1）令，，则； 令，，则 令，得，又， 故（）为偶函数. （2）因为， 所以 . （3）任取，，则，则，则， 故（）在上为减函数 由（1）知（）为偶函数，且 所以，等价于，故， 解得 又的定义域为，故，所以 原不等式的解集为. 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，D，其定义域不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；对于选项B，当时，，而当时，函数无意义，故选项B也是非奇非偶函数；对于选项C，令，无论x取何值都满足． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数是偶函数，所以，故． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由奇函数的性质结合单调性解抽象不等式可得. 【详解】将不等式变形可得， 因为函数是上单调递增的奇函数，所以不等式等价于， 所以，即的取值范围为. 故选：D 4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（    ） A．0 B．3 C．6 D． 【答案】D 【分析】由函数对称性得到，，赋值得到. 【详解】关于对称，故， 中，令得， 因为为R上的奇函数，所以， 故， 又时，，故， 故. 故选：D 5．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的单调性、奇偶性化简不等式，求解即得的取值范围. 【详解】因是定义在上的奇函数， 由可得， 又在单调递增，则函数在上单调递增， 则得，解得. 故选：B 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 【答案】D 【分析】根据奇偶性的定义判断即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以； 是定义在上的偶函数，所以， 则，所以为奇函数，故A错误； ，所以为偶函数，故B错误； ，则为非奇非偶函数，故C错误； ，故为偶函数，故D正确. 故选：D 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题可得在R上的单调性，然后由奇函数性质可得答案. 【详解】是定义域为的奇函数，且在上单调递减， 则在上单调递减，即在R上单调递减. 又，则， 则. 故选：C 8．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的单调性和奇偶性可取不等式的解. 【详解】因为，且，都有成立， 故在上为增函数，而为上的偶函数， 故，故为上的奇函数， 故在上为单调增函数， 当时，原不等式即为， 故，解得； 当时，原不等式即为， 故，解得， 综上原不等式的解为：， 故选：C. 二、多选题 9．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 【答案】ACD 【分析】对于给定的函数，结合对勾函数的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，函数中，，因此其定义域为，A正确； 对于B，，因此的值域不为，B错误； 对于C，，有，， 函数是奇函数，C正确； 对于D，由对勾函数性质知，在上单调递减，在上单调递增， 又是奇函数，则在上单调递减，在上单调递增， 因此的单调递减区间为和，D正确. 故选：ACD 10．（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（   ） A． B．为周期函数 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 11．（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 【答案】BC 【分析】利用赋值法进行求解即可，选项A：令，选项B：，选项C:令，选项D：利用函数的奇偶性和周期性求解即可. 【详解】令，可得，故A错； 令，可得，即，故B对； 令，可得，即，再令，得，所以对； 又是偶函数，所以有， 函数是以2为周期的周期函数，，故D错. 故选：BC. 12．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．若在上单调递增，则当时， D．若在上单调递减，则当时， 【答案】ACD 【分析】直接利用函数奇偶性的定义判断AB；根据奇函数的图象关于原点对称判断C；根据偶函数的图象关于对称判断D. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数， 所以，. A. 设，则，所以是奇函数，故正确； B. 设，则，所以不是偶函数，故错误； C. 因为函数是定义在上的奇函数，所以其图象关于原点对称，若在上单调递增，则在上单调递增，当时，，正确； D. 因为是定义在上的偶函数，所以其图象关于轴对称，若在上单调递减，则在上单调递增，当时，，正确. 故选：ACD. 13．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知定义在上的奇函数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．为单调递增函数 C．的图象关于成中心对称 D．的解集为 【答案】BCD 【分析】根据题意可得在上单调递增，，可判断；利用单调性比较大小可得判断；由，可得，可判断；利用单调性解不等式可判断. 【详解】对于：由，即， 所以在上单调递增， 由，有， 故在上单调递增，故B正确； 对于：在上单调递增，且， 所以，故错误； 对于：由， 即， 故的图象关于成中心对称，故C正确； 对于：由于，故，从而， 又因为在上单调递增， 所以，解得，故D正确. 故选:BCD. 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 【答案】0 【详解】因为函数的定义域为，所以，得．因为，即，得，所以，所以． 39．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出函数解析式. 【详解】偶函数在上满足， 当时，，所以. 