1.2.1圆的标准方程（教学课件）数学北师大版2019选择性必修第一册

2.1 圆的标准方程 第一章 直线与圆 北师大版2019选择性必修第一册·高二 前情回顾 思考 圆的定义是什么? 确定圆的要素有什么？ 平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫圆. 注：多边形和圆是平面几何中的两类基本图形. 建立直线的方程后，我们可以运用它研究多边形这些“直线形”图形，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交点以及点到线段所在直线的距离等问题. 类似地，为了研究圆的有关性质，解决与圆有关的问题， 我们首先需要建立圆的方程. 确定圆的因素：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小. 章节导读 2.1 圆的标准方程 2.2 圆的一般方程 2.3直线与圆的位置关系 2.4圆与圆的位置关系 圆的标准方程 点与圆的位置关系 相离 相切 相交 直线与圆的弦长问题 圆的一般方程 点与圆的位置关系 外离 外切 相交 内切 内离 公共弦与公切线问题 学 习 目 标 1 2 3 理解圆的定义并掌握圆的标准方程及其特点. 能结合圆的标准方程准确判断点与圆的位置关系. 能灵活应用公式解决与圆有关的最值问题. 读教材 阅读课本P27-P30，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“圆的标准方程”吧！ 1.圆的标准方程是什么？提供了圆的哪些几何要素？ 2.点与圆的位置关系有哪些？怎么判断？ 新课引入 《古朗月行》 唐 李白 小时不识月，呼作白玉盘。 又疑瑶台镜，飞在青云端。 若把天空看作一个平面,月亮当做一个圆，建立一个平面直角坐标系, 那么圆的坐标方程如何表示? 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究1 思考1：在直线方程的学习中，我们都研究了哪些问题？ 直线 平面直角坐标系 直线方程 代数运算 利用直线方程，研究 位置关系、距离等问题 思考2：直线的方程是如何建立的呢？ 直线的几何要素 （点，方向） 几何关系 坐标化 直线方程的点斜式 思考3：类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？ 圆 平面直角坐标系 圆的方程 代数运算 利用圆的方程，研究与圆有关的位置、距离等问题 圆的方程是如何建立的呢？ 新知探究1 探究1 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，我们首先考虑 如何确定一个圆的几何要素？ 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 圆心 半径 动点 因此，确定一个圆的几何要素是圆心和半径。 位置 大小 在平面直角坐标系中，如果一个圆的圆心坐标和半径确定了，圆就唯一确定了。 由此，我们可以建立圆上点的坐标应满足的关系式，进而得到圆的方程。 新知探究1 探究1 类似于直线方程的建立过程，为建立圆的方程，已经确定一个 圆的几何要素。在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？ 定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹) 圆心 半径 圆上的动 思考：根据圆的定义，在平面直角坐标系中，圆的方程是什么？ 圆A的方程就是圆上动点的坐标满足的条件:集合 P＝{ M | |MA|＝r }. 新知1 圆的标准方程 1.圆的标准方程: 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 新知辨析 圆的标准方程的理解： 思考：方程一定是圆的方程吗？ 若方程表示圆，满足什么条件？此时圆的圆心和半径分别是什么？ 当时，方程． 当时，方程表示点． 当时，方程表示圆，此时圆的圆心为，半径为. 注：若点上，点的坐标就满足方程； 若点的坐标满足方程，就说明点与圆心的距离为，点就在上. 典例分析 称为圆心为，半径为的圆 例1 判断下列方程是圆的方程吗？若是，请写出圆的圆心和半径. (1) x2+(y－1)2=4； (2)(x－1)2+(y＋1)2=2. 解：(1)根据圆的标准方程，可得该圆的圆心为(0,1)，半径为2. (2)将方程(x－1)2+(y+1)2=2化为(x－1)2+[y－(－1)]2=()2， 可得该圆的圆心为(1，－1)，半径为. 课本第28页 典例分析 例2 已知两点A(1，2)和B (3，－2)： (1)求以点A为圆心，且经过点B的圆的方程？ 解:　根据已知条件，设圆A的方程为(x－1)2+(y－2)2=r2. 由圆A经过点B(3,-2)，得(3-1)2+(-2-2)2=r2.