专题04 幂指对函数（上海专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）高考1年模拟数学真题分类汇编

专题04 幂指对函数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 指数函数（5年2考） 2025年由指数函数的单调性解不等式 2023年求指数函数在区间内的值域 上海高考幂指对函数的命题呈现基础考查扎实化、综合应用灵活化、创新题型常态化的特点。 幂指对函数在现实问题中的应用（如人口增长、放射性衰变、金融复利）是命题热点。函数图像的识别与应用是高频考点。 对数函数（5年1考） 2022年对数的运算、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 反函数（5年1考） 2021年求反函数 考点01 指数函数 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【知识点】由指数函数的单调性解不等式 【分析】利用指数函数的性质分类讨论与1的关系即可判定选项. 【详解】∵，∴， 当时，定义域上严格单调递减， 此时若，则一定有成立，故D正确，C错误； 当时，定义域上严格单调递增，要满足，需，即A、B错误. 故选：D 2．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 【答案】 【知识点】求指数函数在区间内的值域、分段函数的值域或最值 【分析】分段讨论的范围即可. 【详解】当 时, 根据指数函数的图象与性质知， 当 时, . 综上: 的值域为 . 故答案为：. 考点02 对数函数 3．（2024•上海春季高考）的定义域 　 　． 【分析】结合对数函数真数的性质，即可求解． 【解答】解：的定义域为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查对数函数定义域的求解，属于基础题． 4．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【知识点】对数的运算、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 【分析】（1）由题知，再根据题意得，解方程即可得答案； （2）根据题意，结合对数函数的单调性将不等式转化为的解集，再分类讨论求解即可. 【详解】（1）解：函数的定义域满足，即， 所以，要使函数的定义域非空，则，即. 若将函数图像向下移后得到的解析式为： ，. 所以在函数的图像上，即， 解得：， 所以， （2）解：由题知， , , 因为函数在上单调递增， 所以等价于，展开整理得：， 所以，不等式的解集为的解， 所以，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为. 综上，当时，不等式的解为；当时，不等式的解为. 考点03 反函数 5．（2021·上海·高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求反函数 【分析】根据反函数的定义判断． 【详解】在定义域内， 中可能有两个不同的对应同一个，不存在反函数； 是周期函数，多个对应同一个，不存在反函数； 对值域内每一个值在定义域内都只有唯一的与之对应，存在反函数， 是所有对应同一个，它不存在反函数． 故选：C． 6．（2021•上海春季高考）已知，则（1）　　． 【分析】利用反函数的定义，得到，求解的值即可． 【解答】解：因为， 令，即，解得， 故（1）． 故答案为：． 【点评】本题考查了反函数定义的理解和应用，解题的关键是掌握原函数的定义域即为反函数的值域，考查了运算能力，属于基础题． 7．（2022•上海春季高考）设函数的反函数为，则　　． 【分析】直接利用反函数的定义求出函数的关系式，进一步求出函数的值． 【解答】解：函数的反函数为， 整理得； 所以． 故答案为：3． 【点评】本题考查的知识要点：反函数的定义和性质，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题． 一、单选题 1．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用奇函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，，即取时的函数值不互为相反数，A不是； 对于B，，即取时的函数值不互为相反数，B不是； 对于C，是偶函数，且，即不恒为0，C不是； 对于D，函数的定义域为，而， 函数是奇函数，D是. 故选：D 2．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性可排除C和D；根据幂函数过点，可排除A. 【详解】因为幂函数在上是严格减函数，所以，故C错误，D错误； 对于A，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故A错误； 对于B，若，则，当时，， 所以幂函数过点，故B正确. 故选：B. 3．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的单调性、特殊值、基本不等式、指数函数的单调性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，幂函数在上单调递增， 由于，所以，A选项不等式恒成立. B选项，当时，，但，B选项不等式不恒成立. C选项，，根据基本不等式可知，B选项不等式恒成立. D选项，指数函数在上单调递增， 由于，所以，D选项不等式恒成立. 