故答案为： 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是 ． 【答案】 【详解】在中，用替换x，得．因为分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以，所以，解得，于是，故． 16．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则 ． 【答案】0 【分析】根据给定条件，探讨函数的对称性及周期性，并求得，再利用周期性求出所求值. 【详解】由函数是定义域为的偶函数，得， 而不恒为0，则，， 又，则，即， 因此，函数是周期为4的周期函数， 由，得， 所以. 故答案为：0 17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）若函数满足： ①； ②，都有成立； ③在区间上的最大值小于2． 则的解析式可以为 （写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】分析各条件对应的函数的性质，由函数性质写出函数解析式. 【详解】①，函数时奇函数； ②，都有成立，函数在区间上单调递增； ③在区间上的最大值小于2，设函数在区间上单调递增，则． ∴. 故答案为：（答案不唯一）. 四、解答题 18．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 【答案】(1)，3； (2)偶函数，证明见解析. 【分析】（1）判断代入求出函数值. （2）利用函数奇偶性定义推理证明即可. 【详解】（1）函数，则，. （2）函数是偶函数. 当时，，， 当时，，， 而， 因此，所以函数是偶函数. 19．（24-25高一上·云南怒江·期末）已知函数. (1)写出函数的定义域及奇偶性； (2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明： (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)定义域为，奇函数； (2)单调递增，证明见解析； (3) 【分析】（1）利用函数奇偶性定义进行判断； （2）作出判断，并利用函数单调性的定义进行证明 （3）根据判别式法即可得到的取值范围. 【详解】（1）定义域为，因为，所以为奇函数. （2）单调递增，证明：任取， ， 因为，所以，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）当时，恒成立，则，解得. 20．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1) (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）令，则，再根据已知结合函数的奇偶性即可得解； （2）根据单调性的定义即可求解. 【详解】（1）当时，则， 又因为为奇函数，则， 所以当时，； （2）函数在单调递增， 证明如下：当时，， 对任意的且， ， 因为且，则， 所以，即， 所以函数在单调递增. 21．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）借助 ，代入计算即可得； （2）借助单调性定义证明即可得； （3）结合奇函数性质及函数单调性计算即可得. 【详解】（1）由，则，解得，故， 此时，满足题意，故； （2）设， 则 ， 由，故，故，， 故，故在上是增函数； （3），由在上是增函数， 故，解得， 即不等式的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲：奇偶性 【考点归纳】 【知识梳理】 知识点一　函数奇偶性的定义 前提条件：奇(偶)函数的定义域关于原点对称． 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 知识点二　用奇偶性求解析式 如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为： (1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设． (2)要利用已知区间的解析式进行代入． (3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)． 知识点三　奇偶性与单调性 若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性． 【例题详解】 题型一、判断函数的奇偶性 1．（24-25高一上·云南大理·期末）下列函数中，是偶函数的是（    ） A．（） B． C． D． 2．（24-25高一上·全国）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3). 题型二、由奇偶性求解析式 命题角度1　求对称区间上的解析式 4．（24-25高一上·北京石景山·期末）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则当时， ． 5．（24-25高一上·浙江杭州·期中）已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则当时， . 6．（24-25高一上·内蒙古通辽·阶段练习）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则时的的解析式是 ． 命题角度2　构造方程组求解析式 7．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则 . 8．（24-25高一上·天津和平·期中）已知函数是奇函数，函数为偶函数，若，则 . 9．（24-25高一上·广东广州·期中）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则 ． 题型三、由奇偶性求参数 10．（24-25高一上·宁夏中卫·期中）若 为奇函数，则 11．（2024·上海宝山·一模）已知为实数，且函数是偶函数，则 . 12．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 题型四、由函数奇偶性解不等式 13．