精品解析：湖北省宜昌市长阳土家族自治县第二高级中学2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷

2024-2025学年度春季学期长阳二中 高二期末考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2 3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 4. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ） A. B. C. D. 5. 展开式中的常数项为（ ） A. -20 B. 20 C. -15 D. 15 6. 若函数在上存在极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（ ） A. B. C D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数的值是1或6 10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点、、、、中的一个点 B. 若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于 D. 对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 11. 下列命题中，正确的是（ ） A 已知随机变量X服从二项分布，若，则 B. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 C 已知，，，则 D. 已知，，，则 三、填空题 12. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种. 13. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______． 14. 某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是___________． 四、解答题 15. 已知是函数的导函数，且． （1）求； （2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 16. 某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动． （1）求男生甲或女生乙被选中的概率； （2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和． 17. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图. （1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数） （2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 参考数据： 2.82 32.56 0.46 5.27 ，，. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 18. ，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 （1）请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ （2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19. 已知函数． （1）当时，取得极值，求的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值； （3）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度春季学期长阳二中 高二期末考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知函数，则的值为（ ） A. -1 B. 3 C. 8 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】根据题意，，则， 由导数的定义知，． 故选：C． 2. 已知随机变量，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据二项分布的方差公式求解即可. 【详解】因为，所以． 故选：C． 3. 某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率和温度（单位：）的关系，在个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图： 由此散点图，在至之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率和温度的回归方程类型的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据散点的分布可得出合适的回归方程类型. 【详解】由散点图可见，数据分布成递增趋势，但是呈现上凸效果，即增加缓慢. A中，是直线型，均匀增长，不符合要求； B中，是二次函数型，函数对称轴为轴， 当时，图象呈现下凸，增长也较快，不符合要求； 当时，图象呈现上凸，呈递减趋势，不符合要求； C中，是指数型，爆炸式增长，增长快，不符合要求； D中，是对数型，增长缓慢，符合要求. 故对数型最适宜该回归模型. 故选：D. 4. 一个袋子中有个红球和个白球，这些小球除颜色外没有其他差异从中不放回地抽取个球，每次只取个设事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”，则概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求出和，进而由条件概率公式计算可得答案． 【详解】解：根据题意，事件“第一次抽到红球”，“第二次抽到红球”， 则，， 则． 故选：A． 5. 展开式中的常数项为（ ） A. -20 B. 20 C. -15 D. 15 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式定理，写出通项，建立方程，可得答案. 【详解】的展开式通项， 令，则，即展开式的常数项为. 故选：A. 6. 若函数在上存在极值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导函数，依题意可得，再结合，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为， 所以， 由函数在上存在极值，所以，解得或， 又，所以的取值范围是. 故选：B. 7. 设随机变量，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正态曲线的性质比较的大小判断选项A；利用正态曲线性质比较的大小判断选项B；利用正态曲线性质比较及的大小判断选项C、D. 【详解】由题图可知，，则，所以A错误； 根据正态曲线性质，越大图象越矮胖，则，所以B错误； 由图可知，，所以C错误; 由图可知，，所以D正确． 故选D． 8. 已知是定义在上的函数的导函数，且，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构建，求导，利用导数判断的单调性，进而利用单调性比较大小. 【详解】构建，则， 因为对于恒成立，所以， 故在上单调递减， 由于，且， 所以，即. 故选：A. 【点睛】结论点睛： 1.的形式，常构建；的形式，常构建； 2.的形式，常构建；的形式，常构建. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则正整数的值是1或6 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用排列数公式计算可判断A项，运用组合数公式及性质计算可判断B项、D项，运用二项式定理可判断C项. 【详解】对于A项，因为，故A项正确； 对于B项，方法1：， 方法2：因为，，故B项错误； 对于C项，因为， ， 所以，故C项正确； 对于D项，因为，所以或，即或6，故D项正确. 故选：ACD. 10. 下列有关线性回归分析的问题中，正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点、、、、中的一个点 B. 若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位 C. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于 D. 