第二十八章 锐角三角函数 课件2025—2026学年人教版数学九年级下册

第二十八章 锐角三角函数 第4课 解直角三角形 　　1． 如图，在Rt△ABC中，共有六个元素(三条边，三个角)，其中 ∠C＝90°. 　　(1)三边关系： ⁠； 　　(2)两锐角关系：∠A＋∠B＝ ⁠； 　　(3)边角关系： sin A＝ 　 　 ， cos A＝ 　 　 ，tan A＝ 　 　 ． a2＋b2＝c2 90° 　　2． 一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和 两个锐角．由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫 做 ⁠． 解直角三角形 　　知识点1 已知两边解直角三角形 　　3． 【例1】(人教九下P73例1改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，AC＝2，BC＝2 ，解这个直角三角形． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2 ， 　　∴tan A＝ ＝ ＝ . 　　∴∠A＝60°.∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， 　　∴AB＝2AC＝4. 　　4． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，AB＝6，解这 个直角三角形． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3 ，AB＝6， 　　∴ cos A＝ ＝ ＝ . 　　∴∠A＝45°. 　　∴∠B＝90°－∠A＝90°－45°＝45°. 　　∴∠B＝∠A． ∴BC＝AC＝3 . 　　知识点2 已知一边和一锐角解直角三角形 　　5． 【例2】(人教九下P73例2改编)如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，a＝36，∠B＝30°.解这个直角三角形． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°， 　　∴∠A＝90°－∠B＝60°. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ cos B＝ ，tan B＝ . 　　∴c＝ ＝ ＝24 ，b＝a·tan B＝36×tan 30°＝12 . 　　6． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，c＝6，解这 个直角三角形． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°， 　　∴∠B＝90°－∠A＝30°. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ sin A＝ ， sin B＝ . 　　∴a＝c· sin A＝6× sin 60°＝3 ，b＝c· sin B＝6× sin 30°＝3. 　　知识点3 构造直角三角形解决问题 　　7． 【例3】如图，在△ABC中，∠C＝30°，∠B＝135°，AB＝2 ，求AC的长． 　　解：如图，过点A作AD⊥BC交CB的延长线于点D． 　　∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 　　∵∠ABC＝135°，∴∠ABD＝180°－∠ABC＝45°. 　　∵在Rt△ADB中，∠ADB＝90°，∴ sin ∠ABD＝ . 　　∴AD＝AB· sin ∠ABD＝2． 　　∵在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∴ sin C＝ . 　　∴AC＝ ＝ ＝4. 　　8． 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝6，BC＝ 4，tan A＝ ，求CD的长． 　　解：如图，延长AD，交BC的延长线于点E. 　　∵tan A＝ ＝ ，AB＝6，∴BE＝AB·tan A＝8. 　　∴AE＝ ＝10，CE＝BE－BC＝8－4＝4. 　　∵∠ADC＝∠B＝90°，∴∠DCE＋∠E＝∠A＋∠E＝90°. 　　∴∠DCE＝∠A． ∴tan ∠DCE＝tan A＝ ，即 ＝ . 　　设DE＝4x，则CD＝3x. 　　∴CE＝ ＝5x＝4. 　　∴x＝ .∴CD＝3x＝ . 　　1． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝ ，BC＝1，则 ∠A＝ ⁠． 30° 　　2． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝35°，AB＝7， 则BC的长为(　C　) A． 7 sin 35° B． C． 7 cos 35° D． 7tan 35° C 　　3． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，若BC＝8，则△ABC 的面积为(　C　) A． 12 B． 18 C． 24 D． 48 C 　　4． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BC＝28，解这 个直角三角形．(参考数据： sin 35°≈0.57，tan 35°≈0.70) 　　解：∵tan A＝ ＝0.7，且tan 35°≈0.70，∴∠A≈35°. 　　∴∠B＝90°－∠A≈55°． 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝40，BC＝28， 　　∴由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝4 . 　　5． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BDC＝60°，BD＝ 10，AB＝5 ，则∠A的度数为 ⁠. 45° 　　6． 分类讨论在△ABC中，∠ABC＝60°，AD为边BC上的高， AD＝6 ，CD＝1，求BC的长． 　　解：∵AD为BC边上的高，∴△ABD为直角三角形． 　　∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠ABC＝60°，AD＝6 ， 　　∴tan B＝ .∴BD＝ ＝ ＝6. 　　如图1，当点D在边BC上时，BC＝BD＋CD＝6＋1＝7. 　　如图2，当点D在边BC的延长线上时，BC＝BD－CD＝6－1＝5. 　　综上所述，BC的长为7或5. $$第二十八章 锐角三角函数 第5课 解直角三角形的应用(1)—— 仰角、俯角 　　如图，在进行测量时，在视线与水平线所成的角中： 　　(1)视线在水平线上方的是 ，图中人眼看点A的仰角的度数 为 ⁠； 仰角 30° 　　(2)视线在水平线下方的是 ，图中人眼看点B的俯角的度数 为 ⁠． 俯角 70° 　　知识点1 “单一直角三角形”型 　　1． 【例1】如图，小方在放风筝，风筝飞到C处时的线长BC为20米，此时小方正好站在A处，并测得C处的仰角∠CBD＝60°，牵引绳底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度．(结果保留根号) 　　解：在Rt△BCD中，BC＝20米，∠CBD＝60°， 　　∴ sin ∠CBD＝ sin 60°＝ . 　　∴CD＝BC· sin 60°＝20× ＝10 (米)． 　　∵DE＝AB＝1.5米， 　　∴CE＝CD＋DE＝(10 ＋1.5)米． 　　答：此时风筝离地面的高度为(10 ＋1.5)米． 　　2． 如图，小明为了测量树CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米 的测角仪AB，测得树顶D的仰角为32°，AC为12米，求树CD的高 度．(参考数据： sin 32°≈0.5，tan 32°≈0.6) 　　解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，则四边形ABEC是矩形． 　　∴CE＝AB＝1.5米，BE＝AC＝12米． 　　在Rt△BDE中，tan ∠DBE＝tan 32°＝ ， 　　∴DE＝BE·tan 32°≈12×0.6＝7.2(米)． 　　∴DC＝DE＋CE≈7.2＋1.5＝8.7(米)． 　　答：树CD的高度约为8.7米． 　　知识点2 “组合直角三角形——直接求”型 　　3． 【例2】“科技改变生活”，小王是一名摄影爱好者，新入手一台 无人机用于航拍．在一次航拍时，数据显示，从无人机A看建筑物顶部B 的仰角为45°，看底部C的俯角为60°，无人机A到该建筑物BC的水平 距离AD为10米，求该建筑物BC的高度．(结果精确到0.1米，参考数 据： ≈1.41， ≈1.73) 　　解：由题意可知，∠BAD＝45°，∠CAD＝60°，AD⊥BC． 　　∴∠ADB＝∠ADC＝90°. 　　∴∠ABD＝180°－∠ADB－∠BAD＝45°＝∠BAD． 　　∴BD＝AD＝10米． 　　在Rt△ACD中，tan ∠CAD＝ ， 　　∴CD＝AD·tan ∠CAD＝AD·tan 60°＝10 (米)． 　　∴BC＝BD＋CD＝10＋10 ≈27.3(米)． 　　答：该建筑物BC的高度约为27.3米． 　　4． 胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄 河南北“天堑变通途”．如图，已知主塔AB垂直桥面BC于点B，其中两 条斜拉索AD，AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D，C 之间的距离约为33 m，求主塔AB的高度．(结果保留整数，参考数据： ≈1.41， ≈1.73) 　　解：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°. 　　在Rt△ABD中，AB＝BD·tan 60°＝ BD． 　　在Rt△ABC中，∠C＝45°，∴AB＝BC＝BD＋CD． 　　∴ BD＝BD＋33.∴BD＝ . 　　∴AB＝BC＝BD＋33＝ ＋33≈78(m)． 　　答：主塔AB的高度约为78 m． 　　1． 如图，在一次数学课外实践活动中，小明所在的学习小组在综合 楼顶部B处测得办公楼底部D处的俯角是53°，在综合楼底部A处测得办 公楼顶部C处的仰角是30°.已知综合楼AB的高为24 m，请你帮小明求出 办公楼CD的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：tan 37°≈0.75，tan 53°≈1.33， ≈1.73) 　　解：由题意可知AB＝24米，∠BDA＝53°. 　　在Rt△ABD中，tan ∠BDA＝tan 53°＝ ， 　　∴AD＝ ≈ ≈18.05(米)． 　　在Rt△ACD中，tan ∠CAD＝tan 30°＝ ， 　　∴CD＝AD·tan 30°≈18.05× ≈10.4(米)． 　　答：办公楼CD的高度约为10.4米． 　　2． 如图，学校教学楼上悬挂一块高为3 m的标语牌，即CD＝3 m．数学活动课上，小明和小红要测量标语牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2 m，小明在E处测得标语牌底部点D的仰角为31°，小红在F处测得标语牌顶部点C的仰角为45°，AB＝5 m，依据他们测量的数据能否求出标语牌底部点D到地面的距离DH的长？(结果保留1位小数，参考数据：tan 31°≈0.60， sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86) 　　解：能．如图，延长EF交CH于点N，则∠CNF＝90°. 　　∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF. 　　设DN＝x m，则NF＝CN＝(x＋3)m. 　　∴EN＝5＋(x＋3)＝(x＋8)m. 　　在Rt△DEN中，tan ∠DEN＝ ，则DN＝EN·tan ∠DEN. 　　∴x≈0.6(x＋8)．解得x≈12. 　　∴DH＝DN＋NH≈12＋1.2＝13.2(m)． 　　答：点D到地面的距离DH的长约为13.2 m． $$第二十八章 锐角三角函数 第8课 锐角三角函数章末复习 sin 30° = ①_________，cos 30° = ②_________，tan 30° = ③_________ 　 　 　 　 1　 　 　 锐角三角函数 锐角三角函数的概念 30°，45°，60°的三角函数值 sin 45° = ④_________，cos 45° = ⑤_________，tan 45° = ⑥_________ sin 60° = ⑦_________，cos 60° = ⑧_________，tan 60° = ⑨_________ 锐角三角函数的计算 锐角三角函数 解直角三角形 概念 依据（在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c） 三边之间的关系为⑩_________ 两锐角之间的关系为⑪_________ 边角之间的关系 基本类型 已知两边 已知一边一角 a2＋b2＝c2 ∠A＋∠B＝90° 锐角三角函数 解直角三角形的应用 与仰角、俯角有关的实际问题 与方位角有关的实际问题 与坡度、坡角有关的实际问题 　　考点1 锐角三角函数 　　1． 【典例1】(人教九下P65练习T1改编)如图，分别求α和β的正弦 值、余弦值和正切值． 　　解：由题意，得x＝ ＝5. 　　∴ sin α＝ ， cos α＝ ， 　　tan α＝ ， sin β＝ ， cos β＝ ，tan β＝ . 　　►跟踪训练 　　2． 在△ABC中，∠C＝90°， sin A＝ ，则tan B＝(　B　) A． B． C． D． B 　　3． (2024深圳)计算：－2· cos 45°＋(π－3.14)0＋|1－ |＋ . 　　解：原式＝－2× ＋1＋ －1＋4 　　＝－ ＋1＋ －1＋4 　　＝4. 　　4． (益阳中考改编)如图，在平面直角坐标系xOy中，有三点A(0， 1)，B(4，1)，C(5，6)，则 cos ∠BAC＝(　C　) A． B． C． D． C 　　考点2 解直角三角形 　　5． 【典例2】(北师九下P16例1)在Rt△ABC中，∠C＝90°， ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a＝ ，b＝ ，求 这个三角形的其他元素． 　　解：在Rt△ABC中，a2＋b2＝c2，a＝ ，b＝ ， 　　∴c＝ ＝ ＝2 . 　　在Rt△ABC中， sin B＝ ＝ ＝ ， 　　∴∠B＝30°.∴∠A＝90°－30°＝60°. 　　►跟踪训练 　　6． 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D，若 AC＝10， cos C＝ ，则CD的长为(　A　) A． 3.6 B． 4.8 C． 6.4 D． 6 A 　　7． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点， BE⊥CD，交CD的延长线于点E. 已知AC＝15， cos A＝ . 　　(1)求△BCD的周长； 　　解：(1)在Rt△ABC中，AC＝15， cos A＝ ＝ ，∴AB＝25. 　　∴BC＝ ＝20. 　　在Rt△ABC中，D是边AB的中点， 　　∴DB＝CD＝ AB＝ . 　　∴△BCD的周长为BC＋CD＋DB＝45. 　　(2)求 sin ∠DBE的值． 　　(2)由(1)得AB＝25，BC＝20. 　　在Rt△ABC中， cos ∠ABC＝ ＝ . 　　∵CD＝DB，∴∠DCB＝∠ABC． 　　∴ cos ∠DCB＝ cos ∠ABC＝ . 　　∵BE⊥CD，∴∠BEC＝90°. 　　∴ cos ∠DCB＝ ＝ ＝ . 　　∴CE＝16.∴DE＝CE－CD＝ . 　　∴ sin ∠DBE＝ ＝ . 　　考点3 解直角三角形的应用 　　8． 【典例3】小明想测量塔CD的高度．他在A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50 m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？(小明的身高忽略不计，结果保留根号) 　　解：由题意，得∠DAB＝30°，∠DBC＝60°，AB＝50 m， CD⊥AC． 　　∴∠ADB＝∠DBC－∠DAB＝30°. 　　∴∠ADB＝∠DAB． ∴BD＝AB＝50 m. 　　∴CD＝BD· sin 60°＝50× ＝25 (m)． 　　答：该塔高为25 m． 　　►跟踪训练 　　9． (丹东中考)一艘轮船由西向东航行，行驶到A岛时，测得灯塔B 在它北偏东31°方向上，继续向东航行10 n mile到达C港，此时测得灯 塔B在它北偏西61°方向上，求轮船在航行过程中与灯塔B的最短距 离．(结果精确到0.1 n mile，参考数据： sin 31°≈0.52， cos 31°≈0.86， tan 31°≈0.60， sin 61°≈0.87， cos 61°≈0.48，tan 61°≈1.80) 　　解：如图，过点B作BD⊥AC于点D． 　　∵AE⊥AC，CF⊥AC，∴BD∥AE∥CF. 　　∴∠ABD＝31°，∠CBD＝61°. 　　∴AD＝BD·tan ∠ABD＝BD·tan 31°≈0.6BD，CD＝BD·tan ∠CBD＝BD·tan 61°≈1.8BD． 　　∵AC＝10 n mile，∴AD＋CD＝0.6BD＋1.8BD＝10. 　　解得BD＝ ≈4.2. 　　答：轮船在航行过程中与灯塔B的最短距离约为4.2 n mile. 　　 $$第二十八章 锐角三角函数 第6课 解直角三角形的应用(2)—— 方位角 　　方位角一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始 线旋转到目标的方向所成的角．如图，点A在点O的北偏东30°方向． 　　(1)点B位于点O的 ⁠方向； 　　(2)点C位于点O的 ⁠方向； 南偏西45°(西南) 北偏西60° 　　(3)点D位于点O的 ⁠方向． 南偏东75° 　　知识点1 “组合直角三角形——直接求”型 　　1． 【例1】(2024甘孜州)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东37°方 向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于 灯塔P的南偏东45°方向上的B处．这时，B处距离A处有多远？(参考 数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 　　解：如图，过点P作PC⊥AB于点C． 　　在Rt△APC中，∠A＝37°，AP＝100海里， sin A＝ sin 37°＝ ， cos A＝ cos 37°＝ ， 　　∴PC＝AP· sin A＝100× sin 37°≈100×0.6＝60(海里)， 　　AC＝AP· cos 37°≈100×0.8＝80(海里)． 　　在Rt△PBC中，∵∠B＝45°，tan B＝tan 45°＝ ， 　　∴BC＝PC＝60(海里)． 　　∴AB＝AC＋BC＝80＋60＝140(海里)． 　　答：B处距离A处有140海里． 　　2． 某天，北海舰队在中国南海例行训练，如图，位于A处的济南舰 突然发现北偏西30°方向上的C处有一可疑舰艇，济南舰马上通知位于 正东方向200海里B处的西安舰，西安舰测得C处位于其北偏西60°方向 上，请问此时两舰距C处的距离分别是多少？(结果保留根号) 　　解：如图，过点C作CD⊥BA交BA的延长线于点D． 　　由题意，得∠CAD＝60°，∠CBD＝30°，AB＝200海里． 　　∵∠CAD是△ABC的一个外角， 　　∴∠BCA＝∠CAD－∠CBD＝60°－30°＝30°. 　　∴∠BCA＝∠CBD． ∴AC＝AB＝200海里． 　　∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∴ sin ∠CAD＝ . 　　∴CD＝AC· sin ∠CAD＝100 (海里)． 　　∵在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠CBD＝30°， 　　∴CB＝2CD＝200 (海里)． 　　答：位于A处的济南舰距C处的距离为200海里，位于B处的西安舰 距C处的距离为200 海里． 　　知识点2 “组合直角三角形——设未知数”型 　　3． 【例2】如图，我市准备在相距3千米的A，B两个工厂间修一条 笔直的公路，在工厂A北偏东60°方向、工厂B北偏西45°方向有一点 P，以点P为圆心，1.2千米为半径的区域是一个村庄，问修筑公路时，这 个村庄是否有居民需要搬迁？(参考数据： ≈1.4， ≈1.7) 　　解：如图，过点P作PC⊥AB于点C． 设BC＝x，则AC＝3－x. 　　∵PC∥BF，∴∠CPB＝∠PBF＝45°. 　　易得△PCB是等腰直角三角形．∴PC＝BC＝x. 　　∵∠EAB＝90°，∠EAP＝60°，∴∠PAC＝90°－60°＝30°. 　　∵tan ∠PAC＝ ，∴tan 30°＝ ＝ . 　　∴x＝ ≈ ＝1.05＜1.2. 　　∴直线AB与⊙P相交． 　　∴修筑公路时，这个村庄有居民需要搬迁． 　　4． 如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行．为测量其宽 度，小明在南岸边B处测得对岸边A处一棵大树位于北偏东60°方向，他 以1.5 m/s的速度沿着河岸向东步行40 s后到达C处，此时测得大树位于北 偏东45°方向，试计算此段河面的宽度．(结果保留整数，参考数据： ≈1.732) 　　解：如图，过点A作AD⊥BC于点D． 　　由题意，得BC＝1.5×40＝60(m)，∠ABD＝90°－60°＝30°， ∠ACD＝90°－45°＝45°． 　　∴∠CAD＝90°－∠ACD＝45°. 　　∵∠CAD＝∠ACD＝45°，∴CD＝AD． 　　设AD＝x m，则CD＝x m． 　　∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， 　　∴tan ∠ABD＝ .∴BD＝ ＝ x. 　　∵BC＋CD＝BD，∴60＋x＝ x. 　　解得x＝30 ＋30. 　　∴AD＝30 ＋30≈82(m)． 　　答：此段河面的宽度约为82 m． 　　1． 如图，为了测量河对岸A，B两点间的距离，数学兴趣小组在河岸南侧选定观测点C，测得点A，B均在点C的北偏东37°方向上，沿正东方向行走90米至观测点D，测得点A在点D的正北方向上，点B在点D的北偏西53°方向上．求A，B两点间的距离．(参考数据： sin 37°≈0.60， cos 37°≈0.80，tan 37°≈0.75) 　　解：由题意，得CE∥AD，AD⊥CD，∠ECA＝37°，∠ADB＝ 53°，CD＝90米． 　　∴∠A＝∠ECA＝37°，∠ADC＝90°. 　　∴∠CBD＝∠A＋∠ADB＝90°，∠CDB＝∠ADC－∠ADB＝37°. 　　∴∠ABD＝90°. 　　在Rt△BCD中， cos ∠BDC＝ ， 　　∴BD＝CD· cos 37°≈90×0.80＝72(米)． 　　在Rt△ABD中，tan A＝ ， 　　∴AB＝ ≈ ＝96(米)． 　　答：A，B两点间的距离约96米． 　　2． (2024南京)如图，港口B位于港口A的北偏西37°方向，港口C 位于港口A的北偏东21°方向，港口C位于港口B的北偏东76°方向．一 艘海轮从港口A出发，沿正北方向航行．已知港口B到航线的距离为12 km，求港口C到航线的距离．