解得r2=20. 所以圆A的方程为(x-1)2+(y-2)2=20(如图). y x 课本第28页 典例分析 例2 已知两点A(1，2)和B (3，－2)：(2)求以AB为直径的圆的方程？ 解:　设圆的方程为(x－a)2+(y－b)2=r2，则(a,b)是圆心的坐标. 根据已知条件，得： 课本第28页 将点B(3，－2)代入圆的方程(x－2)2+y2=r2， 解得r2=(3－2)2+(－2)2=5. 所以所求圆的方程为(x－2)2+y2=5(如图). y x 典例分析 例3 求经过两点A(1,3)，B(4,2)，且圆心C在直线l：x+y-3=0上的 圆的标准方程？ 解：联立线段AB的垂直平分线方程和直线l的方程得方程组： 得：(1－a)2+(3－b)2=(4－a)2+(2－b)2 即3a－b－5=0，联立(3)得：a=2，b=1，r2=5； 故所求的圆的标准方程为：(x-2)2+(y-1)2=5。 课本第29页 典例分析 例4 点A(3，－2)，B(－5,4)，求以线段AB为直径的圆的标准方程？ 所以圆的标准方程是(x＋1)2＋(y－1)2＝25. 方法总结 对于任何一个半径为r的圆，我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系，再根据圆的定义得到圆的方程为：x2+y2=r2 ① ，那么圆的性质有： x y O P x=-r x=r y=r y=-r (1)范围 由方程①可得圆上任意一点P(x，y)都满足不等式 |x|≤r，|y|≤r 这说明圆上的所有点都在两条平行直线： x=-r，x=r和两条平行直线y=-r，y=r围成的正方形之间. 方法总结 对于任何一个半径为r的圆，我们可以以圆心为原点建立平面直角坐标系，再根据圆的定义得到圆的方程为：x2+y2=r2 ① ，那么圆的性质有： (2)对称性 根据方程①的结构特点，可以发现：若点P的坐标(x,y)满足方程①，则点P分别关于x轴、y轴和原点 O对称的点P1(x,-y)，P2(-x,y)，P3(-x,-y)的坐标 也都满足方程①. 这说明圆①既是关于x轴和y轴的轴对称图形，也是关于原点的中心对称图形. x y O P(x,y) P1(x,-y) P2(-x,y) P3(-x,-y) 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 新知探究2 探究2 点与圆有哪几种位置关系？如何确定点与圆的位置关系？ 点在圆A上 点在圆A内 点在圆A外 新知2 点与圆的位置关系 2.点与圆的位置关系: 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 典例分析 例1 已知a，b是方程x2－x－ ＝0的两个不相等的实数根， 求点P(a，b)与圆C：x2＋y2＝8的位置关系？ ∴点P在圆C内. 典例分析 例2 已知圆(x－a)2＋(y－1)2＝2a(0＜a＜1)，则原点O在（ ） A.圆内 B.圆外 C.圆上 D.圆上或圆外 B 解：由圆的方程(x－a)2＋(y－1)2＝2a，知圆心为(a，1)， 典例分析 [0,1) 学习过程 01 03 02 目录 1 圆的标准方程 2 点与圆的位置关系 3 题型训练 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例1　求满足下列条件的圆的标准方程： (1)圆心是(4,0)，且过点(2,2)； 解：r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4). 解　设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8， ∴圆心为(0,0)或(0，－8)， 又r＝5， ∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25. 方法总结 (1)待定系数法：由三个独立条件得到三个方程，解方程组以得到圆的 标准方程中三个参数，从而确定圆的标准方程．它是求圆的方程最常 用的方法，一般步骤是： ①设——设所求圆的方程为； ②列——由已知条件，建立关于，的方程组； ③解——解方程组，求出，； ④代——将代入所设方程，得所求圆的方程． (2)几何法： 圆的标准方程的两种求法： 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例2 求经过点P(1,1)和坐标原点，并且圆心在直线2x＋3y＋1＝0 上的圆的标准方程？ 解：(待定系数法)设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 即圆的标准方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25. 