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于x的不等式的解集是 ． 14．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且，若对任意的，当时，都有成立，则不等式的解集为 ． 15．（24-25高一上·广东江门·期末）已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为 用集合表示 题型五、函数奇偶性对称性的应用 16．（24-25高一上·江西上饶·阶段练习）已知在上是增函数，是偶函数，的大小关系为 . 17．（22-23高一上·陕西西安·期中）定义在R上的偶函数在上的图像如下所示，则不等式的解集是 .    18．（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，，若，且时，恒成立，则不等式的解集是 . 题型六：抽象函数的奇偶性 19．（24-25高一上·江苏南通·期中）定义域为的函数满足且时，，不等式的解集为 ． 20．（23-24高一上·四川成都·期末）已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是 . 21．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）已知定义在上的函数在上单调递增，若函数为偶函数，且，则不等式的解集为 . 题型七：函数奇偶性的综合问题 22．（24-25高一上·全国）函数是定义在上的奇函数，且． (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式． 23．（24-25高一上·北京·期中）已知函数是上的偶函数． (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； (3)如果对，都有成立，求的取值范围． 24．（24-25高一上·安徽亳州·期末）已知函数的定义域为，且满足． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)若，求的值； (3)若时，，解不等式． 【专项训练】 一、单选题 1．（25-26高一上·全国）下列函数为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·课后作业）若函数是偶函数，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数是上单调递增的奇函数．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）定义在上的奇函数，其图象关于对称，且时，，则（    ） A．0 B．3 C．6 D． 5．（24-25高一上·云南昭通·期中）已知定义在上的奇函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·贵州毕节·期末）已知是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．是偶函数 7．（24-25高一上·广东深圳·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且在上单调递减．若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·河北廊坊·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高一上·重庆·期末）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．是奇函数 D．的单调递减区间为和 10．（24-25高一上·广东清远·期末）已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（   ） A． B．为周期函数 C． D．在上单调递增 11．（24-25高一上·河北石家庄·期末）已知函数对任意实数x，y都满足，且，则（   ） A．或1 B．是偶函数 C． D． 12．（24-25高一上·陕西西安·期末）已知函数是定义在上的奇函数，是定义在上的偶函数，则下列说法正确的有（     ） A．是奇函数 B．是偶函数 C．若在上单调递增，则当时， D．若在上单调递减，则当时， 13．（24-25高一上·安徽安庆·期末）已知定义在上的奇函数，满足，且，则以下结论正确的是（    ） A． B．为单调递增函数 C．的图象关于成中心对称 D．的解集为 三、填空题 14．（25-26高一上·全国·课后作业）已知定义域为的奇函数，则的值为 ． 39．（24-25高一上·北京·期中）偶函数在上满足，则当时， ． 15．（25-26高一上·全国·课后作业）已知分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，则之间的大小关系是 ． 16．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且，并满足，则 ． 17．（24-25高一上·贵州黔西·期末）若函数满足： ①； ②，都有成立； ③在区间上的最大值小于2． 则的解析式可以为 （写出一个即可） 四、解答题 18．（24-25高一上·云南保山·期末）已知函数， (1)求，； (2)判断函数的奇偶性并证明． 19．（24-25高一上·云南怒江·期末）已知函数. (1)写出函数的定义域及奇偶性； (2)请判断函数在上的单调性，并用定义证明： (3)当时，恒成立，求实数a的取值范围. 20．（24-25高一上·云南德宏·期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)当时，求的解析式； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 21．（24-25高一上·云南西双版纳·期末）已知函数是定义在上的函数，恒成立，且. (1)确定函数的解析式； (2)用定义证明在上是增函数； (3)解不等式. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$