(参考数据：tan 21°≈ ，tan 37°≈ ， tan 76°≈4) 　　解：如图，设BC交航线于点D，过点B作BE⊥AD于点E，过点C 作CF⊥AD于点F，则∠BDE＝∠CDF＝76°，BE＝12 km. 　　由题意知∠BAE＝37°，∠CAF＝21°. 　　∵在Rt△BDE中，tan ∠BDE＝ ， 　　∴DE＝ ≈ ＝3(km)． 　　∵在Rt△BAE中，tan ∠BAE＝ ， 　　∴AE＝ ≈ ＝16(km)． 　　设CF＝x km. 　　∵tan ∠CDF＝ ＝tan 76°≈4，∴DF≈ CF＝ x(km)． 　　∴AF＝AE＋DE＋DF＝16＋3＋ x＝(19+ x)km. 　　∵tan ∠CAF＝ ＝tan 21°≈ ， 　　∴CF≈ AF，即x≈ (19+ x).解得x≈8. 　　答：港口C到航线的距离约为8 km. $$第二十八章 锐角三角函数 第2课 锐角三角函数(2)—— 余弦与正切 　　知识点1 余弦与正切的定义与求值 　　1． (1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的 ⁠边 与 边的比叫做∠A的余弦，记作 cos A，即 cos A＝ ⁠ ＝ ⁠； 邻 斜 　　(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把∠A的 ⁠边 与 边的比叫做∠A的正切，记作tan A，即tan A＝ ⁠ ＝ ⁠． 对 邻 　　2． ∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的 ⁠． 锐角三角函数 　　3． 【例1】(人教九下P65例2改编)如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，AB＝10，BC＝6，求 cos A，tan A的值． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝8. 　　∴ cos A＝ ＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ＝ . 　　4． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3AC，求∠A的余 弦值、正切值． 　　解：∵AB＝3AC，∴设AC＝x，则AB＝3x. 　　∴由勾股定理，得BC＝ ＝2 x. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ cos A＝ ＝ ＝ ，tan A＝ ＝ ＝2 . 　　知识点2 利用锐角三角函数的定义进行计算 　　5． 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝ ，BC＝ 2，求AB的长和 cos A的值． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan A＝ . 　　∵tan A＝ ，BC＝2，∴ ＝ .∴AC＝6. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴由勾股定理，得AB＝ ＝2 . 　　∴ cos A＝ ＝ ＝ . 　　6． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6， cos A＝ ，求AB的长和 tan B的值． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ cos A＝ ＝ . 　　设AC＝4x，则AB＝5x. 　　∴由勾股定理，得BC＝ ＝3x. 　　∵BC＝6， 　　∴3x＝6.∴x＝2.∴AB＝10. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴tan B＝ ＝ ＝ . 　　1． (人教九下P65练习T1改编)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AC＝6，BC＝8，则AB＝ ，tan A＝ ⁠． 10 　　2． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝6， cos B＝ ，则 BC的长为(　A　) A． 4 B． 2 C． D． A 　　3． 如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，若∠A＝35°，则直 角边AC的长是(　B　) A． m· sin 35° B． m· cos 35° C． D． B 　　4． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若tan A＝ ，则 cos A ＝ ⁠． 　　5． 如图，AB是☉O的直径，若BC＝5，AB＝13，则∠A的余弦 值为 ⁠． 　　6． 在正方形网格中，∠AOB如图放置，则 cos ∠AOB的值 为 ⁠． 　　7． 如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD上的点F 处，若 ＝ ，求tan ∠DCF的值． 　　解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，∠D＝90°. 　　∵ ＝ ，且由折叠知CF＝BC，∴ ＝ ． 　　设CD＝2x，CF＝3x. 　　∴由勾股定理，得DF＝ ＝ x. 　　∴tan ∠DCF＝ ＝ ＝ . 　　8． 实践探究 　　如图，根据图中数据完成填空： 　　【发现】(1)在Rt△ABC中，∠A＋∠B＝ ， sin A与 cos B 的数量关系为 ⁠． 　　【研究】(2)将Rt△ABC放大k倍(或缩小)得到Rt△A′B′C′，则∠A ＝∠A′，猜想 sin A sin A′， cos A cos A′，tan A ⁠tan A′.