故选：B 4．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合指数、对数函数的单调性，对选项A、B和C逐一分析判断，即可求解；对于D，利用不等式的性，即可求解. 【详解】对于选项A，由，得到，即，所以可得，故选项A错误， 对于选项B，由，得到，所以可得，故选项B错误， 对于选项C，由，得到，即，所以推不出， 但可以得出，故选项C正确， 对于选项D，由，得到， 又，当且仅当时取等号，显然不满足题意， 则，即， 又当，有，所以是的充要条件，故选项D错误， 故选：C. 5．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可逐一排除A，B项，通过举反例排除D项，利用幂函数的单调性可推理C项正确. 【详解】对于A，当时，函数单调递减，由可得，故A错误； 对于B，当时，函数在单调递减，由可得，故B错误； 对于C，因，，函数在上单调递增，由，可得，由，也可得，故C正确； 对于D，若取，显然满足正数均不为1，且， 但，即与不等价，故D错误. 故选：C. 6．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】通过赋值法判断①②，举反例判断③. 【详解】由任意，都有， 令，可得，因为，解得，故①正确； 令，，可得， 整理得，又，得，故②正确； 对于③举反例，如， 满足条件（1），又，， 则，满足条件（2）， 而没有最小值，故③错误. 所以正确的有2个. 故选：C. 二、填空题 7．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 【答案】 【分析】化简集合，根据交集运算求解. 【详解】集合是函数的定义域，对数函数中真数大于0，所以， 又，所以. 故答案为：. 8．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的图象与性质求解即可. 【详解】令，可得. 所以定点的坐标为. 故答案为：. 9．（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 【答案】 【分析】先分别求出集合与集合，再根据交集的定义求出. 【详解】因为集合，根据对数函数的单调性求解不等式. ，即集合. 又集合，要使根式有意义，则根号下的数须大于等于，即，可得； 又因为，所以集合. 结合集合（）和集合，可得. 故答案为：. 10．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 【答案】 【分析】根据幂函数定义代入点可得，即可得函数值域. 【详解】设幂函数， 代入点可得，即， 可得， 因为，可得，所以该幂函数的值域是. 故答案为：. 11．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据对数真数大于零以及二次根式有意义的条件列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为， 故答案为：. 12．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 【答案】 【分析】根据幂函数的性质有，即可求. 【详解】由题设，可得. 故答案为：2 13．（2025·上海崇明·三模）已知函数，则 . 【答案】3 【分析】利用分段函数解析式，可得答案. 【详解】由，则. 故答案为：. 14．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 【答案】 【分析】由复合函数的单调性解抽象不等式可得. 【详解】由题意可得函数定义域为， 由复合函数的定义域易得函数在定义域上为减函数，且， 所以，即， 所以解集为. 故答案为：. 15．（2025·上海·三模）设集合，则 . 【答案】 【分析】解指数不等式求得集合，利用交集的意义可求. 【详解】由，可得，所以， 所以. 故答案为：. 16．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意可知的值域是值域的子集，先求出的值域，再对分类讨论求值域，从而求得的取值范围. 【详解】对任意的，存在，使得， 的值域是值域的子集， 当时，的值域为， 是定义在上的函数，其图像关于原点对称， 是奇函数，且， 当时，，的对称轴方程为， 当时，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当即时，在上单调递减，在上单调递增， 在时的范围是，，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 当，即时，在上单调递减， 在时的范围是， 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 若，则，， ，或解得，或，； 若，则，， 在上的值域为， 此时的值域不可能为值域的子集，舍去； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 17．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在实数，使函数是奇函数. 【分析】（1）利用换元法将含有指数的方程转化为一元二次方程，再根据指数函数的性质求解. （2）利用奇函数在处的特殊性质求出的可能值，再将的值代回函数，根据奇函数的定义证明即可. 