对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为，若样本点的中心为，则实数的值是 【答案】BD 【解析】 【分析】利用回归直线相关知识可判断ABD选项；利用线性相关系数可判断C选项. 【详解】对于A选项，回归直线不一定经过样本点，但一定经过样本中心点，A错； 对于B选项，若线性回归方程为，则当变量增加个单位时，平均增加个单位，B对； 对于C选项，两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于或，C错； 对于D选项，对具有线性相关关系的变量、，其线性回归方程为， 若样本点的中心为，则，解得，D对. 故选：BD. 11. 下列命题中，正确的是（ ） A. 已知随机变量X服从二项分布，若，则 B. 已知随机变量X服从正态分布，若，则 C. 已知，，，则 D. 已知，，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用二项分布期望公式及性质计算判断A；利用正态分布对称性计算判断B；利用条件概率公式推理判断C；利用全概率公式计算判断D作答. 【详解】对于，由二项分布的期望公式，， 由期望的性质得，则，正确； 对于，由正态分布曲线的性质知，， 根据对称性知，，于是，B错误； 对于C，由，得， 所以，C正确； 对于D，由，得，又， 由全概率公式得，，D正确. 故选：ACD 三、填空题 12. 从甲、乙、丙、丁四位家长中选三人对某小学附近的三个路口维护交通，每个路口安排一人，则不同的安排方法有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可，第一步从四个不同元素中选三个元素，第二步对所选元素进行排列. 【详解】首先从四位家长中选三人有种方法， 然后将选出的三位家长分别安排到三个路口有种方法， 根据分步乘法计数原理，总的安排方法数为种. 故答案为： 13. 某校高三年级进行了一次高考模拟测试，这次测试的数学成绩，且，规定这次测试的数学成绩高于120分为优秀．若该校有1200名高三学生参加测试，则数学成绩为优秀的人数是______． 【答案】120 【解析】 【分析】由已知结合正态分布曲线的对称性得，乘以总人数即可得出答案． 【详解】由，得正态分布曲线的对称轴为， 因为，所以， 则数学成绩为优秀的人数是， 故答案为：． 14. 某学校物理兴趣小组有6个男生，4个女生，历史兴趣小组有3个男生，5个女生，先从两个兴趣小组中随机选取一个兴趣小组，再从所取的兴趣小组中随机抽取一个学生，则该学生是男生的概率是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算可得答案. 【详解】该学生是男生的概率是. 故答案为：. 四、解答题 15. 已知是函数的导函数，且． （1）求； （2）求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）求导，通过赋值即可求出，进而可求的值； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，再求出切线与两坐标轴的交点即可求出三角形面积. 【小问1详解】 由题可知， 令，则，解得． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）可知，， 则所求的切线方程为，即， 所以该切线与坐标轴的交点为和， 则所求三角形的面积为． 16. 某班有名班干部，其中男生人，女生人，任选人参加学校的义务劳动． （1）求男生甲或女生乙被选中的概率； （2）设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】 （1）求出总的选法，男生甲或女生乙被选中的选法，由此能求出男生甲或女生乙被选中的概率． （2）求出女生乙被选中的概率，男生甲、女生乙都被选中的概率，即可得出结论. 【详解】（1）某班从名班干部(男生人、女生人)中任选人参加学校的义务劳动，总的选法有种， 男生甲或女生乙都没有被选中的选法： 则男生甲或女生乙被选中的选法有种， ∴男生甲或女生乙被选中的概率为； （2）总的选法有种，男生甲被选中的选法有种，∴， 男生甲被选中、女生乙也被选中选法有种，∴， ∴在男生甲被选中的前提下，女生乙也被选中的概率为． 17. 随着生活节奏的加快､生活质量的提升，越来越多的居民倾向于生活用品的方便智能.如图是根据2016—2020年全国居民每百户家用汽车拥有量（单位：辆）与全国居民人均可支配收入（单位：万元）绘制的散点图. （1）由图可知，可以用线性回归模型拟合与的关系，求关于的线性回归方程；（过程和结果保留两位小数） （2）已知2020年全国居民人均可支配收入为32189元，若从2020年开始，以后每年全国居民人均可支配收入均以6%的速度增长，预计哪一年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 参考数据： 2.82 32.56 0.46 5.27 ，，. 参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）； （2）预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 【解析】 【分析】（1）根据参考数据和公式算出，，进而得到关于的线性回归方程； （2）先根据线性回归方程计算出当时的值，将其与通过已知数据计算所得的值相比较即可得解. 小问1详解】 解： ， ， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 解：由，得. 因为2020年全国居民人均可支配收入为3.2189万元， 且，， 所以预计2026年全国居民每百户家用汽车拥有量可以达到50辆. 18. ，，，这组公式被称为积化和差公式，最早正式发表于16世纪天文学家乌尔索斯1588年出版的《天文学基础》一书中.在历史上，对数出现之前，积化和差公式被用来将乘除运算化为加减运算.在现代工程中，积化和差的重要应用在于求解傅里叶级数.为了解学生掌握该组公式的情况，在高一、高三两个年级中随机抽取了100名学生进行考查，其中高三年级的学生占，其他相关数据如下表： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 高一年级的学生 16 合计 100 （1）请完成2×2列联表，依据小概率值的独立性检验，分析“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”是否有关？ （2）以频率估计概率，从该校高一年级学生中抽取3名学生，记合格的人数为，求的分布列和数学期望. 附：， 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据卡方的计算与临界值比较即可求解， （2）利用二项分布的概率公式即可求解概率以及期望公式求解. 【小问1详解】 由100名学生中高三年级的学生占，可知高三年级的学生有60人，高一年级的学生有40人. 补充完整的列联表，如下： 合格 不合格 合计 高三年级的学生 54 6 60 高一年级的学生 24 16 40 合计 78 22 100 提出零假设：“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”无关. 根据列联表中的数据，得. 根据小概率值的独立性检验，我们推断H₀不成立，即认为“对公式的掌握情况”与“学生所在年级”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001. 【小问2详解】 由（1）得，高一年级的学生对公式的掌握情况合格的频率为. 依题意，得， 则，， ，. 所以的分布列为 0 1 2 3 . 19. 已知函数． （1）当时，取得极值，求的解析式； （2）在（1）的条件下，求函数的单调区间及极值； （3）若时，不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，，单调递减区间为，的极大值为，极小值为-2． （3）． 【解析】 【分析】（1）先求，再由，求解即可. （2）求出时值，变化时，判断的变化情况，根据导数的性质进行求解即可. （3）利用分离变量法求出在区间恒成立，结合构造函数，利用导数性质求出，即可. 【小问1详解】 ， ， 当时，取得极值， ，解得：， 的解析式为． 【小问2详解】 当时，， 则函数定义域为， ， 令，解得：或， 当变化时，的变化情况如下表： 1 + 0 － 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，有极大值， 当时，有极小值， 的单调递增区间为，；单调递减区间为， 的极大值为，极小值为-2． 【小问3详解】 当时，在上恒成立， 即在区间恒成立． 设，，则， 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： － 0 + 单调递减 极小值 单调递增 ，即， 的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$