(选填“＜”“＞”或“＝”) 90° si ＝co ＝ ＝ ＝ 　　【扩展】(3)如果已知∠A，∠A′是锐角，tan A＝tan A′，猜想∠A ＝∠A′是否成立．如果不成立，举出反例；如果成立，请说明理由． 　　解：∠A＝∠A′成立．理由如下： 　　构造如图所示的Rt△ABC和Rt△A′B′C′，使得tan A＝ ＝tan A′ ＝ .∴ ＝ . 　　∵∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．∴∠A＝∠A′. $$第二十八章 锐角三角函数 第1课 锐角三角函数(1)—— 正弦 01 新课学习 02 当堂反馈 　　知识点1 正弦的定义与求值 　　 如图，一般地，如果锐角A的大小确定，我们可以作出Rt△A ，(Rt△A ) ，Rt△AB3C3，…，那么有Rt△AB1C1∽Rt△AB2C2∽Rt△AB3C3∽….根据相似三角形的性质，得 ＝ ＝ ＝….也就是说，如果直角三角形的一个锐角的大小确定，那么这个锐角的对边与斜边的比值也确定． 　　请完成下面填空： 　　(1)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 　　斜边＝ ⁠； 　　∠A的对边＝ ⁠； 　　∠A的邻边＝ ⁠； 　　 ＝ 　 　 ． 5 3 4 　　(2)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，则 　　斜边＝ ⁠； 　　∠B的对边＝ ⁠； 　　∠B的邻边＝ ⁠； 　　 ＝ 　 　 ． c b a 　　 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的 边与 边的比叫做∠A的正弦，记作 sin A，即 sin A＝ ⁠＝ ⁠．⁠ 对 斜 　　1． 【例1】(人教九下P63例1改编)如图，在Rt△ABC中，∠C ＝90°，分别求出图1与图2中 sin A和 sin B的值． 　　解：如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴由勾股定理，得AB＝ ＝ ＝5. 　　∴ sin A＝ ＝ ， sin B＝ ＝ . 　　如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝12. 　　∴ sin A＝ ＝ ， sin B＝ ＝ . 　　2． 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝3BC，求∠A， ∠B的正弦值． 　　解：∵AB＝3BC，∴设BC＝x，则AB＝3x. 　　∴由勾股定理，得AC＝ ＝2 x. 　　∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ sin A＝ ＝ ＝ ， sin B＝ ＝ ＝ . 　　知识点2 利用正弦值求线段的长 　　3． 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4， sin A＝ ，求AC的长． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ sin A＝ ＝ . 　　∴ ＝ .∴AB＝6. 　　∴由勾股定理，得AC＝ ＝2 . 　　4． 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10， sin A＝ ，求AB和 BC的长． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°， 　　∴ sin A＝ ＝ . 　　设BC＝12x，则AB＝13x. 　　∴由勾股定理，得AC＝ ＝5x. 　　∵5x＝10，∴x＝2. 　　∴AB＝26，BC＝24. 　　1． (人教九下P64练习T1变式)如图，在Rt△ABC中，∠C＝ 90°，若BC＝2，AB＝3，则 sin A的值为(　C　) A． B． C． D． C 　　2． (人教九下P65练习T2改编)在Rt△ABC中，若三边长都扩大2倍， 则锐角A的正弦值(　B　) A． 扩大为原来的2倍 B． 不变 C． 缩小为原来的 D． 无法确定 B 　　3． 如图，P是∠α的边OA上一点，若点P的坐标为(3，4)，则 sin α ＝ ⁠． 　　4． 在正方形网格中，若∠AOB如图放置，则 sin ∠AOB的值为 (　D　) A． 2 B． C． D． D 　　5． 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，已知 AC＝ ，BC＝2，则 sin ∠ACD的值为(　A　) A． B． C． D． A 　　6． 数学模型 如图，在△ABC中，∠B为锐角，AB＝13，BC＝ 21， sin B＝ ，求△ABC的面积和AC的长． 　　解：如图，过点A作AD⊥BC于点D． 　　∵在Rt△ABD中，∠ADB＝90°， 　　∴ sin B＝ ＝ . 　　∴ ＝ .∴AD＝12. 　　∴△ABC的面积为 BC·AD＝ ×21×12＝126. 　　由勾股定理，得BD＝ ＝5. 　　∴CD＝BC－BD＝21－5＝16. 　　∵在Rt△ACD中，∠ADC＝90°， 　　∴由勾股定理，得AC＝ ＝ ＝20. 　　 $$第二十八章 锐角三角函数 课标新动向 情境创设 　　 利用测角仪测量高度 　　1． 某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程 如下： 　　(1)【探究原理】制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O 处，另一端系小重物G. 测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与 铅垂线OG相互重合(如图1)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两 端点A，B共线(如图2)，此时目标P的仰角∠POC＝∠GON. 