【详解】（1）由题意，， 令，则有，即，得，解得或（舍去）， 所以，则. （2）假设存在实数，使函数是奇函数， 则时，，解得. 当时，函数，定义域为. 设函数. 对任意，，故函数为奇函数. 综上，存在实数，使函数是奇函数. 18．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）求出函数解析式，利用单调性解不等式即可； （2）利用等差中项的性质可得，根据对数运算化简可得，所以，即，由判别式可知方程有解，即可得证. 【详解】（1）已知函数的图像过点， 所以，即，因为，所以， 则. 函数的定义域为，且在定义域上单调递增. 由可得， 解得，所以不等式的解集为. （2）当时，， . 若成等差数列，则， 即. 所以， 即， 即，则，移项可得. 对于一元二次方程，， 所以方程有实数解，即存在使得成等差数列. 19．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】(1)，定义域为 (2) 【分析】（1）根据换元法求解函数解析式，结合对数的意义列不等式求函数的定义域即可； （2）根据对数运算法则化简方程，结合对数函数的性质得方程，分类讨论得方程的根从而得实数的取值范围. 【详解】（1），令， 则 因为，所以，又得，解得或， 则函数的定义域为； （2）由（1）得 方程， 即 可转化为，且 ①当即时，，符合题意； ②当即时， （i）当时，符合题意 （ii）当时，且时，要满足题意，则有 或无解 综上可得，的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 幂指对函数 考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势 指数函数（5年2考） 2025年由指数函数的单调性解不等式 2023年求指数函数在区间内的值域 上海高考幂指对函数的命题呈现基础考查扎实化、综合应用灵活化、创新题型常态化的特点。 幂指对函数在现实问题中的应用（如人口增长、放射性衰变、金融复利）是命题热点。函数图像的识别与应用是高频考点。 对数函数（5年1考） 2022年对数的运算、由对数函数的单调性解不等式、求对数型复合函数的定义域 反函数（5年1考） 2021年求反函数 考点01 指数函数 1．（2025·上海·高考真题）设．下列各项中，能推出的一项是（   ） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 2．（2023·上海·高考真题）已知，则的值域是 ； 考点02 对数函数 3．（2024•上海春季高考）的定义域 　 　． 4．（2022·上海·高考真题） (1)若将函数图像向下移后，图像经过，求实数a，m的值. (2)若且，求解不等式. 考点03 反函数 5．（2021·上海·高考真题）下列函数中，在定义域内存在反函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（2021•上海春季高考）已知，则（1）　　． 7．（2022•上海春季高考）设函数的反函数为，则　　． 一、单选题 1．（2025·上海·三模）下列函数中是奇函数的为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）幂函数在上是严格减函数，且经过，则的值可能是（   ）． A． B． C． D．3 3．（2025·上海嘉定·二模）已知实数a，b满足，则下列不等式中，不恒成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·上海宝山·二模）“”的一个必要非充分条件是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·上海青浦·模拟预测）若正数均不为1，则下列不等式中与“”等价的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·上海金山·二模）已知定义在上的函数，满足以下两个条件：（1）对任意恒成立，且；（2）对任意都有，则下列关于函数的表述中正确的个数为（    ） ①；②；③函数有最小值. A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 7．（2025·上海松江·二模）已知集合，则 . 8．（2025·上海宝山·二模）已知函数且)的图像经过定点，则点的坐标为 9．（2025·上海·三模）已知集合，，则 . 10．（2025·上海徐汇·二模）已知幂函数的图像过点，则该幂函数的值域是 ． 11．（2025·上海·三模）函数的定义域为 . 12．（2025·上海浦东新·三模）已知幂函数在上严格增，则实数 13．（2025·上海崇明·三模）已知函数，则 . 14．（2025·上海·模拟预测），则 的解集为 ． 15．（2025·上海·三模）设集合，则 . 16．（2025·上海长宁·二模）已知函数和，其中，且是定义在上的函数，其图像关于原点对称，当时，．若对任意的，存在，使得，则的取值范围是 ． 三、解答题 17．（2025·上海黄浦·二模）已知． (1)若，求的值； (2)是否存在实数，使函数是奇函数？请说明理由． 18．（2025·上海青浦·模拟预测）对于函数，其中. (1)若函数的图像过点，求的解集； (2)求证：当时，存在使得成等差数列. 19．（2025·上海宝山·三模）已知，函数. (1)若，求函数的表达式及定义域； (2)若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围. / 学科网（北京）股份有限公司 $$