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例3 求过点A(1，－2)，B(－1,4)，且圆心在直线2x－y－4＝0 上的圆的方程？ 即x－3y＋3＝0，由圆心在直线2x－y－4＝0上，得两直线交点为圆心， 即圆心坐标是C(3,2). 故所求圆的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝20. 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例4 圆(x－3)2＋(y＋1)2＝1关于直线x＋y－3＝0对称的圆的 标准方程是________________. (x－4)2＋y2＝1 解：设圆心A(3，－1)关于直线x＋y－3＝0对称的点B的坐标为(a，b)， 故所求圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝1. 求圆的标准方程 题型1 题型探究 例5 已知直线(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0恒过定点P，求与圆C： (x－2)2＋(y＋3)2＝16有公共的圆心且过点P的圆的标准方程？ 解：由(3＋2λ)x＋(3λ－2)y＋5－λ＝0，得(2x＋3y－1)λ＋(3x－2y＋5)＝0， ∵圆C：(x－2)2＋(y＋3)2＝16的圆心坐标是(2，－3)， ∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝25。 题型探究 例6 若点P (5a＋1,12a)在圆(x－1)2＋y2＝1的外部，求a的取值范围？ 点与圆的位置关系求参 题型2 解：∵P 在圆外，∴(5a＋1－1)2＋(12a)2>1,即169a2 >1， 题型探究 例7 已知圆N的标准方程为(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a>0)，若点 P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内，另一点在圆外，求a的取值范围？ 点与圆的位置关系求参 题型2 解　由已知，得圆心N(5,6). ∴|PN|>|QN|，故点P在圆外，点Q在圆内， 题型探究 与圆有关的最值问题 题型3 例8 求圆(x－1)2＋(y－1)2＝1上的点到直线x－y＝2的距离的最值？ 解：圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的圆心为C(1,1)， 题型探究 与圆有关的最值问题 题型3 例9 已知点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点，求x2－4y的最小值？ 解：∵点P(x，y)为圆x2＋y2＝1上的动点， ∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5. ∵y∈[－1,1]，∴当y＝1时，－(y＋2)2＋5有最小值－4. 题型探究 与圆有关的最值问题 题型3 例10 半径为1的圆经过点(3,4)，求其圆心到原点的距离的最小值？ 所以|OC|≥5－1＝4，当且仅当C在线段OM上时取等号. 化简得(x－3)2＋(y－4)2＝1， 所以圆心C的轨迹是以M(3,4)为圆心，1为半径的圆， 课堂小结 1.圆的标准方程: 我们把方程称为圆心为，半径为的圆的标准方程. 特别的，圆心为坐标原点，半径长为的圆的方程是. 注：圆的标准方程的特征： 1.是关于x、y的二元二次方程; 2. 明确给出了圆心坐标和半径. 课堂小结 2.点与圆的位置关系: 位置关系 图形 利用距离判断 利用方程判断 点在圆上 点在圆外 点在圆内 ＝ ＝ > > < < 感谢聆听！ 解：由题意得圆心坐标为(－1,1)，半径r＝|AB|＝＝5， 解：由题意，得a＋b＝1，ab＝－， ∴a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1＋2<8， 则原点与圆心的距离为， ∵0＜a＜1，∴＞＝r，即原点在圆外. 例3 已知点M(5＋1，)在圆(x－1)2＋y2＝26的内部，则a的取值范围为_______. 解：由题意知 即解得0≤a<1. 则有解得 解：(几何法)AB的斜率为k＝－3，则AB的垂直平分线的方程是y－1＝x， r＝|AC|＝＝2. 则解得 则 解得即P(－1,1). ∴|PC|＝＝5， a2>， ∴a>或a＜－. ∵|PN|＝＝， |QN|＝＝3， ∴a的取值范围是3<a<，即a∈(3，). 则圆心到直线x－y＝2的距离d＝＝， 故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为＋1，最小值为－1。 所以|OC|＋1≥|OM|＝＝5， 解：设圆心C(x，y)，则＝1， $$