请求证这 两个角相等． 　　(1)证明：∵∠AON＝90°，∠COG＝90°， 　　∴∠POC＋∠CON＝∠GON＋∠CON. 　　∴∠POC＝∠GON. 　　(2)【拓展应用】公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P距地面的 高度PH(如图3)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E， F(点E，F，H在同一直线上)，分别测得点P的仰角α＝45°，β＝ 30°，再测得点E，F间的距离为2米，点O1，O2到地面的距离O1E， O2F均为1.5米．求PH． 　　(2)解：由题意，得O1O2＝2，O1E＝O2F＝DH＝1.5. 　　由题图可得，tan β＝ ，tan α＝ . 　　∴O2D＝ ，O1D＝ . 　　∵O1O2＝O2D－O1D＝2，α＝45°，β＝30°， 　　∴2＝ - .∴PD＝ ＋1. 　　∴PH＝PD＋DH＝ ＋1＋1.5＝(2.5＋ )米． 　　答：PH的长为(2.5＋ )米． 　　2． (2024包头)如图，学校数学兴趣小组开展“实地测量教学楼AB的 高度”的实践活动．教学楼周围是开阔平整的地面，可供使用的测量工具 有皮尺、测角仪(皮尺的功能是直接测量任意可到达的两点间的距离；测 角仪的功能是测量角的大小)． 　　(1)请你设计测量教学楼AB的高度的方案，方案包括画出测量平面 图，把应测数据标记在所画的图形上(测出的距离用m，n等表示，测出 的角用α，β等表示)，并对设计进行说明； 　　解：(1)如图，将测角仪放在D处，用皮尺测量出点D到AB的距离为 m，用测角仪测出点A的仰角为α，测出点B的俯角为β. 　　(2)根据你测量的数据，计算教学楼AB的高度(用字母表示)． 　　(2)如图，过点C作CE⊥AB于点E，则四边形CDBE是矩形， ∠ACE＝α，∠BCE＝β.∴CE＝BD＝m，BE＝CD． 　　在Rt△BCE中，BE＝CE·tan ∠BCE＝m tan β. 　　在Rt△ACE中，AE＝CE·tan ∠ACE＝m tan α. 　　∴AB＝AE＋BE＝m(tan α＋tan β)． 　　答：教学楼AB的高度为m(tan α＋tan β)． $$第二十八章 锐角三角函数 教材母题探源 　　1． (北师九下P9例2)如图，一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为 2.5 m，当秋千向两边摆动时，摆过的角度∠BOD恰好为60°，且两边的 摆动角度相同，求它摆至最高位置时与摆至最低位置时的高度之差．(结 果精确到0.01 m，参考数据： ≈1.414， ≈1.732) 　　解：依题意，得∠BOA＝∠DOA＝ ×60°＝30°，OA⊥BD． 　　在Rt△OCD中， cos ∠DOC＝ cos 30°＝ ＝ ，OD＝2.5 m. 　　∴OC＝ m. 　　∴OA－OC＝2.5－ ≈0.34(m)． 　　∴最高位置与最低位置的高度之差为0.34 m． 　　2． (人教九下P76练习T1)如图，建筑物BC上有一旗杆AB，从与BC 相距40 m的D处观测旗杆顶部A的仰角为50°，观测旗杆底部B的仰角为 45°，求旗杆的高度．(结果保留小数点后一位)提示： sin 50°≈0.766， cos 50°≈0.643，tan 50°≈1.192. 　　解：如图，易知四边形DFEC为矩形． 　　由题意，得∠BFE＝45°，∠AFE＝50°，CD＝FE＝40 m. 　　在Rt△AFE中，tan ∠AFE＝ ， 　　∴AE＝FE·tan 50°≈40×1.192＝47.68(m)． 　　在Rt△BFE中，∠BFE＝45°， 　　∴BE＝FE·tan 45°＝40×1＝40(m)． 　　∴AB＝AE－BE≈47.68－40≈7.7(m)． 　　答：旗杆的高度约为7.7 m． 　　3． (人教九下P84复习题T9)某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图 中数据计算AC，BD和AB的长度．(结果保留小数点后两位，参考数 据： ≈1.414， ≈1.732) 　　解：如图，过点D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，过点C作 CE⊥AB，交BA的延长线于点E. 　　∴四边形CDFE是矩形． 　　∴EF＝CD＝3.40 m，CE＝DF＝5.00 m. 　　在Rt△ACE中， cos ∠ECA＝ . 　　∴AC＝ ＝5 ≈7.07(m)． 　　在Rt△BDF中， cos ∠BDF＝ . 　　∴BD＝ ＝ ≈5.77(m)． 　　∵∠FDB＝30°，∴BF＝ BD＝ ×5.77≈2.89(m)． 　　∵AB＋AE＝EF＋BF，AE＝CE·tan 45°＝5×1＝5(m)， 　　∴AB＝EF＋BF－AE≈3.4＋2.89－5＝1.29(m)． 　　∴AC≈7.07 m，BD≈5.77 m，AB≈1.29 m． 　　4． (人教九下P85复习题T11)如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点 D落在BC边的点F处．已知折痕AE＝5 cm，且tan ∠EFC＝ ． 　　(1)△AFB与△FEC有什么关系？ 　　解：(1)△AFB∽△FEC． 　　理由如下：∵四边形ABCD是矩形， 　　∴∠B＝∠C＝∠D＝90°. 　　∴∠BAF＋∠AFB＝90°. 　　由折叠的性质，得∠AFE＝∠D＝90°. 　　∴∠AFB＋∠EFC＝90°.∴∠BAF＝∠EFC． 　　∵∠B＝∠C，∴△AFB∽△FEC． 　　(2)求矩形ABCD的周长． 　　(2)在Rt△EFC中，tan ∠EFC＝ ＝ . 　　设EC＝3x，则FC＝4x. 　　∴EF＝ ＝5x. 　　由折叠的性质，得DE＝EF＝5x. 　　∴AB＝CD＝DE＋EC＝8x. 　　在Rt△ABF中，∠BAF＝∠EFC，∴tan ∠BAF＝ ＝ ． 　　∴BF＝6x.∴AF＝ ＝10x. 　　在Rt△AEF中，AE＝ ＝5 x＝5 . 　　解得x＝1. 　　∴AD＝BC＝AF＝10x＝10，AB＝CD＝8x＝8. 　　∴矩形ABCD的周长为10＋10＋8＋8＝36(cm)． 　　 $$第二十八章 锐角三角函数 第7课 解直角三角形的应用(3)—— 坡度、坡角 　　知识点1 坡度、坡角 　　1． 如图，AB是一个斜坡． 　　(1)坡度i＝ ，也记作i＝h∶l，如i＝1∶6； 　　(2)坡度与坡角的关系：坡度i＝ ＝tan α，即坡度等于坡角的 ⁠． 正切值 　　2． 如图，斜坡AB的铅直高度为10米，水平宽度为10 米，∠C＝ 90°. 　　(1)坡角∠A＝ ⁠； 　　(2)坡度i＝ ⁠． 30° 1∶ 　　知识点2 “单一直角三角形”型 　　3． 【例1】如图，坡AB的铅直高度BC为2 ，坡的水平宽度AC 为2，求坡度及坡角的大小． 　　解：由题意，得坡度i＝tan A＝ ＝ ＝ . 　　∴∠A＝60°. ∴坡角为60°. 　　4． 如图，一斜坡的横截面坡度i＝1∶ ，坡高BC＝6米，求坡面 的水平宽度AC． 　　解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，i＝1∶ ，∴tan A＝ 1∶ ＝ . 　　∵tan A＝ ，BC＝6米，∴AC＝ ＝6 (米)． 　　答：坡面的水平宽度AC为6 米． 　　知识点3 “组合直角三角形——直接求”型 　　5． 【例2】(人教九下P77练习T2改编)如图，一座堤坝的横断面为梯 形，AD∥BC，斜坡AB的坡角为45°，斜坡DC的坡度为1∶2，其他数 据如图所示，求BC的长．(结果保留根号) 　　解：如图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， 则四边形ADFE是矩形． 　　由题意，得tan C＝ ＝ ，CD＝10 m，∠B＝45°，EF＝AD＝6 m，∠AEB＝∠DFC＝90°，AE＝DF. 　　设DF＝x m，则CF＝2x m．∴x2＋(2x)2＝102. 　　∴x＝2 (负值已舍去)．∴AE＝DF＝2 ，CF＝4 ． 　　∵∠AEB＝90°，∠ABE＝45°， 　　∴BE＝AE＝2 . 　　∴BC＝BE＋EF＋CF＝2 ＋6＋4 ＝(6 ＋6)m. 　　6． 如图，拦水坝的横断面是梯形ABCD，BC＝3米，坝高BE＝6 米，坡AB与坡CD的坡度分别为i1＝ ∶1，i2＝1∶1. 　　(1)∠A＝ °，∠D＝ °； 60 45 　　(2)求梯形的面积． 　　解：(2)如图，过点C作CF⊥AD于点F，则四边形BCFE是矩形． 　　∵tan A＝ ＝ ＝ ，∴AE＝2 米． 　　∵tan D＝ ＝ ＝1， 　　∴DF＝6米．易知EF＝BC＝3米． 　　∴AD＝AE＋EF＋DF＝2 ＋3＋6＝(9＋2 )米． 　　∴S梯形ABCD＝ (BC＋AD)·BE＝ ×(3＋9＋2 )×6＝(36＋6 )平 方米． 　　1． 一题多问如图，坡AB的坡度为i，坡角为α. 　　(1)若i＝1∶ ，则α＝ ⁠； 　　(2)若i＝ ∶1，则α＝ ⁠； 　　(3)若i＝1∶1，则α＝ ⁠； 　　(4)若BC＝2，AC＝6，则i＝ ⁠． 30° 60° 45° 1∶3 　　2． 如图，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4 m，此时，他离地面的高度h＝2 m，则这个土坡的坡角为 ⁠°. 30 　　3． 安徽怀宁县的独秀山是怀宁的祖山，爬山是当地居民周末娱乐休 闲、锻炼身体的方式之一．如图，某周末小军同学从独秀山山底沿斜坡 AB爬了130米到达B处，紧接着又向上爬了坡角为45°的山坡90米，最后 到达山顶P处，若AB的坡度为1∶2.4，请你计算独秀山的高度PC． (结 果保留根号) 　　解：如图，过点B作BE⊥AC于点E，则四边形DCEB为矩 形．∴DC＝BE. 　　∵AB的坡度为1∶2.4＝5∶12，AB＝130米， 　　∴设BE＝5x米，则AE＝12x米． 　　在Rt△ABE中，AB＝ ＝13x(米)． 　　∴13x＝130.解得x＝10. 　　∴DC＝BE＝10×5＝50(米)． 　　在Rt△PBD中，∠PBD＝45°，PB＝90米． 　　∴PD＝PB· sin 45°＝90× ＝45 (米)． 　　∴PC＝DC＋PD＝(50＋45 )米． 　　答：独秀山的高度PC为(50＋45 )米． 　　4． 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20 cm，深为 30 cm，为方便残障人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起始点为A，斜 坡的起始点为C，现设计斜坡的坡度i＝1∶5，则AC的长度 为 ⁠cm. 240 　　5． (2025普宁市期末)要修建一个地下停车场，停车场的入口设计示 意图如图所示，其中斜面AD的坡度为1∶3，一楼到地下停车场地面的垂 直高度CD＝3.2米，一楼到地平线的距离BC＝1米． 　　(1)求斜面AD的长度；(结果保留整数，参考数据： ≈3.2) 　　解：(1)∵斜坡的坡度为1∶3，∴ ＝ . 　　∵BD＝CD－BC＝3.2－1＝2.2(米)， 　　在Rt△ABD中，AB＝3BD＝3×2.2＝6.6(米)， 　　∴AD＝ ＝ ≈7(米)． 　　答：斜面AD的长度约为7米． 　　(2)如果送货的货车高度为2.8米，那么按这样的设计能否保证货车顺 利进入地下停车场？并说明理由． 　　(2)能顺利进入地下停车场．理由如下： 　　如图，过点C作CE⊥AD，垂足为E，则∠DCE＋∠CDE＝90°. 　　∵∠BAD＋∠ADB＝90°，∴∠DCE＝∠BAD． 　　∴tan ∠BAD＝tan ∠DCE＝ ＝ . 　　设DE＝x米，则EC＝3x米． 　　在Rt△CDE中，3.22＝x2＋(3x)2. 　　解得x＝ (负值已舍去)． 　　∴EC＝3x＝ ≈3.072(米)． 　　∵3.072>2.8，∴货车能进入地下停车场． 　　 $$